綜合與實踐最短路徑問題【R·數(shù)學(xué)八年級上冊】學(xué)習(xí)目標(biāo)通過軸對稱變換、平移變換體會轉(zhuǎn)化思想.掌握直線同側(cè)兩點到線上一點的距離和最小問題，了解運用平移法解決造橋問題，在解決實際問題的過程中強化應(yīng)用意識.活動一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知日常生活中經(jīng)常會遇到最短路徑問題.從數(shù)學(xué)的角度看，這類問題抽象為幾何問題后，常常是求線段和的最小值問題.活動一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知兩點的所有連線中，_______最短.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，_________最短.線段垂線段本節(jié)課的探究任務(wù)我們稱這種問題為最短路徑問題.活動任務(wù)活動目標(biāo)會用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的最短路徑問題；會用數(shù)學(xué)知識、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；會通過邏輯推理解決數(shù)學(xué)問題；會用數(shù)學(xué)問題的結(jié)果解釋最短路徑問題，獲得最短路徑問題的答案.活動準(zhǔn)備1.查閱資料，列舉生活中的最短路徑問題.2. 了解光行最速原理：光線所行進(jìn)的“光程”最短，即光行進(jìn)的時間最短.探究活動活動一：牧民飲馬問題任務(wù)1如圖，牧民從A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B

地.牧民到河邊的什么地方飲馬可使所走的路徑最短？你能用自己的語言把問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？活動一：牧民飲馬問題提示：從數(shù)學(xué)的角度看，如果把河邊l

近似地看成一條直線，問題就是要在直線l

上找一點C，使AC

與CB

的和最小.在直線l上找一點C，使AC+BC最短，點C應(yīng)該在哪里？ABlC活動一：牧民飲馬問題（1）如果點A，B

是直線l

異側(cè)的兩個點，如何在l

上找一點C，使AC

與CB

的和最?。緼Bl兩點之間，線段最短C【點擊打開幾何畫板】活動一：牧民飲馬問題（2）在任務(wù)1中，點A，B

在直線l

的同側(cè)，你能利用軸對稱，把這個問題轉(zhuǎn)化為（1）中的問題嗎？【點擊打開幾何畫板】ABlB'①找到點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，其與直線l的交點就是所求點C.AC+BC就是最短路程.C探究活動活動一：牧民飲馬問題證明你在任務(wù)1中得到的結(jié)論.任務(wù)2（1）點A，B

是直線l

異側(cè)的兩個點：ABlC證明：如圖，在l

上另外任取一點C′.在△ABC′中，AB<AC′+C′B，即AC+CB<AC′+C′B.所以AC+CB

最小.C'探究活動活動一：牧民飲馬問題證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合）連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．（2）點A，B

是直線l

同側(cè)的兩個點：ABlB'CC'軸對稱兩點之間線段最短歸納總結(jié)ABlCAlCB同側(cè)轉(zhuǎn)化異側(cè)實際問題數(shù)學(xué)問題將同側(cè)點轉(zhuǎn)化到異側(cè)化折為直針對訓(xùn)練如圖，元元星期天從A處趕幾只羊到草地邊某一處吃草，然后趕羊到河邊某一處飲水，之后再回到B處的家.假設(shè)元元趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計一條最短的路線，并指明羊吃草與飲水的位置.針對訓(xùn)練解：如圖，作出點A關(guān)于l1的對稱點E，點B關(guān)于l2的對稱點F，連接EF，分別交l1，l2于點C，D，連接AC，BD，則A→C→D→B是元元走的最短路線，其中點C是羊吃草的位置，點

D

是羊飲水的位置.活動二：牧民飲馬問題的拓展任務(wù)1課堂討論如圖，牧民從A

地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到A

處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展如圖，如果把草地近似看成射線a，河邊近似看成射線b，問題就是分別在射線a，b上分別找一點B，C，使AB+BC+AC最小.分別作點A關(guān)于a，b的對稱軸A′，A″，可得A′B=AB，A″C=AC.問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點B，C在什么位置時，A′B+BC+CA″最??？當(dāng)B，C分別為A′A″與射線a，b的交點時，AB+BC+AC″最小，為A′A″.Aab【點擊打開幾何畫板】活動二：牧民飲馬問題的拓展任務(wù)2課堂討論如圖，牧民從A

地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B

處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展這個問題可抽象為：如圖，在射線a，b

上分別找一點C，D，使AC+CD+BD

和最小.分別作點A，B

關(guān)于a，b

的對稱點A′，B′，可得AC=A′C′，BD=B′D.當(dāng)C，D

分別為A′B′與射線a，b

的交點時，AC+CD+BD

最小，為A′B′.ABab【點擊打開幾何畫板】活動二：牧民飲馬問題的拓展任務(wù)3課堂討論如圖，牧民每天從生活區(qū)的邊沿A

處出發(fā)，先到草地邊的B

處牧馬，再到河邊C

處飲馬，然后回到A

處.如何確定A，B，C

的位置，使從A

處出發(fā)，到B

處牧馬，再到C

處飲馬，最后回到A

處所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展這個問題可抽象為：如圖，在△DEF

中，A，B，C

分別為EF，DE，DF

上一動點，當(dāng)點A，B，C

在什么位置時，AB+BC+CA

最小.要使A′A″最小，則DA′最小即AD

最小，當(dāng)AD⊥EF

時，AD

最小.分別作點A

關(guān)于DE，DF

的對稱點A′，A″，有A′B=AB，A″C=AC，AB+BC+CA≥A′A″.在△DA′A″中，DA′=DA″=AD，∠A′DA″=2∠EDF（定值）.【點擊打開幾何畫板】DEF活動二：牧民飲馬問題的拓展任務(wù)4課堂討論舉出類似上述數(shù)學(xué)模型的其他現(xiàn)實問題并加以解決.課堂示例某班舉行文藝晚會，課桌擺成如圖所示的兩直排(圖中的AE，BO)，AE

段所在桌面上擺滿了橘子，OB

段所在桌面上擺滿了糖果，站在C

處的學(xué)生先拿橘子再拿糖果，然后到D處坐下.請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短.解：如圖，分別以AE，BO

為對稱軸作C，D

兩點的對稱點C′，D′，連接C′D′，與AE，BO

分別相交于P，Q

兩點，再連接CP，DQ.則路線CPQD

即為所求最短路線.課堂示例活動三：造橋選址問題如圖，A，B

兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A

到B

的路徑AMNB

最短？(假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)任務(wù)1活動三：造橋選址問題提示：可以把河的兩岸看成兩條平行線，由于河寬固定，所以可以考慮將點A（或B）按與河岸垂直的方向平移河寬的距離，使問題轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點之間，線段最短”解決的問題.活動三：造橋選址問題你能用自己的語言將它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？如圖，直線a

//

b，N

為直線

b

上的一個動點，MN⊥b，交直線a

于點M.當(dāng)點N

在直線b

的什么位置時，AM+MN+NB

最?。縜bABMN將AM

沿與河岸垂直的方向平移河寬的距離，點M

移動到點N，點A

移到點A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.當(dāng)點N

為A′B

與直線b

的交點時，AM+MN+BN最小，為A′B+MN.【點擊打開幾何畫板】活動三：造橋選址問題abABMN問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N

在直