2026版步步高大一輪高考數(shù)學復習第三章§3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性§3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課標要求1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應(yīng)用.1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f'(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的定義域；第2步，求出導數(shù)f'(x)的零點；第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(√)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f'(x)>0.(×)(3)在(a，b)內(nèi)f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.(√)(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù).(√)2.函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A.f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減C.f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減D.f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增答案C解析當x∈(－3，0)時，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上單調(diào)遞減；當x∈(0，2)時，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增；當x∈(2，4)時，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減；當x∈(4，＋∞)時，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，顯然C正確，其他選項錯誤.3.函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.0，1e C.(1，＋∞) D.(0，1)答案A解析函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝lnx＋1，由f'(x)＝lnx＋1<0得0<x<1e，∴單調(diào)遞減區(qū)間為4.(2025·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為12，1，則a＝答案3解析由題意可得，f'(x)＝2x－a＋1x＝2x2-ax謹防四個易誤點(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要時還需對“＝”進行檢驗.(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當x∈(a，b)時，f'(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當x∈(a，b)時，f'(x)<0有解.題型一不含參函數(shù)的單調(diào)性例1(1)若函數(shù)f(x)＝12x2－3x－4lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(－∞，－1)，(4，＋∞)B.(－1，4)C.(0，4)D.(4，＋∞)答案C解析因為f(x)＝12x2－3x－4lnx，定義域為(0，＋∞所以f'(x)＝x－3－4令f'(x)<0，解得0<x<4，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，4).(2)若函數(shù)f(x)＝lnx＋1ex，則函數(shù)f(答案(0，1)解析f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝1令φ(x)＝1x－lnx－1(x>0φ'(x)＝－1x2φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，∴當x∈(0，1)時，φ(x)>0，即f'(x)>0，當x∈(1，＋∞)時，φ(x)<0，即f'(x)<0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1).思維升華確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意兩點，一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.跟蹤訓練1(多選)函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間可以為()A.(－∞，－1) B.(－1，0)C.(0，1) D.(1，＋∞)答案AC解析由題意得y'＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)，令y'<0，解得x<－1或0<x<1，結(jié)合選項可知函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間可以為(－∞，－1)，(0，1).題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.討論f(x)的單調(diào)區(qū)間.解由題意可知f(x)的定義域為R，且f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，①若a≥0，則2ex＋a>0，令f'(x)>0，解得x>0；令f'(x)<0，解得x<0，可知f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②若a<0，令f'(x)＝0，解得x＝ln-a2或x＝(ⅰ)當ln-a2<0，即－2<a令f'(x)>0，解得x>0或x<ln-a令f'(x)<0，解得ln-a2<x可知f(x)在ln-a2，0上單調(diào)遞減，在-∞，ln(ⅱ)當ln-a2＝0，即a＝－則f'(x)＝2(ex－1)2≥0，可知f(x)在R上單調(diào)遞增；(ⅲ)當ln-a2>0，即a<－令f'(x)>0，解得x<0或x>ln-a令f'(x)<0，解得0<x<ln-可知f(x)在0，ln-a2上單調(diào)遞減，在(－∞，0)綜上所述，若a≥0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；若－2<a<0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為ln-a2，0，單調(diào)遞增區(qū)間為-∞若a＝－2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間；若a<－2，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，ln-a2，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點.跟蹤訓練2(2024·揚州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx，其中a>0.討論f(x)的單調(diào)性.解函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝2ax－(a＋4)＋2＝2因為a>0，由f'(x)＝0，可得x1＝2a，x2①若2a>12，則0<當12<x<2a時，f'(x)即函數(shù)f(x)在12當0<x<12或x>2a時，f'(x)即函數(shù)f(x)在0，12和②若a＝4，對任意的x>0，f'(x)＝2(2x-1)2x≥0，即函數(shù)f(x)在(③若2a<12，則當2a<x<12時，f'(x)即函數(shù)f(x)在2a當0<x<2a或x>12時，f'(x)即函數(shù)f(x)在0，2a和1綜上所述，當0<a<4時，函數(shù)f(x)在0，12和2a當a＝4時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a>4時，函數(shù)f(x)在0，2a和12，題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較大小或解不等式例3(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx－xex，設(shè)a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln4)，則a，b，A.c>a>b B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a答案A解析因為f(x)＝lnx－xex，則x∈(0，所以f'(x)＝1＝e又當x∈(0，＋∞)時，ex>1，x-122-14≥－所以f(x)＝lnx－xex在(0，＋∞又0<log32<1，0<log0.20.5＝log1512＝log5ln4>1，所以ln4>log32>log0.20.5，則c>a>b.(2)(2025·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝3x－sinx，若f(a)＋f(a2－2)>0，則實數(shù)a的取值范圍為.

答案(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析函數(shù)f(x)＝3x－sinx的定義域為R，且f(－x)＝－3x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)＝3x－sinx為奇函數(shù)，又f'(x)＝3－cosx>0，所以f(x)＝3x－sinx在R上單調(diào)遞增，不等式f(a)＋f(a2－2)>0，即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，等價于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(1，＋∞).常見組合函數(shù)的圖象在導數(shù)的應(yīng)用中常用到以下函數(shù)，記住以下的函數(shù)圖象對解題有事半功倍的效果.典例(多選)如果函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意兩實數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，則稱函數(shù)yA.f(x)＝ex B.f(x)＝x2C.f(x)＝lnx D.f(x)＝sinx答案ACD解析依題意，函數(shù)g(x)＝xf(x)為定義域上的增函數(shù).對于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，當x∈(－∞，－1)時，g'(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于B，g(x)＝x3在R上為增函數(shù)，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；對于C，g(x)＝xlnx，x>0，g'(x)＝1＋lnx，當x∈0，1e時，g'(x)∴g(x)在0，1故C中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于D，g(x)＝xsinx，g'(x)＝sinx＋xcosx，當x∈-π2，0時，g'(x∴g(x)在-π故D中函數(shù)不是“F函數(shù)”.命題點2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例4已知函數(shù)f(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠(1)若f(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)因為f(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，所以當x∈[1，4]時，f'(x)＝1x－ax－2≤0即a≥1x2設(shè)G(x)＝1x2-2x，x所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x-12因為x∈[1，4]，所以1x∈所以G(x)max＝－716(此時x＝4所以a≥－7又因為a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍是-716，0∪(0，＋(2)因為f(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則f'(x)<0在[1，4]上有解，所以當x∈[1，4]時，a>1x又當x∈[1，4]時，1x2-2xmin所以a>－1，又因為a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞).思維升華由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.(2)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集.跟蹤訓練3(1)(2023·新高考全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()A.e2 B.e C.e－1 D.e－2答案C解析依題可知，f'(x)＝aex－1x≥0在(1，2)上恒成立，顯然a>0所以xex≥1a在(1，2設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1即a≥1e＝e－1，即a的最小值為e－1(2)(2024·石家莊模擬)已知a＝ln22，b＝1e，c＝ln33，則aA.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a答案D解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝lnxx，x∈(0，則f'(x)＝1-ln令f'(x)>0，得0<x<e，令f'(x)<0，得x>e，因此f(x)＝lnxx在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋而a＝ln22＝ln44＝f(4)，b＝1e＝lnee＝f(e)，因為4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.設(shè)f'(x)＝x2－2x是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則y＝f(x)的圖象可能是()答案C解析令f'(x)>0，得x<0或x>2，令f'(x)<0，得0<x<2，所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，2)上單調(diào)遞減，由圖知，只有C選項的圖象符合.2.函數(shù)f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(1，＋∞) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)答案C解析f(x)＝x－2ln(2x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝1－2·12x·2＝1由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，故f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2).3.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為()A.a≥1 B.a>1C.a≥13 D.a>答案A解析因為f(x)＝lnx－ax，所以f'(x)＝1x－a因為f(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0，即1x－a≤0，則a≥1x在[1，因為y＝1x在[1，3]上單調(diào)遞減，所以ymax＝1，故a≥4.若f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在(1，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則aA.(－∞，0] B.(－∞，0)C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)答案D解析f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在(1，＋只需f'(x)>0在(1，＋∞)上有解即可.由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x＝1故f'(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.5.已知函數(shù)f(x)＝13x3＋a2x2＋x＋1在(－∞，0)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為(A.-103，-2C.(－∞，－2] D.-答案B解析由f(x)＝13x3＋a2x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋∵f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增；在(1，2)上單調(diào)遞減，∴f'(x)＝0的兩根分別位于[0，1]和[2，3]內(nèi)，則f'解得－103≤a≤－56.已知a＝1100，b＝e-99100，c＝ln101100，A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a答案B解析設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－x－1，x∈R，則f'(x)＝ex－1，當x<0時，f'(x)<0，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；當x>0時，f'(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號，∵ex≥1＋x，∴e-99100∴b>a，由以上分析可知當x>0時，有ex－1≥x成立，當x＝1時取等號，即lnx≤x－1，當且僅當x＝1時取等號，∴l(xiāng)n101100<101100－1∴a>c，故b>a>c.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.如圖為y＝f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象，給出下列四個說法，其中正確的是()A.f(x)有三個單調(diào)區(qū)間B.f(－2)<f(－1)C.f(－1)<f(1)D.f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，在(2，4]上單調(diào)遞減答案CD解析對于A，由圖象可以看出，f'(x)的符號是先負后正，再負再正，所以函數(shù)f(x)有四個單調(diào)區(qū)間，故A錯誤；對于B，當x∈[－2，－1]時，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(－2)>f(－1)，故B錯誤；對于C，當x∈[－1，2]時，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(－1)<f(1)，故C正確；對于D，當x∈(2，4]時，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，顯然D正確.8.若函數(shù)f(x)＝12x2－9lnx在區(qū)間[m－1，m＋1]上單調(diào)，則實數(shù)m的值可能是A.4 B.3 C.2 D.1答案AC解析由題意得函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝x－9由f'(x)≥0，可得x≥3，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)，由f'(x)≤0，可得0<x≤3，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3]，因為f(x)在區(qū)間[m－1，m＋1]上單調(diào)，所以m-1>0，m＋1≤3或m－1≥3，解得1<m≤結(jié)合選項可得A，C符合題意.三、填空題(每小題5分，共10分)9.函數(shù)y＝lnx＋1x答案(1，＋∞)解析函數(shù)y＝lnx＋1x的定義域為(0y'＝(ln令y'<0得x>1，所以y＝lnx＋1x的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，10.(2025·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x－msinx在R上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案m<－2或m>2解析因為f(x)＝2x－msinx，所以f'(x)＝2－mcosx，又f(x)不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)f(x)有極值點，即f'(x)在R上有變號零點，則2－mcosx＝0成立，當cosx＝0時，2－mcosx＝0可化為2＝0，顯然不成立；當cosx≠0時，m＝2因為x∈R，－1≤cosx≤1，所以2cosx≤－2或2cos所以實數(shù)m的取值范圍為m<－2或m>2(因為要有變號零點，故不能取等號)，經(jīng)檢驗，m<－2或m>2滿足要求.四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)＝x22＋ax－(ax＋1)lnx在x＝1處的切線方程為y＝bx＋52(a，b(1)求a，b的值；(6分)(2)證明：f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.(7分)(1)解因為f(x)＝x22＋ax－(ax＋1)ln所以f'(x)＝x＋a－alnx－ax＋1x＝x－1x－a依題意可得f'即1-1-解得b(2)證明由(1)可得f(x)＝x22＋2x－(2x＋1)ln則f'(x)＝x－1x－2lnx令g(x)＝f'(x)＝x－1x－2lnx，x∈(1，＋∞則g'(x)＝1＋1x2所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，所以當x∈(1，＋∞)時，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.12.(15分)(2024·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋kxx＋2(k(1)若k＝－3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(7分)(2)若f(x)在其定義域上單調(diào)遞增，求k的取值范圍.(8分)解(1)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋kxx＋2的定義域為(－1，求導得f'(x)＝1當k＝－3時，f'(x)＝1當－1<x<1－3或x>1＋3時，f'(x)>0，當1－3<x<1＋3時，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，1－3)，(1＋3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1－3，1＋3(2)由(1)知，f'(x)＝1由f(x)在其定義域上單調(diào)遞增，得f'(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，則1x＋1＋2k(x當x>－1時，－(x＋≤－4，當且僅當x＝0時取等號，因此2k≥－4，解得k≥－2，當k＝－2時，f'(x)＝x2(xf(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以k的取值范圍是[－2，＋∞).每小題5分，共10分13.(2024·昆明模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)(ex＋a)在區(qū)間(－1，1)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()A.e－1 B.e－2 C.e D.e2答案A解析由題意得f'(x)≥0在(－1，1)上恒成立，f'(x)＝ex＋a＋(x－1)ex＝xex＋a，故xex＋a≥0，即a≥－xex，令g(x)＝－xex，x∈(－1，1)，則g'(x)＝－ex－xex＝－(x＋1)ex<0在(－1，1)上恒成立，故g(x)＝－xex在(－1，1)上單調(diào)遞減，故g(x)<g(－1)＝e－1，故a≥e－1，故a的最小值為e－1.14.若對任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，x1lnx2-xA.1e，e C.1e，＋答案C解析對任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，x1ln易知m≥0，x1>0，x2>0，則x1lnx2－x2lnx1<2x2－2x1，所以x1(lnx2＋2)<x2(lnx1＋2)，即lnx1＋令f(x)＝ln則函數(shù)f(x)在(m，＋∞)上單調(diào)遞減.因為f'(x)＝－ln由f'(x)<0，可得x>1所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1所以(m，＋∞)?1e，＋∞即實數(shù)m的取值范圍為1e，課標要求1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會用導數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數(shù)值都小，f'(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數(shù)值都大，f'(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有.(√)(2)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值.(×)(3)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值.(×)(4)函數(shù)的極大值一定不是函數(shù)的最小值.(√)2.(多選)如圖是函數(shù)f(x)的導函數(shù)y＝f'(x)的圖象，則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(4，5)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)在x＝3處取得極大值D.函數(shù)f(x)在x＝4處取得極小值答案AC解析由圖象可知，當x∈(3，5)時，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；由圖象可知，f'(3)＝0，且當x∈(0，3)時，f'(x)>0，當x∈(3，5)時，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，5)上單調(diào)遞減，故函數(shù)y＝f(x)在x＝3處取得極大值，故C正確；由圖象可知，f'(4)≠0，故4不是函數(shù)f(x)的極值點，故D錯誤.3.函數(shù)f(x)＝x3－12x2－14x的極小值點為，極大值為.答案73解析由f(x)＝x3－12x2－14xf'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，令f'(x)>0，解得x>73或x<－2令f'(x)<0，解得－2<x<7故f(x)在(－∞，－2)，73，故f(x)在x＝73處取得極小值，在x＝－2故f(x)極大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.4.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案(－∞，－6)∪(6，＋∞解析f'(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f'(x)有兩個變號零點，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－6.解題時靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化以下幾個關(guān)鍵點(1)極值點不是點，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點，極大值為f(x1).(2)極值是個“局部”概念，最值是個“整體”概念.(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).(4)“f'(x0)＝0”是“x0為可導函數(shù)f(x)的極值點”的必要不充分條件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是極值點.(5)對于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點中取得：導數(shù)為零的點、導數(shù)不存在的點、端點.題型一利用導數(shù)求解函數(shù)極值問題命題點1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1(多選)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)g(x)＝xf'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.f(x)有兩個極值點B.f(0)為f(x)的極大值C.f(x)有兩個極小值點D.f(－1)為f(x)的極小值答案BC解析根據(jù)g(x)＝xf'(x)的圖象，可得當x<－2時，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當－2<x<0時，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，當0<x<1時，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當x>1時，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，因此f(x)在x＝－2和x＝1處取得極小值，在x＝0處取得極大值，共3個極值點，A錯誤，C正確；f(0)為f(x)的極大值，B正確；f(－1)不是f(x)的極小值，D錯誤.命題點2求已知函數(shù)的極值例2(2025·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－2(a－1)x－ax2(a>0)，討論f(x)的極值.解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，求導得f'(x)＝2x－2(a－1)－2＝－2(因為a>0，則當x∈0，1a時，f'(x)當x∈1a，＋∞時，f'(因此f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在所以當x＝1a時，f(x)取得極大值f1a＝2ln1a＋命題點3已知極值(點)求參數(shù)例3(1)(2024·肇慶模擬)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝－2處取極小值，則c等于()A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4答案A解析由函數(shù)f(x)＝x(x－c)2，可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，因為函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，當c＝－2時，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－23；令f'(x)<0，解得－2<x<－所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在-2，-23上單調(diào)遞減，在所以f(x)在x＝－2處取極大值，不符合題意，舍去；當c＝－6時，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－6)上單調(diào)遞增，在(－6，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝－2處取極小值，符合題意，綜上可得，c＝－6.(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－aex(其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))存在極大值，且極大值不小于1，則a的取值范圍為.答案0，解析由已知可得，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝1x①當a≤0時，f'(x)＝1x-ae>0在(0所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)無極值；②當a>0時，f'(x)＝e-由f'(x)＝e-axex＝0可得x當0<x<ea時，f'(x)>0所以f(x)在0，e當x>ea時，f'(x)<0所以f(x)在ea于是函數(shù)f(x)在x＝ea處取得極大值由已知，fea≥1即lnea－1≥1，lnea≥2＝lne因為函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ea≥e2，即a≤1e，又所以0<a≤1于是a的取值范圍為0，1綜上所述，a的取值范圍為0，1思維升華根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)驗證：求解后驗證根的合理性.跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)f(x)＝aex＋bx在x＝0處取得極小值1，則f'(2)等于()A.e2－2 B.2－e2C.e2－1 D.e2答案C解析由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，因為f(x)在x＝0處取得極小值1，所以f'(0)＝ae0＋b＝0，f(0)＝a當x>0時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x<0時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝0處取得極小值，故a＝1，b＝－1滿足題意，于是有f'(2)＝e2－1.(2)若函數(shù)f(x)＝eax＋2x有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()A.a>－2 B.a>－1C.a<－2 D.a<－1答案C解析由函數(shù)f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，若a≥0，f'(x)>0，此時f(x)為增函數(shù)，無極值點；若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，解得x＝1aln當x>1aln-2a時，f'(x當x<1aln-2a時，f'(x故x＝1aln-2a是f(x)＝eax＋由于函數(shù)f(x)＝eax＋2x有大于零的極值點，∴1aln-2a>0，即ln即0<－2a<1，解得a<－題型二利用導數(shù)求函數(shù)的最值命題點1不含參函數(shù)的最值例4函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0，2π]上的最小值、最大值分別為()A.－π2，π2C.－π2，π2＋2 D.答案D解析f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0，2π]，則f'(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0，2π].令f'(x)＝0，解得x＝π2或x＝3π因為f

π2＝cosπ2＋π2＝π2＋2f

3π2＝cos3π2＋3π2＋1又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f

π2＝πf(x)min＝f

3π2＝－3π命題點2含參函數(shù)的最值例5已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2(a>0)，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值解函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2求導得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，若x∈[1，2]，則①當lna≥2，即a≥e2時，ex－a≤0，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)＝e2－2a；②當1<lna<2，即e<a<e2時，函數(shù)f(x)在[1，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)的最小值為f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③當lna≤1，即0<a≤e時，ex－a≥0，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)＝－12a綜上，當a≥e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為e2－2a；當e<a<e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為a(lna－1)－12a(lna)2當0<a≤e時，f(x)在[1，2]上的最小值為－12a思維升華求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.跟蹤訓練2(1)已知函數(shù)f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，則f(x)的最大值為.

答案π解析由f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，可得f'(x)＝1－2cosx，x∈[0，π]，令f'(x)＝0可得cosx＝2又x∈[0，π]，所以x＝π當x∈0，π4時，f'(x)<0，f(當x∈π4，π時，f'(x)>0，f(易知f(0)＝0，f(π)＝π，因此f(x)的最大值為π.(2)(2025·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx在區(qū)間[1，e]上的最小值為32，則a的值為A.1 B.32 C.e2 答案D解析因為f(x)＝ax＋lnx(x>0所以f'(x)＝1當a≤0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(1)＝a＋ln1＝3解得a＝32當a>0時，令f'(x)<0，得0<x<a；令f'(x)>0，得x>a，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，①當0<a≤1時，f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(1)＝a≤1，不符合題意，舍去；②當1<a<e時，f(x)在[1，a)上單調(diào)遞減，在(a，e]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(a)＝1＋lna＝32，解得a＝③當a≥e時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以最小值為f(e)＝ae＋lne＝解得a＝e2，綜上所述，a＝e.三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其規(guī)律性強，內(nèi)容相對獨立，且有一些獨有的結(jié)論和技巧.如果能得當運用三次函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，可以大大簡化解題過程.典例(多選)已知三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則下列選項正確的是()A.三次函數(shù)的對稱中心是-B.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(m，n)對稱，則y＝f'(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱C.若函數(shù)y＝f(x)有極值，則對稱中心是兩個取極值的點的中點D.若f(x)＝0的三個根分別為x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝－b答案ABC解析對于A，設(shè)f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根據(jù)多項式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得m＝－b3a且n＝am3＋bm2＋cm＋d，從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由n＝f(m)知其對稱中心(m，f(m))仍然在曲線上.故對稱中心為-b對于B，由y＝f(x)的圖象關(guān)于點(m，n)對稱，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求導可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，B正確；對于C，設(shè)f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a.設(shè)f(x)的兩個取極值的點為A(x1，f(x1))，B(x2，則f(x1)＋f(x2)＝(ax13＋bx12＋cx1＋d)＋(ax23＋bx22＋cx2＋d)＝a(x13＋x23)＋b(x12＋x22)＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2f-b3a＝4b327a所以f(x1)＋f(x2)＝2f

-b3a，AB的中點Px對于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比較系數(shù)可得x1＋x2＋x3＝－ba，D錯誤課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)f(x)＝13x3＋x2－3x－1的極小值點是(A.1 B.1，-C.－3 D.(－3，8)答案A解析f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，所以函數(shù)f(x)＝13x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞故f(x)在x＝1處有極小值，極小值點為1.2.(2024·楚雄模擬)已知定義域為[－3，5]的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x)，且f'(x)的圖象如圖所示，則()A.f(x)在(－2，2)上先增后減B.f(x)有極小值f(2)C.f(x)有2個極值點D.f(x)在x＝－3處取得最大值答案B解析由f'(x)的圖象可知，當x∈(－2，2)或x∈(4，5)時，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，故A錯誤；當x∈(－3，－2)或x∈(2，4)時，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以當x＝2時，f(x)有極小值f(2)，故B正確；由f'(x)的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，當x＝－2，2，4時，f(x)有極值，所以f(x)有3個極值點，故C錯誤；當x∈(－3，－2)時，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3處不取得最大值，故D錯誤.3.(2025·蘇州模擬)設(shè)0<x<π，則函數(shù)f(x)＝sinx2＋2A.1 B.32 C.2 D.答案D解析因為0<x<π，令t＝sinx，則t∈(0，1]，由g(t)＝t2＋2t(0<t≤1)可得g'(t)＝12-2t2，當t∈(0，1]時，g'(t)<0，則g(t)單調(diào)遞減，所以當t＝1時，g(t)有最小值g(1)＝124.(2024·赤峰模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax有極值－e，則a等于()A.1 B.2 C.e D.3答案B解析由題目條件可得，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)的極小值點是ea－1，無極大值點，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.5.若函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值為2＋ln2，則m等于()A.－2 B.12－C.－12 D.12答案B解析易知f(x)的定義域為(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－1易知f'(x)在區(qū)間(－m，＋∞)上單調(diào)遞增，又當x→－m時，f'(x)→－∞；當x→＋∞時，f'(x)→＋∞，所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，所以當x∈(－m，x0)時，f'(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，f'(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(－m，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)＝ex0＋x0＝2＋ln2＝eln2＋所以x0＝ln2，所以eln2＝1ln2＋m，解得m＝16.已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax有兩個不同的極值點x1，x2(x1<x2)，則下列說法不正確的是()A.a的取值范圍是(－∞，1)B.x1是極小值點C.當x∈(x2，＋∞)時，f'(x)<0D.ln答案A解析令f'(x)＝lnx2x＋xx－a＝由題意，方程lnx＋22x＝a在(0，＋∞)上有兩根x1，x2(x設(shè)g(x)＝lng'(x)＝x當0<x<1時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當x>1時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝1>0，當x→0時，g(x)＝lnx＋22x→－∞，當x→＋∞時，g(x)所以a的取值范圍是(0，1)，故A不正確；由A選項分析可知0<x1<1<x2，當0<x<x1時，f'(x)<f'(x1)＝0，f(x)單調(diào)遞減，當x1<x<x2時，f'(x)>f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)單調(diào)遞增，當x>x2時，f'(x)<f'(x2)＝0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是極小值點，故B，C正確；對于D，因為lnx1＋22x1＝二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2，則()A.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減B.f(x)的極大值點為2C.f(x)的極大值為－2D.f(x)有2個零點答案AD解析由函數(shù)f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＝0時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(0)＝0；當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(2)＝－4，又由x→＋∞時，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函數(shù)f(x)只有兩個零點，所以A，D正確，B，C不正確.8.(2023·新高考全國Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠A.bc>0 B.ab>0C.b2＋8ac>0 D.ac<0答案BCD解析函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2的定義域為(則f'(x)＝a因為函數(shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f'(x)在(0，＋∞)上有兩個變號零點，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個不相等的正實數(shù)根x1，x2，于是Δ即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，故A錯誤，B，C，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.若函數(shù)f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最小值為4，則m＝答案28解析f'(x)＝x2－4，當x∈[0，2)時，f'(x)<0，當x∈(2，3]時，f'(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增，所以f(2)為f(x)在[0，3]上的極小值，也是最小值，故13×8－4×2＋m＝4，解得m＝2810.若函數(shù)f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是.答案(2，＋∞)解析f(x)＝12x2－ax＋lnx的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋要使函數(shù)f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有極值，則f'(x)＝x－a＋1x在(0，令g(x)＝x＋1x，x∈(0，則g(x)＝x＋1x≥2x·1x當且僅當x＝1時等號成立，所以a≥2.當a＝2時