專題11圓錐曲線的方程

第33練橢圓

1維練基礎

1.（2022?浙江紹興?模擬）已知橢圓C:上+y2=〃4>o）,則該橢圓的離心率e=（）

4

A.且B.-C.3D.立

3222

【答案】C

【解析】解：因為橢圓C的方程為《+9=2（2>0）,即=+亡=1,

4-422

故C。=44—A=32,又e2*9=二=,故e=.

CT4242

故選：C.

1丫22

2.（2022?山東濟南?三模）"0<“<力”是“方程一二+匕=1表示的曲線為雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】方程一0+二=1表示的曲線為雙曲線，則a（2al）<0,解得

2a-la2

1y22

故"0<a<：”是“方程+v乙=1表示的曲線為雙曲線”的充要條件.

22a-la

故選：C.

22

3.（2022?山西大附中三模（文））已知橢圓C：千+'=1（。>人>0）的右焦點為（虛,0）,右頂點為A,O

為坐標原點，過。4的中點且與坐標軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點，若四邊形0MAN是正方形，則

C的方程為（)

B.f4=1x2v2

AA.——X+y2=11C3_]D.一+匕=1

37597

【答案】A

【解析】由橢圓方程可知人（。,0）,由四邊形0AMN是正方形可知M

22

[aa2

又點/在橢圓c上，則有12解得齊=3,

----------1----------=f

G*2b2

又橢圓C的右焦點為（夜,0）,貝隈=0，

結合橢圓中片解得/=3,及=1，則橢圓C的方程為工+丁=1.

3

故選：A

22

4.（2022?湖南湘潭?三模）橢圓￡:*+工=1的左、右焦點分別為B,F2,過點B的直線/與E交于A,

a。+2

B兩點，若△AB仍的周長為12,則E的離心率為（）

A.-B.-C.-D.-

3399

【答案】A

【解析】因為AAB鳥的周長為12,根據橢圓的定義可得44=12,解得。=3,

c2

則。2=。2_〃_2=4,所以C=2,則橢圓E的離心率為6=-二彳.

a3

故選：A.

5.（2022?上海靜安?二模）已知橢圓/+±=1（。>°）的一個焦點坐標為（0J），則。=.

a

【答案】V2

【解析】由焦點坐標（o,i）知焦點在y軸上，且解得。=夜.

故答案為：V2.

22

6.（2022?四川?廣安二中模擬（理））若橢圓，+上=1的焦點在>軸上，則實數左的取值范圍是

k-13—k

【答案】（1,2）

22

【解析】因為橢圓4+/=1的焦點在y軸上，

k—13—k

3-k>k-1

所以3-4>0,解得1（后<2,即實數上的取值范圍為（L2）.

Jt-l>0

故答案為：（1,2）

22

7.（2022?湖南?長郡中學一模）已知橢圓C：「+2=1（。>6>0）,若長軸長為6,且兩焦點恰好將長

ab

軸三等分，則此橢圓的標準方程為.

V22

【答案】土+匕V=1

98

【解析】橢圓長軸長為6,即2〃=6,得〃=3,

???兩焦點恰好將長軸三等分，

2c=；?2〃=2,得c=1,

.?.。2=〃2—^2=9—1=8,

22

???此橢圓的標準方程為土+匕=1.

98

r2v2

故答案為：—+^=1

98

2維練能力J//

1.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學模擬）已知橢圓G：二+}=1（°>6>。）與圓C2：x2+y2="l,過橢

ab5

圓C1的頂點作圓G的兩條切線，若兩切線互相垂直，則橢圓的離心率是（）

A6RV6「Cna

3422

【答案】B

【解析】由題意可知，若兩切線垂直，則過橢圓的左右頂點作圓的切線.

兩切線垂直，只需要ZAPO=45。,所以空=（立/08/=5a2n8c2=3/=>e=逅

5I2J4

故選：B

22

2.（2022?河北?石家莊二中模擬）己知耳，B分別為橢圓￡：2+方=1（。>6>0）的兩個焦點，尸是橢圓E

上的點，PF^PF,,且sin?P/y；3sin?P￡G則橢圓E的離心率為（）

AB.?CTD.@

2424

【答案】B

【解析】由題意及正弦定理得：附|=3|明,

令歸耳|=3|尸閭=3”，則3〃+〃=2a,9n2+n2=4c2,可得g/

所以橢圓的離心率為：—質.

故選:B

3.（2022?陜西西安?二模（理））如圖,圓柱。。1的軸截面AB與A是正方形，D,E分別是邊AA和8片的

中點，C是48的中點，則經過點C,D,E的平面與圓柱。。|側面相交所得到曲線的離心率是（

R0

八A?—2C.夜D.2

2

【答案】B

【解析】連接CO并延長交圓O于點M,過M作圓柱的母線連接CRDE

取。E的中點N,貝

'：BE//MF,KONO//MF

可知N為CF的中點，即CFcDE=N

：.C,D,E,尸四點共面

VCMVAB,CMLA\,則。W_L平面ABBA,則

根據題意不妨設底面圓的半徑為1,則CE=EF=DF=CD=&

則經過點C,D,E的平面與圓柱。。|側面相交所得到曲線為以CF為長軸、為短軸的橢圓

DE=2,CF=2A/2,即。=1,“=啦,c=1

離心率￡=走

a2

故選：B.

c

4.（2022?廣東汕頭?二模）已知橢圓C的左、右焦點分別為“，F2,直線A8過匕與該橢圓交于A,8兩

點，當A2AB為正三角形時，該橢圓的離心率為（）

「6

D.叵

2

【答案】B

【解析】設正三角形乙A8的邊長為加，

22

設橢圓的標準方程為：，+M=l（a>6>0），設左、右焦點分別為耳（-。，°），?（G。）,

設5耳=入，則有AK=m_%,

由橢圓的定義可知：BFX+BF2=2a^x+m=2a,

在中，由余弦定理可知：打工2=8邛+862-2明.B/Vcosg,

故選：B

22

5.（2022?重慶八中模擬）己知與心分別為橢圓C:土+匕=1的左、右焦點，直線x-3y+l=0與橢圓交于

43

P,。兩點，則APQ工的周長為.

【答案】8

22

【解析】解：橢圓c：?+q=i,所以c=7^3=l，即片（T,o）、耳（1,0）,

直線尤-3y+l=0過左焦點下（-1,0）,所以|尸司+|尸段=2a=4,|Q（+|QE|=2a=4,|PQ|=|「耳|+|Q4|,

所以。3=|PQ|+|QR|+|P段=|「胤+|Q￡|+|Q段+|尸周=4a=8；

故答案為：8

22

6.（2022?廣東汕頭?三模）已知正方形ABC。的四個頂點都在橢圓E：宏+方=1（。>6>0）上，若正方形

ABCD的一條邊經過橢圓E的焦點F,則E的離心率是__________.

【答案】立匚

2

y

M

1解析1—《「一》—,

22

如圖：不妨設AB經過右焦點尸，由對稱性可得C￡>經過另一個焦點,則4>=2c,又由二+±=1,解得

ab

h2

y—±—,

a

,解得￡=^1主5,又離心率ee（o,l）,

貝IJAB=也，貝IJ至=2c,即/=ac=〃一°2,整理得，￡[+￡-l=C

aa\a）aa2

則離心率為好二1.

2

故答案為：叵」.

2

22

7.（2022?河北張家口?三模）已知橢圓二+2=1（。>6>0）的左、右限皂點分別為K，F,AB是橢圓過點片的

ab2

弦，點A關于原點。的對稱點為A，1AB,且/耳|=可跖|,則橢圓的離心率為___________.

【答案】—

2

4

【解析】連接即,工，AF2,設忸耳卜機，

因為4。|=“巾。耳=|。耳，所以四邊形片4與4為平行四邊形，

而4月，A8,故四邊形耳416A為矩形，故Ag_LAB.

又|A耳|=|A&|=3m，由橢圓的定義可得|4E|=|A耳|=2。-加，忸閭=2a-〃?,

.-.|AB|2+\AF^=\BF^,gp(2a-2m)2+(3m)2=(2a-ni)2,

解得—.4是短軸的端點，且如—,e考.

故答案為：*

22

8.（2。22?廣東佛山?三模）已知橢圓C:予點61工為C的左、右焦點，尸是橢圓上的動點，則

內切圓半徑的最大值為

【答案】j3

22

【解析】VC:—+^=1,則。=51=4,c=3

2516

5產［的周長乙國松=尸耳+尸&+耳瑪=2。+2c=16

△耳Pg內切圓半徑片了烏陛，則△片尸名內切圓半徑的最大即為S"”最大

^FlPF2

顯然當P為短軸頂點時5聲嗨最大，此時5河%=gx6x2c=bc=12

故答案為：<3

2

3維練素養(yǎng)J//

22

1.（2022?湖南岳陽?模擬）已知橢圓++9=1（°>6>0）及圓O：x2+y2=a2,如圖，過點3（0。）與橢圓

相切的直線/交圓。于點A,若ZAOB=60°,則橢圓離心率的為（）

A.走B.；C.BD.-

3223

【答案】A

【解析】由題意得AAOB是等邊三角形，則直線/的傾斜角為30。，其斜率為且，故直線/的方程為

3

y=Bx+a,代入橢圓方程整理得似+^/]/+2叵/%+/°2=0,其判別式

3I3J3

A=當成-4（62+321尼2=0,化簡可得3C4_4/02+/=0,則3eJ4e2+l=0,又0<e<l,所以

e=>故選：A.

3

2.（2022?遼寧沈陽?三模）已知橢圓。：》2+4、2=機（〃7>0）的兩個焦點分別為耳耳，點尸是橢圓上一點,

若所?兩1的最小值為T,則可?西的最大值為（）

A.4B.2C.-D.1

42

【答案】D

【解析】設尸（%,%）,由。:/+42=加（祖>0）可知片（一半,0）,與（容,0）,

，所=（_2^-Xo,一%）,電一%），

二兩,%=一￥+%2+%2=-￥+；（4尤；+加一/2）=^--g/n,

-Vm<x0<4m,x0=0,可^理"的最小值為-g〃z=T,解得帆=2.

當％=±詬時，所?用的最大值為：x2-l=J.

故選：D

22

3.（2022?河北秦皇島?三模）已知橢圓C*+方=l（a>b>0）,網-后,0）為其左焦點，過點f且垂直于x軸

3

的直線與橢圓C的一個交點為A,若tan/AOF==（。為原點），則橢圓C的長軸長等于（）

2

A.6B.12C.473D.8石

【答案】C

【解析】因為橢圓C的左焦點為尸卜石,0）,所以c=百，

又AF垂直于x軸，A在橢圓C上，故可設4-c,%）,

所以M+H=l，又/=從+'2,所以聞=貴，

/b1a

3

又tan/AO尸=—

2

b13

所以條-=：.a2=b2+3,

73a2

解得卜=2若從而勿=46，

b=3

故選：C.

2

4.（2022?江蘇鹽城?三模汜知點P為橢圓C：d+二=1（0<6<1）的上頂點，點A,8在橢圓上，滿足R4_LPB

b

且上4=尸3,若滿足條件的△皿有且只有一個，則C的離心率的取值范圍為（）

【答案】B

【解析】設直線P4：y=kx+b,貝I］尸8：丁=一工+6,而尸（0,》），

k

不妨取%>0,直線上4與橢圓聯(lián)立，消去y得92+左2*+2劭x=o,解得x=

2kb2k2b2kb)+6

所以A+b則B

FTP'k2b2+\

(2kbf(2k*(2的)2(28)2

因為所以1+22

[k+b^{k+b^(^2+I)2+(^2+I)2

整理得，化-1）的2標+伊—1伏+廿］=0,易知左=1符合,

因為滿足條件的4R4B有且只有一個,

所以廿左2+儼一1袂+02=0無％=i之外的解，整理得上+<+1=

Ku

所以±V2、［J+1=3,即"

b1\kL3；

所以離心率e=Jl-*

故選：B

22

5.（2022?山東?勝利一中模擬）已知橢圓C:1y+}=l（a>6>0））的左、右焦點分別為耳（-G0）和

g為C上一點，且8的內心為/5，1），則橢圓C的離心率為（）

A.-B.-C.1D.-

3525

【答案】D

【解析】連接好/，加/，延長,交x軸于E,則

Ml\_\MF,\_\MF\

2又I(x,l),

國=麗=兩2

MI\\MF+MF\_2a

所以t2

IE\―\FtE+F2E\-2c

即2b=a+c,

(a+c)2

Xb2=a2-c2

4

c3

所以3a=5c,即上=工

a5

故選：D.

6.（多選題）（2022?江蘇?阜寧縣東溝中學模擬）已知橢圓E:^+y2=l的左右焦點分別為片，為，直線

了=根卜0＜加〈也）與橢圓E交于A,8兩點，C,。分別為橢圓的左右頂點，則下列命題正確的有（）

A.若直線CA的斜率為4,8。的斜率心，則左

B.存在唯一的實數，"使得△人耳工為等腰直角三角形

c.麗?亞1取值范圍為（T1）

D.周長的最大值為4a

【答案】BD

【解析】將》=加代入橢圓方程，求出y=±Jl—[,其中q-拒,0）,。（后,0）,

「=（m+吟（m一塔=?-2=5

由題意得：4（一1,0）,月（1,0）,當%=±1時,y=4,此時M司=（刈工居

所以當可，耳是直角頂點時，不滿足等腰性，故不成立,

當點A是直角頂點時，由對稱性可知：此時A在上頂點或下頂點，由于b=c=l,故滿足題意，所以存在唯

一的實數機使得△△百鳥為等腰直角三角形，B正確;

一，、、r，Lm,22m2

不妨設A—,貝!1麗?戀'=/一1+1-^=

2

__加2

因為所以麗?土=5■€（（）』，C錯誤;

如圖，當直線X="-四＜機＜0）經過焦點尼時，此時AA期的周長最大,

等于|然|+|伍|+忸耳|+忸周=4a=4近,其他位置都比4a小，

例如當直線尤=m（-V2<m<塔與橢圓相交于A',B',與x軸交于C點時，

連接A'B，由橢圓定義可知：|A凰+|A閭=2a,顯然|A閭>|AC|,

同理可知:\AF[\+\A'F2\+\B'F[\+\B'F2\<4a=4^,

故AA8￡周長的最大值為4后，D正確

故選：BD

22

7.（多選題）（2022?福建?莆田二中模擬）已知橢圓C：A+與=1（。>2>0）,焦點4（c,0）,凡（c,0）（c>0）,

ab

o1

下頂點為艮過點耳的直線/與曲線C在第四象限交于點加，且與圓A:（x+2c）-+y2=wc2相切，若

麗.唬=0,則下列結論正確的是（）

A.橢圓C上不存在點Q,使得。片,。鳥

B.圓A與橢圓C沒有公共點

C.當。=3時，橢圓的短軸長為2#

D.F2B±FtM

【答案】AC

【解析】如下圖，設直線/方程為y=Mx+c）水<0,圓心A到直線/距離d=上L=2c,解得上=_走，

Jr+123

則耳外=30。，且腿.鼻耳=0,得眼用=2眼引=￥^,根據橢圓定義可得.=后:，b=也，可得

sinNOBF,=叵<也=NOBB<45。=3BF,<90。,又NF、QF,"F、BF,,故A正確；圓心A到橢圓左頂

32’「

點的距離2c-a=（2-石）c<gc=r,圓A與橢圓C有公共點，故B錯誤；當。=3時，b=屈,橢圓的短軸

長為2?,故C正確；原居-=72,k-kBF^-\,所以不垂直，故D錯誤.

C

《+上=1的左，右焦點，P為C上在第二象限內一點,

95

以耳鳥為直徑的圓交尸片于點A,若0A〃尸區(qū)(0為坐標原點)，則△尸片乙的面積為，直線尸耳

的方程為.

［答案］715伺-y+2A=0

【解析】解：根據橢圓的性質可得2。=6,2c=4,焦點坐標為耳(-2,0),工(2,0),

故圓。的方程為：%2+/=4,圓。的半徑為2,即閨O|=|Q4|=2

因為°4〃壁，故\E婕O\=|O焉4|=1，則.由.I，

又點P在橢圓C上，故國H+因其=%=6,則附=2,

忙片『+閨月2Tp周［2?+4?一4?

在△尸￡鳥中,由余弦定理得cos/P￡K=

2?.娟?耳月|2x2x44

故sinNP￡6=

則與叼產;|明?陽用sinNP/但=；x2x4><W=&?.

因為cosNPaK=:,sin/尸月月=空，故tan/P耳B=后,即直線尸4的斜率為后，

又直線尸耳過點1(-2,0),故直線用的方程為y-0=JI?(x+2),整理得JI?x-y+2岳=0.

故答案為：??；Ax-y+2/=0

9.(2022?湖北?荊門市龍泉中學二模)歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年325年)，

大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學

性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，

其中法線，表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為

月(-C,0),工(c,0)(c>0),由匕發(fā)出