專題03導數(shù)的綜合問題【題型歸納目錄】題型1：構造函數(shù)解不等式問題題型2：證明不等式題型3：恒成立問題題型4：能成立問題題型5：零點問題題型6：方程的根問題題型7：雙變量問題問題題型8：實際應用問題題型9：極值點偏移問題【考點預測】1、恒成立問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．2、極值點偏移的相關概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往．如下圖所示．圖1極值點不偏移圖2極值點偏移極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．3、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果．4、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍．求解步驟：第一步：將問題轉化為函數(shù)的零點問題，進而轉化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；第三步：結合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù)．5、利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù)．（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉，轉化為最值問題（6）同構變形【典例例題】題型1：構造函數(shù)解不等式問題例1．（2022·山東·寧津縣第一中學高二期末）已知是函數(shù)的導數(shù)，且，當時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，因為當時，，所以當時，，即在上單調遞增，因為，所以為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù),所以在上單調遞減.因為,所以,即,則，解得，故選：D.例2．（2022·河北·石家莊二中高二期末）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得關于成中心對稱．令，可得當時，則在上單調遞增.由關于成中心對稱且，故在上單調遞增由，則，或解得，或，故故選：A例3．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）設，分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，時，，遞增，又是奇函數(shù)，所以，從而，由得，，，所以是奇函數(shù)，所以在時也是增函數(shù)，，所以由得，綜上，不等式的解為．故選：D．變式1．（2022·河南駐馬店·高二期末（理））已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，，若，則關于x的不等式的解集為（

）A．（4，+∞） B．（∞，4） C．（∞，3） D．（3，+∞）【答案】A【解析】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足，故，故，即，所以，即的周期為3.又，故，即.因為，即，故構造函數(shù)，則，且.綜上有在R上單調遞增，且.又即，，所以，解得故選：A變式2．（2022·陜西渭南·高二期末（理））已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，若函數(shù)的圖像關于直線對稱，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象關于直線對稱，，，設，則，又，；單調遞減，而當時，；不等式，即，解得：，故不等式的解集為，故選：C．變式3．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））已知定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，且當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設，，令，則，即為偶函數(shù).所以，當時，則在為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，由，即，∴，解得.故選：D.題型2：證明不等式例4．（2022·河南開封·高二期末（文））已知函數(shù).(1)求在（為自然對數(shù)的底）處的切線方程；(2)證明：當時，．【解析】(1)由，得，由，得，所以曲線在處的切線方程為.(2)證明：先證明，構造函數(shù)，其中，，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以，，所以，，，因為，則，故，即當時，.例5．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））已知函數(shù).(1)當時，，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1）當時，等價于.令函數(shù)，則.若，則單調遞減，，不符合題意.若，則，.因為函數(shù)在上單調遞增，所以.當時，單調遞減，，不符合題意.若，則單調遞增，，符合題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（2）證明：由（1）知:當時,.要證，只需證，即證.令函數(shù)，則當時，單調遞減；當時，，單調遞增.故，即.當時，單調遞增；當時，單調遞減.故因為，所以，即，從而例6．（2022·重慶市實驗中學高二期末）已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[]上的最大值；(2)證明：．【解析】(1)因為f(x)＝lnx﹣ax+1，x∈R，所以＝﹣a＝，當a＝0時，＞0，所以f(x)在[]上單調遞增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2+1，當a＜0時，，所以f(x)在[]上單調遞增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，當0＜a≤時，≥2，在[]上成立，所以f(x)在[]上單調遞增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，當＜a≤2時，，當時，，f(x)單調遞增；時，，f(x)單調遞減；所以f(x)max＝f（）＝﹣lna；當a＞2時，，在[]上成立，所以f(x)在[]上單調遞減，所以f(x)max＝f（）＝﹣ln2﹣a+1；綜上所述：f(x)max＝；(2)先證明一個不等式：，設，在，故在上為減函數(shù)，故即成立.要證明，即證明，而，故對，變式4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知函數(shù).(1)求的極值；(2)證明：.【解析】(1)因為，所以定義域為，所以.由，解得.隨著的變化，，的變化如下表所示1+0單調遞增極大值單調遞減，無極小值.(2)證明：要證，即證，即證，即證.令，則，即證.由（1）可知，成立.故原不等式成立.變式5．（2022·重慶市實驗中學高二期末）已知函數(shù).(1)判斷的零點個數(shù)；(2)當時，證明：.【解析】(1)函數(shù)函數(shù)的定義域為，，令，則且不恒為零，所以在上單調遞增，又因為，所以當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以，，故僅有個零點.(2)證明：要證，即證.①當時，則，則，而，所以原不等式成立；②當時，，由（1）知時，，所以，則，所以只需證.令，，則且不恒為零，所以在上單調遞減，所以，即.故只需證，即證，令，其中，令，則，且不恒為零，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故，且不恒為零，故在上為增函數(shù)，則，即，綜上所述，.變式6．（2022·廣東·中山紀念中學高二階段練習）已知函數(shù)的最小值為．(1)求實數(shù)的值；(2)求證：當時，．【解析】(1)（1）函數(shù)定義域為，．①若，則，在上單調遞增，沒有最小值；②若，則由，得；由，得．因此，在上單調遞減，在上單調遞增，故,解得.(2)證明：由（1）知．令，則．當時，，，所以（當且僅當時“＝”號成立），所以在上單調遞減．因此，當時，有，即．題型3：恒成立問題例7．（2022·河北張家口·高二期末）已知函數(shù).(1)證明：；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）證明：由題意，函數(shù)，可得，且，當時，，當時，，所以當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，所以.（2）由，可得.設，顯然，又由，設，則.當時，，故單調遞增，所以，故也單調遞增，所以，與題設矛盾；當時，令，（i）當時，，在區(qū)間上，故單調遞減，又，故也單調遞減，所以恒成立；（ii）當時，，當時，，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又由，所以在時，，故在區(qū)間上單調遞增，所以，與題設矛盾，綜上，實數(shù)的取值范圍為.例8．（2022·廣西河池·高二期末（理））設為實數(shù)，函數(shù)，.(1)若函數(shù)與軸有三個不同交點，求實數(shù)的取值范圍；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由，解得或；由解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，若函數(shù)與軸有三個不同交點，則，解得，所以若函數(shù)與軸有三個不同交點，實數(shù)的取值范圍為；（2）對于，，都有，則，由（1）知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，故當時，因為，且，則，故函數(shù)在上單調遞減，故，由題意可得，故.所以實數(shù)的取值范圍為.例9．（2022·四川涼山·高二期末（文））已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意知：．當時，，，函數(shù)單調遞增；當時，，，函數(shù)單調遞減，，，函數(shù)單調遞增．綜上，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）當時，，即不合題意；當時，由（1）可知，則，即．綜上，a的取值范圍為．變式7．（2022·山東菏澤·高二期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)已知對于恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1），由，得，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以，極小值為，無極大值；（2）（2）由，所以，取，則，因此，令，則，令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因此只需，即，令，，所以在上單調遞減，又，，所以，整數(shù)的最大值為4.變式8．（2022·四川遂寧·高二期末（文））已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域為，由，求導得，令，得，解得，，所以當或時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減；（2）的定義域為，求導得，有兩個極值點時，等價于方程的有兩個不等正根，所以，所以，，此時不等式恒成立，等價于對恒成立，可化為對恒成立，令，則，令，得，得或（舍去），所以當時，，當時，，故所以在恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以.

故實數(shù)的取值范圍是變式9．（2022·河南安陽·高二期末（理））已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)設，若，，都有，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)當時，，，∵，∴切點為，∵，∴切線斜率，∴切線方程為(2)，．當時，，單調遞增，∴，．，，令，，∴在上單調遞增，且，，∴，使得，即，也即．令，，，顯然時，，單調遞增，∴，即．∵當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，∴．∵，，都有，∴，得，故實數(shù)的取值范圍為．變式10．（2022·河南駐馬店·高二期末（理））已知函數(shù)（其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，討論函數(shù)f（x）的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍．【解析】(1)由可得，由得，，，∵∴，由可得：或；令可得：此時f（x）的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；(2)法1由，可得對恒成立，即對任意的恒成立，令，則，令，則，則在上單調遞增，又，，故在上有唯一的實根，不妨設該實根為，故當時，，，g（x）單調遞增；當時，，，單調遞減，故，又因為．所以，，，所以，故a的取值范圍為．法2由，可得對x>1恒成立，即對任意的x>1恒成立，令，則∵，∴，∴在上單調遞增，且∴對任意的恒成立令，則令，解得：故當時，，g（t）單調遞增；當時，，單調遞減；故，故a的取值范圍為題型4：能成立問題例10．（2022·江蘇·高二課時練習）已知函數(shù)，設在點處的切線為（1）求直線的方程；（2）求證：除切點之外，函數(shù)的圖像在直線的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1），由導數(shù)的幾何意義k切＝f′（1）＝1，所以直線m的方程為y＝x﹣1．（2）證明：設函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，，函數(shù)定義域為（0，+∞），令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣﹣2x＜0，所以p（x）在（0，+∞）上單調遞減，又p（1）＝0，所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，若除切點（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，所以除切點（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，則若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，g′（x）＝＝，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）?，令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，所以在（1，+∞）上，q（x）單調遞減，又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調遞減，所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）單調遞減，又，所以a＜1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1）．例11．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)．（1）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方;（2）若存在，，使成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)m．【解析】（1）設，則，在區(qū)間上，，，所以當時，，單調遞減，且，故時，，所以，所以在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．（2）由，得，當時，，所以，．存在，，使成立等價于，即，，故滿足條件的最大整數(shù)為4．例12．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高二期中）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，則，，，所以曲線在點，處的切線方程為，即；（2）由題意知，存在，，使得不等式成立，即存在，，使得成立，令，，，則，，，①當時，，所以函數(shù)在，上單調遞減，所以（2）成立，解得，所以.②當時，令，解得；令，解得.所以函數(shù)在，上單調遞增，在，上單調遞減，又，所以（2），解得，與矛盾，舍去.③當時，，所以函數(shù)在，上單調遞增，所以，不符合題意，舍去.綜上所述，的取值范圍為.變式11．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）若，討論函數(shù)的單調性；（3）設函數(shù)，若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，.由題意得，，即，解得，因此，；（2）.當時，且不恒為，所以，在上單調遞增；當時，由，得或，由，得，此時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，由，得或，由，得，此時，在和上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（3）若至少存在一個，使得成立，則當時，有解.當時，，即有解，令，，則.，所以，在上單調遞減，所以，，所以，，即，因此，實數(shù)的取值范圍是.變式12．（2022·廣東·廣州科學城中學高二期中）已知函數(shù)（）．（1）若，討論函數(shù)的單調性；（2）設函數(shù)，若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）．當時，，∴在上單調遞增；當時，由，得或，由，得，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，由，得或，由，得，∴在和上單調遞增，在上單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）若至少存在一個，使得成立，則當時，有解．∵當時，，∴有解，令，，則．∵，∴在上單調遞減，∴，∴，即，∴實數(shù)的取值范圍．變式13．（2022·全國·高二課時練習）函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間；（2）若，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）．當，即時，，單調遞增；當，即時，，單調遞減．綜上，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（2），即．令，則由題意，可得，．由（1）可知，在上單調遞增，所以．因為，所以，．因為，所以，，所以．又，所以當時，，所以在單調遞增，故．所以，即．故實數(shù)的取值范圍是．題型5：零點問題例13．（2022·河南平頂山·高二期末（文））已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若存在兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，.當時，，.所以曲線在點處的切線方程為:，即.(2)方程總有兩個不相等的實數(shù)根,即為,即有兩個不相等的實數(shù)根.設，則.所以當時，,g(x)遞增；當0<x<1或1<時,,g(x)遞減可得處g(x)取得極小值,且為2e.因為時，；時，，所以a>2e,則a的取值范圍是.例14．（2022·江蘇·高二期末）已知，其中.(1)討論的單調性；(2)取，，其中，求最小的k，使有兩個零點.【解析】(1)因為，定義域為，所以，①時，，即在單調遞增；②時，當時，，所以單調遞增；當時，，所以單調遞減.(2)時，，則，設，，所以在單調遞增，又因為，，所以存在，滿足，即，化簡得：，解得，，當時，，即，則單調遞減；當時，，即，則單調遞增；要使得有兩個零點，則必要條件為，即，即，因為，所以k最小值為0，再證當時，有兩個零點，因為，，，所以存在，，滿足，即此時有兩個零點.綜上所述，最小的k為0.例15．（2022·山東濟南·高二期末）已知函數(shù)，．(1)若存在極大值點，求a的取值范圍；(2)試判斷的零點個數(shù)，并說明理由．【解析】（1），令，則，令，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當，即時，，，所以在上單調遞減，無極值點，舍去；當，即時，，，所以存在，使得，又，所以存在，使得，所以令，可得或，令，可得，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，所以的極大值點為.綜上，；（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，因為，且當時，，所以在上存在唯一的零點；當時，，令，，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以在上單調遞減，因為，所以的極大值，所以，不存在零點，因為，且當時，，所以在上存在唯一個零點；綜上，有唯一零點.變式14．（2022·北京豐臺·高二期末）已知函數(shù).(1)當時，求曲線點處的切線方程；(2)求證：當時，函數(shù)存在極值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，，，因為，

所以曲線在處的切線方程為，即；（2）證明：，當時，由得，，隨著的變化，的變化情況如下表：0單調遞減單調遞增所以存在極小值，且極小值為；（3），當時，因為，所以，在區(qū)間上單調遞減，且，因為在區(qū)間上有零點，所以，解得，所以；當時，，

因為在區(qū)間上有零點，由（1）可知，，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，

所以，綜上所述，的取值范圍是.變式15．（2022·陜西·咸陽市教育局高二期末（文））已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)記為的導函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個零點，求a的值．【解析】（1）因為定義域為，所以，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以；（2）由（1）可得，，∴因為，令，，函數(shù)在上單調遞增，因為，∴存在唯一的實數(shù)，使得，即，當時，，單調遞減；時，，單調遞增；又∵時，，時，，且，∴當函數(shù)有且僅有1個零點時，，∴符合題意所以.變式16．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調性；(2)已知若函數(shù)沒有零點，求的取值范圍.【解析】(1)由題意可知，的定義域為，，令，則或，當時，當或時，，當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.當時，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.；當時，所以在和上單調遞減，在上單調遞增.(2)當時，由（1）可知，在上單調遞增，若函數(shù)沒有零點，則所以實數(shù)的取值范圍為.題型6：方程的根問題例16．（2022·廣東·紅嶺中學高二期中）已知函數(shù)，在處有極值.(1)求、的值；(2)若，有個不同實根，求的范圍.【解析】(1)因為函數(shù)，在處有極值，所以，即，解得，.(2)由（1）知，，所以在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，所以，，若有3個不同實根，則，所以的取值范圍為.例17．（2022·河南·欒川縣第一高級中學高二階段練習（理））已知．(1)若2是函數(shù)的極值點，求a的值，并判斷2是的極大值點還是極小值點；(2)若關于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．參考數(shù)據(jù)：【解析】(1)因為，所以．

因為2是的極值點，所以，解得．

此時．令，解得或，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

所以2是的極小值點．(2)由，得，

令，則，令，解得，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值是，而且，

故實數(shù)a的取值范圍是．例18．（2022·湖北·高二期中）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若方程在上有實根，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1），時，，在R上單調遞減；時，，，單調遞增，，，單調遞減；綜上，時，在R上單調遞減；a＞0時，f(x)在單調遞增，在單調遞減.（2），令，則，∴g(x)在(1，e)上單調遞增，∴∴.變式17．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.(2)設曲線與過點，的切線相切于點，則切線的斜率為，所以切線方程為因為點，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設，則，令，解得或，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，極大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.變式18．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.(1)若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；(2)若方程有兩個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.【解析】(1)設曲線的切點坐標為，由，所以過該切點的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因為直線與函數(shù)的圖象相切，所以，因為直線與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點，所以曲線的切點為，于是有，即；(2)由可得：，當時，顯然不成立，當時，由，設函數(shù)，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，因此當時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當時，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實數(shù)解，轉化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當時，有兩個不同的交點，由圖象可知：，故a的取值范圍為.變式19．（2022·廣東·深圳市南山區(qū)華僑城中學高二階段練習）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，．(1)求單調區(qū)間；(2)若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根．【解析】(1)定義域為，因為，若，，所以單調遞減區(qū)間為，若，,當時，，當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．(2)證明：若且對任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調性相同，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且僅有一個零點，即方程有且只有兩個實根．題型7：雙變量問題問題例19．（2022·山東濰坊·高二期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）實數(shù)，滿足，求的最大值．【解析】（1），的兩根為和，所以當或時，；當時，；所以的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為．（2）由題意知，所以，因為，所以，令，，所以在單調遞增，所以，，令，令，，所以當，，當，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以最大值為．例20．（2022·江蘇常州·高二期末）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求曲線在點處的切線方程：（2）若方程有兩個不等的實數(shù)根，而，求證：．【解析】（1），，，所以曲線在處的切線方程為.（2）令，得，列表如下：單調遞減單調遞增因為有兩個不等的實數(shù)根，，所以，不妨設，令，，令，，單調遞減極小值單調遞增所以對任意，，所以，即，所以，所以，所以．例21．（2022·貴州·遵義航天高級中學高二階段練習（理））已知函數(shù)，R．（1）若存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）若，為的兩個不同極值點，證明：．【解析】（1）函數(shù)定義域為，根據(jù)題意知有解即有解，令，且當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，（2）由是的不同極值點，知是的兩根即，①聯(lián)立可得：②要證，由①代入即證，即由②代入可得③且由上一問可知，若，則③等價于令（），問題轉化為證明④成立而在上單調遞增，當，，所以④成立，得證．若，則③等價于令，問題轉化為證明⑤成立而在上單調遞增，當，，⑤成立，得證．變式20．（2022·北京大興·高二期末）已知函數(shù).（1）求證：當時，；（2）設斜率為的直線與曲線交于兩點，證明：.【解析】（1）證明：令，，所以當時，，單調遞增，所以，所以．（2）證明：因為斜率為的直線與曲線交于兩點，，，，所以，，，要證，只需證，即證，只需證，只需證，令，即證，由（1）得時，，令，求導得，所以當時，，單調遞減，所以，所以，所以當時，，綜上，當時，，所以．變式21．（2022·重慶一中高二階段練習）已知函數(shù)（）有兩個極值點為，（）．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【解析】（1）由于有兩個極值點，（），則有兩個實根，，故．設，則．設，則，，解得．故在上單調遞減，在上單調遞增，又，時，，故當（）時，，；當時，，．由此在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增．從而，即．綜合上述，實數(shù)的取值范圍為．（2）由于，故．從而，即．先證不等式右邊：由于（）．設（），則，故在上單調遞增，從而，故（）成立，．再證不等式左邊：．由于（，），從而，即，其中，．由于（），設（），則，故在上單調遞增，從而，故（）成立，從而．綜合上述，，即．變式22．（2022·湖北·高二期末）已知函數(shù)（）.（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，（），且，求的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，在上單調遞增；當時，令，則，設，則，易知，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴，∴，在上單調遞增；綜上，當時，在上單調遞增；（2）依題意，，則兩式相除得，，設，則，，，∴，，∴，設（），則，設，則，所以在單調遞增，則，∴，則在單調遞增，又，且∴，∴，即的最大值為.題型8：實際應用問題例22．（2022·河北·石家莊市第二十七中學高二期中）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：(1)種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為的解析式；(2)要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.【解析】(1)種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為：，，即，，當時，，解得，故，；(2)，當時，，當時，，∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，∴時，利潤最大為萬元.例23．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應滿足.假設油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當車速為時，汽車每小時耗油，司機每小時的工資是91元.(1)求的值；(2)如果不考慮其他費用，當車速是多少時，這次行車的總費用最低？【解析】(1)因為汽車以的速度行駛時，汽車的耗油率為，又當時，，解得.(2)若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時，則這次行車的總費用，則，令，解得，則當，，單調遞減，即.故時，該次行車總費用最低.例24．（2022·河南省實驗中學高二期中（理））如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面不計剪裁和拼接損耗，設矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.(1)寫出體積V關于x的函數(shù)關系式，并指出定義域；(2)當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?【解析】（1）連接，在中，，，設圓柱底面半徑為，則，即，，其中．（2）由及，得，列表如下：，0↗極大值↘∴當時，有極大值，也是最大值為m3．變式23．（2022·全國·高二課時練習）某食品廠生產(chǎn)某種食品的總成本C（單位：元）和總收入R（單位：元）都是日產(chǎn)量x（單位：kg）的函數(shù)，分別為，，試求邊際利潤函數(shù)以及當日產(chǎn)量分別為200kg，250kg，300kg時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟意義.（總利潤y關于產(chǎn)量x的函數(shù)的導函數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)）【解析】根據(jù)定義，知：總利潤函數(shù)，∴邊際利潤函數(shù)為.（元），（元），（元），其經(jīng)濟意義是：當日產(chǎn)量為200kg時，再增加1kg，則總利潤可增加1元；當日產(chǎn)量為250kg時，再增加1kg，則總利潤無增加；當日產(chǎn)量為300kg時，再增加1kg，則總利潤反而減少1元.由此可得，當企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超過了邊際利潤的零點時，會使企業(yè)“無利可圖”.題型9：極值點偏移問題例25．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）已知函數(shù)，．(1)記，當時，求的單調區(qū)間．(2)若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：．【解析】（1）當時定義域為，，令，解得或，當時，當或時，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；（2）①由，得.設，則，由題意得函數(shù)恰好有兩個零點.

（i）當，則，只有一個零點1．