2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一章§1.6一元二次方程、不等式§1.6一元二次方程、不等式課標(biāo)要求1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系方程的判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－b沒有實(shí)數(shù)根不等式的解集{x|x<x1或x>x2}xR2.分式不等式與整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)?f((2)f(x)g(x)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且3.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(√)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(×)(4)不等式x-ax-b≥0等價(jià)于(x－a)(x－b)≥0.2.(2024·保山模擬)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集為A，不等式x-2x-1<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，由(x－2)(x－1)<0，解得1<x<2，所以B＝{x|1<x<2}，所以集合B是集合A的真子集，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.3.若關(guān)于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為.

答案－3解析根據(jù)題意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的兩根為3和4，故有3＋4＝1-2m,34.若關(guān)于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案(－32，32)解析由題意有4a2－4×18<0，可得－32<a<32.謹(jǐn)防三個(gè)易誤點(diǎn)(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運(yùn)用，對(duì)參數(shù)分類時(shí)要做到不重不漏.(2)當(dāng)未說明不等式為一元二次不等式時(shí)應(yīng)分二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，注意區(qū)分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R還是?.題型一求解一元二次不等式命題點(diǎn)1不含參的不等式例1(多選)下列選項(xiàng)中，正確的是()A.不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|x<－2或x>1}B.不等式2x＋1x-2≤1的解集為{xC.不等式|x－2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}D.設(shè)x∈R，則“|x－1|<1”是“x＋4x-5答案BD解析由題知方程－x2－x＋2＝0的解為x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|－2<x<1}，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?x＋1x-2－1≤0，即x＋3x-2≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集為{x由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯(cuò)誤；由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由x＋4x-5<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“x＋4x-5命題點(diǎn)2含參的不等式例2已知函數(shù)f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解關(guān)于x的不等式f(x)>－ax－1.解不等式f(x)>－ax－1可化為ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.因?yàn)閍>0，所以當(dāng)－3a<－1，即0<a<3時(shí)，原不等式的解集為x當(dāng)－3a＝－1，即a＝3時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠－1當(dāng)－3a>－1，即a>3時(shí)，原不等式的解集為x思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.跟蹤訓(xùn)練1解關(guān)于x的不等式：(1)2x1-(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.解(1)由題意2x1-x－3＝5可得(5x-3)(x-1)≥0,x-1所以不等式的解集為-∞，35∪(1，(2)不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化為(ax＋1)(x－2)≥0，當(dāng)a＝0時(shí)，x－2≥0，不等式的解集為[2，＋∞)；當(dāng)a>0時(shí)，不等式化為x＋1a(x－2)≥0，其解集為-∞，-1當(dāng)a<0時(shí)，不等式化為x＋1a(x－2)①當(dāng)－1a<2，即a<－12時(shí)，不等式的解集為②當(dāng)－1a＝2，即a＝－12時(shí)，不等式的解集為{③當(dāng)－1a>2，即－12<a<0時(shí)，不等式的解集為題型二三個(gè)二次之間的關(guān)系例3(1)(多選)(2025·蚌埠模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(－∞，1)∪(5，＋∞)，則下列結(jié)論正確的是()A.a>0B.a＋b＋c>0C.bx＋c>0的解集是xD.cx2－bx＋a<0的解集是x答案CD解析由題意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a<0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得1＋5＝－ba，1×5＝ca，得b＝－6a，c＝5對(duì)于A，因?yàn)閍<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>56所以不等式bx＋c>0的解集是xx>5對(duì)于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，則(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－15或x<－1即解集為xx>-15(2)若關(guān)于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<1<x2，則a的取值范圍是()A.－27<a<25 B.aC.a<－27 D.－211<答案D解析方法一顯然a≠0；令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，當(dāng)a>0時(shí)，f(1)<0，當(dāng)a<0時(shí)，f(1)>0，故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，解得－211<a方法二因?yàn)榉匠蘟x2＋(a＋2)x＋9a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，所以x因?yàn)閤1<1<x2，所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，則9＋a＋2a＋1<0，解得－211思維升華已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù).跟蹤訓(xùn)練2(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是-∞，-13∪12，＋∞A.-12，C.[－2，3] D.[－3，2]答案C解析因?yàn)椴坏仁絘x2＋2x＋c<0的解集是-∞，-所以－13和12是方程ax2＋2x＋c由-13故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所求不等式的解集是[－2，3].(2)(多選)已知關(guān)于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，則下列結(jié)論正確的是()A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3C.－1<x1<x2<3 D.x2－x1>4答案ABD解析由題意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的兩根，所以x1＋x2＝－-2aa＝2，故x1x2＝1-3aa＝1x2－x1＝(x1＋x2)由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是錯(cuò)誤的，故C錯(cuò)誤.題型三一元二次不等式恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.(1)若不等式f(x)<1的解集為R，求m的取值范圍；(2)若不等式f(x)≥0對(duì)一切x∈-12，(3)若不等式f(x)>2對(duì)一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范圍.解(1)不等式f(x)<1，即mx2－(m－1)x＋m－2<0，當(dāng)m＝0時(shí)，x－2<0，解得x<2，不符合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，有m解得m<3-23綜上所述，m的取值范圍為-∞(2)不等式f(x)≥0對(duì)一切x∈-1即m(x2－x＋1)≥1－x對(duì)一切x∈-1因?yàn)閤2－x＋1＝x-1則不等式等價(jià)于m≥1-xx2-x由x∈-1得1-xx2-當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝11-x，即x所以1-xx所以m≥1，即m的取值范圍是[1，＋∞).(3)不等式f(x)>2對(duì)一切m∈(0，2)恒成立，即(x2－x＋1)m＋x－3>0對(duì)一切m∈(0，2)恒成立，令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，因?yàn)閤2－x＋1＝x-1所以函數(shù)h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上單調(diào)遞增，則h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，所以x的取值范圍為[3，＋∞).思維升華恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)＝x2－3x＋a＝x-322＋則f(x)min＝f

32＝a－f(x)>0在R上恒成立，即f(x)min＝a－94>0，故a>9故實(shí)數(shù)a的取值范圍是94(2)f(x)＝x2－3x＋a＝x-322＋f(x)在[－1，2]上的最大值為f(x)max＝f(－1)＝-1-322＋a－9故f(x)在(－1，2)上滿足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4].課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·威海模擬)設(shè)集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B等于()A.(－2，0) B.(－1，0)C.(－2，0] D.(－1，0]答案D解析由題意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0}.2.若命題“?x∈R，－x2－2mx＋2m－3≥0”為真命題，則m的取值范圍是()A.－1≤m≤3 B.－3≤m≤1C.m≤－1或m≥3 D.m≤－3或m≥1答案D解析由題意知不等式－x2－2mx＋2m－3≥0有解.即不等式x2＋2mx－2m＋3≤0有解.設(shè)f(x)＝x2＋2mx－2m＋3，則函數(shù)f(x)的圖象開口向上，要使不等式f(x)≤0有解，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則Δ＝4m2－4(－2m＋3)≥0，化簡(jiǎn)得m2＋2m－3≥0，解得m≤－3或m≥1.3.設(shè)p：實(shí)數(shù)m滿足－1<m<0，q：一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析命題q：一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，所以Δ＝32-4×1所以p是q的充分不必要條件.4.(2025·桂林模擬)已知實(shí)數(shù)a為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝(ax－1)(x－a)，甲同學(xué)：f(x)>0的解集為(－∞，a)∪1a，＋∞；乙同學(xué)：f(x)<0的解集為(－∞，a)∪1a，＋A.a<－1 B.－1<a<0C.0<a<1 D.a>1答案C解析若甲正確，則a>0且1a>a，則0<a<1若乙正確，則a<0且a<1a，則a<－1若丙正確，則二次函數(shù)的圖象開口向上，即a>0；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)同學(xué)的論述是錯(cuò)誤的，所以只能乙的論述錯(cuò)誤，故0<a<1.5.當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，不等式2kx2－kx－38<0恒成立，則kA.(－3，0) B.[－3，0)C.-3，18答案D解析當(dāng)k＝0時(shí)，滿足不等式恒成立；當(dāng)k≠0時(shí)，令f(x)＝2kx2－kx－38，則f(x)<0在(－1，1函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝14當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在-1，14則有f(-1)＝2k＋k-3當(dāng)k<0時(shí)，f(x)在-1，14則有f

14＝2k綜上可知，k的取值范圍是-3，6.已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋1<0的解集為{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且(x1-1A.－1 B.1C.3 D.－1或3答案C解析關(guān)于x的不等式x2－ax＋1<0的解集為{x|x1<x<x2}，則x1和x2是關(guān)于x的方程x2－ax＋1＝0的兩根，則Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2，有x12＋1＝ax1，x22＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1(x1-1)2＋(x2-1)2＝x12－2x1＋1＋x22－2x2＋1＝ax1－2x1＝a(a－2)＝3，即a2－2a－3＝0，解得a＝3(a＝－1舍去).二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(－1，2)，則下列結(jié)論正確的是()A.a<0B.關(guān)于x的不等式bx＋c>0的解集為(－∞，－2)C.4a－2b＋c>0D.關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集為-1答案BC解析由已知可得a>0且－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以A選項(xiàng)不正確；由根與系數(shù)的關(guān)系可得-1＋2＝-解得b＝－a，c＝－2a，則不等式bx＋c>0可化為－ax－2a>0，即x＋2<0，所以x<－2，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?a－2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，所以C選項(xiàng)正確；不等式cx2－bx＋a>0可化為－2ax2＋ax＋a>0，即2x2－x－1<0，解得－12<x<1故不等式cx2－bx＋a>0的解集為-12，18.(2024·南平模擬)下列命題正確的是()A.若關(guān)于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一個(gè)根比1大且另一個(gè)根比1小，則a的取值范圍是(－2，1)B.若關(guān)于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，3)C.若關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式ax＋bx-2>0的解集是{x|D.若1a＋2b＝1(a>0，b答案ACD解析對(duì)于A，二次函數(shù)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的圖象開口向上，若關(guān)于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一個(gè)根比1大且另一個(gè)根比1小，則f(1)＝1＋(a2－1)＋a－2＝a2＋a－2<0，解得－2<a<1，故A正確；對(duì)于B，若關(guān)于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，則只需k(x－1)>x2－1，即k>x＋1在(1，2)上恒成立即可，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥3，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則a>0，a＝b，所以關(guān)于x的不等式ax＋bx-2>0?x＋1x-2>0?x對(duì)于D，若1a＋2b＝1(a>0，b>0)，則1a＋2b＝1≥22ab，解得4所以1a2＋4b2＝1a＋2b2－4三、填空題(每小題5分，共10分)9.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的解集為(－3，2)，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的解集為(－3，4).那么原不等式的解集為.

答案(－2，3)解析依題意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3，所以原不等式的解集為(－2，3).10.定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合B＝xx2-5x-32-x<1答案31解析x∈N*，當(dāng)x＝1時(shí)，x2-5x-32-x當(dāng)x>2時(shí)，不等式x2-5x-32-x<1化為x2－4所以B＝{x|x>5，x∈N*或x＝1}，又A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以A∩B＝{1，6，7，8，9}，它的子集有32個(gè)，非空子集有31個(gè).四、解答題(共27分)11.(13分)已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(6分)(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.(7分)解(1)因?yàn)椴坏仁絘x2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)根，所以1＋解得a(2)由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，當(dāng)m>2時(shí)，不等式解集為{x|2<x<m}；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式解集為?；當(dāng)m<2時(shí)，不等式解集為{x|m<x<2}.12.(14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3，關(guān)于x的一元二次不等式f(x)>0的解集為(－3，1).(1)求不等式x2＋ax＋b>0的解集；(6分)(2)若?x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(8分)解(1)因?yàn)橐辉尾坏仁絝(x)>0的解集為(－3，1)，所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的兩個(gè)實(shí)根，則-3＋1＝-解得a因此所求不等式即為x2－x－2>0，解集為{x|x<－1或x>2}.(2)f(x)≥mx2可化為(m＋1)x2≤－2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，不等式可化為m＋1≤－2x＋31x2對(duì)?x∈[－1，0)∪(0令t＝1x∈(－∞，－1]∪13，＋∞，則m＋1≤－2當(dāng)t＝13，即x＝3時(shí)，(-2t＋3所以m＋1≤－13，即m≤－413題6分，14題5分，共11分13.(多選)已知k∈Z，若關(guān)于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一個(gè)整數(shù)解，則k的可能取值為()A.－1 B.1 C.2 D.3答案AD解析關(guān)于x的不等式x2－x<k(x－1)，即x2－(k＋1)x＋k<0，即(x－1)(x－k)<0，當(dāng)k＝1時(shí)，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，解集為空集，不符合題意；當(dāng)k>1時(shí)，(x－1)(x－k)<0的解滿足1<x<k，要使得關(guān)于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一個(gè)整數(shù)解，需2<k≤3，由于k∈Z，故k＝3；當(dāng)k<1時(shí)，(x－1)(x－k)<0的解滿足k<x<1，要使得關(guān)于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一個(gè)整數(shù)解，需－1≤k<0，由于k∈Z，故k＝－1，綜上，k的可能取值為－1，3.14.(2025·八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-2a2.若當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.[-2,1]C.[-1,2] D.[-1,+∞)答案B解析f(x)=x|x-a|-2a2=x若a>2,當(dāng)2<x<a時(shí),f(x)=-x2+ax-2a2,此時(shí)關(guān)于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,所以f(x)<0,不符合題意;若0<a≤2,當(dāng)x>2時(shí),f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,則2a≤2,即0<a≤1;若a=0,當(dāng)x>2時(shí),f(x)=x2>0恒成立,符合題意;若a<0,當(dāng)x>2時(shí),f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,則-a≤2,即-2≤a<0.綜上,-2≤a≤1,故a的取值范圍是[-2,1].必刷小題1集合、常用邏輯用語、不等式[分值：73分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.(2024·廈門模擬)已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝x4-xx≥0，則AA.(0，4) B.[0，4)C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5]答案C解析由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4，∴－3≤x≤5，則A＝[－3，5]，由4-xx≥0∴0<x≤4，則B＝(0，4]，?RB＝(－∞，0]∪(4，＋∞)，故A∩(?RB)＝[－3，0]∪(4，5].2.已知直線a，b和平面α，a?α，b∥α，則“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)閎∥α，則存在c?α使得b∥c且b?α，若a∥b且a?α，則a∥c，又a?α且c?α，所以a∥α，充分性成立；設(shè)β∥α，b?β，a?β，a∩b＝P，則有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件.3.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x≥1}，若(?RB)∪A＝A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.{a|a≥1} B.{a|a>1}C.{a|a≤1} D.{a|a<1}答案A解析因?yàn)锽＝{x|x≥1}，?RB＝{x|x<1}，因?yàn)??RB)∪A＝A，所以(?RB)?A，所以a≥1.4.已知a>b>0>c，n∈Z，則下列不等式一定成立的是()A.ab<bc B.a－b>b－cC.an>bn D.b(b－c)<a(a－c)答案D解析對(duì)于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，例如，當(dāng)a＝2，b＝1，c＝－3時(shí)，可得a－b<b－c，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，例如，當(dāng)a＝2，b＝1，n＝－1時(shí)，a－1<b－1，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由a>b>0>c，可得0<b－c<a－c，又由0<b<a，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得b(b－c)<a(a－c)，所以D正確.5.關(guān)于x的不等式ax2－2x＋1>0對(duì)?x∈R恒成立的一個(gè)必要不充分條件是()A.a>0 B.a>1C.0<a<12 D.a答案A解析當(dāng)a＝0時(shí)，則有－2x＋1>0，解得x<12當(dāng)a≠0時(shí)，有a>0,Δ＝4-4綜上所述，關(guān)于x的不等式ax2－2x＋1>0對(duì)?x∈R恒成立的充要條件為a>1，所以一個(gè)必要不充分條件是a>0.6.已知a2＋b2＝ab＋4，則a＋b的最大值為()A.2 B.4 C.8 D.22答案B解析a2＋b2＝ab＋4，則有(a＋b)2＝3ab＋4≤3(a＋可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立.所以a＋b的最大值為4.7.已知關(guān)于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集為{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且實(shí)數(shù)x1，x2滿足1x1＋A.(2，＋∞) B.(－∞，2)C.-∞，12∪(2，＋∞) D.-答案D解析由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的根為x1，x2，可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5或m<1，由1x1＋1x即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2或m<12綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-∞，12∪(5，8.(2025·焦作模擬)已知正實(shí)數(shù)m，n滿足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，則m＋n的最大值為()A.2 B.8 C.12 D.16答案A解析依題意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1，則1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－14(m＋n)2即1≥34(m＋n)2－(m＋n)，則3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0解得0<m＋n≤2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)等號(hào)成立，則m＋n的最大值為2.故選A.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題是真命題的是()A.若a>b，c<d，則a－c>b－dB.若ac2>bc2，則a>bC.若a>b>0，c<0，則ca>D.若a>b，則ac<bc答案ABC解析對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閍>b，c<d，則－c>－d，由不等式的基本性質(zhì)可得a－c>b－d，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若ac2>bc2，則c2>0，由不等式的基本性質(zhì)可得a>b，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閍>b>0，c<0，則ca－cb＝c(b對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc，D錯(cuò).10.當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果a，b∈G，則a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0時(shí)，ab∈G”時(shí)，我們稱GA.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域G有非零元素，則2025∈GC.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一個(gè)數(shù)域D.有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域答案ABD解析對(duì)于A，根據(jù)當(dāng)a∈G時(shí)，則a－a∈G，即0∈G，所以0是任何數(shù)域的元素，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)當(dāng)b≠0時(shí)，b∈G，則bb∈G，即1∈G，進(jìn)而1＋1＝2∈G，2＋1＝3∈G，…，2024＋1＝2025∈G，故B對(duì)于C，對(duì)2∈P，4∈P，但24＝12?P，不滿足題意，所以集合P＝{x|x＝2k，k∈對(duì)于D，若a，b是有理數(shù)，則a＋b，a－b，ab，ab