2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章§8.7離心率的范圍問題重點(diǎn)解讀圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，對(duì)圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡(jiǎn)潔.題型一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍例1(1)已知橢圓M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范圍為[2c2，3c2](其中c2＝a2－bA.33，2C.33，1 答案A解析由基本不等式及橢圓定義可知|PF1|·|PF2|≤PF1|＋當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)，等號(hào)成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值為a2，由題意知2c2≤a2≤3c2，∴2c≤a≤3c，∴33≤e≤2(2)已知F1，F(xiàn)2為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為()A.23 B.1C.32 答案C解析不妨設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，離心率為e1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，離心率為e2，兩曲線的半焦距均為c，由橢圓及雙曲線的定義得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos60°＝4c2?(a1＋a2)2＋(a1-a2)2－(a則a12＋3a22＝4c2由基本不等式得4＝1e12＋3e22≥23當(dāng)且僅當(dāng)e1＝22，e2＝6所以橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為32思維升華此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(26，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且答案1，解析由右焦點(diǎn)為F(26，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，可得|AF|＝24＋1＝5.因?yàn)椤鰽PF的周長(zhǎng)不小于18，所以|PA|＋|PF|≥13.設(shè)F2(－26，0)為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF2|＋2a取得最小值，最小值為|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4，因?yàn)閏＝26，所以e＝ca＝2又e>1，所以e的取值范圍為1，6題型二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍例2(1)已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1A.43 B.C.2 D.5答案B解析根據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，因?yàn)閨PF1|＝5|PF2|，所以|PF1|＝5a2，|PF2|＝因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以|PF2|≥c－a，即a2≥c－a，所以3a2所以1<e＝ca≤3所以雙曲線的離心率e的最大值為32(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2A.0，12 C.0，32 答案C解析由點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，延長(zhǎng)PF1交橢圓于另一交點(diǎn)，記為A，由PF1∥QF2再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，由橢圓過焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以當(dāng)PA垂直于x軸時(shí)，|PA|最短，所以b≤|PA|min＝2b2a，所以ab≤2b2，即b又0<e<1，e＝1-b2a2≤32，即思維升華利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(或不等式組)來求解離心率的范圍問題.跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在E上，若對(duì)所有的點(diǎn)P均滿足|PF1|＋|PF2|≥4A.(2，＋∞) B.1，C.27-23答案D解析由題意，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在E的右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，又|PF2|的最小值為c－a(當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)取得最小值)，可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.當(dāng)2a－c≤0，即ca≥2當(dāng)2a－c>0，即1<ca<2(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，可得27-23綜上可知，雙曲線E的離心率的取值范圍為27題型三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍例3(1)已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(A.(1，2) B.[4，＋∞)C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)答案D解析若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率小于等于漸近線的斜率的絕對(duì)值ba，∴ba≥3，∴e2＝c2a2＝1＋ba2≥4(2)已知兩定點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為()A.55 B.C.255 答案A解析橢圓C以A，B為焦點(diǎn)，即c＝1，b2＝a2－1，故可設(shè)橢圓方程為x2a2＋y聯(lián)立方程x消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，即a4－6a2＋5≥0，得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥5，所以0<e＝ca＝1所以e的最大值為55思維升華利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長(zhǎng)度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系來求解離心率的范圍問題.跟蹤訓(xùn)練3已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)A使得點(diǎn)F2到直線AFA.[2，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，2) D.(1，2]答案B解析設(shè)直線AF1：y＝k(x＋c)k<即kx－y＋kc＝0，則點(diǎn)F2(c，0)到直線AF1的距離為|kc-0＋kc|1＋即|k|＝ab<ba，即a2<b2，所以e＝1＋b課時(shí)精練[分值：52分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)A，使得A.0，12 C.0，12 答案D解析由題意，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，若橢圓上存在點(diǎn)A，使得∠F1AF2＝π3則只需∠F1BF2≥π3即可當(dāng)∠F1BF2＝π3時(shí)，△F1BF2為正三角形，此時(shí)a＝2c，故當(dāng)∠F1BF2≥π3時(shí)，a≤2c，即12又0<e<1，故離心率e的取值范圍為122.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，A.22，1 C.12，1 答案A解析因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以b<c，即b2<c2，a2－c2<c2，a2<2c2，所以e2>12，即e>2又因?yàn)?<e<1，所以橢圓離心率的取值范圍為223.(2024·紹興模擬)若雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓C2：(x－2)A.1，233C.(1，2) D.(1，2]答案B解析∵雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，且漸近線與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，∴圓心(2，0)到漸近線的距離小于等于半徑，即2ba2∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤43a2∴1<e＝ca≤24.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，A.(1，＋∞) B.(2，3]C.(1，3] D.(1，2]答案C解析因?yàn)镕1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，所以|PF2|－|PF1|＝2a，代入PF2＝|PF1|＋4a＋4≥2PF1|×4當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2a時(shí)取等號(hào)，即|PF1|＝2a，又點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a?e≤3，又e>1，所以1<e≤3.5.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于43，當(dāng)m變化時(shí)，直線x－A.0，22 C.0，12 答案B解析因?yàn)橹本€x－my＋2－2m＝0即x＋2＝m(y＋2)，所以該直線過定點(diǎn)(－2，－2)，所以點(diǎn)(－2，－2)在C上，則4a2即4(a2＋b2)＝a2b2，則4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，所以a2＝4(2a因?yàn)镃的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于43，所以a>23，a2>12，所以2-e2解得12<e2<1，所以22<6.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝5aA.34，1 C.34，1 答案B解析設(shè)P的坐標(biāo)為54根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)t>0，橢圓的半焦距為c，則F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)直線PF1的傾斜角為θ，直線PF2的傾斜角為α，則tanθ＝t54a＋c，tan因?yàn)棣粒龋?0°，所以tan(α－θ)＝33故33由基本不等式有2516a2－c2＋t2≥22516故33≤2當(dāng)且僅當(dāng)2516a2－c2＝t2故e≥58，又0<e<1所以橢圓的離心率的取值范圍為58二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·邯鄲調(diào)研)已知雙曲線C：x2A.λ的取值范圍是(－6，3)B.C的焦點(diǎn)可在x軸上也可在y軸上C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為(1，3)答案AC解析對(duì)于A，∵x2λ∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦點(diǎn)只能在x軸上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)C的半焦距為c(c>0)，則c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距2c＝6，故C正確；對(duì)于D，離心率e＝3λ∵－6<λ<3，∴0<λ＋6<3∴e的取值范圍是(1，＋∞)，故D錯(cuò)誤.8.已知橢圓Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)P(A.橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B.當(dāng)橢圓Γ的離心率為32時(shí)，|QF1|的取值范圍是[2－3，2＋3C.對(duì)任意點(diǎn)Q都有QF1·D.1Q答案AB解析由題意得a＝2，又點(diǎn)P(2，1)在橢圓Γ外，則24＋1b2>1，解得所以橢圓Γ的離心率e＝ca＝4-即橢圓Γ的離心率的取值范圍是22，1，故當(dāng)e＝32時(shí)，c＝3，b＝a2所以|QF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[2－3，2＋3]，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－所以存在點(diǎn)Q使得QF1·QF2≤(|QF1|＋|QF2|)1＝2＋QF2|當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|＝|QF2|＝2時(shí)，等號(hào)成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以1QF1|＋1三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，半焦距為c，且在該橢圓上存在異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)P，滿足2a·sin∠PF1F2＝3c·sin∠答案1解析在△PF1F2中，由正弦定理知sin∠P又∵P在橢圓上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，又P是異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，∴|PF1|＝4a2＋3e∈(a－c，a即1－e<42＋3e<1＋又0<e<1，解得13<e10.(2024·貴陽質(zhì)檢)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于點(diǎn)A，B，且滿足|AB|＝2a答案(1，2)解析顯然滿足|AB|＝2a的直線l其中有1條為x軸，此時(shí)A，B為左、右頂點(diǎn).當(dāng)直線l過F，剛好垂直于x軸時(shí)，令x＝c，可求得|AB|＝2b2a，此時(shí)直線l加上前面的1條，總共2條，不滿足題意.如圖，由雙曲線的對(duì)稱性知當(dāng)2a>2b2a時(shí)，剛好有2即b2<a2，則e＝ca＝1＋b2a則雙曲線C的離心率的取值范圍為(1，2).§8.8拋物線課標(biāo)要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.注意：定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)p-0，0，-準(zhǔn)線方程x＝－px＝py＝－py＝p對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0，0)離心率e＝11.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.(×)(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1，0).(×)(3)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.(√)(4)焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2(a≠0)，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是一致的.(√)2.(多選)關(guān)于拋物線y2＝－2x，下列說法正確的是()A.開口向左 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)C.準(zhǔn)線為x＝1 D.對(duì)稱軸為x軸答案AD解析對(duì)于拋物線y2＝－2x，開口向左，焦點(diǎn)坐標(biāo)為-12，0，準(zhǔn)線方程為x＝12，對(duì)稱軸為x3.(2024·駐馬店模擬)已知點(diǎn)P(6，y0)在焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝152，則p等于(A.3 B.6C.9 D.12答案A解析拋物線C：y2＝2px(p>0)，準(zhǔn)線方程為x＝－p2，P(6，y0|PF|＝6＋p2＝154.(2024·寶雞模擬)拋物線y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(2，2)，則點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為.

答案5解析由題意22＝2p×2，解得p＝1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－12，故所求距離為2＋1拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p(2)1|FA|(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(4)通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)若拋物線x2＝8y上一點(diǎn)(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，則y0等于()A.12 C.32 答案D解析已知拋物線的方程為x2＝8y，可得p＝4，所以焦點(diǎn)為F(0，2)，準(zhǔn)線為l：y＝－2.拋物線上一點(diǎn)A(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線l的距離，即|AF|＝y(tǒng)0＋2，又因?yàn)锳到x軸的距離為y0，由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.(2)(多選)(2025·八省聯(lián)考)已知F(2,0)是拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn),M是C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).則()A.p=4B.|MF|≥|OF|C.以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切D.當(dāng)∠OFM=120°時(shí),△OFM的面積為23答案ABC解析由題意得p2=2,則p=4,A正確設(shè)M(x0,y0),則|MF|=x0+p2,|OF|=p又因?yàn)閤0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正確;由拋物線的定義知M到F的距離與M到C的準(zhǔn)線的距離相等,故以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切,C正確;當(dāng)∠OFM=120°時(shí),設(shè)M在第一象限,則x0>2,y0>0,故kMF=y0x0-2=tan60°=3,即x又y02=8x0,所以3y02-8解得y0=43或y0=-433(所以S△OFM=12|OF|×|y0|=12×2×43=43,D思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·貴陽模擬)拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是10，則M到x軸的距離是()A.4 B.6C.7 D.9答案B解析拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，由拋物線定義可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，則|yM|＝4xM＝4×9＝6(2)已知點(diǎn)P為拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.52 B.C.2 D.2答案B解析直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P為所作直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，d1＋d2的值最小，為點(diǎn)F到直線x＋y－4＝0的距離.∵F(－1，0)，∴(d1＋d2)min＝|-1＋0-4題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)若拋物線過點(diǎn)(3，－4)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案y2＝163x或x2＝－9解析∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，則2p＝163，2p1＝9∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝163x或x2＝－94(2)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在E上，AB垂直l于點(diǎn)B，BF交y軸于點(diǎn)C，若|AF|＝2|BC|＝4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案y2＝4x解析由題意知C為BF的中點(diǎn)，因?yàn)閨AF|＝|AB|，所以AC與BF垂直，因?yàn)閨AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°，所以∠BAF＝60°，方法一則△ABF為等邊三角形，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)D，如圖，在Rt△BCD中，易得|BD|＝1，即p2＝1，p＝2故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.方法二Ap2代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2pp2化簡(jiǎn)得p2＋4p－12＝0，由于p>0，所以p＝2(p＝－6舍去).故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法.(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.跟蹤訓(xùn)練2(1)拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為(0，－9)，則拋物線C的方程為()A.x2＝6y B.x2＝12yC.x2＝18y D.x2＝36y答案B解析由題可知，拋物線開口向上，設(shè)方程為x2＝2py(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)為0，p2，則準(zhǔn)線為y＝－所以p2＋(-9)2＝－p2所以拋物線C的方程為x2＝12y.(2)“米”是象形字，數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在拋物線C1上，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，則p等于()A.4 B.6C.8 D.12答案D解析方法一如圖，過點(diǎn)P作PM⊥F1F2于點(diǎn)M，∵|PF1|＝2|PQ|＝8，∴|OM|＝2，則xP＝－2，又點(diǎn)P在拋物線C1：y2＝－2px(p>0)上，∴yP2＝4則|PM|＝2p，在Rt△PMF1中，|MF1|＝p2－2∵|PM|2＋MF∴(2p)2∴p＝12(p＝－20舍去).方法二設(shè)P(x0，y0)，則x0<0，∵|PF1|＝2|PQ|＝8，∴－x0＋p2＝2(－2x0)＝8∴x0＝－2，p＝12.題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)(多選)對(duì)于拋物線18x2＝y(tǒng)，下列描述正確的是(A.開口向上，焦點(diǎn)為(0，2)B.開口向上，焦點(diǎn)為0，C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4D.準(zhǔn)線方程為y＝－4答案AC解析由拋物線18x2＝y(tǒng)，即x2＝8y，可知拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為y(2)(多選)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝8x過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則()A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4，0)B.|AB|＝x1＋x2＋4C.y1y2＝－8D.1答案BD解析由拋物線y2＝8x，可得焦點(diǎn)為F(2，0)，故A錯(cuò)誤；由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正確；方法一設(shè)直線AB的方程為x＝my＋2，與拋物線的方程聯(lián)立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，則y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，1＝1＝8＝8(＝8＝12，故C錯(cuò)誤，D正確方法二因?yàn)閜＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，1|FA|＋1|FB|＝2思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·重慶模擬)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的重心恰為F，若|AF|＝5，則p等于()A.1 B.2C.3 D.4答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)p2因?yàn)椤鱋AB的重心恰為F，則x解得x由y1＝－y2可知A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，即x1＝x2，則x1＋x2＝2x1＝3p2，即x1＝又因?yàn)閨AF|＝x1＋p2＝5p(2)(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，其焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則()A.p＝2 B.|AB|≥4C.OA·OB＝－4 D.k1k2＝－4答案ABD解析因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正確；所以拋物線方程為y2＝4x，則焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)直線l：x＝my＋1，聯(lián)立y消去x整理得y2－4my－4＝0，則Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，則x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正確；因?yàn)镺A＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，所以O(shè)A·OB＝x1x2＋y1y2＝－3，故C錯(cuò)誤；由題意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝y(tǒng)1x1·y2x阿基米德三角形1.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.2.阿基米德三角形的常見性質(zhì)(1)阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對(duì)稱軸.(2)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)P，則另一頂點(diǎn)C的軌跡為一條直線.(3)若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)C的軌跡為準(zhǔn)線，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面積的最小值為p2.(4)若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn).(5)底邊長(zhǎng)為a的阿基米德三角形的面積的最大值為a3(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB為阿基米德三角形的底邊，則阿基米德三角形頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為y1推論：阿基米德三角形的頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與弦AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相同，頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與弦AB與x軸交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)互為相反數(shù).典例(多選)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q，則下列說法中正確的是()A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)AB.若M為弦AB的中點(diǎn)，則MQ與x軸平行(或重合)C.若弦AB過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上D.若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，則該三角形的面積最小值為2p答案ABC解析對(duì)于A，由蒙日?qǐng)A的定義知A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)A的切線方程為y1y＝p(x＋x1)， ①過點(diǎn)B的切線方程為y2y＝p(x＋x2)， ②又y聯(lián)立①②③④，解得兩切線交點(diǎn)Qy1又Mx1∴MQ與x軸平行(或重合)，B正確；對(duì)于C，設(shè)Q(x0，y0)，則直線AB的方程為y0y＝p(x＋x0)，又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)Fp2∴0＝pp2＋x0，∴x0＝－對(duì)于D，若底邊AB過焦點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡方程是x＝－p2易驗(yàn)證kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形為直角三角形，且Q為直角頂點(diǎn)，∴|QM|＝x1＋x22＋p2＝y(tǒng)1∴S△QAB＝12|QM||y1－y2≥|QM|·|y1y2當(dāng)且僅當(dāng)y1＝－y2時(shí)，等號(hào)成立，∴阿基米德三角形面積的最小值為p2，D錯(cuò)誤.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2＝±3y B.y2＝±6xC.x2＝±12y D.y2＝±12x答案C解析設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依題意知p2＝3，∴p∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±12y.2.已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，P(x0，8)是C上一點(diǎn)，且P到F的距離與P到C的對(duì)稱軸的距離之差為2，則p等于()A.12 C.2或4 D.4或36答案D解析因?yàn)镻(x0，8)是C上一點(diǎn)，所以x02＝16p，所以|x0|＝4由拋物線的定義可得P到F的距離為8＋p2點(diǎn)P到C的對(duì)稱軸的距離為|x0|，則8＋p2－4p＝2，解得p＝4或p3.已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP＝4FQ，則|QF|等于()A.72 B.C.3 D.2答案C解析過點(diǎn)Q作QQ'⊥l于點(diǎn)Q'，如圖.∵FP＝4FQ，∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，∴|QF|＝|QQ'|＝34×4.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，拋物線C：y2＝8x，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交C于A，B兩點(diǎn)，若∠OAP＝60°，則四邊形OAPB的周長(zhǎng)為()A.64 B.643C.6433 答案D解析根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及AB為線段OP的垂直平分線，可得四邊形OAPB為菱形，又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，故可設(shè)A(a，3a)(a>0)，代入拋物線方程可得(3a)2＝8a，解得故|OA|＝2a＝163故四邊形OAPB的周長(zhǎng)為4×1635.已知過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l垂直于x軸，且與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則C的準(zhǔn)線方程為()A.x＝－1 B.x＝－1C.x＝－2 D.x＝－3答案A解析由拋物線的方程y2＝2px(p>0)，得Fp2由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)Pp2，p，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為p2kOP＝p-0p2-0＝2，k因?yàn)閗OP·kEQ＝－2，所以2×p2＝－2則p＝－2(不符合題意，舍去)；當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為p2kEQ＝0-(-p)p因?yàn)閗OP·kEQ＝－2，所以2×-p2則p＝2，所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1.6.已知x軸上一定點(diǎn)A(a，0)(a>0)，和拋物線y2＝2px(p>0)上的一動(dòng)點(diǎn)M，若|AM|≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.0，p2 B.(0，C.0，3p2 答案B解析設(shè)M(x0，y0)(x0≥0)，則y02＝2px所以|AM|＝(＝(＝x0因?yàn)閨AM|≥a恒成立，所以x02－(2a－2p)x0＋a2≥a所以x02－(2a－2p)x0≥當(dāng)x0＝0時(shí)，顯然恒成立，當(dāng)x0>0時(shí)，x0≥2a－2p恒成立，所以2a－2p≤0，則a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，p].二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(5，y0)在拋物線上，且|PF|＝6，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則()A.p＝2B.拋物線的準(zhǔn)線為直線y＝－1C.y0＝25D.△FPQ的面積為45答案AD解析拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為直線x＝－p2過點(diǎn)P向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M，由拋物線的定義可知|PF|＝|PM|＝5＋p2＝6，解得p＝2，則拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線為直線x＝－1，故A正確，B將x＝5代入拋物線方程，解得y0＝±25，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)F(1，0)，點(diǎn)P(5，±25)，即|PQ|＝25，所以S△FPQ＝12×25×(5－1)＝45，故D正確8.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，B，M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，其中MN交拋物線于點(diǎn)Q，連接QF，NF，NB，NA，則下列說法正確的是()A.|MN|＝12|ABB.FN⊥ABC.Q是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)D.∠QFM＝∠QMF答案ABD解析如圖，由拋物線的定義，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，又|MN|＝|AC|＋則|MN|＝|AF|＋|BF|2＝12由|MN|＝12|AB|，|AM|＝|MB|得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，B正確；在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正確；由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|QN|＝|QM|，即Q是MN的中點(diǎn)，C不正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.拋物線x2＝1ay的準(zhǔn)線方程是y＝2，則實(shí)數(shù)a的值為.答案－1解析由題意－14a＝2，解得a＝－10.已知點(diǎn)M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于.

答案42或22解析當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當(dāng)點(diǎn)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最小.由最小值為41，得20＋p2＝41，解得p＝42當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線外時(shí)，如圖②，當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最小為|MF|.由最小值為41，得402＋解得p＝22或p＝58.當(dāng)p＝58時(shí)，y2＝116x，點(diǎn)M(20，40)在拋物線內(nèi)，故舍去.綜上，p＝42或p＝22.①②四、解答題(共28分)11.(13分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與點(diǎn)F(2，0)的距離與其到直線x＝－2的距離相等.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(5分)(2)求點(diǎn)M與點(diǎn)A