佛山三中自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有最大值的是：

A.\(f(x)=x^2-4x+4\)

B.\(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\)

C.\(f(x)=-x^2+4x-5\)

D.\(f(x)=\frac{1}{x}+2\)

2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n=2n^2-3n+1\)，則\(a_4\)的值為：

A.11

B.15

C.19

D.23

3.在三角形ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足\(a^2+b^2=c^2\)，則角C的度數(shù)為：

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

4.下列不等式中，恒成立的是：

A.\(x^2-4x+3>0\)

B.\(x^2-4x+3<0\)

C.\(x^2+4x+3>0\)

D.\(x^2+4x+3<0\)

5.若\(x+y=5\)，\(x^2+y^2=23\)，則\(x^3+y^3\)的值為：

A.40

B.50

C.60

D.70

6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為\((2,3)\)，點(diǎn)Q在直線\(y=2x+1\)上，且\(PQ\)的中點(diǎn)為\((3,2)\)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：

A.\((2,5)\)

B.\((4,3)\)

C.\((4,5)\)

D.\((6,3)\)

7.若\(a^2+b^2=1\)，\(ac+bd=0\)，則\(a^2+b^2+c^2+d^2\)的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

8.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，\(a_5=11\)，則\(a_8\)的值為：

A.17

B.19

C.21

D.23

9.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=6\)，\(abc=8\)，則\(b^2\)的值為：

A.4

B.6

C.8

D.10

10.在平面直角坐標(biāo)系中，直線\(y=2x-1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交于兩點(diǎn)A、B，則線段AB的長度為：

A.\(\sqrt{2}\)

B.\(\sqrt{3}\)

C.\(\sqrt{5}\)

D.\(\sqrt{6}\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項(xiàng)中，屬于實(shí)數(shù)域的有：

A.\(\sqrt{9}\)

B.\(\sqrt{-1}\)

C.\(\pi\)

D.\(\frac{1}{0}\)

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有：

A.\(f(x)=x^3\)

B.\(f(x)=x^2\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=|x|\)

3.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a,b,c\)是等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.\((a+b+c)^2=9abc\)

B.\(a^2+b^2+c^2=3ab+3bc+3ca\)

C.\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

D.\(a^2+b^2+c^2=3abc\)

4.下列各點(diǎn)中，位于直線\(2x-3y+6=0\)上的有：

A.\((0,2)\)

B.\((1,3)\)

C.\((-1,0)\)

D.\((2,1)\)

5.下列命題中，正確的有：

A.如果\(a>b\)且\(c>d\)，則\(a+c>b+d\)

B.如果\(a>b\)且\(c>d\)，則\(ac>bd\)

C.如果\(a>b\)且\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)

D.如果\(a>b\)且\(c>d\)，則\(a-c<b-d\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+4x-6\)的圖像與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且\(A(1,0)\)，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______。

2.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_5=14\)，則該數(shù)列的公差\(d\)為______。

3.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前三項(xiàng)為\(a,ar,ar^2\)，若\(a+ar+ar^2=8\)，\(ar^2=2\)，則該數(shù)列的公比\(r\)為______。

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為\((3,4)\)，點(diǎn)Q在直線\(y=2x+1\)上，且\(PQ\)的長度為5，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______。

5.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a,b,c\)是等比數(shù)列，則\(a^2+b^2+c^2\)的值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

\[f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+1\]

2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，且\(a_1=3\)，\(a_5=19\)。求該數(shù)列的前10項(xiàng)和\(S_{10}\)。

3.解下列方程組：

\[\begin{cases}

2x-3y=8\\

4x+5y=2

\end{cases}\]

4.已知圓的方程為\(x^2+y^2-4x-6y+9=0\)，求該圓的半徑和圓心坐標(biāo)。

5.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求其在區(qū)間\([1,2]\)上的定積分\(\int_{1}^{2}f(x)\,dx\)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.A。\(f(x)=x^2-4x+4\)是一個(gè)完全平方公式，其圖像是一個(gè)頂點(diǎn)在(2,0)的拋物線，因此有最小值。

2.C。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_4=3+3\times4=19\)。

3.C。由勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)可知，這是一個(gè)直角三角形，因此角C是直角。

4.C。\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)，當(dāng)\(x=-1\)或\(x=-3\)時(shí)，函數(shù)值為0，因此恒大于0。

5.B。由等差數(shù)列的性質(zhì)，\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=5\times(5^2-5\times5+5^2)=50\)。

6.B。設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為\((x,2x+1)\)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(\frac{2+x}{2},\frac{3+2x+1}{2}\right)=(3,2)\)，解得\(x=4\)，所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為\((4,9)\)。

7.A。由\(a^2+b^2=1\)和\(ac+bd=0\)，可得\(a^2+b^2+c^2+d^2=1+1+1+1=4\)。

8.B。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(d=\frac{11-3}{5-1}=2\)，所以\(a_8=3+7\times2=17\)。

9.A。由等比數(shù)列的性質(zhì)，\(a\cdotar\cdotar^2=abc=8\)，可得\(a^3r^3=8\)，所以\(r=\sqrt[3]{\frac{8}{a^3}}\)，代入\(a+ar+ar^2=6\)解得\(r=2\)。

10.C。直線\(y=2x-1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程代入圓的方程，得到\(x^2+(2x-1)^2=1\)，解得\(x=\frac{1}{3}\)或\(x=\frac{2}{3}\)，對(duì)應(yīng)的\(y\)值分別為\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{4}{3}\)，因此AB的長度為\(\sqrt{(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})^2+(\frac{4}{3}-\frac{1}{3})^2}=\sqrt{2}\)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.A,C。實(shí)數(shù)域包括所有有理數(shù)和無理數(shù)。

2.A,C。奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)。

3.A,B。等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。

4.A,C。將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，驗(yàn)證是否滿足。

5.A,B。根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以判斷選項(xiàng)的正確性。

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.2。因?yàn)閈(A(1,0)\)，所以\(f(1)=0\)，即\(1^3-3\times1^2+4\times1-6=0\)，所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。

2.4。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(d=\frac{19-3}{5-1}=4\)，所以\(S_{10}=\frac{10}{2}\times(3+19)=110\)。

3.2。由等比數(shù)列的性質(zhì)，\(a\cdotar\cdotar^2=abc=8\)，可得\(a^3r^3=8\)，所以\(r=\sqrt[3]{\frac{8}{a^3}}\)，代入\(a+ar+ar^2=8\)解得\(r=2\)。

4.\((2,3)\)。將直線方程代入圓的方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)。

5.18。由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=6^2-2\times8=18\)。

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.\(f'(x)=12x^3-6x^2+10x-7\)。

2.\(S_{10}=110\)。

3.\(x=2,y=-\frac{2}{3}\)。

4.半徑為1，圓心坐標(biāo)為\((2,3)\)。

5.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2