高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學校2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第二冊至選擇性必修第三冊第六章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.書架上放有2本不同的科學類圖書，3本不同的文學類圖書和5本不同的歷史類圖書，小李從中任選1本閱讀，不同的選法共有（）A.9種 B.10種 C.30種 D.45種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，小李不同的選法共有種.故選：B.2.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，即，所以.

故選：C3.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，則其通項公式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于選項A，，是遞增數(shù)列，A正確；對于選項B，，，不是遞增數(shù)列，B不正確；對于選項C，，，不是遞增數(shù)列，C不正確；對于選項D，，不是遞增數(shù)列，D不正確．故選：A.4.若函數(shù)的極小值點為1，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極大值點，矛盾，故不符合題意；若，則，等號成立當且僅當，此時在上單調遞增，即此時沒有極值點，故不符合題意；若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極小值點，故符合題意；綜上所述，符合題意的的取值范圍是.故選：B.5.“數(shù)列{}是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等比數(shù)列，設的公比為q，則，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.假設數(shù)列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，則數(shù)列是等比數(shù)列，但是數(shù)列不是等比數(shù)列.故數(shù)列“是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由導數(shù)的幾何意義可知，表示曲線在處的切線斜率，表示曲線在處的切線斜率，表示，兩點連線的斜率，由圖可知，當從0變化到1時，切線斜率越來越大，所以，對比選項可知，D正確.故選：D.7.銀行有一種叫做零存整取的儲蓄業(yè)務，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期可以取出全部本金與利息的和（簡稱本利和），這是整取．已知一年期的年利率為1.35%，規(guī)定每次存入的錢不計復利．若某人采取零存整取的方式，從今年1月開始，每月1日存入4000元，則到今年12月底的本利和為（）A.48027元 B.48351元 C.48574元 D.48744元【答案】B【解析】所有利息的和為元，故到12月底的本利和為元．故選：B8.已知函數(shù)對定義域內任意，都有，則正實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.令函數(shù)，則在上單調遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.當時，，當時，，且由題干可知，即，所以當時，恒成立，此時可以是任意實數(shù)，當時，恒成立，等價于，當時，，所以當時，，即當時，.令函數(shù)，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值，所以；綜上所述，正實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)求導正確有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC10.在主題為“愛我中華”的演講比賽中，參賽者甲、乙、丙、丁、戊進入了前5名的決賽（獲獎名次不重復）、甲、乙、丙三人一起去詢問成績，回答者說：“甲、乙兩人之中有一人的成績?yōu)榈谌嗣某煽儾皇堑谖迕?"根據(jù)這個回答，下列結論正確的有（）A.五人名次排列的所有情況共有36種B.甲、乙的排名不相鄰的所有情況共有24種C.甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情況共有8種D.丙的排名高于甲的排名的所有情況共有24種【答案】ACD【解析】A：甲、乙兩人之中有一人的成績?yōu)榈谌嗣蟹N情況，丙的成績不是第五名有種，剩下全排，所以共有種，故A正確；B：設甲排在第三，乙可在第一和第五；當乙在第一時，有種；當乙在第五時，有種，甲乙可以互換，所以共有種，故B錯誤；C：由條件可知，丙只能在第四，當甲在第三，乙只能在第一，第二的位置共有種，由于甲乙可以互換，所以共有種，故C正確；D：丙在第一時，有種；丙在第二時，分為兩種情況，①甲在第三，有種；②乙在第三，甲在第四或五，有種；丙在第四，甲只能在第五，此時乙在第三，有2種；所以共有種，故D正確；故選：ACD.11.已知數(shù)列的前項和為，且，則（）A.是遞增數(shù)列B.使成立的最大正整數(shù)的值為5C.D.若數(shù)列的前項和為，則【答案】ABD【解析】由，可得，由，得，，，，，...，顯然，則，所以是遞增數(shù)列，，故AB正確；當時，，，故C錯誤；，可得，所以，則，由，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則______.【答案】3【解析】因為，所以，則，解得，則，故.故答案為：3.13.在數(shù)列中，，，且，則______．【答案】1【解析】，，，，，，，，，，，…，可知從第5項起是以3為周期的數(shù)列，則，，則．故答案為：114.提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有______種.【答案】6120【解析】假定涂色順序為若、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故答案為：6120.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在公差不為0的等差數(shù)列中，，是與的等比中項.（1）求的通項公式；（2）記的前n項和為，求的最大值.解：（1）設的公差為d，因為是與的等比中項，所以，即，整理得.又，所以，則.（2）由（1）可得，.因為，所以是遞減數(shù)列.又，，所以當時，取得最大值，且最大值.16.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.解：（1）因為，，所以.若，則恒成立，此時的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.若，則當時，，當時，，此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）方法一：當時，，不符合恒成立.當時，由（1）可知，.因為恒成立，所以，解得，故a的取值范圍為.方法二：恒成立等價于恒成立.令，則.當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，則，故a的取值范圍為.17.如圖，在一個的網格中填齊1至9中的所有整數(shù)，每個格子只填一個數(shù)字，已知中心格子的數(shù)字為．（1）求滿足第二橫排、第二豎排的個數(shù)字之和均為的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)；（2）求滿足第二橫排的數(shù)字從左到右依次增大，第二豎排的數(shù)字從上到下依次增大的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)．解：（1）要使第二橫排和第二豎排的個數(shù)字之和均為，則第二橫排或第二豎排的其它個數(shù)字之和必然為，則要從和，和，和，和這四個組合中選出兩個組合填寫，首先選一個組合填到第二橫排的兩個空中，再選一個組合填到第二豎排的兩個空中，最后將其余四個數(shù)全排列，故有種填法.（2）先從、、、這四個數(shù)字中選個數(shù)字分別排到的左邊和上邊，有種；再從、、、這四個數(shù)字中選個數(shù)字分別排到的右邊和下邊，有種；最后將其余四個數(shù)字排到剩下的四個位置，有種；按照分步乘法原理可得，一共有種填法.18.已知數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求.（其中表示不超過x的最大整數(shù)）解：（1）當時，.當時，由，得，則，即時，.因為也符合上式，所以的通項公式為.（2）由（1）可知，，因為，所以當，時，.所以，設.因為，所以，則，則，則.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，，且，證明：.解：（1）由，得，則，，.故曲線在點處的切線方程為，即.（2）由，，且，不妨設，，，則證明等價于證明，，即證，從而構造函數(shù)，利用其調性證明結論.令，則，當時，，在單調遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調遞增.當時，，則，則，在單調遞減，當時，，則，則，在單調遞增.因為，所以，即在上恒成立，從而.湖北省部分學校2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第二冊至選擇性必修第三冊第六章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.書架上放有2本不同的科學類圖書，3本不同的文學類圖書和5本不同的歷史類圖書，小李從中任選1本閱讀，不同的選法共有（）A.9種 B.10種 C.30種 D.45種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，小李不同的選法共有種.故選：B.2.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，即，所以.

故選：C3.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，則其通項公式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于選項A，，是遞增數(shù)列，A正確；對于選項B，，，不是遞增數(shù)列，B不正確；對于選項C，，，不是遞增數(shù)列，C不正確；對于選項D，，不是遞增數(shù)列，D不正確．故選：A.4.若函數(shù)的極小值點為1，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極大值點，矛盾，故不符合題意；若，則，等號成立當且僅當，此時在上單調遞增，即此時沒有極值點，故不符合題意；若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極小值點，故符合題意；綜上所述，符合題意的的取值范圍是.故選：B.5.“數(shù)列{}是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等比數(shù)列，設的公比為q，則，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.假設數(shù)列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，則數(shù)列是等比數(shù)列，但是數(shù)列不是等比數(shù)列.故數(shù)列“是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由導數(shù)的幾何意義可知，表示曲線在處的切線斜率，表示曲線在處的切線斜率，表示，兩點連線的斜率，由圖可知，當從0變化到1時，切線斜率越來越大，所以，對比選項可知，D正確.故選：D.7.銀行有一種叫做零存整取的儲蓄業(yè)務，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期可以取出全部本金與利息的和（簡稱本利和），這是整?。阎荒昶诘哪昀蕿?.35%，規(guī)定每次存入的錢不計復利．若某人采取零存整取的方式，從今年1月開始，每月1日存入4000元，則到今年12月底的本利和為（）A.48027元 B.48351元 C.48574元 D.48744元【答案】B【解析】所有利息的和為元，故到12月底的本利和為元．故選：B8.已知函數(shù)對定義域內任意，都有，則正實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.令函數(shù)，則在上單調遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.當時，，當時，，且由題干可知，即，所以當時，恒成立，此時可以是任意實數(shù)，當時，恒成立，等價于，當時，，所以當時，，即當時，.令函數(shù)，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值，所以；綜上所述，正實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)求導正確有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC10.在主題為“愛我中華”的演講比賽中，參賽者甲、乙、丙、丁、戊進入了前5名的決賽（獲獎名次不重復）、甲、乙、丙三人一起去詢問成績，回答者說：“甲、乙兩人之中有一人的成績?yōu)榈谌嗣某煽儾皇堑谖迕?"根據(jù)這個回答，下列結論正確的有（）A.五人名次排列的所有情況共有36種B.甲、乙的排名不相鄰的所有情況共有24種C.甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情況共有8種D.丙的排名高于甲的排名的所有情況共有24種【答案】ACD【解析】A：甲、乙兩人之中有一人的成績?yōu)榈谌嗣蟹N情況，丙的成績不是第五名有種，剩下全排，所以共有種，故A正確；B：設甲排在第三，乙可在第一和第五；當乙在第一時，有種；當乙在第五時，有種，甲乙可以互換，所以共有種，故B錯誤；C：由條件可知，丙只能在第四，當甲在第三，乙只能在第一，第二的位置共有種，由于甲乙可以互換，所以共有種，故C正確；D：丙在第一時，有種；丙在第二時，分為兩種情況，①甲在第三，有種；②乙在第三，甲在第四或五，有種；丙在第四，甲只能在第五，此時乙在第三，有2種；所以共有種，故D正確；故選：ACD.11.已知數(shù)列的前項和為，且，則（）A.是遞增數(shù)列B.使成立的最大正整數(shù)的值為5C.D.若數(shù)列的前項和為，則【答案】ABD【解析】由，可得，由，得，，，，，...，顯然，則，所以是遞增數(shù)列，，故AB正確；當時，，，故C錯誤；，可得，所以，則，由，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則______.【答案】3【解析】因為，所以，則，解得，則，故.故答案為：3.13.在數(shù)列中，，，且，則______．【答案】1【解析】，，，，，，，，，，，…，可知從第5項起是以3為周期的數(shù)列，則，，則．故答案為：114.提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有______種.【答案】6120【解析】假定涂色順序為若、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故答案為：6120.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在公差不為0的等差數(shù)列中，，是與的等比中項.（1）求的通項公式；（2）記的前n項和為，求的最大值.解：（1）設的公差為d，因為是與的等比中項，所以，即，整理得.又，所以，則.（2）由（1）可得，.因為，所以是遞減數(shù)列.又，，所以當時，取得最大值，且最大值.16.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.解：（1）因為，，所以.若，則恒成立，此時的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.若，則當時，，當時，，此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）方法一：當時，，不符合恒成立.當時，由（1）可知，.因為恒成立，所以，解得，故