猜押05湖北省中考數(shù)學(xué)20~22題（解答題）猜押考點(diǎn)1年湖北真題考情分析押題依據(jù)難度一次函數(shù)與反比例函數(shù)2024年湖北卷第20題函數(shù)綜合題，求交點(diǎn)坐標(biāo)及面積范圍函數(shù)熱點(diǎn)題型，可能結(jié)合幾何圖形或動(dòng)態(tài)問題中圓綜合2024年湖北卷第21題圓性質(zhì)綜合，涉及切線證明與弧長(zhǎng)公式高頻幾何考點(diǎn)，可能結(jié)合角度計(jì)算或動(dòng)點(diǎn)問題中二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用2024年湖北卷第22題面積最大值問題，考查建模與最值求解二次函數(shù)核心應(yīng)用，可能延伸至利潤(rùn)、行程等場(chǎng)景中題型一一次函數(shù)與反比例函數(shù)1．（2025·湖北孝感·一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別交反比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)圖像于點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的特殊位置關(guān)系求線段長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：將代入，解得，，將代入，得，解得，．（2）解：由（1）知，反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為，軸于，軸，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，將代入，得，將代入，得，，．2．（2025·湖北孝感·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)為的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出時(shí)x的取值范圍：(3)過線段上的動(dòng)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，其交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解二元一次方程組，解一元一次方程，解一元二次方程，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程組得，，即可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象即可求解；（3）設(shè)，得，，根據(jù)題意列方程，求出，即可求解．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)為的圖象交于，兩點(diǎn)，，解得：，，解得：，一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：，，由（1）得，觀察圖象，得：時(shí)，的取值范圍為或，時(shí)，的取值范圍為或．（3）解：設(shè)，軸，，，，解得：，．3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)；；(2)或或或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把代入得，得到，求得反比例函數(shù)的解析式為；把代入得到，求得，設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，解方程組得到一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，在第一象限再分兩種情形：點(diǎn)在點(diǎn)的下方或上方分別求解，再根據(jù)對(duì)稱性解決問題．【詳解】（1）解：把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為；把代入得，，，設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)?shù)拿娣e的面積時(shí)，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為；當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e的面積時(shí)，,,,利用割補(bǔ)法，可得的面積為，，利用割補(bǔ)法，可得的面積為，則可得方程，解得（不符合題意的根舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，滿足條件的的值為，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，時(shí)也符合題意，綜上所述：或或或．4．（2025·湖北·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B在軸正半軸上，矩形的面積為8，且，為的中點(diǎn)．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)觀察圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，（1）由矩形的面積為8，，求出，進(jìn)而可得，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而求出；（2）由直線與反比例的圖象位置關(guān)系和交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，矩形的面積為8，∴，∴點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，即點(diǎn)，∴．（2）聯(lián)立解析式得：解得：，，如圖：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，．5．（2025·湖北·一模）如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第二，四象限分別交于，兩點(diǎn)，連接．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)直接寫出時(shí)，的取值范圍．【答案】(1)一次函數(shù)，反比例函數(shù)；(2)；(3)當(dāng)或時(shí)，．【分析】本題是主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，正確確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）把A代入反比例函數(shù)可求得m，即可得到反比例函數(shù)的解析式，再將代入可求得a，再根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可；（2）求出一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)圖象得到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x取值范圍即可．【詳解】（1）解：把代入反比例函數(shù)，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A和B，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵一次函數(shù)的解析式為，∴令，解得：，則直線交y軸于點(diǎn)，∵，，∴；（3）解：由圖可知或時(shí)，．6．（2025·湖北·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A，，與x軸相交于點(diǎn)，連接．(1)求b的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)2【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想．（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）的面積．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入一次函數(shù)，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入，得，解得，∴，把點(diǎn)代入，得，∴反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；（2）解：∵，∴，∴．7．（2025·湖北·一模）如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A，B，連接，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，且．(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方時(shí)，求x的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積以及反比例函數(shù)求得m的值是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形的面積即可求得的m值，進(jìn)一步得到函數(shù)的解析式；（2）聯(lián)立解析式，求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)．∵，∴，即：．把點(diǎn)代入，得，∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：聯(lián)立，解得∶，∴點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，6，∴x的取值范圍是．8．（新考向）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，菱形的邊與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且．(1)利用無刻度的直尺，在反比例函數(shù)的圖象上作出點(diǎn)，使（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)求的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(3)將菱形向下平移，當(dāng)點(diǎn)落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為______．【答案】(1)見解析(2)的值為，反比例函數(shù)的解析式為(3)平移的距離為【分析】（1）連接交第三象限雙曲線于點(diǎn)Q，連接，由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，即可知；（2）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求得a的值；由一次函數(shù)解析式可求得點(diǎn)，進(jìn)而求得，由菱形的性質(zhì)及，可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可求得反比例函數(shù)解析式；（3）在反比例函數(shù)解析式中，求出當(dāng)自變量時(shí)的函數(shù)值，即可知道向下平移的距離．【詳解】（1）解：如圖，連接交第三象限雙曲線于點(diǎn)Q，連接，點(diǎn)Q即為所求作；（2）解：由題意知，點(diǎn)在直線上，所以，即；在中，令，得，即，∴；∵，∴，由勾股定理得：；∵四邊形是菱形，∴；∵，∴；∵，且在軸上，∴，∵點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即，∴；故的值為，反比例函數(shù)的解析式為；（3）解：當(dāng)時(shí)，，∴將菱形向下平移，當(dāng)點(diǎn)落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，圖形的平移，菱形的性質(zhì)，勾股定理，無刻度直尺作圖等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（新考向）如圖是某實(shí)驗(yàn)室研究某微生物的活躍度指數(shù)隨著溫度變化的圖象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度時(shí)，活躍度指數(shù)保持不變．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象由曲線段（為常數(shù)，）和線段組成．(1)求和的值．(2)當(dāng)微生物的活躍度指數(shù)滿足時(shí)，符合實(shí)驗(yàn)需求，求出此時(shí)溫度的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查反比例函數(shù)，一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，由函數(shù)值求自變量的值的計(jì)算是關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意得到，運(yùn)用待定系數(shù)法得到，根據(jù)函數(shù)值求自變量的值即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，解得．（2）解：由（1）可知，，已知，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴，在中，令，解得；在中，令，則，解得，由圖象得．10．（新考向）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及的值；(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的角平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(3)若點(diǎn)在（2）所作的的角平分線上，當(dāng)是以為一腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】(1)；(2)見解析(3)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，角平分線的作法，求反比例函數(shù)解析式，勾股定理，熟練利用分類討論解題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，再把代入即可解答；（2）按照角平分線的作法，作出即可；（3）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，求得的解析式，再分類討論，利用勾股定理列方程即可解答．【詳解】（1）解：把代入可得，解得，反比例函數(shù)的解析式為，再把代入可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；（2）解：如圖所示，即為所求，（3）解：如圖，連接交于點(diǎn)，，為等腰三角形，為的平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，直線的解析式為，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，解得（舍去），故，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，解得（負(fù)數(shù)舍去），故，故答案為：或．11．（新考向）如圖，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，如果直線平分，軸于，軸于．(1)求的值；(2)如果反比例函數(shù)的圖像與分別交于點(diǎn)，求證：；(3)在（2）的條件下，如果四邊形的面積是面積的，求反比例函數(shù)的解析式．【答案】(1)1(2)見詳解(3)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及點(diǎn)坐標(biāo)，可得，進(jìn)而可得，然后將其代入，即可求得的值；（2）根據(jù)題意作出圖像，結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論；（3）首先求得是面積，進(jìn)而可得，結(jié)合，求得，進(jìn)而解得，即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵直線平分，軸于，軸于，∴，又∵，∴，∴，將點(diǎn)代入，可得，解得；（2）如下圖，∵反比例函數(shù)的圖像與分別交于點(diǎn)，∴，∴，，∴；（3）∵，軸于，軸于，∴，∴，∵四邊形的面積是面積的，∴，∵，∴，，∴，即有，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為．12．（新考向）如圖，中，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸正半軸上，軸，，，反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）①求作等腰三角形，點(diǎn)在第一象限，，點(diǎn)為的中點(diǎn)；②求作菱形；(3)將菱形沿軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)會(huì)落在該反比例函數(shù)的圖象上？【答案】(1)(2)①圖見解析；②圖見解析(3)將菱形沿軸向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)會(huì)落在該反比例函數(shù)的圖象上【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)的關(guān)系式，尺規(guī)作圖，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入關(guān)系式可得答案；（2）①以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫弧，再以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接，則即為所求作的三角形；以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)D，連接，則四邊形為所求作的四邊形．【詳解】（1）解：由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．把，代入中，得，解得：．反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：①如圖；②如圖；（3）解：由于、兩點(diǎn)到軸的距離都是2，故將菱形沿軸向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)會(huì)落在該反比例函數(shù)的圖象上．13．（新考向）直線與雙曲線交于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．(1)求k，m的值；(2)如圖1，點(diǎn)E是直線上A點(diǎn)右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，連接，．①當(dāng)時(shí)，求的面積；②如圖2，在①的條件下，將沿射線方向平移一定距離，得到，若點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)圖象上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②【分析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）把坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出的值，確定出一次函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出的值，即可確定出反比例解析式；（2）①設(shè)的坐標(biāo)為，表示出的坐標(biāo)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差即為的長(zhǎng)，由已知的長(zhǎng)求出的值，確定出的坐標(biāo)，三角形面積以為底，橫坐標(biāo)為高，求出即可；②連接，由平移可得：，根據(jù)兩直線平行時(shí)的值相同確定出直線的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)，由平移到的路徑確定出平移到的路徑，進(jìn)而確定出的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在直線上，，解得：，∴一次函數(shù)解析式為，∵在的圖象上，∴，∴，∵在的圖象上，，解得：．（2）解：①由（1）得反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為，設(shè)，則有，，，，解得：（舍去）或，，，；②連接，由平移可得：，即，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：或（不合題意，舍去），，即通過往右平移個(gè)單位，往上平移個(gè)單位得到，又由①中知，∴點(diǎn)往右平移個(gè)單位，往上平移個(gè)單位得到．14．（新考向）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為直角三角形，，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸上，C為斜邊上一點(diǎn)且，過點(diǎn)C作（點(diǎn)D在直線的右側(cè)），已知，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)求k的值；(3)取的中點(diǎn)E，證明：直線與反比例函數(shù)的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)A．【答案】(1)見詳解(2)(3)見詳解【分析】（1）運(yùn)用證明，得出，再結(jié)合等邊對(duì)等角，則，故四邊形是平行四邊形；（2）先證明四邊形是矩形，因?yàn)辄c(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，所以矩形的面積是2，故矩形的面積是1，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A．則；（3）先設(shè)，再分別表示，，，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線解析式為，依題意，得，整理得，得，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形；∴，延長(zhǎng)交軸于一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，如圖所示：∵，∴，∵軸，，，∴四邊形是矩形，同理，得證四邊形是矩形，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴矩形的面積是2，∴，∵，∴，即，∴矩形的面積是1；∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A．∴；（3）解：依題意，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A．設(shè)，∴，∵四邊形是平行四邊形；∴，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，把代入，得，解得，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，把，分別代入，得解得，∴直線解析式為，依題意，得，∴，整理得∴，∴直線與反比例函數(shù)的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A．∴直線與反比例函數(shù)的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的值與面積關(guān)系，一元二次方程的判別式的應(yīng)用，求一次函數(shù)的解析式，難度較大，綜合性強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型二圓綜合1．（2025·湖北黃石·一模）如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是，其中從水面垂直最深處，求截面中有水部分的面積．【答案】【分析】此題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積公式等知識(shí)，連接，作弦，垂足為D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接，求出，證明是等邊三角形，得到，則根據(jù)有水部分的面積即可求出答案．【詳解】解：連接，作弦，垂足為D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接，∴，∴，∵，∴，∴∵∴是線段的垂直平分線∴∴是等邊三角形，∴∴有水部分的面積2．（2025·湖北孝感·一模）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由等邊對(duì)等角可得，進(jìn)而可得，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，進(jìn)而可得，即，然后根據(jù)切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）由三角形的內(nèi)角和定理可得，求出，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，由含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)即可得出答案．本題主要考查了等邊對(duì)等角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，切線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不規(guī)則圖形的面積，三角形的面積公式，求扇形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．∴，∴．∵為半徑∴是的切線；（2）解：，∴．∴，∴．∵，，．3．（2025·湖北孝感·二模）如圖，已知為的直徑，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，切線的判定，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知得出，根據(jù)，得出，進(jìn)而證明是等邊三角形，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得證；（2）先求得，由（1）可得是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵為的直徑，∴，∴∵∴∴∵∴∴∵∴是等邊三角形，∴，又∵，∴∴，即又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵中，，∴，則，由（1）可得是等邊三角形，∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴∴4．（2025·湖北·一模）如圖，在中，為斜邊上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的與AC交于點(diǎn)，連接，．若，．(1)求證：為的切線：(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、解三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（1）連接，根據(jù)，可知，，等量代換可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可證，進(jìn)而可證，從而可證結(jié)論成立；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)，可得，進(jìn)而求出，可得，進(jìn)而求出，證明，得，再在求出即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半徑；∴為的切線；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，∴是直徑，即、、三點(diǎn)共線，∴，又∵在中，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴在中，．5．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是⊙的直徑，是圓外一點(diǎn)，直線交⊙于點(diǎn)，、不重合，平分交⊙于點(diǎn)，過作，垂足為．(1)判斷與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)相切，見解析；(2)．【分析】本題主要考查了切線的判定、弧長(zhǎng)公式、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定證明，從而證明直線與圓相切．連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可證，根據(jù)角平分線定理可證，等量代換可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證，從而可得，可證結(jié)論成立；過作于，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可證四邊形是矩形，利用勾股定理可求，設(shè)，則，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，解方程求出的值，即為圓的半徑，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，，，平分，，，，，，與相切；（2）解：過作于，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，．6．（2025·湖北·一模）如圖，，分別與相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G是圓上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)G，且，交于C點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（保留根號(hào)和）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)可得，從而可證得，再證，可得，可證得結(jié)論；（2）先證得，在中，，在中，，可得，再根據(jù)可求出答案．【詳解】（1）證明：連接，，是的切線，，，，，，．在和中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，是的切線，平分，平分，，，，．，，．在中，，在中，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，不規(guī)則圖形的面積以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2025·湖北恩施·一模）如圖，內(nèi)接于，且為直徑，的角平分線交雨點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，交過點(diǎn)B的一條直線于點(diǎn)F，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)3．【分析】（1）連接．證明，是的中垂線，可得，可得，進(jìn)一步證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作于M，證明，，證明，可得，設(shè)，則，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵是的直徑，∴，∴，，∵，∴是的中垂線，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，且是的直徑∴是的切線．（2）解：過點(diǎn)E作于M，∵平分，，，∴，，在與中，，，∴，∴，∴，在中，，設(shè)，則，在中，，∴，解得∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．（2025·湖北·一模）如圖，為的直徑，與相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證出，則可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得到，由（1）知，，求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，如圖：∵為的直徑，∴．由（1）知，∴．∵，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為，則，∴，∴，解得(舍)，，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．9．（2025·湖北·一模）如圖，為的直徑，C是上方上異于A、B的點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接、．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了圓的切線的判定，圓周角和圓心角，勾股定理，扇形面積公式等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)弧和圓心角的關(guān)系，得到，進(jìn)而得到，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角和勾股定理，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，D是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是的半徑，是的切線．（2）解：為的直徑，，，，，，由（1）得，．10．（新考向）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，以為圓心，為半徑的經(jīng)過點(diǎn)，．(1)若，，求的半徑；(2)設(shè)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以垂直平分．又，，所以，，由于是的平分線，所以．從而，又，得到，得出．設(shè)的半徑為，則，，所以，解得．故的半徑為2．（2）在中，是的中點(diǎn)，所以．從而，．由于，，所以，，，即，又是的平分線，所以，故．【詳解】（1）解：如圖，連接，，是的中點(diǎn)，垂直平分．，，，，，是的平分線，．，，，，設(shè)的半徑為，則，，，解得．故的半徑為2．（2）證明：在中，是的中點(diǎn)，．，．，，，，，，是的平分線，，．11．（新考向）如圖，內(nèi)接于，連結(jié)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，設(shè)的半徑為r，求的面積（用含r的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)；(3)【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得，再由同角的余角可得，則，最后由三角函數(shù)定義即可得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)C作于M，根據(jù)勾股定理可得，由面積法得，由勾股定理得，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：，最后由圓周角定理，對(duì)頂角相等，等角對(duì)等邊即可解答；（3）如圖3，連接并延長(zhǎng)交于F，連接，先根據(jù)垂徑定理得：，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：，則，是等腰直角三角形，設(shè)，則，由勾股定理和三角形的面積即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖2，過點(diǎn)C作于M，∵，，，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴；（3）解：如圖3，連接并延長(zhǎng)交于F，連接，∵，∴，，∴，∴，，由（2）知：，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．（新考向）如圖，為圓外一點(diǎn)，、分別切圓于、．連接，交圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)．連接，．連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．(1)證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)．(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)30度【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)，垂徑定理以及相關(guān)角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓的切線性質(zhì)和垂徑定理等知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算．（1）利用切線長(zhǎng)定理證明，從而得出，得到即可得結(jié)果；（2）通過點(diǎn)是中點(diǎn)推出，，由（1）得，，是等邊三角形，得到，再結(jié)合圓的性質(zhì)和平行線性質(zhì)，求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：、分別切圓于、，，．又，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)．（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直平分，連接，則，由（1）得，是等邊三角形，是圓的切線，，13．（新考向）如圖，在平行四邊形中，過三點(diǎn)的交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：．(2)如圖2，已知為的切線，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．①求證：；②若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得，可得最后根據(jù)等角對(duì)等邊得出答案；（2）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，及垂徑定理得是的垂直平分線，得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，最后根據(jù)“弧，弦，圓心角的關(guān)系”得，即可得出結(jié)論；②延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)，則,進(jìn)而得出再說明，可求出，然后證明，可得，，接下來說明，再設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出，最后根據(jù)得出答案.【詳解】（1）證明：．，；（2）①證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，切于點(diǎn)，，∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，即．②如圖3，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)，則．由，∴，∴．由，得，，解得．由得.∵，∴，∴．∴，∴，∴．∵，且，∴，∴．設(shè)，則，得

，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，求余弦，作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.14．（新考向）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，為對(duì)角線，且為的直徑，，已知，．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖2，為上一點(diǎn)，過作，其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)、、，若，①求的值；②試求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)P，由垂徑定理可得P為中點(diǎn)，結(jié)合O為圓心，可求出，求出，然后利用勾股定理即可求解；（2）①先證明，再證明得，設(shè)，由，，，再利用勾股定理求出即可求解．②證明得，求出，，再證明得，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)P∵，∴，∴，∴P為中點(diǎn)，∵O為圓心，∴，∵，∴，∴，∴，∴（2）①∵，∴．∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．設(shè)，∵，∴，∴，，∴，∴，解得，∴，∴．

②∵，∴，∴，∴，，∴，又由①得，∵，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形中位線，圓周角定理，解直角三角形，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．15．（新考向）已知內(nèi)接于圓，平分交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)．(1)若，_______，求的度數(shù)．①；②．（作答第（1）題時(shí)，先選擇①或②填寫在橫線處，使題目完整，然后求解的度數(shù)．）(2)若，求的長(zhǎng)．(3)若，求證：．【答案】(1)若選擇①，；若選擇②，(2)(3)見詳解【分析】（1）當(dāng)選擇①時(shí)，由題意易得，，然后可得是直徑，則有點(diǎn)M是圓心，且四邊形是平行四邊形，進(jìn)而問題可求解；若選擇②，由題意易得，，設(shè)，則有，然后可得方程，進(jìn)而問題可求解；（2）由題意易得，則可證，則有，進(jìn)而問題可求解；（3）先證明，，則有，，然后根據(jù)可得，進(jìn)而問題可求證．【詳解】（1）解：當(dāng)選擇①時(shí)，∵，平分，∴，，∴，∴是直徑，∵，∴，∴點(diǎn)M是圓心，且四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∴都為等邊三角形，∴，∴；若選擇②，∵，平分，∴，，由可設(shè)，則有，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于圓，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、菱形的性質(zhì)與判定、圓周角的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、菱形的性質(zhì)與判定、圓周角的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．（新情境）物理實(shí)驗(yàn)課上，在做過單擺實(shí)驗(yàn)后，小明想到“數(shù)學(xué)來源于生活”，于是從中抽象出了一個(gè)數(shù)學(xué)平面圖形：如圖（1），直線為水平桌面，線段為支架，虛線為鉛錘P的運(yùn)動(dòng)軌跡．現(xiàn)根據(jù)圖形設(shè)計(jì)出了以下兩個(gè)問題．(1)若點(diǎn)到和的距離相等，則稱此時(shí)點(diǎn)P的位置為“黃金位置”．過點(diǎn)P作的切線交于點(diǎn)D，如圖（2），若，證明此時(shí)點(diǎn)P處于“黃金位置”．(2)已知，，在射線上有一點(diǎn)E，且，連接，如圖（3），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)與相切時(shí)，求點(diǎn)P到的距離．【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)P到的距離為或．【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用證明，推出，即可得解；（2）分當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)和右側(cè)，兩種情況討論，利用勾股定理求得，，求得，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，∵為的切線，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，即此時(shí)點(diǎn)P處于“黃金位置”；（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)，且與相切時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵與相切，∴，∴，∴，同理，，∴，∴，∴，在中，，解得（負(fù)值已舍去），∴點(diǎn)P到的距離為．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，且與相切時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵與相切，∴，∴，∴，同理，，∴，∴，∴，在中，，解得（負(fù)值已舍去），∴點(diǎn)P到的距離為．綜上，點(diǎn)P到的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．17．（新情境）【問題提出】（1）如圖①，的半徑為3，是的內(nèi)接三角形，．①的長(zhǎng)為________；②求面積的最大值；【問題解決】（2）如圖②，某公園中有一塊三角形空地，經(jīng)測(cè)量，，米．計(jì)劃對(duì)該空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在線段，，上分別取點(diǎn)，，，沿，修兩條具有觀賞價(jià)值的休閑通道（通道的寬度忽略不計(jì)），其余空地種植花草．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，，，要保證施工的安全性，需要將點(diǎn)，用圍欄圍起來，形成一個(gè)封閉的施工場(chǎng)地四邊形，采購(gòu)部現(xiàn)要購(gòu)買圍欄，為了節(jié)約成本，要使圍欄的長(zhǎng)度盡可能短，求滿足要求的圍欄長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）①；②；（2）米【分析】（1）①根據(jù)題意作的外接圓，由圓周角定理可得是等邊三角形，則有；②如圖所示，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)N處，即點(diǎn)C在垂直于的直徑上時(shí)，高的值最大，此時(shí)的面積等于的面積，且面積最大，由等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理可得，結(jié)合三角形面積的計(jì)算公式即可求解；（2）先證明點(diǎn)四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為點(diǎn)P，半徑為r，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)S，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得出米，根據(jù)題意當(dāng)r最小時(shí)，長(zhǎng)度的最小，而是直徑，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)是等腰直角三角形，即可得出米，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）解：①連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；②在①基礎(chǔ)上，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，∴，∵線段是定值，∴當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)N處，即點(diǎn)C在垂直于的直徑上時(shí)，中邊上的高最大，此時(shí)的面積等于的面積，且面積最大，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，，∴的最大面積為；（2）在中，∴在四邊形中，∴，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)P，半徑為r，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)S，∵，∴是直徑，∵，∴，又∵，則，∴米，則米，∴米，要使得最小，即r最小，而是直徑，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最小，此時(shí)，，∵，∴是等腰直角三角形，又∵米，∴米，∴米，∴米，故圍欄長(zhǎng)度的最小值為米．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了三角形的外接圓問題，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，勾股定理與垂徑定理解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．18．（新情境）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作為動(dòng)力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是中國(guó)古代人民的杰出發(fā)明．這種靠水力自動(dòng)的筒車，在家鄉(xiāng)郁郁蔥蔥的山澗、溪流間構(gòu)成了一幅幅優(yōu)美的田園春色圖，下面是一個(gè)筒車灌田的示意圖．如圖所示，筒車在水流的動(dòng)力作用下將水沿筒車運(yùn)送到點(diǎn)處，在點(diǎn)處人們修筑了一條木制水道，將水流從處引導(dǎo)至與在同一水平線的處的田地，由于水在筒車上做圓周運(yùn)動(dòng)，速度方向與圓相切，為了便于水流的輸送，木制水道也與圓相切．小花在查閱資料后發(fā)現(xiàn)，如圖所示的筒車灌田系統(tǒng)，筒車半徑為5米，點(diǎn)到的距離為42米，筒車上的盛水桶在水面之下的最大深度為2米，請(qǐng)你解答下列問題：(1)若連接和，求證：；(2)求木制水道的長(zhǎng)度．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了圓的切線定理，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，并靈活應(yīng)用．（1）構(gòu)造輔助線，利用圓的切線定理和圓周角定理，即可證明出相等角；（2）構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)即可求出線段長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，，為的切線，，，，又，．（2）解：連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，由垂徑定理得，，在中，由勾股定理得，，，，由（1）知，又，，，，．∴水槽的長(zhǎng)度為米．題型三二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用1．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每個(gè)30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批書包，如果以每個(gè)40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300個(gè)，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10個(gè)，設(shè)書包的銷售單價(jià)提高元，銷售量為個(gè)．(1)求銷售量與提高的單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系．(2)文具店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種書包能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫存，問書包的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該文具店一個(gè)月內(nèi)銷售這種書包獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)銷售單價(jià)應(yīng)提高2元(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4000元【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10個(gè)，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出方程進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)總利潤(rùn)為，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可?！驹斀狻浚?）解：由題意，得：；（2）由題意，得：，解得：，∵盡可能減少庫存，∴；答：銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；（3）設(shè)總利潤(rùn)為，則：，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，為；此時(shí)銷售單價(jià)為：元；答：當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4000元．2．（2025·湖北·一模）某公司經(jīng)銷某種高度可調(diào)節(jié)的學(xué)生桌椅，公司購(gòu)買50張桌子和60把椅子共需5200元，購(gòu)買80張桌子和100把椅子共需8400元，在銷售過程中，根據(jù)市場(chǎng)探查，每套桌椅以120元出售時(shí)，每天可售出60套；每套桌椅單價(jià)每降低1元，每天可多售出4套．為支持學(xué)校，公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售（成套銷售），降價(jià)后每套桌椅的利潤(rùn)不低于15元，且利潤(rùn)率不高于18%，設(shè)每套桌椅降價(jià)x元（x為整數(shù)），每天的利潤(rùn)為y元．(1)求購(gòu)買一套桌椅需多少錢？(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量x的取值范圍；銷售桌椅一天的利潤(rùn)能不能達(dá)到1250元，請(qǐng)說明理由；(3)如果公司銷售桌椅某天獲得1216元的利潤(rùn)，公司應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)購(gòu)買一套桌椅需要100元(2)；不能達(dá)到，理由見解析(3)降價(jià)4元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)購(gòu)買一張學(xué)生桌子需要m元，購(gòu)買一把椅子需要n元，根據(jù)題意列二元一次方程組，求解即可；（2）根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，由，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可；（3）令，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買一張學(xué)生桌子需要m元，購(gòu)買一把椅子需要n元．依題意可得，解得，，答：購(gòu)買一套桌椅需要100元；（2）解：不能達(dá)到，理由如下：．自變量的取值范圍是，解得（為整數(shù)），由題意得．，此方程無解，銷售桌椅一天的利潤(rùn)不能達(dá)到1250元；（3）解：由題意得，，．，，即降價(jià)4元．3．（2025·湖北黃岡·一模）某校積極開展陽光體育活動(dòng)，在一場(chǎng)九年級(jí)的籃球比賽中，隊(duì)員甲正在投籃（如圖），已知球出手時(shí)離地面高，與籃圈中心的水平距離為，當(dāng)球出手后水平距離為時(shí)到達(dá)最大高度，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距地面．(1)建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，求籃球運(yùn)行的拋物線解析式；(2)問甲投出的這個(gè)球能否準(zhǔn)確命中；(3)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為，那么他能否獲得成功？【答案】(1)(2)一定能投中(3)不能獲得成功【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求求解析式，根據(jù)自變量的值求函數(shù)值的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）將代入拋物線解析式，求值函數(shù)值，確定籃圈中心點(diǎn)在拋物線上即可；（3）將代入，得，則乙的最大摸高沒有超過此時(shí)球的運(yùn)行高度，由此即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，球出手點(diǎn)的坐標(biāo)，最高點(diǎn)即頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，將代入得：，解得：，∴；（2）解：一定能投中；理由如下：將代入拋物線解析式，∵籃圈中心的坐標(biāo)是，∴一定能投中；（3）解：蓋帽不能獲得成功；理由如下：將代入，得，∵，∴乙的最大摸高沒有超過此時(shí)球的運(yùn)行高度，∴蓋帽不能獲得成功．4．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某科技展覽館在周末開放時(shí)，統(tǒng)計(jì)了參觀者到達(dá)展覽館檢票口的情況，如果把參觀者到達(dá)檢票口的累計(jì)人數(shù)（為整數(shù)，單位：人）和時(shí)間（為整數(shù)，單位：分鐘）的數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)記到坐標(biāo)系中，用光滑的曲線連數(shù)據(jù)點(diǎn)，可近似看作的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若展覽館入口處有一個(gè)自動(dòng)檢票機(jī)，每分鐘可處理張票．(1)求與之間的函數(shù)解析式；(2)展覽館入口處排隊(duì)等待檢票的參觀者人數(shù)最多時(shí)有多少人？(3)檢票開始后的第分鐘開始，為了減少排隊(duì)等候時(shí)間，展覽館在入口處臨時(shí)開放了一個(gè)自動(dòng)檢票機(jī)若新自動(dòng)檢票機(jī)每分鐘可處理張票，則新機(jī)器投入使用多長(zhǎng)時(shí)間后，展覽館檢票處不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)排隊(duì)等待人數(shù)最多時(shí)是人；(3)自動(dòng)檢票機(jī)分鐘時(shí)間后，展覽館入口處不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)，再將代入，求得的值，則可得與之間的函數(shù)解析式；（2）依據(jù)題意，設(shè)第分鐘時(shí)的排隊(duì)等待人數(shù)為人，根據(jù)及（1）中所得的與之間的函數(shù)解析式，可得關(guān)于的二次函數(shù)，將其寫成頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）設(shè)自動(dòng)檢票機(jī)分鐘時(shí)間后，展覽館入口處不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況，根據(jù)題意可列出關(guān)于的方程，求解并根據(jù)問題的實(shí)際意義作出取舍即可．【詳解】（1）解：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，將代入，得：，解得，．（2）解：設(shè)第分鐘時(shí)的排隊(duì)等待人數(shù)為人，由題意可得：，當(dāng)時(shí)，的最大值為100，答：排隊(duì)等待人數(shù)最多時(shí)是100人；（3）解：設(shè)自動(dòng)檢票機(jī)分鐘時(shí)間后，展覽館入口處不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況，由題意得：，整理得：，解得：，（舍．答：自動(dòng)檢票機(jī)8分鐘時(shí)間后，展覽館入口處不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況．5．（2025·湖北黃石·一模）某商家購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷售，那么一個(gè)月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件；同樣地，銷售單價(jià)每降低1元，銷售量相應(yīng)增加20件．若按照這個(gè)規(guī)律，則當(dāng)單價(jià)提高x元時(shí)，銷售量m（件）與x的關(guān)系如下表：?jiǎn)蝺r(jià)（元/件）銷售量（件）提高1元31380提高2元32360………提高x元(1)求銷售量m（件）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷售利潤(rùn)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若限定每月的銷售量在320件到460件之間（可以包括320件或460件），則如何定價(jià)，才能獲得最大銷售利潤(rùn)？最大銷售利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)(3)當(dāng)定價(jià)為24元時(shí)，y有最大值4480，此時(shí)單價(jià)為34元【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銷售問題公式：銷售利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售量．（1）根據(jù)題意銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件；同樣地，銷售單價(jià)每降低1元，銷售量相應(yīng)增加20件，即可寫出與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)銷售問題公式：銷售利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售量即可列出二次函數(shù)解析式；（3）根據(jù)（2）所列函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題意可以得出銷售量m（件）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意可以得出銷售利潤(rùn)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（3）解：由（2）得，∵，∴，∴，∵，拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值4480，此時(shí)單價(jià)為34元6．（2025·湖北孝感·一模）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為60元．近期統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：每周銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克），滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：周銷售單價(jià)x（元/千克）707580859095周銷售量y（千克）1009080706050假設(shè)一段時(shí)間內(nèi)，不計(jì)其他因素和費(fèi)用．解答下列問題：(1)求y與x函數(shù)關(guān)系式；(2)若公司期望某周這種綠茶銷售利潤(rùn)為1600元，且銷售量不低于50千克，應(yīng)將這種綠茶的周銷售單價(jià)定為多少？(3)求公司銷售這種綠茶的最大周利潤(rùn)為多少元？此時(shí)周銷售單價(jià)是多少？【答案】(1)(2)80元(3)銷售這種綠茶最大周利潤(rùn)為1800元，此時(shí)周銷售單價(jià)是90元【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)在實(shí)際銷售問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出函數(shù)關(guān)系式，并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決利潤(rùn)相關(guān)問題．（1）對(duì)于求與的函數(shù)關(guān)系式，利用給定的兩組銷售單價(jià)和銷售量數(shù)據(jù)，代入一次函數(shù)，通過解方程組求出和的值．（2）計(jì)算期望利潤(rùn)為1600元時(shí)的銷售單價(jià)，先根據(jù)利潤(rùn)公式列出方程，求解方程得到銷售單價(jià)的值，再結(jié)合銷售量不低于50千克的條件進(jìn)行篩選．（3）求最大周利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的銷售單價(jià)，根據(jù)利潤(rùn)公式列出二次函數(shù)表達(dá)式，通過分析二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，代入得：，解得：，∴；（2）解：由題得：，解得：，∵，∴，∴，∴周銷售單價(jià)定為80元；（3）解：設(shè)周銷售利潤(rùn)為W，則：=，∴當(dāng)時(shí)，，∴銷售這種綠茶最大周利潤(rùn)為1800元，此時(shí)周銷售單價(jià)是90元．7．（2025·湖北孝感·二模）研究背景：某校數(shù)學(xué)興趣小組到蔬菜基地了解某種有機(jī)蔬菜的銷售情況，并利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)基地的蔬菜銷售提出合理化建議．材料一：某種蔬菜的種植成本為每千克10元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系；材料二：該種蔬菜銷售單價(jià)為12元時(shí)，日銷售量為1800千克；銷售單價(jià)為15元時(shí)，日銷售量為1500千克．任務(wù)一：建立函數(shù)模型（1）求出y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；任務(wù)二：設(shè)計(jì)銷售方案（2）設(shè)該種蔬菜的日銷售利潤(rùn)為W（元），市場(chǎng)監(jiān)督管理部門規(guī)定，除去每日其他正常開支總計(jì)1000元外，該蔬菜銷售單價(jià)不得超過每千克18元，那么該種蔬菜的銷售能否獲得日銷售利潤(rùn)8600元？如果能，蔬菜的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？如果不能，請(qǐng)求出最大日銷售利潤(rùn)．【答案】（1），；（2）能，18元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法求解即可；（2））根據(jù)題意，可得，整理可得，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可獲得答案．【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，可得，解得，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，∵銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，∴，又∵，∴，∴自變量的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，可得，∵，∴該函數(shù)圖像開口向下，且對(duì)稱軸為，又∵該蔬菜銷售單價(jià)不得超過每千克18元，∴當(dāng)時(shí)，日銷售利潤(rùn)取最大值，此時(shí)（元），這種蔬菜的銷售能獲得日銷售利潤(rùn)8600元，蔬菜的銷售單價(jià)應(yīng)定為18元．8．（2025·湖北·一模）數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱子的游戲（無蓋長(zhǎng)方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，矩形為箱子正面示意圖）．某同學(xué)將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L：（單位長(zhǎng)度為1m）的一部分，且拋物線經(jīng)過．已知．(1)求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)請(qǐng)通過計(jì)算說明該同學(xué)拋出的彈珠能投入箱子；(3)若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線L形狀相同的拋物線M運(yùn)動(dòng)，且無阻擋時(shí)彈珠最大高度可達(dá)，則彈珠能否彈出箱子？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)見解析(3)彈珠能彈出箱子，理由見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，，解得：，即可求解；（3）根據(jù)題意設(shè)拋物線M的解析式為，把點(diǎn)代入，得：，解得：或，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：（1）把點(diǎn)，代入得：，解得，∴拋物線L的解析式為；∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵，∴．∵，∴，即點(diǎn)．∵，∴．∴點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，，解得：，．∵，∴該同學(xué)拋出的彈珠能投入箱子；（3）解：彈珠能彈出箱子，理由如下：當(dāng)時(shí)，，解得，∴拋物線L與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．根據(jù)題意設(shè)拋物線M的解析式為，把點(diǎn)代入，得：，解得：或，．又∵拋物線M的對(duì)稱軸在直線的左側(cè)，∴．∴拋物線M的解析式為：．∵當(dāng)時(shí)，，∴彈珠能彈出箱子．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問題．9．（文化背景）中秋節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．月餅是中秋節(jié)的一種美食之一，月餅寓意著團(tuán)

圓和完美．“豆沙餅”是某地的特色月餅，深受當(dāng)?shù)厝藗兊南矏郏成痰暝谥星锕?jié)來臨之前，去當(dāng)?shù)氐挠褙堬灱矣嗁?gòu)普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅兩種進(jìn)行試銷．已知蛋黃豆沙月餅的單價(jià)是普通豆沙餅單價(jià)的倍，用元購(gòu)進(jìn)蛋黃豆沙餅的數(shù)量比用元購(gòu)進(jìn)普通豆沙月餅的數(shù)量多個(gè)．(1)普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅的單價(jià)分別是多少？(2)若某商店把蛋黃豆沙月餅以元銷售時(shí)，那么半個(gè)月可以售出個(gè)．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，把這個(gè)蛋黃豆沙月餅的單價(jià)每提高元，銷量會(huì)相應(yīng)減少個(gè)．將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)普通豆沙餅的單價(jià)是元，蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元(2)當(dāng)售價(jià)定為元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）設(shè)普通豆沙餅的單價(jià)是元，則蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元，根據(jù)“用元購(gòu)進(jìn)蛋黃豆沙餅的數(shù)量比用元購(gòu)進(jìn)普通豆沙月餅的數(shù)量多個(gè)”列出分式方程求解即可；（2）設(shè)售價(jià)定為元，利潤(rùn)為元，根據(jù)題意列出關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；解題的關(guān)鍵：（1）正確理解題意，列出方程；（2）正確列出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：設(shè)普通豆沙餅的單價(jià)是元，則蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解且符合題意，∴（元），答：普通豆沙餅的單價(jià)是元，蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元；（2）設(shè)售價(jià)定為元，利潤(rùn)為元，依題意，得：，∵∴二次函數(shù)的圖像開口向下，函數(shù)有最大值，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為元，答：當(dāng)售價(jià)定為元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．10．（新情境）如圖，是一個(gè)可以在水平地面上左右移動(dòng)的機(jī)械桿，水平地面，在點(diǎn)處有一個(gè)拋射裝置，每次拋出的木球的運(yùn)動(dòng)路徑都相同，是拋物線的一部分．斜坡與地面的夾角是米，斜坡上有個(gè)球洞米．某次投射，木球恰好落在點(diǎn)處，木球運(yùn)動(dòng)到與的水平距離為6米處時(shí)達(dá)到最高位置．已知米．請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，解決下列問題．(1)求出木球飛行的最大高度；(2)若把向右平移米，木球恰好能落入球洞，求的值．（結(jié)果精確到1米，）【答案】(1)米(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際問題，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，根據(jù)解直角三角形得到和的長(zhǎng)度，然后求出點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)解題即可．【詳解】（1）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖（1）所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)單位長(zhǎng)度為1米，．木球運(yùn)動(dòng)到與的水平距離為6米處時(shí)達(dá)到最高位置，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將分別代入，得解得木球飛行的最大高度為米；（2）解：如圖（1），過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，則，（米），（米）．由（1）知，點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．（新情境）綜合與實(shí)踐項(xiàng)目主題：愛心發(fā)卡

溫暖傳遞項(xiàng)目背景：寒假期間，王老師計(jì)劃制作、兩款手工發(fā)卡，并將售賣后的全部利潤(rùn)捐贈(zèng)給福利院．為助力王老師確定最優(yōu)加工方案，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，從而給予福利院兒童更多幫助，小輝開展了以“探究愛心發(fā)卡最佳加工方案”為主題的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)．驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究能獲取最大日利潤(rùn)的發(fā)卡加工方案．收集信息：（1）受制作條件限制，王老師每日最多可制作、兩款發(fā)卡共只，（2）經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，兩款手工發(fā)卡市場(chǎng)需求旺盛，預(yù)期每日制作的發(fā)卡均可售罄．扣除各項(xiàng)成本后，具體獲利情況如下：款：當(dāng)每天加工只時(shí)，每只獲利元，如果每天多加工只，那么平均每只獲利將減少元；款：每只獲利元．解決問題：(1)設(shè)王老師每天加工款發(fā)卡只，每只款發(fā)卡獲利元，則與的函數(shù)關(guān)系式為______；(2)設(shè)每日的銷售總利潤(rùn)為元，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(3)通過計(jì)算說明使日銷售利潤(rùn)最大的加工方案．【答案】(1)(2)(3)每日加工款只，款只可使日銷售利潤(rùn)最大【分析】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列出與的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)王老師每天加工款發(fā)卡只，每只款發(fā)卡獲利元，則與的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：；（2）解：，，；（3）解：方法一：，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，，每日加工款只，款只可使日銷售利潤(rùn)最大；方法二：，，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，，每日加工款只，款只可使日銷售利潤(rùn)最大．12．（新情境）小佟同學(xué)在一個(gè)早晨拿出無人機(jī)（有前置攝像頭）和可以錄像的平板電腦，觀測(cè)天空上的彩虹．他用平板電腦監(jiān)控彩虹的影像，并且在數(shù)學(xué)軟件中，選取地面上一點(diǎn)為原點(diǎn)，地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．變量的單位均為千米．使用的無人機(jī)他發(fā)現(xiàn)天空上某一道彩虹對(duì)應(yīng)解析式，于是標(biāo)記左端點(diǎn)為點(diǎn)，右端點(diǎn)為點(diǎn)．(1)求第一道彩虹的表達(dá)式和其對(duì)稱軸．(2)小佟突然觀測(cè)到第一條彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端點(diǎn)為點(diǎn)，且在第一道彩虹上，右端點(diǎn)為點(diǎn)．一道太陽光射過來，小佟決定借此機(jī)會(huì)拍一張光效照片．他把無人機(jī)（看做一點(diǎn)）駕駛到某一處，太陽光穿過點(diǎn)和點(diǎn)，落在前置攝像頭上，呈現(xiàn)出五彩斑斕的效果．①若無人機(jī)在原點(diǎn)處，試用表示；②若無人機(jī)在原彩虹的對(duì)稱軸上，求時(shí)彩虹投影對(duì)應(yīng)的拋物線解析式．【答案】(1)，對(duì)稱軸為直線(2)①；②【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法