人教版8年級數(shù)學下冊《平行四邊形》單元測試

考試時間：90分鐘；命題人：教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題20分）

一、單選題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、若一個直角三角形的周長為3+百，斜邊上的中線長為1,則此直角三角形的面積為（）

A.退B.C.3+73D.2班

2、如圖，把正方形紙片/仇/沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為可再過點6折疊紙片，使

點/落在磔上的點尸處，折痕為8區(qū)若居的長為2,則陽的長為（）

A.2B.6C.72D.1

3、在,ABCD中，ZC與劭相交于點。，要使四邊形力頗是菱形，還需添加一個條件，這個條件可以

是（）

A.AO=COB.AO=BOC.AOVBOD.ABIBC

4、如圖，四邊形切中，N/=60°,/戶2,AB=3,點、M,N分別為線段8C,上的動點（含端點，

但點〃不與點6重合），點￡,尸分別為掰例V的中點，則所長度的最大值為（）

C

D,E

Aa

B.不C.gD.—

22

5、如圖，點后是△/阿內(nèi)一點，NAEB=90°,。是邊/方的中點，延長線段龐交邊見于點尸，點尸

是邊國的中點.若26=6,EF=\,則線段“'的長為（)

15

A.7Bn.—C.8D.9

2

第II卷（非選擇題80分)

二、填空題（5小題，每小題6分，共計30分）

1、如圖，在△/歐中，//%=90°,以47,歐和為邊向上作正方形/口必和正方形員M和正方

形48C五，點G落在板上，若AC+BC=7,空白部分面積為16,則圖中陰影部分的面積是.

2、已知如圖，點￡,尸分別在正方形ABCD的邊BC,。上，ZEAF=45°,若BE=6,DF=8,則砂=

AB

3、如圖，在四邊形/陽9中，AD//BC,ZB=90°,DE1BC千點、E,AB=8cm,4>24cm,除26cm,點

P從點力出發(fā)，沿邊/。以1cm/s的速度向點〃運動，與此同時，點。從點，出發(fā)，沿邊⑵以3cm/s

的速度向點8運動.當其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.連接收，過點P作依

LBC于點F,則當運動到第s時，ADEC^XPFQ.

4、如圖，矩形/物的兩條對角線/C,劭交于點。，NAOB=60°,AB=3,則矩形的周長為

5、若一個菱形的兩條對角線的長為3和4,則菱形的面積為.

三、解答題(5小題，每小題10分，共計50分)

1、我們知道正多邊形的定義是：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(1)如圖①，在各邊相等的四邊形加切中，當然=如時，四邊形/反刀正四邊形;(填“是”

或“不是”)

(2)如圖②，在各邊相等的五邊形上汨定中，AC=CE=EB—BD=DA,求證：五邊形AZOF是正五邊形；

(3)如圖③，在各邊相等的五邊形/比加中，減少相等對角線的條數(shù)也能判定它是正五邊形，問：至

少需要幾條對角線相等才能判定它是正五邊形？請說明理由.

圖①圖②

2、如圖，在口/員/中,對角線4。的垂直平分線由交助于點凡交比1于點2,交〃1于點0.求證:

四邊形4?才是菱形.

（小海的證明過程）

證明：?.?舒'是4c的垂直平分線,

0A=0C,0E=0F,EFLAC,

...四邊形力即是平行四邊形.

又‘：EF1AC,

四邊形/比F是菱形.

（老師評析）

小海利用對角線互相平分證明了四邊形2以才是平行四邊形，再利用對角線互相垂直證明它是菱形，可

惜有一步錯了.

（挑錯改錯）

（1）請你幫小海找出錯誤的原因;

（2）請你根據(jù)小海的思路寫出此題正確的證明過程.

3、如圖，/及力是平行四邊形，4〃=4,46=5,點/的坐標為（-2,0）,求點8、C、。的坐標.

4、△力弘為等邊三角形，AB=4,ADLBC于點、D,后為線段/〃上一點，AE=上.以/￡為邊在直線/〃

右側構造等邊△/明連結㈤兒為您的中點.

(1)如圖1,即與4c交于點G,

①連結加，求線段陽的長；

②連結初，求NZW的大小.

(2)如圖2,將△/所繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a.〃為線段斯的中點.連結如MN.當30。

<a<120°時，猜想NZW的大小是否為定值，并證明你的結論.

5、如圖，△業(yè)應是等腰直角三角形.

(1)若/(-4,1),求點8的坐標；

(2)加Uy軸，垂足為M陰ly軸，垂足為點〃，點P是46的中點，連掰求N/W度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，點0是加的中點，連PQ,求證：PQ^AM.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，可得斜邊為2,然后利用兩直角邊之間的關系以及勾股定理求出

兩直角邊之積，從而確定面積.

【詳解】

解：根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知，斜邊上的中線等于斜邊的一半，得盼2.

?.?一個直角三角形的周長為3+73，

?*.Aff^BC=3+yf3_2=1+^/3.

等式兩邊平方得(A孫BC)2=(1+73)2,

BP/必+80+24??旅4+2退，

必+於===4,

：.2AB?Be2上,AB^BC=43,

即三角形的面積為:x防上;若.

故選:B.

【點睛】

本題考查直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，巧妙求出AC-BC

的值是解此題的關鍵，值得學習應用.

2、B

【解析】

【分析】

由折疊的性質(zhì)可得的W=；8C=JAB=1,N颯仁90°,F氏A氏2,由此利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：?.?把正方形紙片力沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為就AB=2,

：.BM/物*90。，

22—

?.?四邊形/頷為正方形，AB=2,過點6折疊紙片，使點/落在MV上的點尸處，

：.FB=AB=2,

則在出△胸中，F(xiàn)M7BF—BM?=6，

故選B.

【點睛】

本題主要考查了正方形與折疊，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質(zhì).

3、C

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的判定分析即可；

【詳解】

；四邊形/國勿時平行四邊形，AOVBO,

，.ABCD是菱形；

故選C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的判定，準確分析判斷是解題的關鍵.

4、A

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線定理得出展1那從而可知/W最大時，EF最大,因為N與6重合時ZW最大，

此時根據(jù)勾股定理求得眺從而求得鰭的最大值.連接DB,過點。作交加于點〃，再利用

直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；

【詳解】

解：'：ED=EM,MF^FN,

:.E再三DN,

最大時，砂最大,

:*N與8重合時Dt^DB最大,

在9中，ZJ=60

.-.ZADH=30°

：.AU=2X^=1,D即出AH=6,

：.BH=AB-/年3-1=2,

?'-DB-yjDH2+BH2=73+22=不，

：.EFmax=^-DB=^-,

22

二所的最大值為五.

2

故選A

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用中位線求得上!

ZW是解題的關鍵.

5、C

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出場；由上1,得到/*,再根據(jù)三角形中位線定理即可求出線段AC的長.

【詳解】

解：旗=90。，。是邊48的中點，AB=6,

:.DE=^AB=3,

,:EF=3

:.DF=DE+EF=3*\=4.

?.?。是邊加的中點，點尸是邊比的中點，

，加是」/股?的中位線，

：.AC=2DF=Z.

故選：C.

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形中位線定理，求出如的長是解題

的關鍵.

二、填空題

苣

【解析】

【分析】

根據(jù)余角的性質(zhì)得到44C=加C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S.=S.，推出SMBC=S四邊制VCH,根

據(jù)勾股定理得至1」AC2+BC2=AB2,解方程組得到s.=￡,接著由圖可知空白部分為重疊部分，陰影

部分為非重疊部分，所以2倍的空白部分與陰影部分面積和等于三個正方形與三角形面積和.結合

804。=?即可得出結論.

依此即可求解.

【詳解】

解：如圖,

四邊形ABG廠是正方形,

:.ZFAB=ZAFG=ZACB=90°f

:.ZFAC-^ZBAC=ZFAC+ZABC=90°,

:.ZFAC=ZABC,

/.FAH=.ABN(ASA),

.q—v

,?uFAH-JABN，

=

-SABCS四邊形WVCH=$3,

2

S空白=S正方形的6尸—S3=16，gpAB-SABC=16,

AB2--ACBC=16,

2

在ABC中，NACB=90。,

AC2+BC2=AB2,

AC+BC=1,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2ACBC=49,

:.AB2+2ACBC=49,

:.BCAC=—,

5

陰影部分的面積和=三個正方形面積+三角形面積-2倍空白部分面積

=AB2+AC2+BC2+^AC-BC-2(AB2-JAC.BC)

3

=—AC.BC

2

366

—x——

25

故答案為：—.

【點睛】

本題考查勾股定理的知識，有一定難度，解題關鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結合

和應用.

2、14

【解析】

【分析】

過點A作AE的垂線，交延長線于點G,先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出

AABE=AADG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AG,3E=DG=6,再根據(jù)三角形全等的判定定理證

出AFGjAFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：如圖，過點A作AE的垂線，交。延長線于點G,

四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,NB=ZBAD=ZADC=90°,

.,./BAE+ZDAE=9。。，

AG±AE,

ADAG+ZDAE=ZEAG=90°,

:.ZBAE=ZDAG,

/BAE=/DAG

在AAB￡和.AOG中，<AB=AD,

ZB=ZADG=90°

:,^ABE^ADG(ASA),

:.AE=AG,BE=DG=6,

DF=S,

.\GF=DF^DG=14,

又*AG±AE,ZEAF=45°,

.\ZGAF=ZEAF=45°9

AG=AE

在-AFG和^AFE中,<ZGAF=ZEAF,

AF=AF

:.^AFG=^AFE(SAS),

.,GF=EF=14,

故答案為：14.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形

是解題關鍵.

3、6或7

【解析】

【分析】

分兩種情況進行討論，當。在p點的右側時，。在尸點的左側時，根據(jù)△加ZX△件0,可得FQ=EC,

求解即可.

【詳解】

解：由題意可得，四邊形ABED、ABFP為矩形，BE=AD=24cm,CQ=3fcm、AP=tcm

CE=BC-BE=2cm,BF=/cm

Y△DEMXPFQ

：.FQ=CE=2cm

當。在尸點的右側時，F(xiàn)Q=BC-CQ-BF=(26-4t)cm

：.26-4t=2,解得f=6s

當。在F點的左側時，F(xiàn)Q=BF-kBC-CQ)=t-(26-3r)=(4t-26)cm

A4t-26=2,解得r=7s

故答案為：6或7

【點睛】

此題考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)題意，求得對應線段的長，分

情況討論列方程求解.

4、6+6A/3##6A/3+6

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=CD,ZBAD=90°,OA=OC=^AC,BO=OD=^BD,AC=BD,推出如

=OB=OC=OD,得出等邊三角形血以求出故根據(jù)勾股定理求出皿即可.

【詳解】

解：..?四邊形/也是矩形,

，N為〃=90°，OA=OC=-AC,BO^OD=-BD,AC=BD,

22

OA=OB=OC=OD,

VZAOB=60°,OB=OA,

，△力如是等邊三角形，

,.?4?=3,

OA=OB=AB=3,

：.BD=2OB=6,

在心△掰。中，AB=3,BD=6,由勾股定理得：AD=3y/3,

?.?四邊形/閱9是矩形，

/.AB=CD=3,AD=BC=3道,

，矩形ABCD的周長是AB+BC+CaAD=6+6也-

故答案為：6+6班.

【點睛】

本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，關鍵是求出4。的長.

5、6

【解析】

【分析】

由題意直接由菱形的面積等于對角線乘積的一半進行計算即可.

【詳解】

解：菱形的面積=3x4+2=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關鍵.

三、解答題

1、(1)是；(2)見解析；(3)至少需要3條對角線相等才能判定它是正五邊形，見解析

【分析】

(1)根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，證明即可；

(2)由SSS亞明叢ABC^4BC噲4CDE^4DEAm叢EAB得出/ABO/BCA/CDE=NDE能/EAB,即可

得出結論；

(3)由SSS證明△45星△比4冬△。比'得出/的后/煙=/&?，，/AEB=/AB即/BAO/BCA=/DC序

/DEC,由S531證明△/6￡絲△龐，得出//綏/儂，ZCEA=ZCAE=AEBC=ZECB,由四邊形4?龍內(nèi)角

和為360°得出/加座/以/180°,證出密由平行線的性質(zhì)得出//吐N龐C,NBAONACE,

證出/加斤3N/陽同理：/CB歸/2/AE。NBCF"AB芹/BAE,即可得出結論；

【詳解】

(1)解：結論：四邊形力65是正四邊形.

理由：'：AB=BC=CD=DA,

四邊形/以力是菱形，

'：AC=BD,

二四邊形是正方形.

四邊形/尻刀是正四邊形.

故答案為：是.

(2)證明：?.?凸五邊形25々應的各條邊都相等，

,AB=BC=CD=DE=EA,

在△力6C、XBCD、XCDE、XDEA、△加8中,

AB=BC=CD=DE=EA

<BC=CD=DE=EA=AB

AC=BD=CE=DA=BE

：.AABC^ABCD^△CDB^ADEA^EAB(SSS),

JZABC=ABCD=ZCDE=ZDEA=/EAB,

二?五邊形48a41是正五邊形；

(3)解：結論：至少需要3條對角線相等才能判定它是正五邊形.

若AC=BE=CE,五邊形4氏力￡是正五邊形，理由如下：

在△力龐、△80和△〃笫中，

AE=BA=DC

<AB=BC=DE,

BE=AC=CE

???△/⑸屋r<sss),

：.ABAE=ZCBA=ZEDC,ZAEB=AABE=ZBAC=ZBCA=ZDCE=ADEC,

在和△應T中，

AE=BC

<CE=BE

AC=CE

:?XACF^XBEC(SSS),

:?/ACE=/CEB,ZCEA=ZCAE=ZEBC=ZECB,

??,四邊形486F內(nèi)角和為360°,

：.ZABaZECB=180°,

：.AB//CE,

:?/ABE=/BEC,/BAC=/ACE,

...ZCAE=ZCEA=2NABE,

：./BAE=3/ABE,

同理：NCBA=/D=4AED=NBCD="ABE=4BAE,

二五邊形/8建是正五邊形；

【點睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了正多邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三

角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關鍵.

2、(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)由垂直平分線的性質(zhì)可求解；

(2)由“ASA”可證AAO尸里ACOE,可得EO=FO,且AO=CO,AC±EF,由菱形的判定可證四邊形

AECF是菱形.

【詳解】

解：(1)砂是AC的垂直平分線，

:.OA=OC,EF1AC,OE^OF

二不能得出OE=O尸；

(2)四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC.

:.AFAC^ZECA

斯是AC的垂直平分線，

EFLAC,OA=OC,且ZE4C=ZEC4,ZAOF=NCOE

AAOF=ACOE(ASA)

:.EO=FO,且AO=CO

，四邊形AECF是平行四邊形

EF1AC.

，四邊形AEb是菱形.

【點睛】

本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解

題的關鍵是熟練運用線段垂直平分線的性質(zhì).

3、2(3,0)、C(5,2我、￡)(0,273)

【分析】

根據(jù)AB=5,4-2,0)即可求得點8,勾股定理求得即可求得點D,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得C

點坐標.

【詳解】

解：235是平行四邊形，

,CD〃x軸，CD=AB=5,

由題意可得，04=2,400=90。，

,?OD=\JAD1—Q42=2-\/3,即。(。,2-\/3),

A(-2,0),AB=5,

：.3(3,0),

VD(0,2A/3),CD=AB=5,CD〃x軸，

C(5,2A/3),

.?.■8(3,0)、C(5,2?、0(0,2?

【點睛】

此題考查了坐標與圖形，涉及了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握并靈活運用相關性

質(zhì)進行求解.

4、(1)①NG=且；②NDNG=120。；(2)NDW的大小是定值，證明見解析.

2

【分析】

(1)①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得。=2,4。=2石，從而可得DE=若，再利用勾股

定理可得CE=V7,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得/EGC=90。，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半即可得；

②先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得NE=ND,NE=NG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

可得ZEDN=ADEN,ZEGN=NGEN,從而可得ZEDN+ZEGN=ADEN+Z.GEN=120°,然后根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和即可得；

(2)連接先證出BAE=..CAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/ABE=NACF,從而可得

/EBC+ZBCF=120。,再根據(jù)三角形中位線定理可得/硒M=NECR/CDN=NEBC,然后根據(jù)三角形

的外角性質(zhì)、角的和差即可得出結論.

【詳解】

解：(1)①：ABC是等邊三角形，AB=4,AD±BC,

：.ZEAG=3Q°,AB^BC=AC=4,BD=CD=2,

?**AD=^A^-BEr=2c，

,/AE=B

：.DE=AD-AE=6,

--CE=yJCD2+DE2=幣，

是等邊三角形，

.-.ZA￡F=60o,

ZAGE=180°-ZEAG-ZAEF=90°,

AEG±AC,即NEGC=90°,

又：點N為CE的中點，

,NG=-C￡=—；

22

②如圖，連接ND,

由(1)①知，ZDEG=180°-ZAEF=120°,

■:NEDC=NEGC=90。,點N為CE的中點，

NE=ND,NE=NG,

ZEDN=ADEN,ZEGN=AGEN,

ZEDN+ZEGN=ADEN+/GEN=Z.DEG=120°,

二ZDNG=360°-(NEDN+ZEGN+NDEG)=120°；

(2)NOMW的大小是定值，證明如下：

如圖，連接BE,CF,

???ABC和△￡4/都是等邊三角形，

JAB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=60°,

ZBAC-^-ZCAE=ZEAF+ZCAE,即NB4E=NC4F,

AB=AC

在一R4E和VC4F中，＜ZBAE=ZCAF,

AE=AF

：...BAE^CAF(SAS),

：.ZABE=ZACF,

?.,AABC+ZACB=60°+60°=120°,

???AEBC+ABCF=AABC-AABE+ZACB+ZACF=120°,

??,點N為CE的中點，點〃為所的中點，

MNCF,

ZENM=ZECF,

-：BD=CD,即點。是3c的中點，

DNBE,

：.ZCDN=ZEBC,

?.?ZEND=ZCDN+Z.NCD=ZEBC+ZBCF-ZECF,

ZDNM=/END+/ENM

=ZEBC+NBCF-NECF+NECF

=/EBC+/BCF

=120°,

???NQM以的大小為定值.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理等知識

點，較難的是題(2),通過作輔助線，構造全等三角形和利用到三角形中位線定理是解題關鍵.

5、(1)(1,4)；(2)45°；(3)見解析

【分析】

(1)過點/作軸于區(qū)過點6作價軸于尸，證明△物修△反方得到"BP=OE,再由點

/的坐標為(-4,1),得到他/后1,正附4,則點6的坐標為(1,4)；

(2)延長物與4N交于〃，證明得到/生掰再由/點坐標為(-4,1),夕點坐標為(1,

4),得至Um4,6W=4,W=l,游1,貝U好4V5fc/肝颯=3,MN^OM-ON^Z,瑞出冊封即可得到/倒分

4NM445°,即/掰9=45°；