課堂教學(xué)作為實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)的核心途徑，對培育人才具有決定性作用。然而，目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)仍存在若干問題：重視應(yīng)用而輕視內(nèi)涵，教師普遍過分強(qiáng)調(diào)知識的實(shí)用性而忽視對概念和命題深層次含義的闡釋，忽略對知識體系的全面構(gòu)建；教師過分追求教學(xué)過程的生動性，導(dǎo)致學(xué)生陷入“一聽就明白、一學(xué)就上手、一用就出錯”的窘境，無法靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，難以有效提升自主學(xué)習(xí)的能力；教學(xué)模式單一化，忽視了學(xué)生全面發(fā)展的需求及認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從而導(dǎo)致學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題方面的能力不足。為有效解決上述現(xiàn)實(shí)問題，本研究構(gòu)建了基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)實(shí)踐路徑，并在實(shí)踐中凝練其學(xué)科育人系統(tǒng)。一、CPFS結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵與價(jià)值數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)隱藏在知識體系和結(jié)構(gòu)中，概念和命題通過推理的方式形成了中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯體系。CPFS結(jié)構(gòu)是概念域（conceptfield）概念系（conceptsystem）命題域（propositionfield）、命題系（propositionsystem）形成的結(jié)構(gòu)[1]，是數(shù)學(xué)知識在學(xué)生頭腦中經(jīng)過梳理形成的條理化、網(wǎng)絡(luò)層次化的結(jié)構(gòu)，是經(jīng)過心理活動內(nèi)化了的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。概念域即某個(gè)概念的一組等價(jià)定義在個(gè)體頭腦中形成的知識網(wǎng)絡(luò)；概念系是存在某種關(guān)系的一組概念在個(gè)體頭腦中形成的知識網(wǎng)絡(luò)；命題域是針對某個(gè)特定命題的一組等價(jià)的命題網(wǎng)絡(luò)；命題系是存在一些特定數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的一組命題，某些沒有直接的推出關(guān)系但具有潛在聯(lián)系的命題網(wǎng)絡(luò)稱為廣義命題系。CPFS結(jié)構(gòu)是優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于知識的理解、遷移以及能力的發(fā)展。教師教好數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)是教學(xué)中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本要義[]?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以“學(xué)生”作為研究和實(shí)踐的基本出發(fā)點(diǎn)，堅(jiān)持“學(xué)生是教育主體”的基本立場，在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和立德樹人根本任務(wù)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展。基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，從知識結(jié)構(gòu)以及知識的關(guān)聯(lián)性出發(fā)，科學(xué)定位教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生開展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，突出數(shù)學(xué)的思想和方法，促進(jìn)學(xué)生形成終身學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和綜合運(yùn)用能力，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo)。二、基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)學(xué)科育人系統(tǒng)學(xué)科育人是學(xué)科教學(xué)的根本任務(wù)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使自己得到全面發(fā)展的過程[3?；贑PFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)學(xué)科育人系統(tǒng)包含“教師—教學(xué)路徑一教學(xué)課例一學(xué)生”四個(gè)要素和“育人情境創(chuàng)設(shè)一育人實(shí)踐路徑一育人實(shí)踐載體一育人實(shí)踐主體”四個(gè)維度（如圖1）。圖1基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)學(xué)科育人系統(tǒng)CPFS結(jié)構(gòu)是促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展的重要抓手，基于CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)科育人系統(tǒng)，以育人為核心導(dǎo)向，以課堂為主陣地，以學(xué)生全面、健康、可持續(xù)發(fā)展為目標(biāo)，凸顯學(xué)生的主體地位?；贑PFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)路徑、具有整體結(jié)構(gòu)特征的教學(xué)課例，遵循了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，能幫助學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。三、基于CPFS結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐路徑學(xué)習(xí)過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成、發(fā)展和完善的過程。CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能形象、直觀地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯特征。筆者立足培養(yǎng)學(xué)生問題意識與思維能力，以具有整體結(jié)構(gòu)特征的課例為實(shí)踐載體，構(gòu)建了以“創(chuàng)設(shè)情境為前提，提出問題為核心，解決問題為目的”的教學(xué)實(shí)踐路徑，并在不同課型中進(jìn)行了教學(xué)探索。（一）厘清內(nèi)涵，揭示概念命題抽象過程數(shù)學(xué)新授課主要是對新概念或新命題的學(xué)習(xí)，在提出一個(gè)新概念或新命題后，引導(dǎo)學(xué)生探究與該概念或命題有等價(jià)或推出關(guān)系的概念或命題，從多種背景、多重層次去揭示概念和命題的內(nèi)涵，幫助學(xué)生建構(gòu)良好的知識網(wǎng)絡(luò)，形成CPFS結(jié)構(gòu)。例如在正方形概念的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從矩形和菱形、平行四邊形或四邊形等多種背景、多重層次去抽象和揭示正方形概念識網(wǎng)絡(luò)，形成正方形的概念域（如圖2）。的內(nèi)涵，使學(xué)生在頭腦中繪制正方形概念的知圖2正方形的概念域（二）優(yōu)化重組，促進(jìn)復(fù)習(xí)教學(xué)深入進(jìn)行基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)復(fù)習(xí)課，立足于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，對知識體系和方法規(guī)律等進(jìn)行必要的重構(gòu)。通過新舊知識的碰撞，引發(fā)學(xué)生個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、調(diào)整和重組，促使學(xué)生在原來的知識結(jié)構(gòu)上生長出新的、更加全面完整的知識結(jié)構(gòu)。CPFS結(jié)構(gòu)不斷豐富并擴(kuò)大，促進(jìn)了學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)[4]例如，在求二次函數(shù)表達(dá)式的復(fù)習(xí)教學(xué)中，設(shè)如下問題情境：已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（-6.0）和（2.0），且有最大值為8，請求出此二次函數(shù)的表達(dá)式，畫出它的圖像并探究它的性質(zhì)。初中二次函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，頂點(diǎn)式和一般式是二次函數(shù)最常用的兩種表達(dá)形式，當(dāng)二次函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)時(shí)，也可以運(yùn)用交點(diǎn)式，這三種形式中的任意一種可以推出其他兩種形式，它們是等價(jià)的關(guān)系。在這個(gè)問題中，引導(dǎo)學(xué)生分析所給點(diǎn)的特征，選擇運(yùn)用哪種形式解決問題并進(jìn)行比較，形成二次函數(shù)表達(dá)式的命題域（如圖3）。圖3二次函數(shù)的表達(dá)式在解決上述問題的同時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)概括，并結(jié)合學(xué)生的理解進(jìn)程設(shè)計(jì)問題。如：求將此二次函數(shù)圖像沿著軸或y軸翻折后的表達(dá)式，求拋物線的頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形或四邊形的周長及面積等，驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行層次性探索，從特殊到一般、由易到難，探究二次函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。學(xué)生綜合運(yùn)用二次函數(shù)的不同形式解決問題，體驗(yàn)方法的多樣性。在問題解決過程中，不應(yīng)以“完成習(xí)題”為標(biāo)志，而是以是否形成了合理、完善和優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)為認(rèn)知目標(biāo)。本節(jié)課不僅僅是讓學(xué)生掌握二次函數(shù)表達(dá)式的求法，更為重要的是明晰了各知識之間的聯(lián)系，通過三種表達(dá)式命題網(wǎng)絡(luò)中知識結(jié)點(diǎn)之間的相互激活，突出了問題解決不止于得出答案，更在于關(guān)系性理解與認(rèn)知能力的遷移。（三）合理定位，形成單元立體知識體系合理、優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)，一方面表明學(xué)生的頭腦中貯存了豐富的知識；另一方面又確定了這些知識的合理定位，容易找到要提取的知識。在教學(xué)中，可通過繪制結(jié)構(gòu)圖形成單元知識網(wǎng)絡(luò)。結(jié)構(gòu)圖的各要素緊密關(guān)聯(lián)，與學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識上下勾連、左右貫通，為遷移的產(chǎn)生提供通道。例如，蘇科版“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”的單元教學(xué)中，可以學(xué)校開展的“筑夢天宮，探秘蒼穹”航天知識競賽作為問題情境，給出隨機(jī)抽樣的七、八兩個(gè)年級學(xué)生的成績平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的統(tǒng)計(jì)表，合格、良好、優(yōu)秀等第的條形統(tǒng)計(jì)圖。教師提出問題：估計(jì)八年級優(yōu)秀等第的人數(shù)，分析哪個(gè)年級的學(xué)生競賽成績更好些，等等。根據(jù)“樣本估計(jì)總體”的思想，可知優(yōu)秀等第的人數(shù)，七、八年級的競賽成績可以從平均分相等，而中位數(shù)、眾數(shù)和方差不同等方面進(jìn)行分析。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，其橫向關(guān)系表現(xiàn)為平均數(shù)的每一個(gè)值都參與運(yùn)算具有精確性，但容易受異常值影響，而中位數(shù)和眾數(shù)不受異常值影響，能夠較好地刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢但不精確，方差和標(biāo)準(zhǔn)差則描述了數(shù)據(jù)的離散程度。如果從概念關(guān)系看，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的關(guān)系框圖就是最為常見的CPFS結(jié)構(gòu)（如圖4）。此外，用樣本估計(jì)總體的思想與已有知識各要素緊密關(guān)聯(lián)，形成了本單元的立體知識體系?！爸籼鞂m，探秘蒼穹”的問題情境激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和文化自信，將德育自然地融入課堂教學(xué)之中。圖4數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度（四）問題導(dǎo)引，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)需要問題解決是學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)方式，教師要合理預(yù)判學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困難，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)符合知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律、學(xué)生思維特點(diǎn)及認(rèn)知水平的情境與問題，用問題去驅(qū)動和激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需要。同時(shí)，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，以數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系與相互聯(lián)系為基本依據(jù)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生搭建知識框架，解決知識的碎片化問題。學(xué)生在選擇中獲得結(jié)構(gòu)圖式，建立知識體系，形成CPFS結(jié)構(gòu)。以“數(shù)據(jù)的收集、整理和描述”的單元教學(xué)為例，教師可提出如下問題：要調(diào)查某社區(qū)家庭每季度的平均用水量，從本社區(qū)家庭中隨機(jī)抽取一定戶數(shù)，將調(diào)查的結(jié)果繪制成不完整的用戶季度用水量頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，求頻數(shù)分布表中的未知頻數(shù)和頻率，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖。在此問題中，教師以“節(jié)約用水”為問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)一整理、描述、分析數(shù)據(jù)一作出估計(jì)、推斷”的統(tǒng)計(jì)過程。這個(gè)過程對培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念十分重要。其中，隨機(jī)抽樣、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖等概念和概念關(guān)系自然生成，學(xué)生頭腦中會自然形成如圖5所示的CPFS結(jié)構(gòu)。圖5數(shù)據(jù)的收集、整理、描述在上述應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中，學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動獲得數(shù)學(xué)對象和知識結(jié)構(gòu)，說明問題的解決不止獲得解答方案，更在于實(shí)踐應(yīng)用，反映了數(shù)學(xué)服務(wù)生活的和諧與統(tǒng)一