2022年商洛市第二次高考模擬檢測試卷數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，求出，故求出并集.【詳解】，解得：，故，故.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，進(jìn)而求出的虛部.【詳解】，故，所以的虛部為6故選：B3.已知向量，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算，得出，進(jìn)而利用充分不必要條件的定義判斷即可．【詳解】若，則，解得或，則是的充分不必要條件；故選：A4.若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個(gè)等邊三角形，則C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到漸近線方程的斜率，從而得到，求出離心率.【詳解】由題意得：漸近線方程的斜率為，又漸近線方程為，所以，所以C離心率為故選：D5.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可求得，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以的面積為.故選：C.6.“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個(gè)球，且球與圓柱的側(cè)面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積與球的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積與球的體積之比.【詳解】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設(shè)球的半徑為R，則圓柱的體積為：，球的體積為，所以圓柱的體積與球的體積之比為故選：B7.已知點(diǎn)在半徑為2，圓心在原點(diǎn)的圓上按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，在第時(shí)點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知在第時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度為，所以，，根據(jù)輔角公式可知，利用誘導(dǎo)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，角速度為，即所以在第時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度為，所以，，所以.故選:C.8.數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，…，，，，，…，的平均數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】由題意得：，，所以故選：D9.如圖，A，B是函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】將代入，求出，求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而列出方程，求出.【詳解】由圖象可知，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，將其代入得：，因?yàn)椋?，，令，解得：，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：故選：B10.甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】令，則方程可化為，根據(jù)甲計(jì)算出常數(shù)，根據(jù)乙計(jì)算出常數(shù)，再將代入關(guān)于x的方程解出即可【詳解】令，則方程可化為，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，所以和是方程的兩根，所以，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，則可得方程，解得，所以原方程的根是或故選：D11.已知函數(shù)滿足，且函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，，，則（）A.－4π B.－2π C.2π D.4π【答案】B【解析】【分析】由題意可得出函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，從而可得出答案.【詳解】函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.又的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱所以函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱.則，所以故選：B12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若直線上存在兩個(gè)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作圓O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，滿足，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè)出，利用求出在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為只需原點(diǎn)到直線的距離小于半徑2即可，用點(diǎn)到距離公式列出不等式，求出k的取值范圍.【詳解】設(shè)，連接，設(shè)，則，，所以，又，所以令，則有，解得：或因?yàn)樵趩挝粓A外，所以舍去，即在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2圓上，因?yàn)榍€上存在兩個(gè)點(diǎn)，即與圓有2個(gè)交點(diǎn)，只需原點(diǎn)到直線的距離小于半徑2即可，所以，解得：或，綜上：k的取值范圍是故選：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，然后采用平移直線法求解出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出可行域，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)有最大值，由解得，所以.故答案：.14.在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)滿足的概率為___________.【答案】【解析】【分析】先求解不等式，再使用幾何概型求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】解得：，故區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)滿足的概率為.故答案為：15.在正方體中，點(diǎn)P是底面的中心，則直線與所成角的余弦值為___________.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線的夾角.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：16.已知函數(shù)，若對任意恒成立，則m的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】對原不等式進(jìn)行變形化簡可得對任意，恒成立，再令，則，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值得應(yīng)用，即可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，若對任意恒成立，所以，即，令，則，令，則，又在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題．每個(gè)試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（—）必考題：共60分．17.為落實(shí)黨中央“三農(nóng)”政策，某市組織該市5000名鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試.從該次考試成績中隨機(jī)抽取樣本，以分組繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，估計(jì)該次考試成績的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）若要使13%的鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部的考試成績不低于m，求m的值；（3）在（1）（2）的條件下，估計(jì)本次考試成績在內(nèi)的人數(shù).【答案】（1）83.5（2）89.5（3）1950【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)，將中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的頻率再相加即可；（2）先計(jì)算出成績分別在，內(nèi)的頻率，確定m落在內(nèi)，列出方程，求出m的值；（3）在（1）（2）條件下求出本次考試成績在內(nèi)的頻率，進(jìn)而求出人數(shù).【小問1詳解】由圖可得：，【小問2詳解】成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，由于，故m落在內(nèi)，其中，解得：，所以m的值為89.5【小問3詳解】，所以估計(jì)本次考試成績在內(nèi)的人數(shù)為1950.18.已知數(shù)列滿足，且，且數(shù)列是等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，可得結(jié)合條件即得；（2）由題可知，然后利用分組求和即得.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，∴，又，∴，所以；【小問2詳解】由上可知，，所以數(shù)列是3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.19.在四棱錐中，底面為直角梯形，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上.（1）證明：.（2）求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明線線垂直，進(jìn)而證明出線面垂直，從而得到線線垂直；（2）等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】∵點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上.∴平面ABCD，∵平面ABCD?！郈D，∵，E為的中點(diǎn)∴AB=CE，∴四邊形ABCE為矩形，故AE⊥CD，∵，∴CD⊥平面APF，∵平面APF，∴【小問2詳解】連接BD與AE交于點(diǎn)O，連接PE，則，因?yàn)橛桑?）知：CD⊥平面APF，平面APF，所以CD⊥PE，因?yàn)镻D=2，DE=1，由勾股定理得：，因?yàn)镻A=1，AE=BC=2，所以，由勾股定理逆定理知：PA⊥PE，所以所以，由勾股定理得：，因?yàn)镻A=1，PD=2，AD=，所以PA⊥PD，設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h，則，解得：，故點(diǎn)B到平面的距離為.20.已知橢圓為其左焦點(diǎn)，在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，是否存在某定圓始終與直線相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在定圓始終與直線相切.【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）先考慮直線斜率不存時(shí)，直線AB的方程，再考慮斜率存在時(shí)，設(shè)出直線AB的方程，利用得到的關(guān)系式，再利用點(diǎn)到直線距離公式得到原點(diǎn)到直線AB的距離為定值，驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合，最后求出答案.【小問1詳解】由題意得：，故，又在橢圓上，故聯(lián)立得：，故，橢圓方程為【小問2詳解】當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，不妨設(shè)直線OA，OB的斜率分別為1，1，聯(lián)立y=x與，解得：，求得：直線AB為當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：聯(lián)立得：，設(shè)，則，因?yàn)椋运?，由原點(diǎn)到直線AB的距離，存在定圓始終與直線相切，顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，滿足要求，綜上：存在定圓始終與直線相切【點(diǎn)睛】對于求解圓錐曲線定點(diǎn)定值問題，要合理設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，然后通過等量關(guān)系列出方程，進(jìn)行求解.21.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線經(jīng)過第二?四象限且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求a的值.（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線在處的切線方程，結(jié)合題意可知，再根據(jù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，建立方程，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)?，所以，令，求出，?dāng)時(shí)，可知，即可判斷此時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可知此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用可知在上單調(diào)遞增，可得，由此可知恒成立，由此即可證明結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意可知，，所以，所以曲線在處的切線方程為.因經(jīng)過第二、四象限，所以，即，令，則，令，則，又與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以，又，，解得或.【小問2詳解】證明：因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減，則，即成立；當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)椋?，所以在上遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，綜上所述，恒成立，即當(dāng)時(shí)，成立.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線與的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線l的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線，分別交于M，N（均異于點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若，求．【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，（2）【解析】【分析】（1）的參數(shù)方程消參可求出的直角坐標(biāo)方程；的極坐標(biāo)方程同乘，把，代入的極坐標(biāo)方程可求出的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，用極徑的幾何意義表示出，即，解方程即可求出.【小問1詳解】解：的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），把代入中可得，，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，綜上所述：曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，【小問2詳解】由（1）知，的極坐標(biāo)方程為，設(shè)M、N兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，則，，由題意知可得