猜押06圓的計算與證明題（三年三考）猜押考點3年福建真題考情分析押題依據(jù)扇形弧長、面積計算2022年第21題2023年第10題在福建中考數(shù)學(xué)中，選擇、填空、解答題均會涉及到圓的考查，總分值在20分左右。有基礎(chǔ)題型，也有綜合題型，無論題型如何變化，要求考生掌握圓的相關(guān)基礎(chǔ)知識，才能進(jìn)一步解決更復(fù)雜的綜合問題。圓的知識點很少單獨考查，通常會與其他幾何圖形或代數(shù)知識相結(jié)合，形成綜合性較強的題目?？傮w來說，2025年福建中考數(shù)學(xué)關(guān)于圓的題型會延續(xù)以往的命題風(fēng)格，注重基礎(chǔ)知識的考查，同時強調(diào)圓與其他知識的綜合應(yīng)用，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。圓周角定理2022年第21題圓與三角形綜合2024年第25題題型一求扇形弧長與面積1．（2025·福建龍巖·一模）滑輪軸的位置固定不動稱之為定滑輪，其不省力，但可改變力的方向．如圖，定滑輪半徑為，現(xiàn)需將重物拉升（取），則滑輪旋轉(zhuǎn)的情況為（

）A．順時針旋轉(zhuǎn) B．逆時針旋轉(zhuǎn)C．順時針旋轉(zhuǎn) D．逆時針旋轉(zhuǎn)【答案】B【分析】本題考查了弧長公式的計算，重物上升時，即弧長是，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度是，利用弧長公式計算即可得出答案，熟練掌握弧長公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：滑輪的半徑是，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度是，由題意得：，解得：，滑輪的一條半徑繞軸心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為，故選：B．2．（2024·福建三明·三模）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為4，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，由正六邊形的性質(zhì)可得：A，O，D三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，由正六邊形的性質(zhì)可得：A，O，D三點共線，為等邊三角形，∴，∴，∴扇形與扇形重合，∴，∵為等邊三角形，，過O作于K，∴，∴；故選：C．3．（2025·福建泉州·一模）一根鋼管放在“V”形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是，若，則圖中陰影部分的面積是．【答案】/【分析】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積、解直角三角形、切線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．連接，由題意得都是的切線，得到，利用四邊形的內(nèi)角和定理得出，再證出，得到，利用正切的定義求出的長，最后利用陰影部分的面積即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由題意得，都是的切線，，，，，，，，，，，，在中，，，，陰影部分的面積．故答案為：．4．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）如圖，四邊形內(nèi)接于為的直徑，平分，若，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理結(jié)合角平分線性質(zhì)可推出是等腰直角三角形，先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)弧長公式即可求出的長．【詳解】解：連接，∵四邊形內(nèi)接于為的直徑，，平分，，，，，∴是等腰直角三角形，在中，，，∴，則的長，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，弧長公式等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識．5．（2024·福建廈門·二模）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中長度為米，裙長為0.6米，圓心角，則馬面裙的面積為平方米．【答案】【分析】本題考查了弧長公式，扇形的面積公式．由題意知，，求得，得到米，由馬面裙的面積，結(jié)合扇形的面積公式計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，∵裙長為米，∴米，∴馬面裙的面積．故答案為：．6．（2024·福建福州·一模）（1）如圖①，已知圓上兩點A，B，用直尺和圓規(guī)求作以為邊的圓內(nèi)接等腰三角形（保留作圖痕跡，不寫畫法）．（2）如圖②，若圓O的直徑為6，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、垂徑定理和扇形面積公式，解題關(guān)鍵是熟練運用尺規(guī)作圖方法和圓的相關(guān)性質(zhì)求解；（1）作的垂直平分線即可；（2）過O點作于H點，求出扇形面積和三角形面積，再相減即可．【詳解】解：（1）如圖1，和為所作；（2）過O點作于H點，連接，如圖2，則，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．7．（2024·福建福州·一模）如圖，為的直徑，為的弦，，為的中點，連接，，交于點．(1)求的度數(shù)；(2)若，求扇形的面積．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了圓周角定理，扇形的面積，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握圓周角定理和扇形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接，則，根據(jù)點為的中點得，進(jìn)而得，據(jù)此可得的度數(shù)；（2）先求出半徑為3，再根據(jù)得，然后根據(jù)扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：連接，如下圖所示：∵為的直徑，，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴扇形的面積為：．8．（23-24九年級上·福建福州·期中）如圖，是直徑，點C在上，連接，使．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由直徑得到，再結(jié)合等邊對等角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得出，即可證明結(jié)論；（2）先得出，再由圓周角定理，得到，進(jìn)而得出，最后由陰影部分的面積，即可求出圖中陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴陰影部分的面積．【點睛】本題考查了圓的切線的判定定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，求不規(guī)則圖形面積等知識，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)和扇形面積公式是解題關(guān)鍵．9．（22-23九年級下·福建南平·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的分別交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，利用圓周角定理推知是等腰等邊上的高線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）如圖，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角的度數(shù)，然后利用弧長公式進(jìn)行解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵是圓O的直徑，∴，即．又∵，∴是邊上的中線，∴；（2）連接，∵，∴．又∵，，∴，∴，∴的長為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長的計算以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．通過作輔助線，利用圓周角定理（或圓半徑相等）的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點．題型二利用圓周角定理進(jìn)行證明1．（2025·福建·一模）已知半圓以為直徑，現(xiàn)將一塊含的直角三角板如圖放置，角的頂點在半圓上，斜邊經(jīng)過點，一條直角邊交半圓于點．則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得，即可求解．【詳解】解：，，，故選：D．2．（2025·福建泉州·一模）如圖，A，B，C是上的三點，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．連接，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，再利用圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，，，，．故選：C．3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，、、、是上的四個點，，若，則的度數(shù)為．

【答案】/84度【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等求得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，從而利用圓周角定理求解．【詳解】解：∵、、、是上的四個點，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，在中，是優(yōu)弧上一點，，連接，，延長交于點，則圖中角度大小為的角是．【答案】【分析】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質(zhì)等知識，根據(jù)圓周角以及三角形的相關(guān)知識確定圖中各個角的數(shù)量關(guān)系即可作答．【詳解】連接，如圖，∵是優(yōu)弧上一點，，∴，即：，∵，，∴，∴，∴結(jié)合圖形有：，，∴，∵，∴，即可以確定角度大小為的角為：，故答案為：．5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，，過三點的圓與交于點．(1)求證：是的中點；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)圓周角定理證得為直徑，進(jìn)而，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接．根據(jù)已知和（1）中結(jié)論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，再利用圓周角定理得到即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接．三點共圓，且，為直徑，，即又即是的中點．（2）證明：連接．，則，又，，．6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）某學(xué)校的學(xué)習(xí)團(tuán)隊計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度．【素材一】如圖1，摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上．?dāng)M測算的寫字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）．【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團(tuán)隊分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當(dāng)1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀觀測寫字樓最高處D點，觀測數(shù)據(jù)如表（觀測誤差忽略不計）．1號轎廂測量情況4號轎廂測量情況10號轎廂測量情況【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（1）如圖3，設(shè)1號轎廂運動到最高點A時，4號轎廂位于B點，連接，則______；（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置B點的高度．（結(jié)果保留根號）【任務(wù)二】推理分析，估算實際高度（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算寫字樓的實際高度．（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，）【答案】（1）45；（2）米；（3）寫字樓的實際高度約為82米【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，圓周定理，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．（1）由題可知，摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個橋廂，因此；（2）過點作于點，由題可知，點此時的高度為最高為128米，半徑為60米，因此點高度為68米，根據(jù)，，可得，即可；（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過點作于點，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此點的高度為：（米，即可．【詳解】解：（1）連接、，如下圖所示：“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個橋廂，，故答案為：45．（2）過點作于點，點此時的高度為最高為128米，半徑為60米，點高度為68米，，，，點的高度為米，答：點的高度為米．（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過點作于點，令，由素材2，素材3的4號轎廂測量情況和10號轎廂測量情況得：，，，即，點的高度為：（米，答：寫字樓的實際高度約為82米．8．（2023·福建福州·二模）如圖，是半圓的直徑，，是上一點，，是的中點，連接，，．(1)求的大??；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）證明是等邊三角形，即可得解；（2）延長交延長線于，證明，推出，從而得到，再由三角形中位線定理即可得證．【詳解】（1）解：∵∴∴是等邊三角形∴（2）證明：如圖，延長交延長線于∵是等邊三角形∴∵∴∵∴∴，，∴∴∵∴∵是的中點，∴∴是的中位線，∴．9．（23-24九年級上·福建三明·期末）如圖，為的直徑，弦于點E，于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)的長是【分析】（1）先證明平分，得出，證明，說明，得出，從而得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)為的直徑，弦于點E，得出，，，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵于點E，于點F，且，∴點C在的平分線上，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵經(jīng)過的半徑的外端，且，∴是的切線．（2）解：∵為的直徑，弦于點E，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長是．【點睛】本題主要考查了切線的判定，角平分線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和定理，數(shù)形結(jié)合．10．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）如圖，中，，以為直徑的交邊于點D，過點D作的切線交于點E．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出，則，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，所以；（2）連接．根據(jù)為的直徑，得出，證出．再根據(jù)，得出．在中，算出，利用正切的定義得到即可求解．【詳解】（1）解：連接．∵，，∴．∵，∴．∵是的切線，∴，∴．（2）解：連接．∵為的直徑，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴．在中，，，∴．∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點，正確作出輔助線．11．（2025·福建福州·一模）如圖，為的直徑，弦，連接，，為上一點，，連接并延長交于點，交于點．(1)求證：．(2)若，，求．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）如圖所示，連接，交于點，由等邊對等角得到，根據(jù)對頂角相等，同弧所對圓周角相等得到，由垂徑定理得到，則，由三角形的外角的性質(zhì)得到，，由此即可求解；（2）根據(jù)證明可得，，則，證明所以有，即，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∵為的直徑，弦，∴，是的垂直平分線，∴，∴，∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）可得，，∵，∴，∴，∴，即，解得，．【點睛】本題主要考查垂徑定理，等腰三角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，同弧或等弧所對圓周角相等，平行線截線段成比例等知識的綜合運用，掌握垂徑定理，同弧或等弧所對圓周角相等，平行線截線段成比例等知識，數(shù)形結(jié)合分析思想是解題的關(guān)鍵．11，．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，已知是的直徑，是的弦，點P是外的一點，，垂足為點C，與相交于點E，連接，且，延長交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)與判定：（1）由直徑所對的圓周角是直角得到，則，再由，得到，根據(jù)，，即可證明，則；（2）易得，則，根據(jù)，求出，，則，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而求出，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，如圖所示，連接，由（1）可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，，∴，∴，∴．12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）“天圓地方”觀最早起源于中國古人對宇宙天地的最初認(rèn)識，后來發(fā)展成為中國傳統(tǒng)文化的重要思想，在我國古代應(yīng)用廣泛．例如，世界文化遺產(chǎn)“天壇”（如圖1），秦統(tǒng)一貨幣“秦半兩”（如圖2）“天圓地方”的宇宙圖式具有一種極具意味的形式美和意境美，這種觀念成為現(xiàn)代各種設(shè)計活動的靈感來源．為了同學(xué)們更深入地了解“天圓地方”的數(shù)學(xué)之美，老師設(shè)計了如下學(xué)習(xí)項目活動單：學(xué)習(xí)項目主題：景區(qū)圓形水池開發(fā)方案設(shè)計初步感知：（1）已知半徑為，求其內(nèi)接正方形的邊長．設(shè)計活動一：（2）某風(fēng)景區(qū)有一片直徑為10米的圓形水池如圖3所示（即），某噴泉設(shè)計公司給出如下方案：在池內(nèi)沿中軸線設(shè)計兩個正方形噴泉陣（即正方形和正方形），剩余區(qū)域進(jìn)行自然水景生態(tài)美化由于景區(qū)開發(fā)資金有限，噴泉陣又造價較高，為了節(jié)約成本，請求出兩個正方形噴泉陣面積之和的最小值以及此時的長．設(shè)計活動二：（3）某演藝公司也對（2）中的圓形水池提出開發(fā)方案：為了增強景區(qū)的娛樂性和交互性，可以建造一個水上演藝舞臺（如圖4），池內(nèi)沿中軸線設(shè)計兩個無縫連接的前置矩形舞臺和后置矩形舞臺，于點B，于點G，，，為了確保夜間演出的舞臺效果，需要給舞臺和處全部安裝燈帶為做出預(yù)算，請求出燈帶的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）兩個正方形的面積和的最小值為25平方米，此時米；（3）的最大值為米，的最小值為米．【分析】（1）求出正方形的邊長，可得結(jié)論；（2）如圖3中，設(shè)米，則米，設(shè)兩個正方形的面積和為y平方米，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如圖4中，連接，．設(shè)米．米．證明A，C，共線，因為米，米，推出米，因為米，推出當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，求出的最大值，最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．∵四邊形是的內(nèi)接正方形，∴是直徑，∵半徑為即，∴，（2）如圖3中，設(shè)米，則米，設(shè)兩個正方形的面積和為y平方米，則，∵，∴時，y有最大值，最小值為25．∴兩個正方形的面積和的最小值為25平方米，此時米；（3）如圖4中，連接，．設(shè)米．米．∵是直徑，，，∴，，∵，，∴，，∵，∴四邊形是正方形，同法可證四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，∴，∴A，C，共線，∴米，米，∴米，∵米，∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，∵是直徑時，的值最大，此時，∴，∴的最大值為米．當(dāng)點E落在上時，的值最小，連接，，，此時，在中，米．，∴，，設(shè)，則，解得（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴，∴的最小值為米．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．題型三圓的綜合1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，C為上一點，連接，過點C作的切線交延長線于點D．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）如圖，連接，由為的直徑，可得，由切線的性質(zhì)可得，則，由，可得，進(jìn)而可得；（2）由，可得，證明，則，即，可求，，則，進(jìn)而可求的半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，，，∴，∴的半徑為．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，切線的性質(zhì)，等邊對等角，正切，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，切線的性質(zhì)，等邊對等角，正切，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，已知是的切線，切點為點，為的割線．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）過作的直徑，連，則，，由切線的性質(zhì)得，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可；（）由（）可知，又，則，證明是等邊三角形，根據(jù)性質(zhì)求出半徑即可；本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）過作的直徑，連，則，，∵切于點，∴，∴，∵，∴，∴；（2）連接，由（）可知，又，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴的半徑，∴的面積等于．3．（2024·福建寧德·一模）如圖，內(nèi)接于，平分，交于點，連接，過點D作，交延長線于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，熟練根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線得到，，再根據(jù)圓周角定理得出，，證出，即可解答；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)和圓周角定理證出，再根據(jù)內(nèi)接四邊形得到，證明，從而證出，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）證明：∵平分，∴．∵，，∴，．∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∵四邊形內(nèi)接于，∴．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．又∵，∴．4．（2024·福建龍巖·二模）如圖，已知是的直徑，點D是圓上一點，過點D作的切線交延長線于點C，連接，．

(1)求證：．(2)已知，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，注意連接是圓中常用的輔助線．（1）要證，聯(lián)想到證；（2）由條件，可求得、的長，要求的長，結(jié)合已求得的邊長，聯(lián)想到利用（1）中得到的，得到對應(yīng)邊成比例，進(jìn)一步列方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵是的切線，∴，∴．∵是的直徑，，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，，．（2），，，，．由（1）知，，設(shè)，則，，，，解得，∴的長為．5．（2024·福建·中考模擬）如圖1，點A、C、E、G在上，；(1)求證：；(2)如圖2，點F在上，連接、，延長、交于點B，作延長線于點H，若，，求證：；(3)在（2）的條件下，若°，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)弧、弦、圓周角的關(guān)系證明即可；（2）根據(jù)圓周角定理證明，即可得證；（3）連接、、，證明是等邊三角形，則，根據(jù)圓周角定理可得是的直徑，則，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可．【詳解】（1）證明：，，；（2）證明：，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：連接、、，，，，，是等邊三角形，，，是的直徑，，在中，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，，，．【點睛】本題考查了圓的綜合，涉及弧、弦、圓周角的關(guān)系，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解一元二次方程等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)和判定．6．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，點，在以為直徑的上，且位于直徑的異側(cè)，過點作的切線交的延長線于點，．(1)求證：平分；(2)若，求的值；(3)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的值．【答案】(1)見解析(2)1(3)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，結(jié)合題意得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得，即可證出平分．（2）根據(jù)圓周角定理得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求出．（3）根據(jù)是的直徑，點在上，得出當(dāng)面積最大時，點是弧的中點，此時為等腰直角三角形．過點作于點，設(shè)，則，得出，．在中，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求出．【詳解】（1）證明：連接．是切線，．又，．．，．．平分．（2）解：是的直徑，．，．又，．．．（3）解：是的直徑，點在上，當(dāng)面積最大時，點是弧的中點．為等腰直角三角形．過點作于點，則為等腰直角三角形．，四邊形為矩形．設(shè)，則，．．在中，．，．．【點睛】該題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．7．（2024·福建漳州·一模）如圖，是的外接圓，是的直徑，切線交的延長線于點D，，垂足為點E，延長交于點F，連接．(1)求證：平分；(2)若的半徑為4，，求的值．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)及，得到，進(jìn)而得到，由，推出，即可得到，即可證明結(jié)論；（2）由，證明，求出，再證明，求出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．是的切線，．，．．，．．平分；（2）解：，∴的半徑為，，解得．是的直徑，是的切線，，即【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形．掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖1，為半圓的直徑，為延長線上一點，切半圓于點，，交延長線于點，交半圓于點，已知，．如圖2，連結(jié)，為線段上一點，過點作的平行線分別交，于點，，過點作于點．設(shè)，．(1)求的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)延長交半圓O于點Q，當(dāng)時，求的長．【答案】