高三數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題及答案數(shù)學(xué)（理科）測(cè)試

一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

L設(shè)集合加=卜*_1<（）｝,N=｛X\\ax<0｝,則MuN等于

A{x|-1<X<1}B{x|0<X<l}

C{x|-1<X<0}D{xIX<0}

2.已知q,4是不共線向量，a=2q+q，b=Ae1-e2,當(dāng)。〃b時(shí)，實(shí)數(shù)丸等于

A-1B0C一一D-2

2

3.設(shè)〃7,〃是兩條不同的直線，a,4,7是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是

A若6_L〃,〃ua,則mJLaB若〃？則"JLa

C若mHa,nHa,則〃2〃〃D若。_1外6_17,則a〃/

4.已知等比數(shù)列｛〃“｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且卬,，。3,24一成等差數(shù)列，則竺衛(wèi)等于

2%+%

A1+V2B1—A/2C3+2如D3-2V2

5.設(shè)拋物線V二一8%的焦點(diǎn)為匕準(zhǔn)線為/,P為拋物線上一點(diǎn)，PALI,A為垂足，如果直

線AF的斜率為6,那么歸月=

A4V3B873C8D16

6.極坐標(biāo)方程夕=2sin夕和參數(shù)方程［2；：

（/為參數(shù)）所表示的圖形分別為

A圓，圓B圓，直線C直線，直線D直線，圓

x>\

7.已知點(diǎn)尸（x,y）的坐標(biāo)滿足條件y2x,那么點(diǎn)P到直線3x—4y—9=0的距高

x-2y+3>0

的最小值為

146

A—B-C2D1

55

8.已知定義在區(qū)間0,—上的函數(shù)），=/（戈）的圖像關(guān)于直線x=?3三兀對(duì)稱，當(dāng)工之3主萬(wàn)時(shí),

24444

/（x）=cosx,如果關(guān)于X的方程/（戈）=。有解，記所有解的和為S,則S不可能為

539

A—71B—71C—71D3不

424

二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)匕2?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________________________.

1+/

10.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含d項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____________________.（用數(shù)字作

IX）

答）

Q

11.如圖,AB,CD是半徑。的圓。的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P,=4OP=60°,

8

則

PD=.

12.如圖c是一個(gè)正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是8J3,則

13.某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)10。根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)

度是棉花質(zhì)量

的重:要指標(biāo)）。所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［5,40］中，其頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可

知a=,

在抽測(cè)的100根中，棉花纖維的長(zhǎng)度在［20,30］內(nèi)的有根。

14.給定集合A,若對(duì)于任意A,有〃+/?￡A,且〃一/?￡A,則稱集合A為閉集合，

給出如下四個(gè)結(jié)論：①集合A={-4,一2,0,2,4}為閉集合；

②集合A={n\n=3k,keZ}為閉集合；

③若集合為閉集合，則AuA?為閉集合；

@若集合4，42為閉集合，且4￡凡427凡則存在。€凡使得。金（4^42）.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

三.解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）

15.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)/（工）=2-sin|2x+工-2sin2x,xeR

k6）

⑴求函數(shù)/0）的最小正周期:

（2）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為c,若/（怖）=1,〃=1,。=6,求。

的值。

16.（本小題滿分14分）

已知三棱錐P-ABC中，尸A_L平面ABC,

A3_LAC,PA=AC」A3,N為AB

2

上一點(diǎn)，AB=4AN,M,D,S分別為PB,AB,

BC的中點(diǎn)。

（1）求證：PA〃平面CDM;

（2）求證：SNJL平面CDM;

（3）求二面角D-MC-N的大小。

17.（本小題滿分13分）

為振興旅游業(yè)，某省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行了總量為2000萬(wàn)張的優(yōu)惠卜，其中向省外

人士發(fā)行的是金卡，向省內(nèi)人士發(fā)行的是銀卡。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游

團(tuán)到該省旅游，其中,3是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有1上持金卡，在省內(nèi)

43

2

游客中有一持銀卡。

3

（1）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率；

（2）在該團(tuán)的省外游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持金卡人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分

布列及數(shù)學(xué)期望EXo

18.（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)/(x)=—勺(4>0)。

(1)若函數(shù)/(x)在x=—l處取得極值一2,求。力的值；

(2)若函數(shù)/(?在區(qū)旬(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求〃的取值范圍；

(3)在(1)的條件下，若尸(凡,凡)為函數(shù)/。)二—"圖像上任意一點(diǎn)，直線，與f(X)

r+b

的圖像切于點(diǎn)P,求直線/的斜率的取值范圍。

19.(本小題滿分14分)

已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為片(一、6,0)~2(、后,0),離心率是日。橢圓C的

左，右頂點(diǎn)分別記為A,B。點(diǎn)S是橢圓C上位于X軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線

分別交于M,N兩點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN長(zhǎng)度的最小值；

(3)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿足：ATSA的面積為試確定點(diǎn)T

的個(gè)數(shù)。

(本小題滿分13分)

對(duì)于定義域分別為朋,N的函數(shù)y=f(x\y=g(x),規(guī)定:

fM?晨幻,當(dāng)xeGN,

函數(shù)〃(x)=</(大),當(dāng)x￡M且x任N,

g(x),當(dāng)x任M且xGN,

⑴若函數(shù)/(x)=」一,gCx)=/+2x+2,十乙R，求函數(shù)〃(x)的取值集合;

(2)若/(x)=l,g(x)=x2+2x+2,設(shè)勿為曲線y=心:)在點(diǎn)(4J??))處切線的斜率;

而｛凡｝是等差數(shù)列，公差為i(〃cN*),點(diǎn)q為直襄八2丫一〉，+2=0與1軸的交點(diǎn)，

點(diǎn)2的坐標(biāo)為(％,“)。求證：-----7+---------------1--------1---------------<—

|阿忸闈25

(3)若g(x)=/(x+a),其中。是常數(shù)，且ae[o,2利，請(qǐng)問(wèn)，是否存在一個(gè)定義域?yàn)镽

的函數(shù)),=/(x)及一個(gè)。的值，使得〃(的二cosx,若存在請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)/(用的解析式

及一個(gè)a的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

順義區(qū)2011屆高三第二次統(tǒng)練

數(shù)學(xué)（理科）參考答案

一.ADBDCBCA

（3H2

二.

9.（22）10.1011.3-6/12.213.0.05,55

14.②④

7T

15.解(1)f(x)=2-sin(2.r+—)-2sin0-x

=2-(sinIxcox—+cos2xsin-)-(1-cos2x)

66

=1+cos2x-(^sin2x+gcos2x)

=-cos2x--sin2x+l

22

=cos(zr+—)+1.............................s分

所以函數(shù)f（X）的最小正周期為4。.......................................................6分

(2)FV(0)=“COS(Z?+K)+1=1/|]COS(3+H)=()

233

7T7T4

又因?yàn)樗砸?lt;4+—<一萬(wàn)

333

所以8+2=工，即8=工.......................................9分

326

因?yàn)椤?l,c=V3

所以由正弦定理且一=得sinC=—

sin8sinC2

故。=乙或2乃...................................11分

33

當(dāng)C=?■時(shí)，A=—,從而a=J/+c?=2

32

當(dāng)。=幺^時(shí)，A=—,XB=—,從而a=b=I

366

故。的值為1或2......................................13分

16.(1)證明：在三棱錐P-ABC中

因?yàn)镸,D,分別為PB,AB的中點(diǎn)，

所以MD//PA

因?yàn)镸Du平面CMD,PA(Z平面CMD

所以PA〃平面CM。..........................3分

(2)證明：因?yàn)镸,D,分別為PB,AB的中點(diǎn)

所以MD7HA

因?yàn)镻A_L平面ABC

所以MD_L平面ABC

又SNu平面43c

所以MDJ.SN...............................6分

設(shè)抬=1,以A為原點(diǎn)，4民4。,4戶所在直線分別為工,)，衣軸建立空間直

角坐標(biāo)系。

如圖所示，則

20.0,1)6(0,10).8(2,0,0)

M(l,()，:)，■()，())，S"20)

222

'-1,11

所以CM=-SN=(一一,一一,0)

222

因?yàn)辂?而=_，+，+()=0

22

所以GW_LSN...............

又CMcMD=M

所以SN_L平面CMD...........10分

(3)解由(2)知，5%二(一上,一上,0)是平面。加。的一個(gè)法向量

22

設(shè)平面MCN的法向量7=(x,y,z),則［?麗=0,>K=()

x=-z

所以41

V=——Z

-2

令z=1,貝卜=-l,y=--

2

所以7=(7,J)

..而廣〃?SNV2

從而cos〃,SN)=,?——..=--

、/H網(wǎng)2

因?yàn)槎娼荄-MC-N為銳角

所以二面角。一MC-N的大小為工。......................................................14分

4

17.解：(1)由題意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省內(nèi)游客有9人，其中6人

持有銀卡。

記事件B為“采訪該團(tuán)3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡，”

記事件從為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡,1人持銀卡，”

記事件&為“采訪該團(tuán)3人中，2人持金卡,1人持銀卡，”

則如。⑷+P⑷=管+警嗡

所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率為

45

238

6分

(2)X的可能取值為0,1,2,3

因?yàn)镻(X=0)=W=±

q975

l2

P(X=1)=*cc153

C?7325

C2C'72

P(X=2)=^4^=—

C*325

所以X的分布列為

X0123

P2721537228

975325325975

...10分

te￡X=0x—+lx—2x—+3x—=1............13分

975325+325975

18.解⑴?。┒眈R

,HLil)=o

由題意得即。+4,所以f=4.............3分

/(-I)=-2-a=2[/?=1

、1+廠

（2）（X）=一一-----^（。＞0）

f（f+份2、

當(dāng)bW0時(shí)，f（X）＜0,函數(shù)）（幻在區(qū)間（-1,1）內(nèi)不可能單調(diào)遞增,4

分

〃(.丫+〃)&—〃)

當(dāng)。>()時(shí)，f'(x)=

(x2+b)2

—y[b?1

則當(dāng)X￡時(shí)，f（x）＞0,函數(shù)/（工）單調(diào)遞增，故當(dāng)且僅當(dāng)，

4b>\

時(shí),

函數(shù)/（幻在區(qū)間（-1,1）內(nèi)單調(diào)遞增，即人21時(shí)，函數(shù)/（X）在（一1,1）內(nèi)單調(diào)遞增。

故所求〃的取值范圍是［1,48）8分

（3）直線/在點(diǎn)P處的切線斜率

lx。？-4?8

k=「)=10分

（々"）2工0~+1(工0~+1)2

令，二二一，則0<Y1

V+1

所以女=8〃_4/=8（f_，）2__

42

故當(dāng)f時(shí)，L=-g」=l時(shí)，％、=4

所以直線/的斜率的取值范圍是-',4

13分

2

19.解(1)因?yàn)椤?18,且C=Q,所以4=2,6=、/a2=1

a2

所以橢圓的方程為二十），

C2=1.............................................3分

4

（2）易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（—2,0）,B（2,0）,直線AS的斜率攵顯然存在，且

k>0

104

故可設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2),從而M(----k)

33

y=k(x+2)

由<x2,得(1+4&2)^2十16k21十1622-4=0

—+y-=1

4.

\6k2-42-Xit2

設(shè)SC”），則（-2閃=7Th，得寸由

從而X*曰高

又“(2,0)，故直線RS的方程為y=(r-2)

4k

1...[10

)=一萬(wàn)(1_2)-v=—in4

由「％得入所以"或)

故|MN|

~3~~3k

AL44k48

又攵＞0,所以|MN|=」+—22--?---=一

33k33k3

4k4

當(dāng)且僅當(dāng)竺=上時(shí)，即左=1時(shí)等號(hào)成立

33k

Q

所以k=1時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值？.......9分

3

(3)由(2)知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=l

64

此時(shí)AS的方程為x-y+2=(),S(—

5

所以|AS|二生旦，要使A7S4的面積為，,

55

J7

只需點(diǎn)T到直線AS的距離等于—,

4

所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于—

4

設(shè)/':x-y+Z=0,則由匕三二Y1,解得f=3或f=3

V2422

-廠----by2=1

①當(dāng)f=2時(shí)，由?4.得5f+i2x+5=0

2

x-y+—=0

"2

由于A=44>0,故直線/'與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)

7

廠2t

②/二』時(shí)，由,—+y=1

4'得5/+2(比+21=()

2

x-y+-=0

2

由于△=-20<0,故直線/’與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)

綜上所求點(diǎn)T的個(gè)數(shù)是2.14分

20.解(1)由函數(shù)/(x)=」一,g(x)=x2+2x+2,xeR

x+l

可得M={X|XH-1},N=R

x~+2x+2

從而h(x)=,x+i

l,x=-l

x2+2x+2(x+1)*+1.1.

當(dāng)x>-l時(shí)，h(x)=------------=------------=x+l+----->2

x+\x+1x+1

x~+2x+2(x+1)~+1=-(-x-\+—!—)<-2

當(dāng)xv—1時(shí)，h(x)=

x+lx+1-x-\

所以/心）的取值集合為｛y|y<-2,或），>2或y=1｝5分

(2)易知/?(x)=x2+2x+2,所以"(x)=2x+2

所以a=g'(2)=2/+2

顯然點(diǎn)4,（%,2）在直線/上,且q=-1

又｛/｝是等差數(shù)列，公差為1

所以=n-2,/乙二2〃一2

故工5—2,2刀-2),又々(一1,0)

所以山川=石（〃一1）（〃之2）

11_1

所以

+…+1+222+…+」

麗廠23("I-

111

<—1+---------1----------------h

51-22-3

i2

1+1<—8分

4n-\5

（3）由函數(shù)?=/*）的定義域?yàn)镽,得g*）=f*+。）的定義域?yàn)镽

所以,對(duì)于任意XG所都有h（x）=f（x）-g（x）

即對(duì)于任意xsR,都有cosx=f(x)-f(x+a)

所以，我們考慮將cosx分解成兩個(gè)函數(shù)的乘積，而且這兩個(gè)函數(shù)還可以通過(guò)平

移相互轉(zhuǎn)化

2X.X.X.X、/X.X、

cosx=cos——sin2—=(cos—+sin—)(cos——sin—)

222222

=V2cosf^-—)-V2cos(^+—)

2424

所以，令/(x)=j2cos(j—a)，且。=不，即可..................13

分

又cosx=1-2sin2—=(1+V2sin—)(1-41sin—)

222

所以，令/(x)=l+行sin],且。=2乃，即可(答案不唯一)

高三數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題及答案

填空題：

L假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有1張，獎(jiǎng)品價(jià)值100元，有二等獎(jiǎng)3張，每份獎(jiǎng)品價(jià)值50元；其余

6張沒(méi)有獎(jiǎng).現(xiàn)從這10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值J不少于其數(shù)學(xué)期望的

概率為.

2

2.己知對(duì)任意的“￡(-8,O)U(O,+8)9yG[-1,|,不等式V+-^--2xy--yj\-y-a>0

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

3.在平面上，將兩個(gè)半圓弧(工—1尸+)，2=](xzi)和

(工一3『+)尸=](x>3)、兩條直線)，=1和)，=-1圍成的封

閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成

的幾何體為。，過(guò)(0,)，)(|)，區(qū)1)作^的水平截面，所得截

面面積為4乃J1—)3+8乃,試?yán)米姘?、一個(gè)平放的圓

柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出。的體積值為o

4.已知)，=/(幻是定義在：]上的增函數(shù)，且)，=/(用的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱.若實(shí)數(shù)x,y滿

足不等式f(x2-6x)+/(y2-8.v+36)<0,則x2+y2的取值范圍.

5.已知一玻璃杯杯口直徑6cm,杯深8cm.如圖所示，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的

一部分，一個(gè)玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍（不記玻璃杯

的玻璃厚度）.

二.選擇題:

5

OAx

C

6.已知。是A44c外接圓的圓心,AB,C為AA4c的內(nèi)角，若經(jīng)^.而十竺￡.近=2〃??而,

sinCsinB

則m的值為答[]

A.1B.sinAC.cos/40.tanA

7.已知點(diǎn)列4（?！?勿）（〃￡N"）均為函數(shù)y="（a＞（）.4W1）的圖像上，點(diǎn)列與（〃,0）滿

足|A￡j=|A〃&J若數(shù)列｛〃｝中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊，則。的取值范圍為

)

8.過(guò)圓C：（x-+（y—1產(chǎn)=1的圓心,作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B,AAO8被圓

分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足S1+Sy=Sn+',則直線AB

有（）

（A）。條（B）1條（C）2條（D）3條

三.解答題：

9.已知直線y=2x是雙曲線U*?-方=1的一條漸近線，點(diǎn)A（1,O）,M（根,〃）（〃工0）都

在雙曲線。上，直線AM與），軸相交于點(diǎn)P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0.

（1）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸相交的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線AN與Y軸相交于點(diǎn)Q,問(wèn)：在X軸上是否

存在定點(diǎn)T,使得7P_LTQ?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若過(guò)點(diǎn)3（0,2）的直線/與雙曲線C交于R,S兩點(diǎn)，且|礪+萬(wàn)卜|麗試求直線/的

方程.

10.已知雙曲線C:'-y2=],設(shè)過(guò)點(diǎn)A（-3夜,0）的直線/的方向向量為"=（1,幻.

（I）當(dāng)直線/與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線/的方程及/與m的距離;

Q)證明：當(dāng)心爭(zhēng)寸，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線/的距離為向

11.己知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/的全體：存在非零常數(shù)k,對(duì)定義域中的任意x,

k

等式/(履)=萬(wàn)+/(X)恒成立.

(1)判斷一次函數(shù)/(X)=ax+b(a#O)是否屬于集合M：

(2)證明函數(shù)/(x)=log2X屬于集合M，并找出一個(gè)常數(shù)k：

(3)已知函數(shù)/(x)=log“x(a>l)與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明/(x)=log,x￡M.

12.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是定義在集合M上的函數(shù),對(duì)于任意的xeM,都有

)(ga))=g(/a))成立，稱函數(shù)/(%)與g&)在M上互為“"函數(shù)”?

(1)函數(shù)/(犬)=2］與g*)=sinx在M上互為“”函數(shù)”，求集合M；

(2)若函數(shù)/。)=優(yōu)(。>0且。=1)與g(x)=x+l在集合”上互為“〃函數(shù)”：

求證：a>］；

(3)函數(shù)/(x)=x+2與g(x)在集合M=｛x|x>—l且xw2左一3,kwN"｝上互為"H

函數(shù)”，當(dāng)OWx<l時(shí)，g(%)=log2(x+l),且g(x)在上是偶函數(shù),求函數(shù)g(x)

在集合M上的解析式.

13.設(shè)數(shù)歹J｛an｝的前〃項(xiàng)和為5“,且(S"一二a.S〃H￡叱).

(1)求出S1,Sz，S3的值，并求出S〃及數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)〃=(—l)〃Xy4+1(〃eN)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，；

(3)設(shè)c“=(〃+l)-q,(〃￡N*),在數(shù)列｛%｝中取出〃?(〃蚱N?且小N3)項(xiàng)，按照原來(lái)的

順序排列成一列，構(gòu)成等比數(shù)列｛4｝,若對(duì)任意的數(shù)列｛4J，均有4+W+…+，

試求M的最小值.

14.已知數(shù)列｛七｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)的和為S”，滿足(p—1)S”=p2—

(nsN*),其中〃為正常數(shù)，且〃w1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)，〉M時(shí)，……生〃_2>%8恒成立？若

存在，求出使結(jié)論成立的〃的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若〃=g,設(shè)數(shù)列｛〃“｝對(duì)任意〃6N*,都有7人4“+&a“-i+b3ali_2+…

+女4=2"-g〃-l,問(wèn)數(shù)列｛〃｝是不是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；若不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.已知拋物線C.y2=2*(〃>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5o

(1)求拋物線的方程。

(2)設(shè)直線y=kx+b(k^0)與拋物線交于兩點(diǎn)4>|,乂),3(々，/)，且

是弦的中點(diǎn)，過(guò)做平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)。,

Iy.-,y2|=a(a>0),MA8Mx

得到A43。；在分別過(guò)弦A。,8。的中點(diǎn)作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)旦尸，得到三

角形AADE,ABDF；按此方法繼續(xù)下去。

解決如下問(wèn)題：

①求證：/二⑹1力)；②計(jì)算A48O的面積③根據(jù)A48。的面積的計(jì)算結(jié)果，

寫(xiě)出A4OEAB。尸的面現(xiàn)；請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線C與線段A8所圍成封閉圖形面積的方

法，并求出封閉圖形的面積。A>

1.假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有1張，獎(jiǎng)品價(jià)值100元，有二等獎(jiǎng)3張，每份獎(jiǎng)品價(jià)值50元；其余

6張沒(méi)有獎(jiǎng).現(xiàn)從這10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值J不少于其數(shù)學(xué)期望塔的

2

概率為_(kāi).

2.已知對(duì)任意的%G(-oo,0)U(0,+oo),ye[-l,l]不等式

2

xH——2xy—Ji-y”-a20恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

x-x

(-oo,8+4-\/2],

3.在X。)，平面上，將兩個(gè)半圓弧(X—1)2+)，2=l(x21)和

(x—3)2+)3=!(x>3)、兩條直線)，=1和)，=一1圍成的封

閉圖形記為【)，如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成

的幾何體為。，過(guò)(0,)，)(卜區(qū)1)作。的水平截面，所得截

面面積為44/1-丁+81,試?yán)米骊自?、一個(gè)平放的圓

柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出。的體積值為o

4.已知)，=/(用是定義在：]上的增函數(shù)，且)，=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱.若實(shí)數(shù)x/滿

足不等式/(A2-6A)+/(/-8)，+36)<0,則A2+V的取值范圍___________.

解：由對(duì)稱性可知/(6)=0,由單調(diào)性可知x<6時(shí)，/(Xi<0;x>6時(shí)，

由y一8)，+36=()，-4)2+20>6,則V-6x<6,

結(jié)合草圖可知9_8)，+36到6的距離不超過(guò)比V-6"至I]6的距離，

即/_8丁+36—646—(/一6幻，+/-6x-8y+24^0<=>(x-3)2+(y-4)2^1,

其幾何意義是以(3,4)為圓心,1為半徑的圓(及其內(nèi)部)，

而f+3，2即為該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圖形可知，故其取值范圍為[16,36].

5.已知一玻璃杯杯U直徑6cm,杯深8cm.如圖所示，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的

一部分，一個(gè)玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍(不記玻璃杯

的玻璃厚度).

y

解?：如圖建系，拋物線方程為拋物線

小圓與拋物線的接觸點(diǎn)即為拋物線上到圓心C距離最短的點(diǎn),

由小球能碰到杯底，則有ICOMCPI,

設(shè)P(x,.y)UG[-3,3J)在拋物線上，

設(shè)小球的半徑為r,則圓心的坐標(biāo)為C(0"),

^y(1,r).y+r,ye[0,3]

|CP|=7x2+(.y-r)2+2/

1o

由ICPIminUCOI，即當(dāng)y=0時(shí)，|CP|最小，故

28

9

所以/G(0,—].

16

選擇題：

y

B

OAX

c

6.已知。是A44c外接圓的圓心,AB,C為AA4c的內(nèi)角，若經(jīng)^.而十竺￡.近=2/小河,

sinCsinB

則m的值為答[B]

A.1B.sinAC.cosAD.tanA

解：不妨設(shè)外接圓的半徑為1,如圖建立直角坐標(biāo)系，

則有NAO8=2C,ZAOC=2B,

故可設(shè)?(cos2C,sin2C),C(cos(2兀-23),sin(2九-23)),

結(jié)合誘導(dǎo)公式得C(cos2&-sin2B),

則AB-(cos2C-l,sin2C),AC=(cos2B-1,-sin2B),

由0通+您￡

?AC=2tn-AO,

sinCsinB

出cos8cosC

得C?(cos2C-D+--------(cos2fi-l)=-2m,

sinCsinB

又cos2c=1-2siifC,cos2B=l-2sin2B,上式化為

吆.(_2sin?C)+您￡?(-2sin%=-2在

sinCsin4

整理得〃?=sinCcos8+cosCsinB=sin(B+C)=sin4,故選B.

7.已知點(diǎn)列均為函數(shù)y="（c〉Qaw1）的圖像上，點(diǎn)列紇（〃,0）滿

足|4聞=|4紇若數(shù)列也,｝中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,則。的取值范圍為

(B)

8.過(guò)圓。仆-1）2+（￥-1）2=1的圓心，作直線分別交*、v正半軸于點(diǎn)A、B,A4Q8被圓

分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足R+S*=Sn+際,則直線AB

有（）

（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條

三.解答題：

9.已知直線y=2x是雙曲線U*■-*~=1的一條漸近線，點(diǎn)工0）都

在雙曲線。上，直線AM與y軸相交于點(diǎn)P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0.

（1）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線AN與y軸相交于點(diǎn)Q,問(wèn)：在X軸上是否存在

定點(diǎn)T,使得7P_LTQ?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若過(guò)點(diǎn)0（（）,2）的直線/與雙曲線C交于R,S兩點(diǎn)，且你+詞=同，試求直線/的

方程

10.已知雙曲線C：5-y2=|,設(shè)過(guò)點(diǎn)A(-3夜,0)的直線/的方向向量為"=(1,Q.

(3)當(dāng)直線/與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線/的方程及/與m的距離；

(4)證明：當(dāng)%>巫時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線/的距離為幾.

2

(1)解：雙曲線C的漸近線而:定±)，=0,即x±J?y=0,

/.直線/的方程為x±及)，+3夜=。，

:.直線I與m的距離為d==?.

⑵證法一：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于/的直線〃:米-y=0,

則直線/與b的距離d=理蟲(chóng)，當(dāng)也時(shí)，

又雙曲線C的漸近線方程為X±V2.y=0,

???雙曲線C的右支在直線b的右下方，

雙曲線C的右支上的任意點(diǎn)到直線/的距離大于瓜,

故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線/的距離為限.

證法二：假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)。(天,尤)到直線/的距離為瓜,

|線-)，。+3&&|

=瓜(1)

則

石-2)，；=2,⑵

由⑴得線二人+3夜k土布?疝記，

設(shè)t=3x/ik士瓜71+K,

當(dāng)我>立時(shí)，/=3&+遙.，1+女2>0,

2

____)/2?

t—3x/2A:—\[b'-J\+k2=y/bx]----------y----------->0,

43kz+川+公

將%=5+￡代入⑵得0-21)片-4ktx0-2(產(chǎn)+1)=0(*),

2

?：k>—,t>0,:.\-2k<0,-4kt<0t-2(r+l)<0,

2

方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立，

故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線I的距離為遙.

11.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/(好的全體：存在非零常數(shù)k,對(duì)定義域中的任意x,

k

等式f(kx)=-+/(工)恒成立.

(1)判斷一次函數(shù)/(x)=ax+b(aW0)是否屬于集合M：

(2)證明函數(shù)/(幻=log2%屬于集合M,并找出一個(gè)常數(shù)A；

(3)已知函數(shù)/(x)=log“x(a>l)與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明/(x)=log/EM.

解：(1)若/Cr)=ax+b￡M,則存在非零常數(shù)k,對(duì)任意x￡。均有/(米)=akx+b=2+

k(k-\=0,

f(x),即仇k—l)x=—恒成立，得《無(wú)解，所以/‘(X)史M.

2[K=0,

LL

(2)log2(Ax)=-4-log2x,則log?%=不，k=4,k=2時(shí)等式恒成立，所以/(x)=

log2xe/V7.

Y

(3)因?yàn)閥=log”4]。>1)與y=x有交點(diǎn)，由圖象知，y=log”x與y=耳必有交點(diǎn).

設(shè)log.k=3,則f(kx)=logfl(Ax)=log0k+log0x=2+f(x),所以f(x)eM.

12.設(shè)函數(shù)/(.r)和g(x)都是定義在集合M上的函數(shù),對(duì)于任意的xeM,都有

/(g@))=g(/(x))成立，稱函數(shù)/(x)與g")在M上互為““函數(shù)”.

(1)函數(shù)/(x)=2x與g(x)=sinx在M上互為“月函數(shù)”，求集合M；

(2)若函數(shù)/(外=優(yōu)(