/重難點(diǎn)03“定弦定角”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“定弦定角”模型解決問(wèn)題一．選擇題1．（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．2．（2022?睢陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣6，0），連接CD，點(diǎn)P為邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)AE取最小值時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．3．（2021秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣44．（2021秋?唐縣期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)B作射線AP的垂線，垂足為Q，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．（2021秋?連城縣期中）如圖，點(diǎn)A是半徑為8的圓O上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B繞圓周運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．4π D．8π6．（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是⊙O上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（）A．2 B． C． D．7．（2022?防城港模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2二．填空題8．（2023?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為．9．（2021秋?頭屯河區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連BP交△APC的外接圓于點(diǎn)E，則AE的最小值為．10．（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝60°，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為．11．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．12．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．三．解答題13．（2021秋?自貢期末）在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，垂足為C，∠BDC＝∠BAC，AC與BD交于點(diǎn)E．（1）如圖1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的長(zhǎng)；（2）如圖2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分別為M，N，CN＝4，求DB+DC的長(zhǎng)．14．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)三模）問(wèn)題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△ABC的面積為；問(wèn)題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面積；問(wèn)題解決（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長(zhǎng)BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角∠AMB＝45°，請(qǐng)你通過(guò)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線AO、BC相交于點(diǎn)H．（1）若α＝60°，則CD＝cm．（2）若AO⊥BC①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是；A．點(diǎn)H在⊙O外B．點(diǎn)H在⊙O上C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)②求線段AO的長(zhǎng)度．（3）線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．16．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在y軸正半軸上），且，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P為優(yōu)弧CAD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CP于點(diǎn)E，交BP于點(diǎn)N，連結(jié)AN．（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AN的最小值．17．（2021秋?揚(yáng)州月考）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，王老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC＝4，使用作圖工具作∠BAC＝30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），…．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；②△ABC面積的最大值為；（2）經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形外部，我們記為A′，請(qǐng)你利用圖1證明∠BA'C＜30°．（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝5，點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且∠DPC＝60°，則線段PB長(zhǎng)的最小值為．18．（2020秋?丹陽(yáng)市期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖（1），AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若∠AOB＝150°，則∠ACB＝°．愛動(dòng)腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)C是不是在某一個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【研究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小明先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖（2），若AB＝2，直線AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB＝45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小明以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)等腰Rt△AOB，再以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．請(qǐng)根據(jù)小明的思路在圖（2）中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）．后來(lái)，小明通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論，即：若線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，則點(diǎn)C一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【應(yīng)用】（1）如圖（3），AB＝2，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB＝60°，則△ABC面積的最大值為．（2）如圖（4），已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BAE，其中BE＝BA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②連接CP，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則CP的最小值為．19．（2020秋?東?？h期末）思考發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q均在射線AM上，若∠APB＝30°，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是；若∠AQB＞30°，則點(diǎn)Q與⊙O的位置關(guān)系是．問(wèn)題解決：如圖2，四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．（2）若點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，且∠APD＝45°，求BP的長(zhǎng)；（3）如圖3，以B為圓心，BC為半徑作弧，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)Q為弧EC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)I為△BQH的內(nèi)心，連接BI，QI，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，則內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．（直接填空）一、填空題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是______．2．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為__________．二、解答題3．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，是上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，．

(1)當(dāng)________時(shí)，的最大面積為________；(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，且．求證：是的切線．4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀緦W(xué)習(xí)心得】小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作輔助圓，則C，D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則．(1)【初步運(yùn)用】如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)；(2)【方法遷移】如圖，已知線段和直線，用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點(diǎn)，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)【問(wèn)題拓展】①如圖，已知矩形，，，為上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為______．②如圖，在中，，是邊上的高，且，，求的長(zhǎng)．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在等邊中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接．（1）如圖1，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接，猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、交于點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出的值．

重難點(diǎn)03“定弦定角”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“定弦定角”模型解決問(wèn)題一．選擇題1．（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【分析】先判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠CBH＝30°，∠OBD＝90°，根據(jù)勾股定理即可求出BH、BD、OD，進(jìn)而可得DP的最小值．【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值為OD﹣OP＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、定弦定角構(gòu)造圓等，解題關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．2．（2022?睢陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣6，0），連接CD，點(diǎn)P為邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)AE取最小值時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．【分析】先判斷出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡：以CD中點(diǎn)F為圓心，半徑FD＝FC＝FE＝5的圓弧上，連接AF，交⊙M于點(diǎn)E，此時(shí)AE最小，再過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，通過(guò)相似即可求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．【解答】解：∵DE⊥CP，∴∠DEC＝90°，取CD中點(diǎn)F（﹣3，4），則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)F為圓心，半徑FD＝FC＝FE＝5的圓弧上，連接AF，交⊙M于點(diǎn)E，此時(shí)AE最小，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，則AM＝11，F(xiàn)M＝4，∠FMA＝∠ENA＝90°，在Rt△AFM中，AF＝＝，∵∠FMA＝∠ENA＝90°，∴FM∥EN，∴，即，∴EN＝4﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合，涉及到定長(zhǎng)定角構(gòu)造輔助圓，勾股定理、相似三角形，解題關(guān)鍵是判斷出動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．3．（2021秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【分析】首先證明∠PAB+∠PBA＝90°，得∠APB＝90°，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值為2﹣4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用定邊對(duì)定角確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?唐縣期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)B作射線AP的垂線，垂足為Q，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】由AQ⊥BQ，得點(diǎn)Q在以AB為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為，連接OC，代入弧長(zhǎng)公式即可．【解答】解：∵AQ⊥BQ，∴點(diǎn)Q在以AB為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為，連接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，確定點(diǎn)Q在以AB為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?連城縣期中）如圖，點(diǎn)A是半徑為8的圓O上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B繞圓周運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．4π D．8π【分析】連接OP，OA，由點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，得∠OPA＝90°，則點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓周長(zhǎng)即可．【解答】解：連接OP，OA，∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴∠OPA＝90°，∴點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵OA＝8，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：2π×4＝8π，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，利用定弦對(duì)定角確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．6．（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是⊙O上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（）A．2 B． C． D．【分析】如圖，連接OD，OC，首先證明點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，AC，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，∵C為的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．7．（2022?防城港模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【分析】如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．證明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，推出當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，想辦法求出OD，OP，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二．填空題8．（2023?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為2﹣2．【分析】首先判斷出△ABE≌△DAF，即可判斷出∠DAF＝∠ABE，再根據(jù)∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根據(jù)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB＝90°，可得點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，根據(jù)勾股定理，即可求出線段DP的最小值為多少．【解答】解：如圖作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接PD′，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：MD＝D′M，CD＝CD′＝4，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，易證AF⊥BE，故可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑的半圓弧上，連接OD′交⊙O于P，交BC于M，則此時(shí)，MD+MP的值最小且等于PD′，過(guò)O作OG⊥CD于G，∴CG＝OB＝2，OG＝AD＝4，∴D′G＝6，∴OD′＝，∴PD′＝2﹣2，∴MD+MP的最小值為2﹣2，故答案為：2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是最短路徑問(wèn)題，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?頭屯河區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連BP交△APC的外接圓于點(diǎn)E，則AE的最小值為2．【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接OA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接CE．∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的上運(yùn)動(dòng)（△BOC是等腰三角形，∠BOC＝120°，OB＝OC＝3），連接OA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。摺螦CB＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACO＝90°，∴OA＝＝5，∴AE′＝OA﹣OE′＝5﹣3＝2，∴AE的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．10．（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝60°，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為2．【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。藭r(shí)⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．∵∠BE'C＝120°∴所對(duì)圓周角為60°，∴∠BO′C＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝8，∴O′B＝O′C＝8，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝＝＝10，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝10﹣8＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．11．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為+1．【分析】作出△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠BOC＝90°，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出半徑OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式，底邊BC一定，邊BC上的高越大則三角形的面積越大，所以，當(dāng)BC邊上的高過(guò)圓心O時(shí)，三角形的面積最大，進(jìn)行求解即可．【解答】解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不變，∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過(guò)圓心時(shí)，最大，此時(shí)BC邊上的高為：+1，∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．故答案為：+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了面積及等積變化，解題的關(guān)鍵是利用同弦所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系得△BOC是等腰直角三角形是關(guān)鍵．12．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【分析】由∠AFC＝90°，得點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，則點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件求出所在圓的半徑和圓心角，從而解決問(wèn)題．【解答】解：∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以AC為直徑畫半圓AC，連接OA，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，∴點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∵點(diǎn)G為OD的中點(diǎn)，∴OG＝OD＝OA＝2，∵OG⊥AB，∴∠AOG＝60°，AG＝2，∵OA＝OC，∴∠ACG＝30°，∴AC＝2AG＝4，∴所在圓的半徑為2，圓心角為60°，∴的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，定角對(duì)定弦，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．三．解答題13．（2021秋?自貢期末）在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，垂足為C，∠BDC＝∠BAC，AC與BD交于點(diǎn)E．（1）如圖1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的長(zhǎng)；（2）如圖2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分別為M，N，CN＝4，求DB+DC的長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)有一個(gè)角是60度的等腰三角形式等邊三角形，由此可推出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形推出30度角，即可得到線段的關(guān)系求解；（2）根據(jù)Rt△BDC和∠BDC＝∠BAC，可得到A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用圓周角性質(zhì)得到角度相等，結(jié)合題目條件證明三角形全等得出相等的線段，最后利用等量代換即可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°且AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∵CD⊥BC，∴Rt△BDC中，∠DBC＝30°，∴DC＝BD＝3．（2）作△BCD的外接圓⊙O，如圖所示：∵CD⊥BC，∴BD為⊙O直徑，∵∠BDC＝∠BAC，∴A點(diǎn)在⊙O上，∴∠BAD＝90°，∵AM⊥BD，AN⊥CD，∠AMB＝∠ACN＝90°，∴在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN，∴AM＝AN，BM＝CN，∵在Rt△AMD和Rt△AND中，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DN＝DM，∴DB+DC＝DM+MB+DC＝DN+DC+MB＝CN+MB＝2CN＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題第一問(wèn)主要考查等邊三角形的判定再結(jié)合30角的直角三角形的性質(zhì)，第二問(wèn)主要考查隱形圓的問(wèn)題，利用題目條件得到隱形圓，推出相等的角度用作全等的判定，最后利用線段相等進(jìn)行等量代換．14．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)三模）問(wèn)題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△ABC的面積為；問(wèn)題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面積；問(wèn)題解決（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長(zhǎng)BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角∠AMB＝45°，請(qǐng)你通過(guò)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即可求出面積；（2）作△ABC的外接圓⊙O，可知點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，求出A'H的長(zhǎng)，從而得出答案；（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過(guò)O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OG的長(zhǎng)，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，從而⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB＝45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過(guò)M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴BD＝1，∴AD＝＝，∴△ABC的面積為×2×＝，故答案為：；（2）作△ABC的外接圓⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝6，∴點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面積為×6×3＝9；（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過(guò)O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵10＞14，∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，∴⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB＝45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過(guò)M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝＝2米，∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的長(zhǎng)度為8米或12米．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線AO、BC相交于點(diǎn)H．（1）若α＝60°，則CD＝5cm．（2）若AO⊥BC①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是B；A．點(diǎn)H在⊙O外B．點(diǎn)H在⊙O上C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)②求線段AO的長(zhǎng)度．（3）線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC＝BA＝10cm，則CD＝BC＝5cm；（2）①若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，則點(diǎn)P與H重合，可得答案；②延長(zhǎng)AO交BD于E，利用∠A＝∠CBD＝90°﹣α，用α的代數(shù)式表示∠AOB和∠ABO，從而解決問(wèn)題；（3）在直線BD上取BG＝BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，利用SAS證明△BOG≌△BOC，得∠BOC＝∠BOG，而∠BOC＝135°，從而確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑．【解答】解：（1）∵線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，∴BC＝BA＝10cm，當(dāng)α＝60°時(shí)，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝5cm，故答案為：5；（2）①當(dāng)AO⊥BC時(shí)，則OH⊥BC，若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，∴點(diǎn)P與H重合，∴點(diǎn)H在⊙O上，故選：B；②延長(zhǎng)AO交BD于E，∵AO⊥BC，∴∠A＝∠CBD＝90°﹣α，∵⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，∴BO平分∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD＝45°﹣α，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∵∠ABO＝∠ABC+∠CBO＝α+45°﹣α＝45°+α，∴∠AOB＝∠ABO，∴AO＝AB＝10cm；（3）如圖，在直線BD上取BG＝BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，∵∠OBG＝∠OBC，OB＝OB，∴△BOG≌△BOC（SAS），∴∠BOC＝∠BOG，∵∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠BCO+∠OBC＝45°，∴∠BOC＝135°，∴∠BOG＝135°，∴點(diǎn)O在以F為圓心、BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵BG＝BC＝10cm，∴BF＝5cm，∴當(dāng)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°時(shí)，O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為＝（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形得出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．16．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在y軸正半軸上），且，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P為優(yōu)弧CAD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CP于點(diǎn)E，交BP于點(diǎn)N，連結(jié)AN．（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AN的最小值．【分析】（1）連接CM，由CD＝2OM，CD⊥MB，得CM＝＝2OM，得∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，從而證明結(jié)論；（2）連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，由BP平分∠ABC，得∠ABP＝30°，則AP＝，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，得PF＝，BF＝＝9，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由∠PNE＝∠BNM＝60°，BM＝6，可知點(diǎn)N在以G為圓心，GM為半徑的圓上，連接AG，此時(shí)AN的最小值為AG﹣GM，再利用勾股定理分別求出AG和GM的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）如圖，連接CM，∵CD＝2OM，∴OM，∵CD⊥MB，∴CM＝＝2OM，∴∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，∵M(jìn)C＝MB，∴△CMB為等邊三角形，∵B（3，0），∴OB＝3，∴MB＝2OB＝6，∴⊙M的半徑長(zhǎng)為6；（2）連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，∵AB為⊙M的直徑，AB＝2MB＝12，∴∠APB＝90°，∴△APB為直角三角形，由（1）得△CMB是等邊三角形，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴AP＝，∴BP＝＝6，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，∴PF＝，∴BF＝＝9，∴OF＝BF﹣OB＝6，∴OF＝6，PF＝3，∴P（﹣6，3）；（3）∵CD垂直平分MB，∴在OC上取點(diǎn)G，使∠GMB＝30°，連接GM，GB，∵M(jìn)E⊥PC，∴∠PEM＝90°，∵∠CPB＝∠CMB＝30°，∴∠PNE＝∠BNM＝60°，∴BM＝6，∴點(diǎn)N在以G為圓心，GM為半徑的圓上，連接AG，此時(shí)AN的最小值為AG﹣GM，∵BM＝6，∠GMB＝30°，∴OG＝，GM＝2，在Rt△AOG中，由勾股定理得，AG＝，∴AN的最小值為2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用定弦對(duì)定角確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?揚(yáng)州月考）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，王老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC＝4，使用作圖工具作∠BAC＝30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），…．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為4；②△ABC面積的最大值為8+4；（2）經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形外部，我們記為A′，請(qǐng)你利用圖1證明∠BA'C＜30°．（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝5，點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且∠DPC＝60°，則線段PB長(zhǎng)的最小值為﹣2．【分析】（1）①設(shè)圓心為O，連接OB，OC，可得△OBC是等邊三角形，則OB＝BC＝4；②當(dāng)AO⊥BC時(shí)，S△ABC最大，求出AD的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)A'B交⊙O于E，由圓周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，由∠BEC是△A'EC的外角，則∠BEC＞∠A'；（3）作等腰△ODC，使∠COD＝120°，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，則點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上，連接OB交⊙O于P，此時(shí)BP最小，過(guò)O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）①設(shè)圓心為O，連接OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC＝4，故答案為：4；②當(dāng)AO⊥BC時(shí)，S△ABC最大，此時(shí)OD＝2，∴AD＝4+2，∴S△ABC＝×BC×AD＝（4+2）×4＝8+4，故答案為：8+4；（2）設(shè)A'B交⊙O于E，由圓周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，∵∠BEC是△A'EC的外角，∴∠BEC＞∠A'，∴∠A'＜30°；（3）如圖，作等腰△ODC，使∠COD＝120°，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，則點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上，連接OB交⊙O于P，此時(shí)BP最小，過(guò)O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，∵CD＝AB＝2，∴CG＝CD＝，在Rt△OCG中，∠OCG＝30°，∴OG＝1，OC＝2，∴BH＝BC﹣CH＝5﹣1＝4，∴BO＝＝＝，∴BP的最小值為﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用定弦對(duì)定角構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵．18．（2020秋?丹陽(yáng)市期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖（1），AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變（填“變”或“不變”）；若∠AOB＝150°，則∠ACB＝75°．愛動(dòng)腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)C是不是在某一個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【研究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小明先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖（2），若AB＝2，直線AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB＝45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小明以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)等腰Rt△AOB，再以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．請(qǐng)根據(jù)小明的思路在圖（2）中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）．后來(lái)，小明通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論，即：若線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，則點(diǎn)C一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【應(yīng)用】（1）如圖（3），AB＝2，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB＝60°，則△ABC面積的最大值為3．（2）如圖（4），已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BAE，其中BE＝BA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心．①∠BPE＝135°，∠BPA＝135°；②連接CP，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則CP的最小值為﹣．【分析】【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)題意，直接得出答案，利用圓周角定理求出∠ACB；【研究】先作出AB的垂直平分線，再以垂足為圓心，AB的一半為半徑確定出圓心O，即可得出結(jié)論；【應(yīng)用】（1）先確定出△ABC的外接圓的半徑，再判斷出點(diǎn)C到AB的最大距離為3，即可得出結(jié)論；（2）①先確定出∠BFE＝90°，再判斷出∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABE，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；②先作出△ABP的外接圓，進(jìn)而求出外接圓的半徑，進(jìn)而判斷出CP最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，最后構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論．【解答】解：【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)圓周角性質(zhì)，∠ACB的度數(shù)不變，∵∠AOB＝150°，∴∠ACB＝∠AOB＝75°，故答案為：不變，75°；【研究】補(bǔ)全圖形如圖1所示，【應(yīng)用】（1）如圖2，記△ABC的外接圓的圓心為O，連接OA，OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝，在Rt△AHO中，設(shè)⊙O的半徑為2r，則OH＝r，根據(jù)勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，∴r＝1（舍去負(fù)數(shù)），∴OA＝2，OH＝1，∵點(diǎn)C到AB的最大距離h為r+OH＝2+1＝3，∴S△ABC最大＝AB?h＝×2×3＝3，故答案為：3；（2）①∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，∴PE，PB分別是∠BEF和∠EBF的角平分線，∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；在△BPE和△BPA中，，∴△BPE≌△BPA（SAS）．∴∠BPA＝∠BPE＝135°，故答案為：135°，135°；②如圖3，作△ABP的外接圓，圓心記作點(diǎn)O，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，則四邊形APBQ是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，∴∠AQB＝180°﹣∠BPA＝45°，∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，∴OA＝OB＝AB＝，連接OC，與⊙O相交于點(diǎn)P'此時(shí)，CP'是CP的最小值，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于N，則四邊形OMBN是正方形，∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，∴CN＝BC+BN＝3，在Rt△ONC中，OC＝＝，∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，內(nèi)心，構(gòu)造出圓是解本題的關(guān)鍵．19．（2020秋?東?？h期末）思考發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q均在射線AM上，若∠APB＝30°，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是在圓上；若∠AQB＞30°，則點(diǎn)Q與⊙O的位置關(guān)系是在圓內(nèi)．問(wèn)題解決：如圖2，四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．（2）若點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，且∠APD＝45°，求BP的長(zhǎng)；（3）如圖3，以B為圓心，BC為半徑作弧，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)Q為弧EC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)I為△BQH的內(nèi)心，連接BI，QI，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，則內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為π．（直接填空）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)Y2圓的位置關(guān)系判斷即可．（2）過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于DE．以點(diǎn)F為圓心，DF為半徑作圓，交BC于點(diǎn)P，連接AP，PD，則∠APD＝∠AFD＝45°，分兩種情形分別求解即可．（3）如圖3中，連接IC，以BC為斜邊，向下作等腰直角三角形△BCT，證明∠BIC＝∠BIQ＝135°，由定弦定角推出點(diǎn)I在△BCT的外接圓上運(yùn)動(dòng)從而構(gòu)造輔助圓，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，∵∠APB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB，∴點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)∠AQB＞30°，時(shí)點(diǎn)Q在⊙O內(nèi)部，故答案為：在圓上，在圓內(nèi)．（2）過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于DE．∵∠AFE＝∠FEB＝∠B＝90°，∴四邊形ABEF是矩形，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝135°，∴∠DAF＝135°﹣90°＝45°，∵∠AFD＝90°，∴∠FAD＝∠FDA＝45°，∴FA＝FD，以點(diǎn)F為圓心，DF為半徑作圓，交BC于點(diǎn)P，連接AP，PD，則∠APD＝∠AFD＝45°，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)右側(cè)時(shí)，∵∠DAF＝45°，AB＝FE＝2，，∴FP＝FA＝4，∴EP＝＝＝2，即．當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，．（3）如圖3中，連接IC，以BC為斜邊，向下作等腰直角三角形△BCT，∵BQ＝BC，∠QBI＝∠CBI，BI＝BI，∴∠∠BIQ＝∠BIC，∵I是△BHQ的內(nèi)心，∠BHQ＝90°，∴∠BIQ＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BIC＝∠BIQ＝135°，∴點(diǎn)I在△BCT的外接圓上運(yùn)動(dòng)，由（2）可知BC＝BE＝BA+EC＝2+8＝10，∴BT＝TC＝×10＝5，∴點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)＝＝．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．一、填空題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是______．【答案】【分析】先確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置，然后利用圓周角定理、線段的和差即可得．【詳解】如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，則由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點(diǎn)H，則此時(shí)取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得出BH取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】2【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。摺螦CB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與