4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用（第一課時(shí)）(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章)深圳第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校隨倩倩一、教學(xué)目標(biāo)1.能夠認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的含義，利用已知的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題；2.體會(huì)求解模型的過(guò)程，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本步驟，能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)求解的結(jié)論與實(shí)際問(wèn)題結(jié)果的差異；3.感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用已知的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)：對(duì)于碳14半衰期及衰減率的理解及驗(yàn)證問(wèn)題中的數(shù)據(jù)與所提供的數(shù)學(xué)模型是否吻合.三、教學(xué)過(guò)程1.情境引入1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考例3 人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)，早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，17661834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：，其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.（1）根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950~1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型.（2）利用（1）中的模型計(jì)算1951~1958年各年末的人口總數(shù).查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國(guó)在1951~1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.（3）以（1）中的模型作預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億?2.例題講解2.1問(wèn)題串引導(dǎo)，體會(huì)建模過(guò)程【預(yù)設(shè)答案】人口初始量及年平均增長(zhǎng)率．追問(wèn)1：我國(guó)自1950年起的人口增長(zhǎng)模型中人口初始量是多少？【預(yù)設(shè)答案】依題意是1950年末的人口總數(shù)55196萬(wàn)．追問(wèn)３：如何計(jì)算1950年－1959年的年平均增長(zhǎng)率？【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)建模是為了解決實(shí)際問(wèn)題，在2021年全國(guó)第七次人口普查的背景下借助人口增長(zhǎng)這一實(shí)例，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)建?！笔欠浅＞哂鞋F(xiàn)實(shí)意義的，有科學(xué)價(jià)值.問(wèn)題2：所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符？【預(yù)設(shè)答案】利用我們確定的人口增長(zhǎng)模型求得我國(guó)1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再與國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的各年末的實(shí)際人口總數(shù)相比較，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符．年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)／萬(wàn)5641757665589406024361576629386433065753人口數(shù)/萬(wàn)5630057482587966026661456628286456365994【教師活動(dòng)】教師通過(guò)計(jì)算機(jī)工具呈現(xiàn)函數(shù)圖象與實(shí)際人口數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖．【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證模型，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思維過(guò)程.那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國(guó)人口達(dá)到13億．問(wèn)題4：事實(shí)上，我國(guó)1989年的人口數(shù)為11.27億，直到2005年才突破13億，對(duì)由函數(shù)模型所得結(jié)果與實(shí)際狀況不符，你有何看法？【預(yù)設(shè)答案】因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大，人口增長(zhǎng)過(guò)快，與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大的矛盾，所以我國(guó)從20世紀(jì)70年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策，因此，這一階段的人口增長(zhǎng)條件并不符合馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型的條件，所以得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況．【教師活動(dòng)】在人口紅利出現(xiàn)拐點(diǎn)，老齡化加速的背景下我國(guó)逐步放開(kāi)了二胎政策，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)關(guān)注國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中有關(guān)人口數(shù)據(jù)，探究我國(guó)人口變化的規(guī)律．【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生明確使用已知模型的前提條件，并正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)求解的結(jié)論與實(shí)際問(wèn)題結(jié)果的差異.問(wèn)題5：根據(jù)上述例題建模過(guò)程，總結(jié)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程步驟？【預(yù)設(shè)答案】提出問(wèn)題、建模、求解、檢驗(yàn).【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程步驟.3.鞏固練習(xí)，實(shí)際應(yīng)用例42010年考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？問(wèn)題1：我們可以建立怎樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)推斷良渚古城水利系統(tǒng)中水壩的建成年代？【預(yù)設(shè)活動(dòng)】學(xué)生回答，教師補(bǔ)充（尋找死亡生物體內(nèi)碳14殘留量與時(shí)間的關(guān)系）【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.問(wèn)題2：根據(jù)課本P115的閱讀與思考，了解碳14年代推測(cè)模型，你能選出合適的函數(shù)模型嗎？【預(yù)設(shè)活動(dòng)】【設(shè)計(jì)意圖】從課本中的拓展材料出發(fā)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的興趣與好奇心.問(wèn)題3：如果利用這一對(duì)應(yīng)關(guān)系由碳14的殘留量推斷此水壩建成的大概年代，需要確定哪個(gè)參數(shù)？【預(yù)設(shè)答案】需要確定和教師：如何求解年衰減率學(xué)生：用半衰期求解，閱讀材料中已知碳14半衰期為5730年，代入函數(shù)關(guān)系式求解.【預(yù)設(shè)活動(dòng)】學(xué)生代入條件解決問(wèn)題，教師在一邊指導(dǎo)，最后，請(qǐng)學(xué)生將他的解答過(guò)程通過(guò)黑板或者多媒體展示給大家.因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此大壩是公元前2902年建成的．【設(shè)計(jì)意圖】在探究的基礎(chǔ)上，遵循嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)原則，鞏固建模的思維過(guò)程和求解步驟.4.歸納小結(jié)問(wèn)題1：在本節(jié)課中，我們主要研究了哪些函數(shù)模型？它們可以幫助我們解決怎樣的實(shí)際問(wèn)題？給定函數(shù)模型，如何根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)？利用具體的函數(shù)模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需要注意些什么？【預(yù)設(shè)答案】本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型和碳14年代推測(cè)模型，它們分別在人口增長(zhǎng)以及考古研究中有重要的應(yīng)用.當(dāng)給定函數(shù)模型時(shí)，要正確理解所給函數(shù)模型中變量的實(shí)際意義，結(jié)合條件得到方程，并利用信息技術(shù)求出參數(shù)的值.利用具體的函數(shù)模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要注意其適用條件.【教師活動(dòng)】通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們體會(huì)到函數(shù)在描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系和規(guī)律的作用，在面臨實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)規(guī)律.問(wèn)題2：回顧數(shù)學(xué)建模的過(guò)程