第第頁(yè)甘肅省定西市渭源縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z=2A．2?4i B．2?2i C．1 2．sin71°A．32 B．22 C．123．“x>1”是“復(fù)數(shù)z=xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，高一（5）班50名學(xué)生的平均分為83.78，其中女生有22人，女生的平均分比男生的平均分多1分，則男生的平均分為（）A．82.34 B．83.34 C．83.36 D．84.365．在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（）A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.846．如圖所示，△O'A'B'是水平放置的A．82 B．8 C．427．一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別有字母A，B，A．A B．D C．D或A D．D或F8．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每年新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為23，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓的直徑，則PMA．[5，8] B．[2，二、多選題9．復(fù)數(shù)z滿足2?iA．z的實(shí)部為1 B．z的虛部為2 C．z=?1+2i 10．給定組數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．中位數(shù)為3 B．方差為6C．眾數(shù)為2和3 D．第85%分位數(shù)為4.511．已知sin(α?A．?7210 B．?210 12．如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，過(guò)A，D，E三點(diǎn)的平面α與平面A．l⊥AD B．l⊥平面C．三棱錐P?ADE的體積為13 D．直線PB與l所成角的余弦值為三、填空題13．已知(x+y?3)+(14．已知tanθ=2，則sin15．已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，若m=a?kb與16．已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面△ABC為等腰直角三角形且BA=BC=4，若該三棱錐體積的最大值為323，則其外接球的表面積為四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=2?ai(a∈（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若ω=z3+i，求復(fù)數(shù)18．已知α∈(π2，π)，且sinα2（1）求cosα的值；（2）若sin(α－β)＝－35，β∈(19．如圖，在五面體ABCDE中，EA⊥平面ABC，CD//AE，AC⊥BC，AE=AC=BC=2CD=4，點(diǎn)（1）求證：平面BDE⊥平面ABE；（2）求直線ED與平面ABE所成角的余弦值．20．在①ca?b=sinA+sinBsin在△ABC（1）求角B的大小；（2）若點(diǎn)D滿足CD=3DA，BD=1，BC=3AB，求21．為響應(yīng)國(guó)家“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的號(hào)召、培養(yǎng)同學(xué)們的“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”，我校團(tuán)委鼓勵(lì)全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，并組織知識(shí)競(jìng)賽．今隨機(jī)對(duì)其中的1000名同學(xué)的初賽成績(jī)（滿分：100分）作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（有數(shù)據(jù)缺失）．請(qǐng)完成下面的問(wèn)題：（1）求參賽同學(xué)初賽成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若從這1000名參加初賽的同學(xué)中按分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本，再在該樣本中成績(jī)低于70分的同學(xué)里任選2人繼續(xù)學(xué)習(xí)，求抽到的2人成績(jī)都在[6022．如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC=2，∠ABC=60°，M是PC（1）若M是PC的中點(diǎn)，證明：PA//平面BDM（2）若平面MAB⊥平面PCD，求PMPC

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】z=21+i-2i，

z=2-2i(1+i)1+i，

z=4-2i1+i，

z=(4-2i)(1-i)(1+i)(1-i)，

2．【答案】B【解析】【解答】sin71°cos26°?cos71°sin26°，

=sin(71°-26°)，

=sin3．【答案】C【解析】【解答】若復(fù)數(shù)z=x2解得x>1，故“x>1”是“復(fù)數(shù)z=x故答案為：C.【分析】x>1，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則x>1，故為充要條件.4．【答案】B【解析】【解答】全班50人，女生22人，可知男生28人，

根據(jù)題意，設(shè)男生的平均分為x，

男生總分為28x，女生總分22(x+1)，

所以28x+22(x+1)=50×83.78，

因此x=83.34，

故選B.

【分析】首先設(shè)出男生的平均分，將男生分?jǐn)?shù)總和與女生分?jǐn)?shù)總和相加之和，與班級(jí)總分值相等，構(gòu)造等式求出男生的平均分.5．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)題意可知，甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，

所以甲不去參觀的概率0.4，乙不去參觀的概率為0.5，可以下面先求出甲乙兩人都不去參觀博物館的概率為：P=0.4×0.5=0.2，所以甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率為：1-P=0.8，

故選：C.

【分析】為了求甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率，逆向思考，可以先求出甲乙兩人都不去參觀的概率，在用1減去這個(gè)概率，間接求出至少有一個(gè)去參觀博物館的概率.6．【答案】A【解析】【解答】如圖根據(jù)直觀圖，可知三角形還原得到的平面圖為直角三角形，

因?yàn)镺'A'=A'B'=22，

所以O(shè)'B'=4，

還原后的OB=4，OA=47．【答案】A【解析】【解答】由圖可知，C的側(cè)面是A、B、D、E四個(gè)字母，一共六個(gè)字母，所以C的對(duì)面一定為F，

所以E的對(duì)面可能為A或者D，

假設(shè)E的對(duì)面為D，

那么A在E的側(cè)面，與圖一不符合，

所以E的對(duì)面為A，

故選：A.

【分析】從直觀圖上分析可知，E的對(duì)面排除B、C字母，之后再排除F，結(jié)合兩個(gè)圖排除D，再由推理可得E的對(duì)面為A.8．【答案】A【解析】【解答】連接PO，

PM→·PN→=(PO→+OM→)(PO→+ON→)，

=PO→2+OM→·PO9．【答案】B,D【解析】【解答】根據(jù)題意得到，

2-i1+2i·z=2+i，

z=(2+i)·1+2i2-i，

z=5i2-i，

z=5i(2+i)(2-i)(2+i)，

z=-1+2i，

所以實(shí)部為-1，虛部為2，10．【答案】A,C【解析】【解答】將所給的這組數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，

中位數(shù)為第五位和第六位的平均數(shù)：3，

個(gè)數(shù)最多的可知眾數(shù)為：2，3，

中位數(shù)為第五位和第六位的平均數(shù)：3，

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：3這組數(shù)據(jù)的方差：S2=(1-3)2+3×(2-3)2+3×3-32+(4-311．【答案】B,D【解析】【解答】因?yàn)閟in(所以sin(α所以當(dāng)β在第三象限時(shí)，有cosβ所以cos(當(dāng)β在第四象限時(shí)，有cosβ所以cos(故答案為：BD

【分析】利用已知條件結(jié)合兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)而得出角β的正弦值，再利用分類討論的方法和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和的余弦公式，進(jìn)而得出cos(12．【答案】B,C,D【解析】【解答】A選項(xiàng)：因?yàn)锳BCD是正方形，

所以AD∥BC，

因?yàn)锽C?平面PBC，AD不屬于平面PBC，

所以AD∥平面PBC，

又因?yàn)锳D?平面ADE，平面ADE∩平面PBC=l，

所以AD∥l，

因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

B選項(xiàng)：

因?yàn)镻D⊥底面ABCD，且AD?平面ABCD

所以PD⊥AD，

因?yàn)锳BCD是正方形，

所以DC⊥AD，

由A選項(xiàng)可知，AD∥l，

所以PD⊥l，DC⊥l，

且VP-ADE=13S?PAD·h，

=1因?yàn)锳D∥l，AD∥BC，

所以BC∥l，

所以PB與l所成角，即PB與BC所成角，

cos∠PBC=BCPB=212+22+22=23，

所以13．【答案】1【解析】【解答】因?yàn)?x+y?3)+(x?2)i=0，

所以x+y-3=0x-2=0，

所以x=2y=1，

因此x-y=114．【答案】7【解析】【解答】對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化解，

sin2θ+3cos2θ=2sinθcosθ+3cos2θ，

=2sinθcosθ+315．【答案】?【解析】【解答】因?yàn)閙→=a→?kb→與n→=2a→+3b→共線，16．【答案】36【解析】【解答】首先畫(huà)圖分析，

因?yàn)閂P-ABC=13S?ABC·PO1，

所以323=13×(12×4×4)×PO1，

所以323=1317．【答案】（1）解：將z=2?ai代入得(1?2∵(1?2i)z解得a=1，所以復(fù)數(shù)z=2?i（2）解：由（1）知z=2?iω=|ω【解析】【分析】(1)將復(fù)數(shù)z表達(dá)式代入，進(jìn)行混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義，求出a.

(2)將復(fù)數(shù)z表達(dá)式代入ω，并對(duì)分母進(jìn)行有理化，化簡(jiǎn)ω，并根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，求得模長(zhǎng).18．【答案】（1）解：已知sinα2＋cosα2＝得1＋2sinα2cosα2＝32又π2<α<π，所以cosα＝－1?sin（2）解：因?yàn)棣?<α<π，π2<β<π，所以－π2又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝4則cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－32×45＋12×(【解析】【分析】(1)把已知條件平方可得sinα＝12，再由已知α∈(π2，π)，可得cosα的值.

(2)由條件可得－π19．【答案】（1）證明：取AB的中點(diǎn)為N，連接CN、MN，如圖，因?yàn)锳E⊥平面ABC，CN?平面ABC，故AE⊥CN，而AC=BC，N為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥CN，又AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，所以因?yàn)镸、N分別為BE、AB所在棱的中點(diǎn)，所以MN//AE，又CD//AE，CD=12AE故四邊形CDMN為平行四邊形，則DM//CN，所以DM⊥又MD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE.（2）解：因?yàn)镈M⊥平面ABE，所以∠BED為直線DE與平面ABE在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=4因?yàn)镋A⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以EA⊥AB所以在Rt△EAB中，AE=4，則EB=同理，在Rt△BCD中，CD=2，則BD=在直角梯形ACDE中，DE=A所以在△BDE中，cos∠BED=即直線DE與平面ABE所成角的余弦值為155【解析】【分析】(1)首先由線面垂直，得到線線垂直AE⊥CN；再結(jié)合等腰三角形三線合一，得到AB⊥CN，從而得到線面垂直；之后再有中位線定理及平行的傳遞性，得到CD平行且等于MN，最終證出線面垂直.

(2)根據(jù)(1)中線面垂直，分析出題目中線面所成角；首先根據(jù)線面垂直，得到線線垂直，再由勾股定理，求出EB、BD、DE長(zhǎng)度，最終再結(jié)合余弦定理的公式，求出線面夾角.20．【答案】（1）解：若選①，因?yàn)閏a?b=sin∴c(a?c)∴∵0<B<若選②，因?yàn)?33ac則33sinB=∵0<B<若選③，因?yàn)閍sin所以由正弦定理得，a2即a2整理得a2+c∵0<B<（2）解：因?yàn)镃D=3所以BD?BC=3故BD=1因?yàn)锽D=1，BC=3AB，即a=3c，故BD2=9所以△ABC的面積為S=【解析】【分析】(1)選①，首先根據(jù)正弦定理，將等式右邊轉(zhuǎn)換為邊，結(jié)合余弦定理，求出∠B值.

選②，首先根據(jù)余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，化簡(jiǎn)，求出∠B的正切值，從而求出∠B值.

選③，首先根據(jù)正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，化簡(jiǎn)后，結(jié)合余弦定理，求得∠B值.

(2)對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并平方得到表達(dá)式，結(jié)合a與c的關(guān)系式，再利用正弦定理求出三角形的面積.21．【答案】（1）解：依題意，因?yàn)槌踬惓煽?jī)?cè)赱50，60)，[60，70)，[70，80)，[80所以0.05+0.故參賽同學(xué)初賽成績(jī)的平均值為x=55×0（2）解：因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱50，60所以成績(jī)?cè)赱50，60)間抽取同理，成績(jī)?cè)赱60，70)間抽取從中任選2人繼續(xù)學(xué)習(xí)的基本事件有：ma，其中抽到的2人成績(jī)都在[60，70所以所求概率為：P=6【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖可知，縱坐標(biāo)數(shù)值與橫坐標(biāo)組距相乘，各項(xiàng)累加求和得到概率1，從而可以求出a值；在橫坐標(biāo)上，取區(qū)間的中點(diǎn)，各個(gè)中點(diǎn)與對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)相乘，求和再與組距相乘，從而得到平均數(shù)值.(2)首先求出對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率，根據(jù)樣本的容量，求出區(qū)間[50，22．【答案】（1）證明：連接BD∩AC=O，連接DM，因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M//因?yàn)镺M?平面BDM，PA?平面BDM，所以PA//平面BDM（2）解：記AB的中點(diǎn)為Q，連接PQ，則PQ⊥AB，在平面ABCD過(guò)Q作QE⊥AB，交CD于E，連接PE，如圖，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PQ?平面PAB，所以PQ⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，則PQ⊥CD易得QE⊥CD，又PQ∩QE=Q，PQ，QE?面因?yàn)镻E?面PQE，所以CD⊥PE，過(guò)M作MN//CD交PE于N，連接NQ，則因?yàn)镸N//CD，AB//CD，所以所以平面MAB與平面PCD交線一部分為MN，又平面MAB⊥平面PCD，PE?平面PCD，所以PE⊥平面MAB，因?yàn)镹Q?平面MAB，所以PE⊥NQ，因?yàn)椤鱌AB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以PQ⊥AB因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，BC=2，∠AB