2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”語出《莊子?天下》，意思是一尺長的

棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長度小于0.33厘米，則需

要截取的最少次數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2024北京通州IWJ二下期末）已知〃=lg],b=301>c=6,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

3.（2024北京通州高二下期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=AB./（尤）=（尤-1尸C./（x）=lgxD./（x）=（；『

4.（2024北京朝陽高二下期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

A.f（x}=x2—xB./（x）=—C.f（x]=2-vD./（x）=s[x

X

5.（2024北京第二中學(xué)高二下期末）已知函數(shù)/（x）=2]+x,g（x）=\og2x+x,%（x）=丁+元的零點分別

為4,b,c,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

6.（2024北京順義高二下期末）函數(shù)〃x）=lnx-1的零點是（）

A.eB.—C.10D.—

e10

7.（2024北京東城高二下期末）己知*3,log45=b,則2"口的值為（）

A.15B.—C.—D.—2

35

8.（2024北京東城高二下期末）已知兀且無>則下列不等式中一定成立的是（）

2211,

A.x>yB.—>—C.lux>]nyD.2X>2y

9.（2024北京朝陽高二下期末）已知且，則下列不等式一定成立的是（）

A.B.C.a3>b3D.ac2>bc2

10.（2024北京昌平高二下期末）把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是4C,空氣的溫

度是dC,貝Mmin后液體A的溫度0C可由公式。=%+（仇-％）e?3,求得.把溫度是62c的液體A放在

15c的空氣中冷卻，液體A的溫度冷卻到51c和27c所用時間分別為/min,芍min,則與-4的值約為

()

（參考數(shù)據(jù)ln3aL10）

A.2.7B.3.7C.4.7D.5.7

11.（2024北京朝陽高二下期末）某研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，一次性服藥《04￡412）小時后每毫升

血液中的含藥量》（毫克）與時間，（小時）之間近似滿足圖中所示的曲線關(guān)系.據(jù)測定，每毫升血液中含

藥量不少于4毫克時治療疾病有效，則12小時內(nèi)藥物在體內(nèi)對治療疾病一直有效所持續(xù)的時長為（）

4y（毫克）

A.4小時B.5小時C.6小時D.7小時

12.（2024北京朝陽高二下期末）已知Q=k）g32,^=log95,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

13.（2024北京昌平高二下期末）己知函數(shù)〃x）=log2x-x+l,則不等式的解集是（）

A.（0,1）B.（』1）（2,田）C.（1,2）D.（0,l）u（2,+s）

14.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）如圖，假定兩點尸，。以相同的初速度運動.點。沿直線

C。做勻速運動，CQ=x.點尸沿線段A8（長度為IO,單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)

過的距離（9='）.令尸與。同時分別從A,C出發(fā)，定義尤為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示尤

與y的對應(yīng)關(guān)系就是y=（e=2.71828L）,當(dāng)點P從線段AB靠近A的三等分點移動到中點時，經(jīng)

過的時間為（）.

34

A.In2B.In3C.In—D.In—

23

15.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）函數(shù)=-。的一個零點在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則實數(shù)

X

。的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）

二、填空題

lg（x+fl）,x>0

16.（2024北京海淀高二下期末）設(shè)函數(shù)〃尤）=1八，若"X）的最小值為0,貝陷的值

——,x<0

為.

\x-c9x>0

17.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）設(shè)ceR,函數(shù)/（x）=2，八，若/（尤）恰有一個零

點，則C的取值范圍是.

18.（2024北京通州高二下期末）己知函數(shù)f（x）=|lnx|+>,關(guān)于以下四個結(jié)論：

①函數(shù)/（x）的值域為[瓦+⑹；

②當(dāng)">>時，方程/（幻=。有兩個不等實根；

③當(dāng)b=0,。>0時，設(shè)方程的兩個根為耳，%,則為+々為定值；

④當(dāng)匕=0,a>0時，設(shè)方程/（無+1）=〃的兩個根為4，x2,則玉%+占+%=。.

則所有正確結(jié)論的序號為.

19.（2024北京通州高二下期末）函數(shù)了（耳=1股+5/5二工的定義域是.

Inx

20.（2024北京石景山高二下期末）函數(shù)/（%）=—；的定義域為__________.

x+1

/、V-i|,x<i

21.（2024北京第二中學(xué)高二下期末）已知函數(shù)=?、，其中a>0且arl.給出下

（A-2）（X-1）,x>l

列四個結(jié)論：

①若則函數(shù)/⑺的零點是0；

②若函數(shù)/（x）無最小值，則〃的取值范圍為（0,1）；

③若存在實數(shù)“，使得對任意的xcR,都有則M的最小值為1；

④若關(guān)于x的方程/（力=。-2恰有三個不相等的實數(shù)根4，%,x3,則a的取值范圍為（2,3）,且

Xj+x2+x3的取值范圍為（-??,2）.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

22.（2024北京順義高二下期末）函數(shù)/（x）=lg（l-x）-J帝的定義域為.

23.（2024北京昌平高二下期末）已知函數(shù)/（x）=log2（x+3）—2"，則"-1）=.

/、ax3—XX>a

24.（2024北京東城高二下期末）設(shè)awR,函數(shù)"x=給出下列四個結(jié)論：

[-x-2,x<a

①當(dāng)a=O時，函數(shù)〃x）的最大值為0；

②當(dāng)a=7時，函數(shù)〃x）是增函數(shù)；

③若函數(shù)”可存在兩個零點，則

④若直線>=加與曲線y=/（x）恰有2個交點，貝|a<0.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

2x

25.（2024北京朝陽高二下期末）已知函數(shù)~給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)"X）在（-8,2）上單調(diào)遞增；

②函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

③/'（x）+2>0恒成立；

④函數(shù)y=/（x）-x+l有且只有一個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

26.（2024北京東城高二下期末）函數(shù)/（同=7三+111工的定義域是.

27.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）已知函數(shù)大功的定義域為R,滿足/（x+2）=軟尤），且當(dāng)

xe（0,2］時，y（x）=2r-3.有以下三個結(jié)論：

@f（-1）=-g；

②當(dāng)aC（1,g］時，方程4龍）=a在區(qū)間［-4,4］上有三個不同的實根；

③函數(shù)4尤）有無窮多個零點，且存在一個零點6GZ.

其中，所有正確結(jié)論的序號是—.

參考答案

1.C

【分析】由題可知截取第〃次后，剩余的棍棒長為5尺，然后列不等式可求出W的值.

【詳解】由題意可知第一次剩余的棍棒長度為巳尺，

則第n次剩余的棍棒長為/尺，

3333

由^^<0.33,解得

2

所以當(dāng)剩余的棍棒長度小于1厘米時，需要截取的最少次數(shù)為7.

故選:C.

2.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

01

【詳解】因為a=lgg<lgl=0,c==>3>3°=P

即4<0,c>b>l,

所以c>b>a.

故選：A

3.C

【分析】利用幕函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性判斷AB；利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷CD.

【詳解】對于A,函數(shù)/(工)=；在(0,+8)上單調(diào)遞減，A不是；

\Jx

對于B,函數(shù)/(%)=(%-1)2在(0,1)上單調(diào)遞減，B不是；

對于C,函數(shù)/(%)=1群在(0,+8)上單調(diào)遞增，C是；

對于D,函數(shù)/(x)=(夕在(0,+8)上單調(diào)遞減，D不是.

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對于A：==則〃尤)在［-雙1］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

故A錯誤；

對于B：/?=-,則“X)在(F,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

X

對于C：〃x)=2f=g］,則“X)在R上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對于D：f(x)=?,則在［0,”)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

5.D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想來作圖分析零點大小.

33

【詳解】由函數(shù)零點可知：2"+尤=0o2'=-x,log2x+x=0?log2x=-x,x+x^O^x^-x

3

利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造三個函數(shù)％=2',%=log2尤,%=x,它們與V=t的交點橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的三個零點

a,b,c.

由圖可知：a<c<b,

故選：D.

6.A

【分析】令/(x)=0即可求解.

【詳解】令/(x)=lnx—l=O,可得lnx=l=lne,解得X=e,

故函數(shù)/(x)=lnxT的零點是e.

故選：A.

7.C

【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，結(jié)合指數(shù)運算計算即得.

【詳解】由題45=由得甘=5,即22'=5,而2"=3,

所以2.=備=|.

故選：C

8.D

【分析】舉反例排除ABC,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可說明D.

【詳解】取尤=。>>，則Llnx,lnv無意義，故ABC錯誤；

X

對于D,由指數(shù)函數(shù)y=2,在實數(shù)域上關(guān)于/單調(diào)遞增，且彳>>,所以2'>2%故D正確.

故選：D.

9.C

【分析】利用特殊值判斷A、D,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用幕函數(shù)的性質(zhì)判斷C.

【詳解】對于A：若a=2,6=1滿足。>8，但是!<1,故A錯誤；

ab

對于B：因為y=在定義域R上單調(diào)遞減，當(dāng)時,故B錯誤;

對于C：因為y=V在定義域R上單調(diào)遞增，當(dāng)時〃3>方3,故c正確；

對于D:當(dāng)C=0時〃°2=歷2,故D錯誤.

故選：C

10.B

【分析】根據(jù)題目給的溫度公式，代入計算即可.

【詳解】由已知51=15+(62—15)H27=15+(62-15)1%,

匚匕?10.3610.12

所以％=---In——,t=-----In—,

134722347

匚匚…10.1210.3610.

所以-%=---In-----1----In——=—ln3o?3.7

213473473

故選：B.

11.A

【分析】首先求出函數(shù)解析式，再令y>4求出相應(yīng)的/的取值范圍，即可得解.

【詳解】當(dāng)0型43時，則y=*=2t,

當(dāng)3<三12時，設(shè)函數(shù)為,=玄+》，

6=3k+bk——9

將(3,6),(12,0)代入可得解得3,所以尸-京+8,

左+

0=12Z?b=8'

2t,0<t<3

所以y=<2

—力+8,3</<12

.3

2t>4、一一Z+8>4

要使>24,則成<,3,解得2W/W3或3v，K6,

Q<t<3

3<t<12

綜上所述：2<t<6,

所以有效所持續(xù)的時長為6-2=4個小時.

故選：A.

12.D

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解1因為5,〉4,=2>3,，

11111

22

所以log95=10g325=-log35=log35>log32>log33=-log33=-,

所以6>a>c.

故選：D

13.D

【分析】由/(x)<0可得logzXVx-l,即y=x-l的圖象在>=腕2》圖象的上方，畫出；y二咋?》,〉=x-l

圖象，即可得出答案.

【詳解】因為/(x)=log2xr+l的定義域為(0,+8),

因為/。)=1幅1—1+1=0，/(2)=log22-2+l=0,

由〃x)<0可得log?無<xT,即y=x-i的圖象在y=廄2尤圖象的上方，

畫出y=log2x,y=x-l的圖象，如下圖，

由圖可知：不等式/(%)<0的解集是(0,1)"2,+。).

故選：D.

14.D

【分析】易知，它們的初速度相等，故。點的速度為IO,，然后可以根據(jù)>=1()7(1)俞，求出尸在中點、三等

e

分點時的X,則。點移動的距離可求，結(jié)合速度、時間可求.

【詳解】解：由題意，尸點初始速度107即為。點的速度.

當(dāng)尸在靠近A點的三等分點時：-xl07=107(i#,解得：x=107ln|,

3e2

當(dāng)尸在中點時：-xio7=107F)107,解得：x=107ln2,

2e

34

所以經(jīng)過的時間為：口07(ln2-ln0+107=ln"

故選：D.

15.C

【分析】根據(jù)零點存在定理得出/。>/(2)<0,代入可得選項.

【詳解】由題可知：函數(shù)〃刈=2，-.-。單調(diào)遞增，若一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則需：/(l)-f(2)<0,

即一不一。[*]2?—,—〃)<0,解得0v〃v3,

故選：C.

【點睛】本題考查零點存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【分析】結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)求y=-4(無<。)的函數(shù)值的范圍，結(jié)合條件及對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性列

X

不等式求a.

【詳解】當(dāng)x<0時，/(%)=---

X

由反比例函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)x<0時，/(x)>0,

所以當(dāng)xNO時，/(x)=lg(x+a),故a>0,

又函數(shù)/(x)=lg(x+a)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)xNO時，/(x)=lg(x+a)的函數(shù)值的最小值為1g。，

因為/(x)的最小值為0，

所以lga=O,

所以a=I.

故答案為：1.

17.｛0｝［；,+8)

【分析】根據(jù)給定條件，按cWO和c>0分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域求解即得.

【詳解】當(dāng)cVO時，若x<0,貝lJ/(x)=2'-2c22'>0,

若x?O,則f(x)=x-cN-c,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，

則當(dāng)c=0時，/Q)恰有一個零點，因此c=0；

當(dāng)c>0時，若x<0,則/(x)=2X-2ce(-2c,l-2c),

若xNO,f(x)=x-c>-c,顯然—c<0,此時x-c=0有一個解，

由/(x)恰有一個零點，則當(dāng)且僅當(dāng)1-2cW0,解得

2

所以C的取值范圍是｛。卜［g,+°0).

故答案為：｛。｝［―,+co)

18.①②④

【分析】分析函數(shù)/Q)的性質(zhì)求出值域判斷①；求出方程的根依次判斷②③④即得.

【詳解】對于①，函數(shù)/。)=|1詡+6,由于|lnx|20,故

因此函數(shù)/(無)的值域為由,+⑹，①正確；

對于②，當(dāng)“>》時，方程/(x)=ao|lnx|=a-6,解得x=e~或刀=/"，

而0<e"",方程/(無)=。有兩個不等實根，②正確；

a

對于③，當(dāng)a>0時，IInx|=a,不妨令Xj=e-",x2=e.,則玉<1<%，

則無i+x,=e-“+e"=《+e",由于y=/+1在(1,舟)上單調(diào)遞增，

et

故國+%隨e”的增大而增大，③錯誤;

a

對于④，當(dāng)。＞0時，|ln(x+l)|=a,不妨令尤]=—"-1,x2=e-1,

則x1x2+%1+x2=(%1+l)(x2+1)—1=e-e0—1=0,④正確，

所以所有正確結(jié)論的序號為①②④.

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：①直接法：直接求出式x)=0的解；②圖象法：作出函數(shù)式x)

的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它

們的公共點個數(shù).

19.(0,1]

【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)得到不等式組，解得即可.

【詳解】對于函數(shù)f(x)=lgx+&^,則—＞0,解得。＜XW1，

所以=的定義域為(0』.

故答案為：(0,1]

20.(0,+co)

【分析】根據(jù)定義域的求解方法即可.

【詳解】要使函數(shù)〃尤)=里■有意義，貝解得尤＞0,

所以函數(shù)“X)的定義域為(0,—).

故答案為：(。,+8).

21.①③④

【分析】分l＜a＜2,a=2,。＞2四種情況作出函數(shù)/'(x)的簡圖，然后對四個結(jié)論逐一判斷

正誤.

【詳解】對于①：當(dāng)。R2時，顯然，當(dāng)x＞l時，/(x)無零點；

當(dāng)XVI時，由，(無)=?？傻?=ln無=0,所以的零點是0.故①正確；

對于②：當(dāng)時，簡圖如下：

當(dāng)1＜。＜2時,簡圖如下:

由圖可知，若/（X）無最小值，貝或l<a<2.故②錯誤；

對于③：若存在實數(shù)使得對任意的xeR,都有

由圖可知l<a<2或。=2,此時存在使得〃恒成立，則M的最小值為1,故③正確；

對于④：由圖可知，只有當(dāng)。>2且0<。-2<1即2<。<3時，方程/（x）=“-2才有三個不相等的實數(shù)根.

不妨設(shè)三個根由小到大依次為4，%，w，顯然W=2.

由/（Xi）=/（X2）得1-a*=<2他一1,故a*+q*=2,且占w%,

所以。=罐,.優(yōu)2<［優(yōu)優(yōu)］=1,故%+Xz<0,從而%+%+三<2.故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：分。l<a<2,a=2,a>2四種情況作出函數(shù)/（x）的

簡圖.

22.［-3,1）

【分析】函數(shù)的定義域就是使得式子有意義的x的取值所構(gòu)成的集合，列出相應(yīng)的不等式組，求得結(jié)果.

【詳解】要使函數(shù)有意義，需要。、八，解得-3Vx<l,

[x+3>0

所以函數(shù)的定義域為卜3,1).

故答案為：[-3,1).

23.-/0.5

2

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接代入計算可得.

【詳解】因為/(x)=log2(x+3)-2"

所以"-l)=log2(-l+3)_2T=l_；=；

故答案為：g

24.①③/③①

【分析】把。=0和a=7代入解析式，分析單調(diào)性即可判斷①②，

令/。)=0,解出零點，判斷零點是否在區(qū)間內(nèi)，對含。的零點分有無意義，是否在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)進行討

"3

論，即可判斷③，把④轉(zhuǎn)化為g(x)=6恰有兩個零點，解出零點，易得取。=-2時有3個

-x-ax,x<a

零點，可判斷④錯誤.

1—%,%>0

【詳解】①當(dāng)。=0時，〃了=；…，

[—X,x<0

當(dāng)xKO時，/(%)<0,當(dāng)％>0時，/(X)<0,故/(%)max=0,故①正確；

②當(dāng)”7時，小)=尸丁，:二

[-x,x<7

當(dāng)xKO時，/(%)=——在(—8,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x47時，/(尤)=-/在(0,7)上單調(diào)遞減，故/(x)不是增函數(shù)，故②錯誤；

/、(一力,X>0

③當(dāng)。=0時，"x)=2/c只有一個零點，

[—X,x<0

令函數(shù))=以3_%=0,角軍得再=0,x2=.-,X3=-J-

VaVa

當(dāng)avO時，函數(shù)y=-爐在(-8,Q]上沒有零點，

々，退無意義，故函數(shù)丁=以3—x在3,內(nèi))上有且只有一個零點為0,即了。)有且只有一個零點，故不符合

題意;

當(dāng)4〉0時，函數(shù)了=-12在(-8,0上有1個零點為0,

玉=0,匕=一、，不在%范圍內(nèi)，

Va

當(dāng)Ovavl時，x2=J->1>4/,故函數(shù)丁=依3一%在3,+OQ)上有一個零點，即/(%)有兩個零點，符合題

Va

用、，

當(dāng)a>1時，x'-<l<a,故函數(shù)y=一x在3,也)上沒有零點，即/(x)有且只有一個零點，故不符

2a

合題意;

綜上所述：當(dāng)Ovavl時，/(%)有兩個零點.故③正確;

④直線產(chǎn)依與曲線y=恰有2個交點,

ax3-ax-x,x>a-人=一

可轉(zhuǎn)化為g(尤)=2恰tA有兩個零點.

-x-ax,x<a

令函數(shù)y=以3_〃％_%=0,角軍得玉=o,9二l+-,x'1+-,

a3a

當(dāng)〃=一2時，>a,x2>a,x3>a,函數(shù)y=一奴一工在(〃，內(nèi))上有3個零點,

令y=-%2+2%=0得七=。,%4=2,故函數(shù)y=—％2+2%在上沒有零點，

即g。)有3個零點，故④錯誤.

故答案為：①③.

25.①③④

2x2x4

【分析】對于①，先由xe(-oo,2)得/仃)=不3=-丁7=-2-:7,再研究其單調(diào)性；對于②，求出

A—ZA—ZA—Z

〃T+4),判斷/(-x+4)=/(x)是否成立即可；對于③，去絕對值符號化簡解析式分段分析即可得解;

對于④，令/(力-尤+1=0,