1.1集合（精講）

集合

1一元素與集合

-元素特征一確定性、互異性、無序性

—元素與集合關(guān)系—e和C

-集合表示方法一列舉法、描述法、圖示法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN?（或N+）ZQR

」集合分類

「離散型

一數(shù)集一不等式型一解不等式，畫數(shù)軸解題

L連續(xù)型T

L函數(shù)模型

-定義域型一如：｛x|y=f（x）｝表示函數(shù)的定義域

—值域型—如：｛y|y=f（x）｝表示函數(shù)的值域

」-一「聯(lián)立方程解方程，求出交點(diǎn)，判斷個(gè)數(shù)

I-交集即交點(diǎn)

“L轉(zhuǎn)化成直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)集一匚解析幾何問題

-并集一轉(zhuǎn)化成解析幾何問題

'一集合間的關(guān)系

-集合A中所有元素都在集合B中（即若xCA,貝UxGB）—AUB（或B2A）

子集一上人皿對(duì)于有限集合/，其元素個(gè)數(shù)為”,則集合4的子集個(gè)數(shù)為2”，

L子集個(gè)數(shù)一

真子集個(gè)數(shù)為2”一1.等空子集個(gè)數(shù)為2”-1.非空真子集個(gè)數(shù)為2”一2

-真子集一集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中一AEB（或B2A）

-集合相等一集合A,B中元素相同一A=B

r空集不含任何元素

I—空集一I

L中是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為r,則集合,4的

符號(hào)表示AUBACyB

補(bǔ)集為1：VA

集合的運(yùn)算c?

圖形表示u0

tvA

AUBAGB

集合表示{x\x^A,或x￡5}且xW

求解集合中元素

-元素的含義（數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型）一限制條件

-互異性的檢驗(yàn)—求參的集合，要檢驗(yàn)元素是否滿足互異性

集合間基本關(guān)系

AqB。集合A是集合B的子集

類型一：集合B中有參數(shù)OBW0

西數(shù)軸n根據(jù)端點(diǎn)的大小列不等式（組）

-子集求參一類型二：集合A中有參數(shù)

f分式中分母為0

不等式左端點(diǎn)大于（大于等于）右端點(diǎn)

集合非0的式子

A*0-

由敦軸=>根據(jù)端點(diǎn)的大小列不等式（組）

集合運(yùn)算

-解題思路一先化簡(jiǎn)，再研究運(yùn)算.

r列舉法

r離散型數(shù)集71

LVenn圖

-數(shù)形結(jié)合--連續(xù)型數(shù)集—數(shù)軸求解，注意端點(diǎn)是否取等.

I-①AUB=BQA￡B；②AnB=AoAUB；③ADB=AUBQA=B

」常用性質(zhì)--A￡BoAnB=AeAUB=B3[UA=CUB

1-Cu(AnB)=(CuA)u(CUB),CU(AUB)=(CUA)n(CUB)

集合新定義

-讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣定義，結(jié)合要求進(jìn)行轉(zhuǎn)化

善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,

合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì)，并重視分類討論思想的應(yīng)用

集合

考向一元素的互異性

考向二無參集合間的關(guān)系

考向三無參集合間的運(yùn)算

考向四（真）子集的個(gè)數(shù)

考向五集合中求參數(shù)

【例1-1］（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知集合4={m+2,2加+小},若3€4則7"的值為（）

333

A.1B.―一C.1或一一D.—1或一

222

【例1-2］（24-25高三上?安徽宣城?期末）已知集合A={0,4,/},3={0,4,3。-2},若A=B,則q的值是（）

A.1或2B.一1或。C.1D.-1

【一隅三反】

1.（23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試）已知xe{l,2,d},則x的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

2.（2025?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合A={a,）},B^{2a,2a2},若A=貝U"=.

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）己知a/wR,若卜,，,"={〃,a+仇。},貝|/降十.

考向二無參集合間的關(guān)系

【例2-1】（2024?福建福州）己知集合加=口€：\*|-1＜苫42},則下列關(guān)系中，正確的是（）.

A.OeMB.0eMC.{0,l}cMD.{1,2}CM

【例2-2］（2025?寧夏吳忠?一模）已知集合4=卜卜=：+；,左=

,則（）

A.AHB=0B.A=B

C.A是BD.A

【一隅三反】

1.（2024?廣東?一模）已知集合4=1[無=羨，左ez},B=[x[x=]+防,則（）

A.A=BB.Ac3=0C.AcBD.A^B

2（浙江省金華市十校2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合。={0,1,2},Q=[x\x2-4>0],則（）

A.PjQB.Q^PC.D.

3.（23-24黑龍江大慶?開學(xué)考試）已知集合4=卜2》+/了+2},B={尤e42尤一1>。},貝|（）

A.A^BB.B^AC.Ar\B=0D.OeAuB

考向三無參集合間的運(yùn)算

【例3-1]（2025?天津南開?一模）若集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4,6,8},8={3,6,9},貝|@4）八8=（）

A.{3,9}B.{2,4,8}

C.{1,3,5,6,7,9}D.{124,5,6,7,8}

【例3-2X2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）（多選）已知全集0=：?,集合”=何-34x<4},N={小2-2尤-8s0},

貝U（）

A.A/uN={x|-34x<4}B,McN={x|-24尤<4}

c.（^）U^V=（-^,-3）U[-2，HD.wn（^）=（-3-2）

【一隅三反】

1.（2024?遼寧?二模）已知集合M=，dlog4X<g[,N=1\\!wO，，則MuN=（）

A.（0,1]B.（-3,2）C.[-3,2）D.（F,2）

2（24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí)）已知集合A={123,4,5},且4口3=4,則集合8可以是（）

A.{2,3,4}B.{小2>i}c.{乂3，>1}D.{^|log2（x-l）<3}

3.（24-25高三上?甘肅白銀?期末）（多選）已知集合出=卜|d-3x-10<0},N={x\|x-3|<4},則（）

A,低M）cN=（5,7]B.McN=[-l,5）

C.MuN=（—2,7]D.4N=（e,-l）D（7,y）

4.（2025海南）（多選）已知集合4=5一ivx?3},集合3={刈彳設(shè)2},則下列關(guān)系式正確的是（）

A.AQB=0B.AU8={X|-2#X3}

C.AU4B={x|x?1或x>2}D.An4B={x[2<x?3}

考向四（真）子集的個(gè)數(shù)

【例4-1】（2025,湖北武漢?一模）已知集合人={-3,-2,0,2},3={止1<%<4},則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【例4-2】（2025?，可1匕滄州?一模）集合同={］￡N|log2x<2}的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.15B.16C.31D.32

2

【例4-3】（2025?廣東廣州.模擬預(yù)測(cè)）滿足［x\x+2x-3=0}cA{-3,-1,0,1,3}的集合A的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.7C.8D.15

【一隅三反】

1.（24-25貴州黔西?階段練習(xí)）已知集合4={X?卻0<彳<108216},集合BV2,Y41,則集合AcB子集

個(gè)數(shù)是（）

A.2B.4C.8D.16

2（24-25高三下?安徽?階段練習(xí)）已知集合4={尤"|（2，-16）?（現(xiàn)2同<0},則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.32

3.（2025?河北秦皇島?一模）已知集合4={1,3,5,7},集合8={1,2,3,4,5,6,7},若集合M滿足A曝禎=3,則這

樣的集合M共有個(gè).

考向五集合中求參數(shù)

【例5-1］（2025?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知集合4={0,。},B={l,a-1,2a},若A=3,貝心=（）

A.0B.1C.1D.0或1

【例5-2】（2025?河南?三模）設(shè)集合4=局2彳一/20},2=卜值>根},若4門3片0,則（）

A.m>—2B.m^2

C.m<2D.m<-2

【例5-3】（2025?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=卡不上0,B=（x\x<a},若（胭）「人口兒則。的取值范

圍是（）

A.[0,+QO）B.（0,+功C.（一8,-1）D.（-oo,-l]

【例5-4】（2025?安徽安慶?二模）已知集合4={疝）<》<。+1},8={尤If-3尤+2<0},若8=4,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（-<x）,0]B.（-oo,2]C.[l,+oo）D.（l,+oo）

【一隅三反】

1.（2024,四川綿陽(yáng)?一模）集合A={x|a—l=0},8=司龍2-3元+2=0},且Aug*,實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.1C,1或3D.0或1或1

2.（2025,江西贛州?一模）已知集合人={尤,-2x-3<0},B={x\ix-a<6\,若則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

A.（9,+GO）B.[9,+oo）C.（-QO,-3）D.（-00,-3]

3（24-25高三上?河北承德?階段練習(xí)）已知集合4={]|—2W10},B=[x\l-m<x<l+m].若5c&A）=0,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-oo,3]B.（-oo,9]C.（-℃,3]U[9,+oo）D.[3,9]

4.（2025?河南?二模）已知集合&={了|-1<了<3},3=依2_5X+4<。},若AC8=（1,3）,則AU3=（）

A.（-l,+oo）B.（-oo,3）C.（-1,4）D.（T,3）

5（2025?河北衡水?三模）（多選）已知集合4=”昨2-3X-18<。},B={xe/?|X2+ax+a2-27<O},則下列

命題中正確的是（）

A.若A=3,則a=—3B.若A口3,則a=—3

C.若5=0,貝!JaW—6或aN6D.若a=3,貝UAc5={%|-3vx<6}

考向六韋恩圖及其應(yīng)用

【例6-1】（2025?吉林?二模）設(shè)全集U=Z,A={-l,0,l},B={xeNN42},則圖中陰影部分表示的集合是（）

A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{-1,0,2)

【例6-2]（24-25重慶?期末）如圖，U為全集，A,8為U的子集，則陰影部分所表示的集合可以為（）

B.6(Ac3)

C.Ac(”)D.(^A)nB

【例6-3】（2025?江蘇?一模）我市某校共有1500名學(xué)生在學(xué)校用午餐，每次午餐只能選擇在樓上或樓下的一個(gè)

食堂用餐，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)天在樓上食堂用午餐的學(xué)生中，有1。%的學(xué)生第二天會(huì)到樓下食堂用午餐：而當(dāng)天在樓

下食堂用午餐的學(xué)生中，有15%的學(xué)生第二天會(huì)到樓上食堂用樓午餐，則一學(xué)期后，在樓上食堂用午餐的學(xué)生

數(shù)大約為（）

A.700B.800C.900D.1000

【一隅三反】

1.（2025北京）已知全集。=口，集合A={x|x<-1或x>4},B={x\-2<x<3],那么陰影部分表示的集合為

B.{x|x43或xN4}

C.{x|-2<x<-l}D.{x\-2<x<4]

2.（2025?湖南）（多選）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

A.Bc（AuC）B.C￡/Bn（AuC）

C.BnQ（AuC）D.（AnB）u（BnC）

3.（2025遼寧）（多選）某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一的兩個(gè)班共有120名同學(xué)，已知參加跑步、拔河、籃球比賽的人

數(shù)分別為58,38,52,同時(shí)參加跑步和拔河比賽的人數(shù)為18,同時(shí)參加拔河和籃球比賽的人數(shù)為16,同時(shí)參

加跑步、拔河、籃球三項(xiàng)比賽的人數(shù)為12,三項(xiàng)比賽都不參加的人數(shù)為20,則（）

A.同時(shí)參加跑步和籃球比賽的人數(shù)為24

B.只參加跑步比賽的人數(shù)為26

C.只參加拔河比賽的人數(shù)為16

D.只參加籃球比賽的人數(shù)為22

考向七函數(shù)集合

【例7】（2025?陜西咸陽(yáng)?二模）已知集合&="|丫=108,（》+1）},3={x|y=J尤2—無一2],則下列關(guān)系中，正

確的是（）

A.A^BB.疫AqRBC.AC\B=0D.

【一隅三反】

,3={x[0<x<3}

1（24-25高三下?山東聊城?階段練習(xí)）已知全集。=1<,集合A=+log2(l-x)

貝U&A)c3=()

A.{x|0（尤<3}B.{x|l?x3}C.{尤卜3<x4-2}D.{%|-2<%<0j

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知集合4=卜b=Jx?+2x-3卜集合3=卜,=3],則Ac3等于（）

A.（-oo,-3]U（O,+oo）B.（。,+8）

C.[1,+8）D.[-3,0）U[l，H

3..（24-25重慶）（多選）已知集合知=[9225}3={尤|尸111（2%-6）},則下列結(jié)論正確的是（）

A.McN=MB.M<JN=M

C.他N）cM={x|2WxW3}D.低㈣cN=0

考向八點(diǎn)集合

【例8-1】（2025甘肅蘭州?開學(xué)考試）已知集合4={（乂力尤2+9=1},8={（尤,斕尤一>+&=0},則集合

C=AQ8的元素個(gè)數(shù)為.

【例8-2]（2024?河南新鄉(xiāng).二模）（多選）己知,集合A={（x,y）|如+y-l=0},B=\^x,y'）\2.mx+1y-9=6\,

C={（羽y）F+y2+2x-4y+l=0},D={（x,y）|x2+/-2x=o},則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.AQB=0B.ACCH0C.BC\C=0D.CnD=0

【一隅三反】

1.（23-24海南?階段練習(xí)）已知集合人式卜刈丁+產(chǎn)q，8={（x,y）|xeZ且yeZ},則Ac3中元素的個(gè)數(shù)

為個(gè).

2.（24-25高三上?上海浦東新?期中）已知集合4={（尤,〉）|〉=111（忖+1）},B={（x,y）|x2+y2=l},則AcB中有

個(gè)元素.

3.（24-25高三下?上海?開學(xué)考試）若集合A={（x,y）|y-l===若集合Ac3恰有兩個(gè)

元素，則所有滿足要求的實(shí)數(shù)左組成的集合為.

考向九新定義

【例9】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若平面點(diǎn)集“滿足：任意點(diǎn)（x,y）eM,存在都有（￡r,（y）eM,

則稱該點(diǎn)集“是邛介聚合點(diǎn)集.

①若河=[羽田卜2?,則M是3階聚合點(diǎn)集

②存在M對(duì)任意正數(shù)/,使M不是邛介聚合點(diǎn)集

③若M=（羽丫）了+/=1,則“不是g階聚合點(diǎn)集

④"止[1,+?"是"”={（%）；）b21}是邛介聚合點(diǎn)集”的充要條件

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【一隅三反】

1.（2025海南?階段練習(xí)）（多選）集合A,B是實(shí)數(shù)集R的子集，定義A-B={x|xeA,xe用，

4*3=（4_3）53_4）叫做集合的對(duì)稱差.若集合4=卜|'="_1）2+1,04了43},3=卜|‘=尤2+1,]<尤<3},

則以下說法正確的是（）

A.A={y|-lWy<5}B.A-B=[y\\<y<i\

C.B-A={y|5<_y<10}D.={y11<y<2}u{_y|5<_y<10}

2.（2025?湖北武漢?二模）（多選）己知〃eN*,記闖為集合A中元素的個(gè)數(shù)，min（A）為集合A中的最小元素.若

非空數(shù)集A={1,2,…，科，且滿足M〈min（A）,則稱集合A為"〃階完美集記?！盀槿俊A完美集的個(gè)數(shù)，下

列說法中正確的是（）

A.&二7

B.將〃階完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是〃+1階完美集

C.若A為5+2）階完美集，閾>1且“+2eA,滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為〃用-〃

D.若A為（九+2）階完美集，閾>1且〃+2eA,滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為4+

3.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）（多選）給定〃eN+，若集合P={1,2,3,…且存在q,6,c,deP,滿足

a<b<c<d,b-a=d-c,則稱P為“廣義等差集合記P的元素個(gè)數(shù)為1尸1,貝I()

A.{1,2,3}是"廣義等差集合"

B.{L3,4,6}是"廣義等差集合"

C.若尸不是"廣義等差集合"，當(dāng)〃=8時(shí)，IPI的最大值為4

D.若尸不是"廣義等差集合"，若I刊的最大值為4,則“可以是13

1.2集合（精講）

集合

1一元素與集合

-元素特征一確定性、互異性、無序性

—元素與集合關(guān)系—e和C

-集合表示方法一列舉法、描述法、圖示法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN?（或N+）ZQR

」集合分類

「離散型

一數(shù)集一不等式型一解不等式，畫數(shù)軸解題

L連續(xù)型T

L函數(shù)模型

-定義域型一如：｛x|y=f（x）｝表示函數(shù)的定義域

—值域型—如：｛y|y=f（x）｝表示函數(shù)的值域

」-一「聯(lián)立方程解方程，求出交點(diǎn)，判斷個(gè)數(shù)

I-交集即交點(diǎn)

''L轉(zhuǎn)化成直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)集一匚解析幾何問題

-并集一轉(zhuǎn)化成解析幾何問題

1一集合間的關(guān)系

-集合A中所有元素都在集合B中（即若xCA,貝UxGB）—AUB（或B2A）

子集一上人皿對(duì)于有限集合/，其元素個(gè)數(shù)為”,則集合4的子集個(gè)數(shù)為2”，

L子集個(gè)數(shù)一

真子集個(gè)數(shù)為2”一1.等空子集個(gè)數(shù)為2”-1.非空真子集個(gè)數(shù)為2”一2

-真子集一集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中一AEB（或B2A）

-集合相等一集合A,B中元素相同一A=B

r空集不含任何元素

I—空集一I

L中是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為r,則集合,4的

符號(hào)表示AUBACyB

補(bǔ)集為1：VA

集合的運(yùn)算c?

圖形表示u0

tvA

AUBAGB

集合表示{x\x^A,或x￡5}且xW

求解集合中元素

-元素的含義（數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型）一限制條件

-互異性的檢驗(yàn)—求參的集合，要檢驗(yàn)元素是否滿足互異性

集合間基本關(guān)系

AqB。集合A是集合B的子集

類型一：集合B中有參數(shù)OBW0

西數(shù)軸n根據(jù)端點(diǎn)的大小列不等式（組）

-子集求參一類型二：集合A中有參數(shù)

f分式中分母為0

不等式左端點(diǎn)大于（大于等于）右端點(diǎn)

集合非0的式子

A*0-

由敦軸=>根據(jù)端點(diǎn)的大小列不等式（組）

集合運(yùn)算

-解題思路一先化簡(jiǎn)，再研究運(yùn)算.

r列舉法

r離散型數(shù)集71

LVenn圖

-數(shù)形結(jié)合--連續(xù)型數(shù)集—數(shù)軸求解，注意端點(diǎn)是否取等.

I-①AUB=BQA￡B；②AnB=AoAUB；③ADB=AUBQA=B

」常用性質(zhì)--A￡BoAnB=AeAUB=B3[UA=CUB

1-Cu(AnB)=(CuA)u(CUB),CU(AUB)=(CUA)n(CUB)

集合新定義

-讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣定義，結(jié)合要求進(jìn)行轉(zhuǎn)化

善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,

合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì)，并重視分類討論思想的應(yīng)用

集合

考向一元素的互異性

考向二無參集合間的關(guān)系

考向三無參集合間的運(yùn)算

考向四（真）子集的個(gè)數(shù)

考向五集合中求參數(shù)

【例1-1］（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知集合4={m+2,2加+小},若3€4則7"的值為（）

3-3-3

A.1B.—C.1或一不D.—1或大

222

【答案】B

【解析】因?yàn)锳={a+2,2〃+根},3￡A,所以m+2=3或2蘇+相=3,

當(dāng)根+2=3時(shí)，m=1,此時(shí)，m+2=2m2+m=3,故舍去：

、3

當(dāng)2相之+m=3時(shí)，解得根=一大或m=1（舍去），

2

3

綜上根=-,.故選：B

【例1-2］（24-25高三上?安徽宣城?期末）已知集合A={0,4,/},3={0,4,3。-2},若A=8,則。的值是（）

A.1或2B.—1或0C.1D.-1

【答案】C

【解析】由題設(shè)/=3〃一2n（。一1）（。-2）=0,可得〃=1或。=2,

當(dāng)〃=1時(shí)，々2=3〃-2=1,滿足題設(shè)；

當(dāng)〃=2時(shí)，〃=3a—2=4,不符合集合元素的互異性;

所以a=l.故選：C

【一隅三反】

1.（23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試）已知xe{l,2,尤2},則x的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【答案】C

【解析】由元素和集合關(guān)系可知：x=l或x=2或x=f,解的無=0或1或2,

由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)x=l時(shí)，{1,2,1}不滿足互異性，所以x的取值為。或2.故選：C.

2.（2025?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合A={q力},B=（2a,2a2},若A=3,則"=.

【答案】|

【解析】在8={2<?,2。2}中，2a力2a2,貝UazO且arl,

而A={“,6},A=B,顯然aw2a,因止匕：=,解得a=1b=l,所以成=上故答案為：!

[b=2a222

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知a,6eR,若卜,=付,°&o},則/3+廣3=.

【答案】1

b

【解析】由已知得。片0,則一=0,所以6=0,于是/=1,即。=1或。=一1,

a

又由集合中元素的互異性知。=1應(yīng)舍去，故。=-1,所以片期+'26=（_1嚴(yán)6+02026=1.故答案為：匚

考向二無參集合間的關(guān)系

【例2-1]（2024?福建福州）已知集合加={X€：\*|-1<工<2},則下列關(guān)系中，正確的是（）.

A.OeMB.0&MC.{0,1}["D.{1,2}CM

【答案】D

【解析】因?yàn)榧稀?{彳€2|-16<2}={1,2},

對(duì)于A,因?yàn)?。e"={1,2},故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,0是一個(gè)集合，且0三故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榧铣?{1,2},所以集合{0,1}與集合M不存在包含關(guān)系，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)榧嫌?{1,2},任何集合都是它本身的子集，所以{1,2}=M,故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

【例2-2】（2025?寧夏吳忠?一模）已知集合4=卜卜=：+；,左ez[,B=]yy=：+g,/ez],則（）

A.AAB=0B.A=B

C.A是BD.3星A

【答案】C

fIk112k—\1

[解析]由="+={x|x=^^+”#eZ},顯然2上一]為奇數(shù),

II2442

而3=y=W+5』?z1,所以A呈B.故選：c

【一隅三反】

1.(2024?廣東?一模)已知集合A=1x|x=￡,Aez1,8=1x|x=5+Mi,%ezj>,則()

A.A=BB.Ar>B=0C.A^BD.A衛(wèi)B

【答案】D

【解析】由集合2={x|尤=邇|坦,％eZ},A={x\x=^,keZ},得A=從故選：D

2(浙江省金華市十校2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)集合P={0,1,2},Q=h產(chǎn)一4>o},則()

A.PJQB.Q^PC.D.

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?一4>o}=(-8,-2)u(2,+e),"=(Y,0)u(0,1)"1,2)"2次)，

所以。1張匕故選：D.

3.(23-24黑龍江大慶?開學(xué)考試)已知集合4=卜2工+11+2},8={xeZ|2x-l>0},貝|()

A.A^BB.BeAC.A[^B=0D.OeAuB

【答案】B

【解析】由2x+12x+2解得尤21,由2x-l>0解得x>L

2

所以A={x|2x+12x+2}={x|x21},3={^eZ|2x-l>0}={1,2,3,4,…},

所以BgA,A[}B=B,AU3=A,

又AU3=A，所以O(shè)eAUB，故選：B

考向三無參集合間的運(yùn)算

【例3-1](2025?天津南開?一模)若集合"={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4,6,8},8={3,6,9},貝。@A)cB=()

A.{3,9}B.{2,4,8}

C.{1,3,5,6,7,9}D.{124,5,6,7,8}

【答案】A

【解析】由題設(shè)e4="3,5,7,9},3={3,6,9},貝U@A)c3={3,9}.

故選：A

【例3-2X2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))(多選汨知全集U=R，集合Af={X-3WX<4},N={*2—2X-8W0},

則()

A.MuN={x|-3<x<4}B,AfcN={x|-2Wx<4}

C.(①M(fèi))UN=(e,-3)U[-2,田)D.MCI(^)=(-3-2)

【答案】BC

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由尤2—2X—840,得—2WxW4,所以N={x|-2VxW4},則MuN={+3WxW4},故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：McN={x|-2Vx<4},故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由于毛加=(—,-3)U[4,+o)),故包M)UN=(-s,—3)U[-2,+(?),故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：由于。N=(F,-2)U(4,心)，故/口仁")=[-3,-2),故D錯(cuò)誤

故選：BC

【一隅三反】

jclogx<|二L(4，則MuN=()

1.(2024?遼寧?二模)已知集合”=4,N=X

x+3I

A.(0,1]B.(-3,2)C.[-3,2)D.(—,2)

【答案】B

【解析1log4x<g=>；log2x<gnlog2x<1=>0<X<2,.'.M=1x|0<x<2^,

N=----4o}={尤卜3〈尤W1},所以MuN={工卜3Vx<2},故選：B

2(24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí))己知集合4=口,2,3,4,5},且4口8=4,則集合8可以是()

A

A.{2,3,4}B.{小2>i}c.{x|3>1}D.U|log2(x-l)<3}

【答案】C

【解析】因?yàn)?08=4,所以A=3,顯然A中集合不合題意；

B中集合為{x|x?>\}={x\x<-\^x>\],也不合題意,

C中集合為{彳⑶>1}={X|X>0},滿足題意,

D中集合為{x|log2（x—l）<3}={x[0<x—l<8}={x|l<尤<9},不合題意.

故選:C

3.（24-25高三上?甘肅白銀?期末）（多選）已知集合“=卜|d-3x-10<0},N={xj|x-3|<4},則（）

A.低M）cN=（5,7]B.McN=[-l,5）

C.MuN=（—2,7]D.4N=（e,-l）D（7,y）

【答案】BCD

【解析】由題易知M=（-2,5）,N=[-l,7],所以4河=（一。,一2]55,+8）,4^=（-￡?,-l）u（7,+?）,

所以McN=[—l,5）,MuN=（-2,7],（^M）nA^=[5,7],故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B,C,D正確.

故選：BCD.

4.（2025海南）（多選）已知集合人=口|—1〈尤？3},集合3={刈》設(shè)2},則下列關(guān)系式正確的是（）

A.AQB=0B.AU3={x|-2#x3）

C.AUA<8={x|x?1或x>2}D.An4B={x|2<x?3}

【答案】BD

【解析】因?yàn)锳={x|-1<<招}，B={x||x|2}={析-2#x2},

所以Ang={x|-lvx楣}「{x|-2?x2]={x\-l<x?2],故A錯(cuò)誤;

AuB={x|-1<x<3}o{x|-2<x<2}={x|-2<x<3},故B正確；

因?yàn)?v-2或%>2},

所以={x|-1<%?3}\J[x\x<2或4>2}={x|xv-2或x>-1},故c錯(cuò)誤；

A^B={x\-l<x?3}C[{x\x-2或x>2}={x|2<%?3},故D正確.故選：BD.

考向四（真）子集的個(gè)數(shù)

【例4-1】（2025?湖北武漢?一模）已知集合A={-3,-2,0,2},3={止1<%<4},則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】由已知A={—3,-2,0,2},B={x|-l<x<4）,則AIB={0,2},則AcB子集的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：B.

【例4-2】（2025?河北滄州?一模）集合"={*€岡隆2尤42}的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.15B.16C.