2022-2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

平面解析幾何章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）已知直線/：y=Z（x+l）與0（7:（》-1）2+丁=4交于人、8兩點(diǎn)，則

"左=±1”是"A/5C的面積取得最大值”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

2.（2024北京東城高二下期末）已知直線/：爾7-2m+5=0被圓"-3）2+（廣4）2=4截得的弦長(zhǎng)為整

數(shù)，則滿足條件的直線/共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

3.（2024北京東城高二下期末）2024年3月20號(hào)，我國(guó)成功發(fā)射鵲橋二號(hào)中繼衛(wèi)星，其通過一個(gè)大型

可展開的星載天線，實(shí)現(xiàn)了月球背面與地球之間的信號(hào)傳輸.星載天線展開后形成一把直徑（口徑）為

4.2m的“金色大傘”，它的曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入接收

天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)廠處.若“金色大傘”的深度為0.49m,貝廣金色大傘”的邊緣A點(diǎn)到焦點(diǎn)廠的距離為

（）

深度

A.2.25mB.2.74mC.4.5mD.4.99m

二、填空題

4.（2024北京海淀高二下期末）已知拋物線無(wú)2=4y的焦點(diǎn)為過尸的直線/交拋物線于A、3兩點(diǎn)，

若|A月=4忸耳，則|AF|=.

5.（2024北京清華附中高二下期末）已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)

B（-2,0）,當(dāng)黑取得最小值時(shí)，|AF|=；此時(shí)"BP內(nèi)切圓的半徑

為.

6.（2024北京東城高二下期末）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,一條漸近線方程為>=氐，則

C的方程為.

三、解答題

22

7.（2024北京海淀高二下期末）已知橢圓C:\+2=ig>b>0）的右焦點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,0）,兩個(gè)焦點(diǎn)與

ab

短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

⑴求橢圓C的方程和離心率；

⑵若過點(diǎn)F與點(diǎn)M（4,m）（m^0）的直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)M且與直線Q4平行的直線交九軸于

MP

點(diǎn)N,直線與直線于點(diǎn)P,求的值.

PN

8.（2024北京第二中學(xué)高二下期末）已知橢圓C：0+}=l（a＞6＞O）的離心率為逅，以橢圓C的四個(gè)

ab23

頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/是圓/+/=：的一條切線，且直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，求|鉆|的最大值.

22

9.（2024北京東城高二下期末）已知橢圓E:=+與=1（。＞。＞0）,過點(diǎn)（0,6），A,B分別是E的左頂

ab

7T

點(diǎn)和下頂點(diǎn)，尸是E右焦點(diǎn)，Z-AFB=—.

⑴求E的方程；

（2）過點(diǎn)尸的直線與橢圓E交于點(diǎn)?，Q,直線相，AQ分別與直線1=4交于不同的兩點(diǎn)M,N.設(shè)直線

FM,的斜率分別為左，左2，求證：左為定值.

22

10.（2024北京延慶高二下期末）己知橢圓￡:=+2=1（。＞匕＞0）的焦距為4點(diǎn)，以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)

ab

為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為16.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)S（0,1）的直線/交橢圓E于p,。兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為是否存在定點(diǎn)。，使得胃=]?

若存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

11.（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）已知點(diǎn)P（夜，⑹在雙曲線C：三一F—=1（°＞0）上，過C的

右焦點(diǎn)廠的動(dòng)直線/與C交于A,8兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A，4分別為c的左、右頂點(diǎn)，。為c上異于A，4的點(diǎn)，求為A（左表示斜率）的值；

（2）證明以AB為直徑的圓恒過X軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案

1.C

【分析】利用三角形的面積公式可得，當(dāng)NAC3=90。時(shí)，VA3C的面積取得最大值，利用等面積求出圓心

C到直線/的距離，

再由點(diǎn)到直線的距離公式求出k的值，最后結(jié)合充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由OC:(x—l)2+y2=4,可得圓心C(1,O),半徑r=2,

1191

2

又S?ABC=-M-|CB|sinZACB<-|CA|=?r=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ZACB=90。時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)\AB\=JcA『+|C砰=272,

由等面積可得點(diǎn)C到直線/的距離d=一南一”‘

%-0+4

又點(diǎn)c到直線/的距離［==0,

Jr+1

解得，k=±l,

因此“左=±1"是"VABC的面積取得最大管，的充分必要條件.

故選：C.

2.C

【分析】首先求得［=仁富,又"=,而直徑是4,所以分〃=4,3,2,1進(jìn)行討論

即可求解.

【詳解】圓（無(wú)一3）2+（y—4=4的圓心、半徑分別為（3,4）/=2,

|3/22—4—2祖+51Im+11

圓心（3,4）到直線l：mx-y-2m+5^0的距離為d=~~

Vm+1+

設(shè)直線/：如-y-2m+5=0被圓（x-3尸+（y-4『=4截得的弦長(zhǎng)為“，

由于直線被圓所截得的弦長(zhǎng)不超過直徑長(zhǎng)度2r=4,故分以下情形討論:

而直線/:〃a-y-2加+5=0是斜率為加且過定點(diǎn)(2,5)的直線，直線/由優(yōu)唯一決定,

綜上所述，滿足條件的直線/共有3條.

故選：C.

3.B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，再結(jié)合拋物線的定義求值即得.

【詳解】依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)4049,2.1)

設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則2.『=2px0.49,解得2P=9,

99

拋物線>2=9尤的焦點(diǎn)/6,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,|A尸1=0.49+2.25=2.74,

-44

所以“金色大傘”的邊緣A點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為2.74m.

故選：B

4.5

【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即可得解.

【詳解】拋物線Y=4y的焦點(diǎn)為P(0,l),設(shè)直線/的方程>=丘+1,4(%,%),8(%,當(dāng))，

由消去了得d-4fcc-4=0,則卒2=-4,由|AF|=4怛刊，得％=-4%，

聯(lián)立解得占=4或%=-4,因此”=4,所以|AF|=%+1=5.

故答案為：5

y

5.44-2&

AFx+2

【分析】第一空，設(shè)A(x,y),由題結(jié)合拋物線定義可得而=J(x+2y+8x，后由基本不等式可得答

案；第二空，由第一空可得△加面積及周長(zhǎng)，即可得答案.

【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線為：x=-2.

設(shè)A(x,y),其中x>0.

由拋物線定義可得|A同=x+2,\AB\=J(x+2『+y2=J(x+2『+8x.

AFx+21

ABJ(x+2)2+8x\

則

匕十二12n+4

當(dāng)且僅當(dāng)工=：,即x=2時(shí)取等號(hào)，則|A耳=4；

由第一空取4(2,4),則14同="2+2『+4?=4夜,|A同=忸可=4,得"BF周長(zhǎng)為C=8+4后.

又3歹面積為S=g忸司?|以|=；x4x4=8.

設(shè)"BF內(nèi)切圓的半徑為廠，則：Cr=Snr=M=—應(yīng)■尸=4-2亞.

2C8+4V2

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程列式求出。力即可得解.

22

【詳解】雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)c的方程為1-2=1,g>0,6>0),

ab

22

由題意c=2,2=6,Q?+b=c,解得Q=1,/?=6,

a

2

所以C的方程為d-匕=1.

3

2

故答案為：V-匕=1.

3

7.⑴H=

432

（2）1

【分析】（1）由題可知c=l,再由條件兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形可知。=且，結(jié)合

a2

+02求解。力,c,進(jìn)而得到橢圓方程和離心率.

（2）設(shè)直線/的方程，聯(lián)立直線和橢圓，由韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系；根據(jù)平行得到斜率相等，可以寫出

直線的方程，進(jìn)而得到N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系

即可.

c=l

【詳解】（1）依題意得"，

a2

a2=b2+c2

角畢得。=21=6，

22

所以橢圓C的方程為土r+二v=1,離心率e=1g

432

（2）由于〃件0,所以直線/的斜率不為0.

設(shè)直線I的方程為：x="+l,4（再，%），8（X2，%），

聯(lián)立]:7y:二，消去無(wú)并整理得（3產(chǎn)+4）9+6作_9=0,

I十4y一

其中△=（6。2+4-9（3」+4）=36-4（/+1）＞0,

—6t—9

所以

對(duì)于直線/的方程，令1=4,得y=，，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

由于直線OA的斜率為%人=&,

X]

直線MN〃直線所以3N=—,

不

從而直線的方程為y-5="（x-4）,

txx

令y=0,有一一裳=竺f

tyxtyi

將％酒+i代入，得.蜘一3?+i）=竺am—一,

于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為N[皿二^,o]

由于直線OB的斜為％B=&,

x2

所以直線OB的方程為y=%x,

x2

因?yàn)閥=3+yg4）=3、+%（I）=+3f,

tx{txxtxx

.%一“i%+3—/

..—x----------------,

x2txx

即txly2x=tyix2x+x2-（3-ZyJ,

即《石力-乂9）x=尤2,（3—第），

其中占%=（電+1）%-（。1+1）K=>2-％,

所以）》=彳2，（3-。1），

馬-（3*|）

于是有XP=

《必-X）

%?（3-a）

從而得yp

《％f）

%（3-多）女巾一》）,

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

、《%一%）’4必-必）,

中%工、3%,（3-明）3（%-%）一2%-（3-。1）

因?yàn)?yp=1+0_2———-------=--------------------------------

tf（y2-yj4%-%）

其中分子為3y2-3%-6%+2供%=-3%-3%+2%%=-3（乂+%）+2。跖

-91818/

將%+%和代入，有-3-+2t-=0,

3?+43產(chǎn)+4—3?+4

因此有yM+yN-2yp=0,

即加+Mv=2yp,

即點(diǎn)P為點(diǎn)M和點(diǎn)N的中點(diǎn),

MP

故—1

PN

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于求出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)M,N,尸縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.

8.(1)—+/=1

3'

⑵4=2

【分析】(1)直接由題意建立關(guān)于c的方程組求出。，瓦c即可得解.

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)易得|AB|；當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)設(shè)其方程為/：y=kx+m,由直線/與圓相

切得參數(shù)上與相的關(guān)系式，由直線與橢圓相交聯(lián)立方程得韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式即可

求解.

cy/6

a3a=A/3

【詳解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為。，依題意a2=b2+c2,b=l

y/a2+b2=2c=^2

二所求橢圓方程%+

(2)①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/:x=土且，將其代入片+丁之得^二土走,

232

故可得==

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=kx+m,A(X1,%),3(%,%)，

由AB與圓爐+V二］相切，所以圓心。到AB的距離d==*

4717F2

所以田=|(l+fc2),

y=kx+m

■-22得(1+342)/+6機(jī)履+3機(jī)2_3=0,

由，x

丁'一

所以△=(6,泌y-4x(1+3公卜(3m2-3)=36nrk2-(36rrrk2-36k2+12m2-12)

3

=36/-12療+12=36/+L2)+12=27r+3>0,

設(shè)A(XQJ，8(々，%)，則%+%=-W，%%=含宏

1十3K1?3K

6mk?,3/n2-3

-4x---------

1+3〃11+3左2

2222

36/7?左2-4(3〃/-3)(1+3左，'36nrk-(367?;F-36^+12m-12

=J1+42

(1+3/了(1+342)2

3

36二一12x9(i+k2)+12_21k2+3

24_

=y/l+k(l+3/)2'

(l+3%2)2

3^2+-^+6j+12

i

9左2+產(chǎn)+6

又因?yàn)?>石，所以|明1Mx=2.

9.（1）工+J1；

43

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出4c即可得E的方程.

（2）設(shè)出直線尸。的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由直線AP,A。求出M,N的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的

坐標(biāo)表示計(jì)算即得.

22_

【詳解】（1）由橢圓石：3+2=1（。>6>0）過點(diǎn)（0,指），得b=5

ab

jr,_____

由/AFB=],得橢圓半焦距c=l,則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)4=后壽=2,

22

所以E的方程為土+匕=1.

43

（2）顯然直線尸。不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為了=陽(yáng)+1,尸（士,%）,。（工2，%），

x=my+l

由消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,顯然A>0,

3X2+4/=12

-6m,直線"的方程為〃=鼻5+2）,

令I(lǐng),得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)％=器=上,同理點(diǎn)N的縱坐標(biāo)“念P

因此欣嚀3=（咐+W短+3）=4%+；藍(lán)+%）+9

4.二9

—q3加+4-----=-1為定值,

9W

-^-+3m-^f^+9

3"+43m~+4

所以上隹為定值.

⑵存在，0（0-2）.

【分析】（1）根據(jù)焦距可求c，根據(jù)已知四邊形周長(zhǎng)及。、b、。的關(guān)系可求出°、b,從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

程；

（2）由題可知，若存在定點(diǎn)。，使得胃=萬(wàn)，等價(jià)于以尸。為直徑的圓恒過定點(diǎn)。.從而只需從直線/斜

率不存著時(shí)入手求出該定點(diǎn)。，斜率存在時(shí)驗(yàn)算而?方。=0即可.

4^a2+b2=16,

p2_12

【詳解】（1）由題意得2c=4應(yīng)，解得='

22

橢圓E的方程為土+乙=1.

124

\DM\1

（2）若存在定點(diǎn)。，使得向=］，等價(jià)于以尸。為直徑的圓恒過定點(diǎn)。.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，尸。為直徑的圓的方程為V+V=4①，

當(dāng)直線/的斜率為o時(shí)，令V=1,得*=±3,

因此PQ為直徑的圓的方程為x2+（y_l）2=9②.

fjy—Q

聯(lián)立①②，得二2猜測(cè)點(diǎn)口的坐標(biāo)為（0,-2）.

設(shè)直線/的方程為>=丘+1,

y=kx+\,

由，尤29得(3左2+1卜2+6日一9=0.

1124

設(shè)尸&,乂）,Q（%2,%）,則占+%=-占尤2=一/TI

:.DP-DQ=(xl,yl+2)(x2,y2+2)

=范+5+2)(%+2)

=玉%2+(g+3)(AX2+3)

=(左之+1)為尤2+3左(%1+々)+9

綜上，存在定點(diǎn)。（o,-2）,使得瑞=；.

11.（1）3

（2）證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為（T,。）

【分析】（1）將點(diǎn)p（0,若）代入雙曲線，解得片=1,設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為（％y）,表示出電化簡(jiǎn)即可得

出答案；

（2）以為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為則際.初=0,當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方

程為y=Mx-2）,聯(lián)立直線方程與雙曲線結(jié)合韋達(dá)定理可求出m=-1；當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

l:x=2f求出A,3,即可驗(yàn)證.

22

【詳解】（1）:點(diǎn)P（"⑹在雙曲線C：5_】^=1（4>0）上

adI2

23

.--4-^7=L解得/=1,

a'a'+2

2

???雙曲線c的方程為=則A（T,o