2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)110練第四章§4.8正弦定理、余弦定理§4.8正弦定理、余弦定理分值：90分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·?？谀M)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，sinA=12，則sinBA.34 B.C.13 D.2.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，則cosBA.19 B.C.12 D.3.(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且三邊之比a∶b∶c=2∶3∶4，則sinAA.12 B.-12 C.24.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2A2+b2c=12A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.(2024·榆林模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且三邊滿足b2=(a+c)2-42，B=π4，則△ABCA.2-2 B.4-22C.2+2 D.4+226.(2025·上海模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosC=0，則該三角形外接圓的半徑為()A.1 B.3 C.2 D.23二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定2個(gè)三角形的是()A.A=π4，b=1，cB.B=2π3，b=1，cC.A=π6，b=3，a=D.B=π4，b=3，a8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是()A.若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形B.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形C.若acosA=bcosB=cD.若B=60°，b2=ac，則△ABC是直角三角形三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·開(kāi)封模擬)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC=23，a=3b，則cosA=10.(2024·成都模擬)在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使得AD=2，∠ADC=π6，則AB的長(zhǎng)為四、解答題(共27分)11.(13分)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2.(1)求A；(5分)(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周長(zhǎng).(8分)12.(14分)(2025·南昌模擬)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC(1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分)13題6分，14題5分，共11分13.(多選)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，則下列結(jié)論正確的是()A.tanC=2 B.A=π4 C.b=2 D.△ABC14.已知△ABC的面積S=14(b2+c2)(其中b，c為△ABC的邊長(zhǎng))，則△ABC的形狀為答案精析1.A2.A3.C4.A[∵sin2A2+b2∴1-cosA2=12-b2c，∵cosA=b2+∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2，∴△ABC為直角三角形，且C=90°.]5.A[因?yàn)閎2=(a+c)2-42=a2+c2+2ac-42，所以a2+c2-b2=42-2ac因?yàn)锽=π4cosB=22=a2所以ac=42-4，故△ABC的面積S=12acsinB=12(42-4)=2-2.]6.A[∵a=3，∴c-2b+2acosC=0∴sinC-2sinB+2sinAcosC=0，∴sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0，∴sinC-2sinAcosC-2sinCcosA+2sinAcosC=0，∴sinC-2sinCcosA=0，∵sinC>0，∴cosA=1∵A∈(0，π)，∴A=π設(shè)該三角形外接圓的半徑為r，由正弦定理得asinA=33∴r=1.]7.CD[對(duì)于A，因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角唯一確定一個(gè)三角形，所以A選項(xiàng)的條件能確定1個(gè)三角形；對(duì)于B，由正弦定理可知，sinC=csinBb=2×故B選項(xiàng)的條件不能確定三角形；對(duì)于C，由正弦定理可知，sinB=bsinAa=3×123=32<1，又b>a，即B∈π6，π，所以B對(duì)于D，由正弦定理可知，sinA=asinBb=2×22又a>b，即A∈π又易知sinA=23>sinπ4=22，則sin故D選項(xiàng)的條件能確定2個(gè)三角形.]8.BC[對(duì)于A，若acosA=bcosB，則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若bcosC+ccosB=b，則由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinB，即A=B，則△ABC是等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，若acosA=bcosB=ccosC，則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，則tanA=tan對(duì)于D，由于B=60°，b2=ac，由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac，可得(a-c)2=0，解得a=c，故△ABC是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.]9.-6解析在△ABC中，cosC=23，a=3由余弦定理可得cosC=a2+b2解得c=6b，再由余弦定理可得cosA=b2+c2-10.6解析∵在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使得AD=2，∠∴由正弦定理得ADsin∠ACD可得sin∠ACD=ADsin∠ADC可得∠ACD=π4，∴∠BAC=∠ACD+∠ADC=π4+π6=5π12，∠ABC∴在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB即ABsinπ4=1sinπ11.解(1)方法一常規(guī)方法(輔助角公式)由sinA+3cosA=2，可得12sinA+32cosA即sinA+π由于A∈(0，π)?A+π3∈故A+π3=解得A=π6方法二常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到4cos2A-43cosA+3=0?(2cosA-3)2=0，解得cosA=3又A∈(0，π)，故A=π6(2)由題設(shè)條件和正弦定理得，2bsinC=csin2B?2sinBsinC=2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，則sinBsinC≠0，進(jìn)而cosB=22，得到B于是C=π-A-B=7πsinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2由正弦定理可得，asinA=b即2sinπ6=解得b=22，c=6+故△ABC的周長(zhǎng)為2+6+32.12.解(1)因?yàn)閮蓧K直角三角形斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC于點(diǎn)E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×12=5，AD=AC·cos∠DAC=10×22=52，因?yàn)椤螧AD=∠BAC+∠DAC=π3+π4，所以cos∠BAD=cos=12×22-32×所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=25+50-2×5×52×2=50+253.(2)因?yàn)閟in∠BAD=sinπ=6又因?yàn)镾△ABD=S△ABE+S△ADE，所以12·AB·AD·sin∠BAD=12·AB·AE·sin∠BAE+12·AE·AD·sin即12×5×52×6+24=12×5×AE×32+12解得AE=53-5.13.ABD[因?yàn)閍2+b2-c2=absinC，所以cosC=a=absinC所以tanC=sinCcosC=2因?yàn)閍cosB+bsinA=c，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，即sinBsinA=cosAsinB，因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA=1，又A∈(0，π)，所以A=π4，故因?yàn)閠anC=2，C∈(0，π)，所以sinC=255，cos又A=π4，所以sinA=cosA所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=22×55+22×因?yàn)閍sinA=bsinB，所以b=asinBS△ABC=12absinC=12×10×32×255=6，故14.等腰直角三角形解析依題意，△ABC的面積S=14(b2+c2則12bcsinA=14(b2+c即2bcsinA=b2+c2，由于0<A<π，所以0<sinA≤1，所以0<2bcsinA≤2bc，由基本不等式可知b2+c2≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，所以sinA=1，A=π2，△ABC是等腰直角三角形.§4分值：70分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=3，A=π6，則bA.(0，6) B.(0，23)C.(3，23) D.(33，6)2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=c-1，b=c+1，若△ABC為鈍角三角形，則c的取值范圍為()A.(2，4) B.(1，3)C.(0，3) D.(3，4)3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2=3(b+c)，A=π3，則△ABCA.6 B.12 C.18 D.244.(2025·泰州模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，C=60°，B>90°，則baA.12，+∞ B.(3C.(2，+∞) D.(3，+∞)二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=π3，b=43A.若A=π4，則a=4B.若a=1，則c=7+3C.△ABC周長(zhǎng)的最大值為123D.△ABC面積的最大值1236.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且3bcosC+3ccosB=a2，則下列說(shuō)法正確的是()A.若B+C=2A，則△ABC的外接圓的面積為3πB.若A=π4，且△ABC有兩解，則b的取值范圍為[3，32C.若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為(32，33)D.若A=2C，且sinB=2sinC，O為△ABC的內(nèi)心，則△AOB的面積為3三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·遼陽(yáng)模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+4b2=6c2，則sin2C8.(2024·綿陽(yáng)模擬)如圖所示，在△ABC中，已知A=π3，C=π2，AC=4，D，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，AB上，且△DEF為等邊三角形.則△DEF的面積的最小值是

四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·銅川模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.(1)證明：3b2+3c2=5a2；(6分)(2)若a=15，當(dāng)A取最大值時(shí)，求△ABC的面積.(7分)10.(15分)(2025·鄭州模擬)已知在△ABC中，3sin(A+B)=1+2sin2C2(1)求角C的大小；(6分)(2)如圖，若∠BAC與∠ABC的平分線交于點(diǎn)I，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABI周長(zhǎng)的最大值.(9分)答案精析1.D2.A3.C[因?yàn)锳=π3，且a2=3(b+由余弦定理可得，a2=3(b+c)=b2+c2-bc，所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤34(b+c)2當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，所以b+c≤12，所以a=3(b+c)≤6，即△ABC4.C[因?yàn)镃=60°，B>90°，所以0°<A<30°，0<tanA<3即得1tanA由正弦定理可得，ba=sin(A+=12+32×1tan5.ACD[由正弦定理，bsinB=asinA，代入數(shù)據(jù)解得由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=c2-c+1=48，解得c=1+3212或c=1-321由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=48，因?yàn)閍2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3a+c當(dāng)且僅當(dāng)a=c=43時(shí)，等號(hào)成立，所以a+c≤83，故△ABC周長(zhǎng)的最大值為123，故由C選項(xiàng)分析可知a2+c2-ac=48，因?yàn)閍2+c2-ac≥2ac-ac=ac，所以ac≤48，所以△ABC的面積S△ABC=12acsinB=34ac≤34當(dāng)且僅當(dāng)a=c=43時(shí)等號(hào)成立，故D正確.]6.ACD[因?yàn)?bcosC+3ccosB=a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC+3sinCcosB=asinA，即3sin(B+C)=asinA，因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，且sinA≠0，所以a=3.選項(xiàng)A，若B+C=2A，則A=π所以△ABC的外接圓的直徑2R=asinA所以R=3所以△ABC的外接圓的面積為π×(3)2=3π，A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椤鰽BC有兩解，則bsinA<a<b，則bsinπ4<3<b解得3<b<32，B選項(xiàng)C，由正弦定理asinA得asinA即c=2acosA=6cosA，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<A<π2，0<π-3所以c=6cosA∈(32，33)，C選項(xiàng)D，因?yàn)閍=3，sinB=2sinC，A=2C，可得B=π-3C，由正弦定理可得b=2c，由sin(π-3C)=2sinC，可得sinCcos2C+cosCsin2C=2sinC，由sinC≠0，可得4cos2C-1=2，解得cos2C=3又B=π-3C∈(0，π)，則C∈0，故cosC=32，sinC可得sinA=2sinCcosC=2×12×32由正弦定理asinA=csinC，a=3可得c=3，b=23，則S△ABC=12bcsinA=12×23×3×3設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r=2S△ABCaS△AOB=12cr=12×3×3-32=37.2解析因?yàn)閍2+4b2=6c2≥2a2·4當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，等號(hào)成立，即c2ab≥由正弦定理可得sin2CsinAsinB=c所以sin2C8.12解析不妨設(shè)△DEF的邊長(zhǎng)為a，∠CDE=θ.在Rt△CDE中，CD=acosθ.因?yàn)椤螦DF=π-θ-π3=2π3-所以在△AFD中，可得∠AFD=π-π3-∠ADF=θ根據(jù)正弦定理可得ADsinθ所以AD=2a3sin所以AC=CD+AD=acosθ+23sinθ=73asin(θ+φ)當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí)，a取得最小值437故△DEF面積的最小值為S=34a2=34×4219.(1)證明∵tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC，∴sin=3×sin∴sinA(s