第二章正弦交流電路和電磁現(xiàn)象

本章提要

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中廣泛使用著正弦交流電，它容易產(chǎn)生，并能用變壓器改變電壓，便于遠(yuǎn)距離傳輸、分配和使用。交流電機(jī)比直流電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，工作可靠，成本低廉，維護(hù)方便。近年來，交流調(diào)速技術(shù)有長足進(jìn)展，使交流電機(jī)的性能直追直流電機(jī)。再者，必須使用直流電的地方,大多是通過整流設(shè)備把交流電變成直流電。因此，對(duì)正弦交流電路的研究，具有重要的意義。2-1正弦交流電的基本概念

大小和方向隨時(shí)間作周期性變化的電壓、電流和電動(dòng)勢(shì)統(tǒng)稱作交流電。如果這個(gè)周期性變化的規(guī)律是正弦的，則稱為正弦交流電；否則稱為非正弦交流電。見圖2-1所示。

uiu

0t0t0t

(a)正弦交流電(b)非正弦交流電(c)非正弦交流電

圖2-1交流電的變化規(guī)律的波形表示

與非正弦交流電相比，正弦交流電具有損失小，設(shè)備低廉，對(duì)電訊線路干擾小等優(yōu)點(diǎn)，所以，常用的交流電是正弦交流電。正弦交流電產(chǎn)生的方法很多，在電力（強(qiáng)電）工程中，是用交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的；在電子工程中，是用振蕩器產(chǎn)生的。

在下面的行文中，凡稱“交流”的有關(guān)概念和結(jié)論則對(duì)正弦和非正弦交流電均適合

2.1.1正弦交流電的表示方法之——

三角函數(shù)式

正弦交流電的表示方法很多，其中最常用的是三角函數(shù)式，它是正弦交流電的瞬時(shí)值的表示式，因?yàn)檎医涣麟姷拇笮『头较蚴请S時(shí)間不斷變化的。以電流為例（電壓、電動(dòng)勢(shì)類似），正弦交流電電流的表示式可寫成:

i(t)=Imsin

(ωt+φ)（2-1）

式中，i為交流電的瞬時(shí)值，Im為其最大值（也稱幅值）。t為時(shí)間，單位為秒（s），ω稱為正弦交流電變化的的角頻率，單位為弧度/秒（rad/s）。φ為初相位。最大值Im（如果是交流電壓，則取Um

），角頻率ω和初相位φ稱為正弦交流電的三特征。如果這三特征確定了，對(duì)應(yīng)的正弦交流電也就確定了。下面分別敘述三特征的意義及有關(guān)的概念。

2.1.2表示正弦交流電變化快慢特征的物理量——頻率

圖2-2是式（2-1）所示正弦交流電的波形。橫坐標(biāo)可以用t，也可以用ωt，如圖2-2中（a）（b）所示。

i(t)i(t)

Im

TImT

0t02π

ωt

t’

φT2π

(a)t’=φ/ω(b)

圖2-2正弦交流電的波形1．周波和周期

交流電變化一個(gè)全循環(huán)叫一個(gè)周波，交流電變化一個(gè)周波所經(jīng)過的時(shí)間叫一個(gè)周期，如圖2-2（a）所示。周期用符號(hào)T表示，它的單位是秒（s）。

2．頻率

交流電在一秒內(nèi)變化的周期數(shù)稱為頻率，用符號(hào)f表示，單位為赫芝（Hz），即1/秒（1/s）。頻率與周期的關(guān)系是:

（2-2）

音頻信號(hào)發(fā)生器輸出的頻率范圍為20Hz～20kHz。

3．角頻率（圓頻率，角速度）

描繪正弦交流電的波形，如圖2-2所示，（a）圖的橫坐標(biāo)是t，（b）圖的橫坐標(biāo)是ωt。正弦交流電變化一個(gè)周期T相當(dāng)于正弦函數(shù)變化2π弧度（即360°），故當(dāng)t=T時(shí)，

ωt=2π

所以我們把

ω=2π/T=2πf

（2-3）

稱為角頻率，也稱圓頻率。

可見，我國工頻交流電的圓頻率為100π=314。將（2-2’）代入式（2-1）中，則可將正弦交流電的瞬時(shí)值函數(shù)式寫成以下三種不同的形式：

I(t)=Imsin

(ωt+φ)

i(t)=Imsin

(2πt/T+φ)(2-4)

i(t)=Imsin

(2πft+φ)

}2.1.3表示交流電大小的物理量——瞬時(shí)值、最大值、有效值

1．瞬時(shí)值和最大值

研究瞬間變化的規(guī)律（如暫態(tài)）時(shí)，交流電的瞬時(shí)值是很重要的。式

(2-1)為交流電的瞬時(shí)值i(t)的表示式，由此可計(jì)算出各個(gè)瞬間的數(shù)值。交

流電的瞬時(shí)值用小寫字母表示，如i(t)、u(t)、e(t)、p(t)等。

研究絕緣體的擊穿和晶體管的擊穿時(shí)，主要考慮的是交流電的最大值。

最大的瞬時(shí)值稱為最大值或幅值，用大寫字母加下標(biāo)表示，如Im、Um

、Em

等。

2．交流電的有效值

交流電的有效值，是以它和直流相比較，在作功（例如熱效應(yīng)）能力上二者等效的基點(diǎn)上規(guī)定的。交流電的有效值的定義是：當(dāng)某一交流量通過電阻R

所產(chǎn)生的熱量，與某一對(duì)應(yīng)直流量通過同一電阻在同樣的時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等時(shí)，則這一直流量的數(shù)值就稱為該交流量的有效值。

交流電的有效值和最大值的關(guān)系是：

(2-5)或

(2-6)

式（2-４）也適用于其它交流量，如

(2-7)

交流電的有效值又稱為均方根值。2.1.4表示交流電變化位置的物理量——相位

1．相位

由式(2-1)可知，正弦交流電用正弦函數(shù)表示，而正弦函數(shù)是以角度θ為自變量的，

也就是以θ表示交流電變化的位置的。通過式（2-1），θ=ωt+φ，可以把交流電變化的相角位置轉(zhuǎn)化成時(shí)間t

，這就是圖2-1中，橫軸可以為ωt

，也可以為t的來由。我們稱θ=ωt+φ為交流電的相位，而這相位是隨時(shí)間變化的。在t=0的時(shí)刻，θ=φ，這是計(jì)時(shí)起始時(shí)刻的相位，稱為初相位。在圖

2-2中，初相位φ>

0

；而在圖2-1（a）中，初相位φ<

0（當(dāng)然，這是約定φ在0<φ<π的范圍內(nèi)的結(jié)果。在圖2-2中，初相位也可以寫成–(2π–φ),在圖2-1-1（a）中，初相位也可以寫成+(2π–|φ|)，這是因?yàn)檎液瘮?shù)以2π為周期的結(jié)果）。2．相位差

我們定義兩個(gè)正弦量的相位之差為相位差。相位差以Δθ

表示。如果這兩個(gè)正弦交流量是i1(t)，

i2(t)（若是電壓、電動(dòng)勢(shì)等其它交流量，也可仿此討論）

i1(t)=I1msin

(ω1

t+φ1)

i2(t)=I2msin

(ω2

t+φ2)

它們的相位差即是

Δθ=φ1

–

φ2=

(ω1

t+φ1)–(ω1

t+φ1)

=(ω1–

ω2)+(φ1–

φ2)

當(dāng)ω1=ω2時(shí)，即兩個(gè)正弦交流量頻率相同時(shí)，其相位差等于

其初相位之差：

Δθ=φ1

–

φ

2(2-8)3．超前、滯后、同相和反相

當(dāng)兩個(gè)正弦交流量1和2的相位差為正值時(shí)，Δθ>0，我們說正弦量1的相位比正弦量2的相位超前Δθ，也可以反過來說正弦量2的相位比正弦量1的相位滯后Δθ

，這時(shí)，相位差Δθ=φ2

–

φ1<0，為負(fù)值。按照習(xí)慣，相位差Δθ不應(yīng)超過180°。所以，若正弦交流量u1

的相位超前u2200°，就應(yīng)該說u1滯后u2160°，此時(shí)，Δθ

應(yīng)當(dāng)寫成Δθ=–160°

當(dāng)兩個(gè)正弦交流量的相位差為零（或2π）時(shí)，則稱二者同相。當(dāng)兩個(gè)正弦交流量的相位差為π（或180°）則稱二者反相。當(dāng)兩個(gè)正弦交流量的相位差為π/2（或90°），則稱二者正交。以上情況見圖2-3。

在教流電路中，常需研究多個(gè)同頻率的正弦交流量的關(guān)系。選其中某一正弦量作為“參考正弦量”，令它的初相位φ=0，其他各正弦量的初相位，即為個(gè)正弦量與參考正弦量的初相差。

u,iu0iφ2ωt

φ1

Δθ

（a）正弦量u

和i

的波形與相位差

i1,i2

i1

0i2ωtφ1=Φ2(b)正弦量i1

和i2

的波形與相位差（i1

和i2同相）

u1,u2

u2

u1

0ωt

π/2(c)正弦量u1和u2

的波形與相位差（u1和u2正交）

u,iu

i

0ωtφ1=φ2(d)正弦量u

和i

的波形與相位差（u

和i

反相）[例2-1]已知三個(gè)正弦交流量

u(t)=310sin(ωt–45°)V

i1

(t)=14.1sin

(ωt–20°)A

i2

(t)=28.2sin

(ωt–90°)A

試以電壓u為參考正弦量重新寫出電壓u、電流i1

和i2

的瞬時(shí)值

的表示式，畫出波形圖，并說明其相位關(guān)系。[解]若以電壓u

為參考量，則電壓u

的表達(dá)式為

u(t)=310sinωtV

由于i1

與u

的相位差

故電流i1

的瞬時(shí)值表示式

i1

(t)=14.1sin

(ωt+25°)A

同理，電流i2的瞬時(shí)值表示式為

i2

(t)=28.2sin

(ωt–45°)A

可見i1超前u25°，反之u

滯后i125°；i2

滯后u45°，反之u

超前i245°。其波形圖如下

u,,i1,i2u

i2

i1

0ωt

25°

π/4

圖2-4例2-1正弦量波形

思考題

2-1正弦交流電的最大值和

有效值是否隨時(shí)間變化？它們和

頻率、初相位有什么關(guān)系？用電

器的額定電壓為220V，實(shí)際上它承受的最大電壓是多少？

用雙蹤示波器測(cè)得兩個(gè)同頻正弦交流電壓的波形，見附圖2-5所示。如果此時(shí)示波器面板上的“時(shí)間選擇”開關(guān)放在“0.5ms/格”檔，“Y軸坐標(biāo)”開關(guān)放在“10V/格”檔，試寫出u1(t)和u2(t)的瞬時(shí)值的函數(shù)式，并求出這兩個(gè)電壓的相位差。

u1

u2

圖2-5思考題2-22.2正弦量的相量表示

我們已經(jīng)看到，正弦交流電可以用三角函數(shù)式表述，也可畫出它的波形圖來表示。但是，這兩種表示法都不能方便地直觀的進(jìn)行分析和運(yùn)算。

為此，人們聯(lián)想到正弦函數(shù)的旋轉(zhuǎn)矢量表示，引入了相量表示法

+j

I2

Φ

0I1+1

圖2-6正弦交流電的相量表示法

2.2.1正弦交流電的相量表示

1.正弦交流電的相量表示

無論哪種表示方法，都必須能表示正弦交流電的三特征。旋轉(zhuǎn)矢量法可以簡單地做到這一點(diǎn)：過直角坐標(biāo)的原點(diǎn)0作一矢量，其長度正比于正弦交流量的最大值（或有效值），它與水平橫軸正向的夾角等于相位角θ=ωt+φ

，該旋轉(zhuǎn)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角速度ω

等于正弦量的角頻率，在t=0起始時(shí)刻，旋轉(zhuǎn)矢量與橫軸的夾角φ，就是初相位。在任一時(shí)刻，旋轉(zhuǎn)矢量在縱軸上的投影即為正弦交流電的瞬時(shí)值。由于在實(shí)際電路中，各交流量的頻率相同，故各自的矢量的旋轉(zhuǎn)速度相同，各矢量相對(duì)靜止，其相對(duì)關(guān)系不會(huì)隨時(shí)間而變化，因而其角速度可以省略，只留下初相位即可。進(jìn)一步，我們將旋轉(zhuǎn)矢量在平面上表示出來，如圖2-6所示。這樣，就又引入了正弦交流量

i(t)=Imsin

(ωt+φ)的相量表示：（2-9）相量符號(hào)是在大寫字母上加黑點(diǎn)“·

”來表示。式（2-9）中，中，Im稱為相量的模，表示了正弦量的幅值，∠φ稱為相量的幅角，表示正弦量的初相位，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)?！夕沼挚梢钥醋饕粋€(gè)運(yùn)算符，它表示相量的幅角為“φ”。

由此，規(guī)定：若，則

∠ψ=Im∠φ∠ψ=Im∠（φ+ψ）（2-10）

特別地，規(guī)定

∠90°=j,∠180°=j2=–1,

∠270°=j3=–j,

∠360°=j4=(–1)2=1,

∠–90°=–j（2-11）

和

I

m∠90°=jIm

，Im∠180°=–Im

，

Im∠270°=–jIm

，Im∠360°=Im

由式（2-11）不難發(fā)現(xiàn)圖2-6中橫軸以“+1”標(biāo)記，縱軸以“+j”

標(biāo)記的理由。式（2-9）表示的相量稱為最大值相量。為了方便，人們也常采用有效值相量，它的旋轉(zhuǎn)矢量的幅值等于正弦交流電的有效值。其表達(dá)式如下：

（2-13）

由圖2-6可知，仿照矢量的分解，可將相量分解為基準(zhǔn)分量IR，以及垂直于基準(zhǔn)分量IR的垂直分量Ij

，并由式（2-10）和（2-11），得相量的代數(shù)表示：

這里IR=Icosφ,Ij=Isinφ

分別是相量的基準(zhǔn)分量和垂直分量，φ是相量的相位角。

由此，立得相量的三角函數(shù)表示：

（2-15）

請(qǐng)注意：

相量只是正弦交流電的一種表示，它并不等于正弦交流量。2.相量運(yùn)算法則：

因?yàn)橄嗔渴欠抡帐噶慷?，故相量運(yùn)算法則可以仿矢量運(yùn)算法則規(guī)定如下：

（1）相量求和（加減）的運(yùn)算法則是：分別寫出每一個(gè)相量的基準(zhǔn)分量和垂直分量，再分別求出這兩個(gè)分量的的代數(shù)和，作為總相量的基準(zhǔn)分量和垂直分量；然后用式（2-14）求出總相量的模及幅角，寫出與“總相量”對(duì)應(yīng)的正弦量。詳見例2-2。

（2）常數(shù)k乘以相量后的新相量，它的模擴(kuò)大K倍，幅角不變。

（3）兩個(gè)相量相乘比較復(fù)雜，這里不予討論。

（4）兩個(gè)相量相除的商是一個(gè)特別的數(shù)，包括兩部分：兩個(gè)相量的模相除的結(jié)果作為商的模，兩個(gè)相量的幅角相減作為商的幅角。商的模反映兩個(gè)相量的模之間的關(guān)系，商的幅角反映兩個(gè)相量之間的相位關(guān)系。因此，相量的商也類似相量，可以分解為基準(zhǔn)分量，以及垂直于基準(zhǔn)分量的垂直分量。相量的商不是相量。

（5）正弦量的求導(dǎo)運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換為其相量乘以jω的代數(shù)運(yùn)算。說明如下：假如有一正弦量

i(t)=Isin

(ωt+φ)

那么

顯然，若i(t)=Isin

(ωt+φ)的相量是，而ωIsin

(ωt+φ+90°)的相量是jω。

正弦交流電的相量表示方法簡單，準(zhǔn)確，并能方便地進(jìn)行加減乘除的代數(shù)運(yùn)算，還能將正弦交流電路中的微分方程和積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。不僅如此，采取正弦交流電的相量表示方法，還可把直流電路的解題方法用于正弦交流電路。由此可見，正弦交流電的相量表示方法具有十分重要的意義。但請(qǐng)注意，只有同頻率的幾個(gè)正弦量，才能用相量法進(jìn)行運(yùn)算，并且，所有的相量要么都是最大值相量，要么都是有效值相量。2.2.2相量圖

研究多個(gè)同頻率正弦交流量的關(guān)系時(shí)，可按各正弦量的大小和初相位，用相量圖畫在同一坐標(biāo)的平面上，稱為相量圖。畫相量圖時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

1．有共同單位的各相量，其模（長度）要按同一比例尺畫，如兩個(gè)電流相量的模分別為I1=10A,I2=20A，那么I2

的長度必須為I1

長度的兩倍。而不同量綱（指單位）下的各相量間則無此要求，其長度間不存在什么比例關(guān)系，只要看起來方便，1A電流的相量可以畫得比10KV的相量還長，但10KV電壓的相量的長度卻必須是2KV電壓的相量的長度的5倍。

2．同一相量圖中，各相量的長度不允許有的為有效值，有的為最大值，要統(tǒng)一。

3．畫相量圖時(shí)，要注意各相量間的相位關(guān)系，可先確定一個(gè)相量作為參考相量，畫在橫軸方向上，再按各相量間的相位差的大小、正負(fù)畫出其他相量。

利用相量圖可以作相量的幾何運(yùn)算，具體作法可參見后面有關(guān)相量運(yùn)算中的各例。2.2.3用相量法求同頻率正弦量的和與差——導(dǎo)出“基爾霍夫定律的相量形式”

引入正弦函數(shù)的兩個(gè)基本規(guī)律:

1．任意個(gè)同頻率的正弦量的代數(shù)和以及任意個(gè)這類正弦量的同階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和,仍為同頻率的正弦量。

2．任意個(gè)同頻率的正弦量的代數(shù)和的相量，等于各正弦量的相量的代數(shù)和。

依此為椐，我們可以用相量法求同頻率的正弦量的和與差，并且得到基爾霍夫定律的相量形式：

（2-16）

[例2-2]已知圖2-7（a）的電路中，

求總電流I。

[解]依據(jù)基爾霍夫電流定律，總電流為：,可用以下三種方法求總電流。

直接計(jì)算三角函數(shù)之和

令

}

求得

從而，有

計(jì)算包括三角函數(shù)展開，合并同類項(xiàng)，再變?yōu)閱我徽伊康倪^程，比較麻煩。

(2)變換為相量求和

先寫出i1和i2的相量形式

然后，根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式和相量的運(yùn)算法則，求總電流的相量形式。

最后按和相量寫出總電流i

的正弦函數(shù)形式

(3)用相量圖求幾何解

畫出i1，i2的相量和，如圖2-7（b）所示，仿照矢量運(yùn)算的平行四邊形法則（注意公式的運(yùn)用）

ii1i2

60°

Φ

30°

(a)

(b)

圖2-7例2-2的電路及相量圖

(a)

電路

(b)

相量圖由此得到

寫出總電流的瞬時(shí)表達(dá)式

當(dāng)然，也可以用幾何作圖法直接量取I

長度和φ

角度，求得解答。

2.2.4正弦交流電路中電阻、電容、電感性能方程的相量形式

嚴(yán)格地說，任何實(shí)際電路元件都同時(shí)具有電阻R

、電容C、電感L三種參數(shù)。然而在一定條件下，如某一頻率的正弦交流電作用時(shí)，某一參數(shù)的作用最為突出，其他參數(shù)的作用微乎其微，甚至可以忽略不計(jì)時(shí)，就可以近似的把它視為只具有單一參數(shù)的理想電路元件。例如：一個(gè)線圈，在穩(wěn)恒的直流電路中可以把它視作電阻元件，在交流電路中，當(dāng)其電感的特性大大超過其電阻的特性時(shí)，就可以近似的把它看作一個(gè)理想的電感元件。但如果交流電的頻率較高，則該線圈的匝間電容就不能忽略，它也就不能只它看作一個(gè)理想的電感元件，而應(yīng)當(dāng)作電感和電容兩個(gè)元件的組合。

我們討論的起點(diǎn)，是在第一章里已經(jīng)得到的在關(guān)聯(lián)參考方向下電阻、電容和電感元件上的電壓、電流的瞬時(shí)關(guān)系式：

+ju,i

u

φI=φu0iωt+1φI=φu

(a)(b)

圖2-8電阻上電壓、電流的相量圖和波形

(a)相量圖(b)波形1.電阻元件上伏安關(guān)系的相量形式

由相量的運(yùn)算法則，立得：

(2-17)

電阻上的電壓、電流關(guān)系的相量圖和波形圖如圖2-8（a）（b）所示。2．電容元件上伏安關(guān)系的相量形式

由相量的運(yùn)算法則，

（2-18）

因此，必有

（2-19）

u,i+j

u

i

φu0ωt0

+1π/2

(a)(b)

圖2-9電容上電壓、電流波形和向量圖

(a)波形(b)向量圖從以上的討論可以看出，電容上電流、電壓為同頻率的正弦量，電流相量超前電壓相量90°，電流有效值是電壓有效值的ωC倍。我們定義電壓有效值和電流有效值之比為電容的電抗XC

：

(2-21)3．電感元件上伏安關(guān)系的相量形式

由相量的運(yùn)算法則，知

（2-22）

因此，必有

（2-23）

u,i+j

u

i

φi

ωtφi

π/2

0+1

Φu

(a)(b)

圖2-10電感上電壓、電流波形和向量圖

(a)波形(b)向量圖

電感上電壓、電流的波形和相量圖，如圖2-10(a）、(b)所示。

從以上的討論可以看出，電感上電流、電壓為同頻率的正弦量，電壓相量超前電流相量90°，電壓有效值是電流有效值的ωL倍。我們定義電壓有效值和電流有效值之比為電感的電抗XL：

(2-24)

簡稱感抗，它反映電感阻礙正弦交流電通過的能力,其單位與電阻相同，單位也是歐姆。感抗與頻率成正比，高頻時(shí)，感抗大，當(dāng)頻率，電感相當(dāng)于開路；低頻時(shí)，感抗小，當(dāng)，電感相當(dāng)于短路，這就是電感“隔交通直”的作用。XL的倒數(shù)稱為感納，記為

(2-25)

2.2.5統(tǒng)一的伏安關(guān)系———?dú)W姆定律的相量形式———阻抗和導(dǎo)納的引入

歸納三種基本元件伏安關(guān)系的相量形式（2-17）、（2-18）和（2-22）：即

我們可以得到統(tǒng)一的基本元件的伏安關(guān)系———?dú)W姆定律的相量形式：

(2-26)

式中Z為基本元件對(duì)正弦交流電流的阻抗，定義為正弦交流電路中元件的電壓相量與電流相量之比：

(2-27)

顯然，電阻、電容和電感的阻抗分別是：

(2-28)

我們把阻抗的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，記為Y，即

(2-29)

亦即

(2-30)

于是，電阻、電容和電感的導(dǎo)納分別為：

(2-31)

導(dǎo)納的單位為西門子（s）。

2.2.6正弦交流電路的相量分析方法

我們已經(jīng)得到了電壓、電流以相量形式表示的基爾霍夫定律和歐姆定律，引進(jìn)了與電阻（或電導(dǎo)）對(duì)應(yīng)的阻抗（或?qū)Ъ{）的概念，于是，分析和計(jì)算電阻電路的一套方法，就可以完全用到正弦交流電路中來。如由阻抗（或?qū)Ъ{）串并聯(lián)構(gòu)成的電路；如下一章中許多電路分析方法，就既可以用于直流電路，又可以用于交流電路。

要注意的是：在用相量法時(shí)，首先要建立電路的相量模型，并且，最后結(jié)果的相量形式要轉(zhuǎn)化為正弦交流電的形式。

我們首先討論阻抗（或?qū)Ъ{）的串并聯(lián)。

1.阻抗的串聯(lián)。

阻抗

Z1,Z2,

...ZK,

...Zn,串聯(lián)時(shí)，各阻抗在同一支路，流過的是同一電流，如圖2-11所示。依據(jù)基爾霍夫電壓定律的相量形式，有

于是得到，總阻抗（也稱等效阻抗）

（2-32）

I

Z1

Z2…Zn

++ù1–+ù2–

+ùn–

ù

–

圖2-11阻抗的串聯(lián)

作為例子，我們討論如圖2-12（a）所示的RLC串聯(lián)電路。已知電源電壓

試求其穩(wěn)態(tài)電流。RLjωLR

i+uR-+uL-+-+-

uS

CuC

(a)原電路(b)相量模型

圖2-12RLC串聯(lián)電路

作出原電路的相量模型，如圖2-12（b）所示，由基爾霍夫定律的相量形式

和式（2-17）、（2-18）和（2-22）可知：

知

（2-33）

可見，阻抗Z有兩個(gè)分量，基準(zhǔn)分量R和垂直分量X。其中R為串聯(lián)電路總電

阻，X是該電路的總電抗。電抗X等于感抗與容抗之差，其原

因是：在串聯(lián)電路中，電感上的電壓與電容上的電壓

相位相反，見圖2-13（b）。求兩者電壓相量之和實(shí)際上是求其模值之差，所以

串聯(lián)電路的電抗等于感抗與容抗之差。

（2-34）

設(shè)是阻抗的模，φ阻抗的幅角，稱為阻抗角。

于是，有

（2-35）

（2-36）

（2-37）

由（2-33）式可知，阻抗由電阻和電抗兩部分組成，

當(dāng)=0（即）時(shí)，φ=0，電路呈電阻性,稱電阻性電路；

當(dāng)>0（即）時(shí)，φ>0，電路呈感性，稱電感性電路；

當(dāng)<0（即）時(shí)，φ<0，電路呈容性，稱電容性電路。

電阻是電抗為零的阻抗，當(dāng)n個(gè)電阻串聯(lián)時(shí)，由式（2-32），知其等效電阻

應(yīng)該注意，阻抗不是相量，其符號(hào)Z上不加圓點(diǎn)。

由此可見，阻抗的模與R、X之間符合直角三角形的關(guān)系，如圖2-13（a）所示，稱為阻抗三角形。由可知：在串聯(lián)電路中，電壓相量和電流相量的相位

|Z|

X=XL-XC

φ

φ

R=R

(a)(b)(c)

圖2-13關(guān)于串聯(lián)電路阻抗和電壓、電流相量圖

(a)阻抗三角形(b)電壓、電流相量圖(c)電壓三角形

差就是阻抗角。當(dāng)>0，則超前角；當(dāng)=0，則和同相位；當(dāng)

<0，則滯后角。

根據(jù)式（2-33），有

也可畫出電壓相量圖，其中和同相位，和都和正交，二者反相，

如圖2-14（b）所示，此時(shí)。并且和(=)以及總電壓三

者也組成一個(gè)直角三角形，稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似，并且可由阻

抗三角形各邊乘以，再將各邊轉(zhuǎn)換成相量（加上箭頭）得到。見圖2-13（c）。

[例2-3]已知RLC串聯(lián)電路如圖2-12(a)所示。其中R=20Ω，L=0.1H，C=50μF，電源電壓，試求電路中的電流和各元件電壓的相量形式和瞬時(shí)值表示式，并畫出相量圖。

[解]

電源電壓的相量形式

串聯(lián)電路的阻抗為

注意，在求z及相量的幅角時(shí)，分子和分母的正負(fù)號(hào)保留在原位置，不要拿到分?jǐn)?shù)前面去，這樣易于判斷幅角所在象限，如

此式中基準(zhǔn)分量為正，垂直分量為負(fù)，可判斷幅角在第四象限。

依歐姆定律的相量形式，求得電路的電流相量

各元件上的電壓相量

最后寫出對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值形式分別為

該電路的電流、電壓相量圖如圖2-14所示。

請(qǐng)讀者思考一下：

①為什么電容電壓會(huì)大于電源電壓？

②為什么U≠UR+UL+UC（UR，UL，

UC是各相量的幅值）？

③本電路的阻抗是感性的？還是容性的？

+j

圖2-14例2-3的相量

2．阻抗的并聯(lián)

阻抗并聯(lián)時(shí)，各元件兩端接到同一個(gè)電壓

上，如圖2-15所示。圖中電壓、電流也用相

量表示，Y1、Y2、…、Yn代表各阻抗的導(dǎo)納，

根據(jù)基爾霍夫電流定律的相量形式，有

0+1

+ù

Y1

Y2

Yn

-

圖2-15導(dǎo)納的并聯(lián)

式中

（2-38）

稱為并聯(lián)導(dǎo)納的總導(dǎo)納或等效導(dǎo)納。將上式轉(zhuǎn)換成阻抗表示，有

（2-39）

對(duì)于兩個(gè)阻抗并聯(lián)的情況，則上式可簡化為

（2-40）

并有分流公式（由并聯(lián)后各支路兩端電壓均相等導(dǎo)得）

}

（2-41）

若是幾個(gè)電阻并聯(lián)，其總電導(dǎo)（也稱等效電導(dǎo)）為

式中G1、G2、…、Gn為各電阻相應(yīng)的電導(dǎo)值。

當(dāng)兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)，有

和分流公式（可過渡到瞬時(shí)值）

作為例子，我們討論RLC并聯(lián)電路，如圖2-16

（a）所示，其相量模型如圖2-16（b）所示。

根據(jù)基爾霍夫電流定律和歐姆定律，有

+i

iR

iL

iC

u

R

C

-

（a）+

RjωC

-

（b）圖2-16RLC并聯(lián)電路于是，并聯(lián)電路的總導(dǎo)納

（2-42）

這里總電導(dǎo)G是總導(dǎo)納的基準(zhǔn)分量。是總導(dǎo)納的垂直分量，是該電路的電納。因?yàn)椴⒙?lián)電路中電感的電流與電容的電流相位相反，所以并聯(lián)電路的電納是容納與感納之差，即。

總導(dǎo)納的三角函數(shù)形式為

（2-43）

|Y|是導(dǎo)納Y的模，幅角φ稱為導(dǎo)納角，G、B與Y、φ之間的關(guān)系為

（2-44）

（2-45）

或

（2-46）

[例2-4]已知RLC并聯(lián)電路及其相量模型如圖2-16所示，其中R=50Ω，L=0.1H，C=50μF，正弦電壓源，頻率f=50Hz，（1）求該并聯(lián)電路的總導(dǎo)納及總電流；（2）求各元件中的電流和；（3）畫出相應(yīng)的電壓、電流相量圖。

[解]

（1）電路電導(dǎo)

電路感納

電路容納

電路的總導(dǎo)納

電路總電流

圖2-17例2-4的相量圖（2）各元件中的電流

（3）相應(yīng)的電壓、電流相量圖如圖2-17所示，

由圖可見，，這說明計(jì)算結(jié)果的正

確性。

3．阻抗的混聯(lián)

在阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)弄清楚之后，遇到阻抗混

聯(lián)問題就不難解決了。要注意的是：一定要先

建立原電路對(duì)應(yīng)的相量模型；要分清阻抗和導(dǎo)納，

并且會(huì)恰當(dāng)?shù)剡x擇和使用它們；要先弄清元件

的串并聯(lián)關(guān)系。

[例2-5]已知RLC混聯(lián)電路，如圖2-18所示，

其中R1=50Ω，L=400mH，R2=100Ω，C=20μF，

，頻率ω=314rad/s，求各處電流，

并畫出相量圖。

[解]繪出其電路的相量模型，如圖2-18（b）所示。C與R2并聯(lián)后再和R1、L串

聯(lián)。宜先求并聯(lián)電路等效阻抗Z′，而后求出總阻抗Z。

+j

0+1