2026版步步高大一輪高考數(shù)學復習110練第六章§6.6子數(shù)列問題§6.6子數(shù)列問題分值：70分一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·連云港模擬)若將2~2026這2025個整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，則此數(shù)列的項數(shù)是()A.94 B.95 C.96 D.972.(2025·漳州模擬)將數(shù)列{3n-1}與{2n}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則a20等于()A.237 B.238 C.239 D.2403.在數(shù)列{an}中，a1=1，anan+1=2n，若am+am+1+…+am+9=248，則m等于()A.3 B.4 C.5 D.64.已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1-an=2，4bn=(-1)n+11an+1an+1，若數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，不等式3Tn<λ(3-5λ)(A.110，+∞ C.110，1二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中留下2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；…；依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).基于“埃拉托塞尼篩法”，則()A.2到20的全部素數(shù)和為77B.挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為134C.2到30的全部素數(shù)和為100D.挑選2到30的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為3356.在數(shù)列的相鄰兩項之間插入此兩項的和形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列：1，3，2；第二次得到數(shù)列：1，4，3，5，2；…；第n次得到數(shù)列：1，x1，x2，x3，…，xk，2，記an=1+x1+x2+x3+…+xk+2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則()A.a4=123B.k+1=2nC.an=32(n2+3nD.Sn=34(3n+1+2n三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知數(shù)列{an}滿足(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1(n∈N*)，若a1=a2=1，則{an}的前20項和S20=.8.若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，若bn=2an+1(n∈N*)，抽去數(shù)列{bn}的第3項、第6項、第9項、…、第3n項、…余下的項的順序不變，構(gòu)成一個新數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的前100項和為.四、解答題(共28分)9.(13分)(2025·河北滄衡名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an-1.(1)求{an}的通項公式；(5分)(2)若bn=an,n為奇數(shù),log3an,10.(15分)已知等差數(shù)列{An}的首項為2，公差為8，在{An}中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{an}.(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；(7分)(2)若ak1，ak2，…，akn是從{an}中抽取的若干項按原來的順序排列組成的一個等比數(shù)列，k1=1，k2=3，令bn=nkn，求數(shù)列{b答案精析1.D[設(shè)滿足題意的整數(shù)為t，則t=3m+2=7n+2?t-2=3m=7n，其中m，n∈N，則t-2是能被21整除的數(shù)，即t是被21除余2的整數(shù).記t=21k+2，k∈N，則2~2026這2025個整數(shù)中，滿足t形式的最小數(shù)為2，此時k=0；最大數(shù)滿足21k+2≤2026?k≤96+821，則最大數(shù)對應的k故滿足題意的數(shù)列的項數(shù)為97.]2.C[數(shù)列{2n}中的項為：2，4，8，16，32，64，128，256，…，經(jīng)檢驗，數(shù)列{2n}中的奇數(shù)項都是數(shù)列{3n-1}中的項，即2，8，32，128，…可以寫成3n-1的形式，觀察歸納可得an=22n-1，所以a20=22×20-1=239.]3.B[由題意得a1a2=2，a2=2，an+1an+2anan+1所以當n為奇數(shù)時，an=2n當n為偶數(shù)時，an=2n設(shè){an}的前n項和為Sn，則S2k=1-2k1-2+2(1-2k)S2k+1=S2k+a2k+1=3(2k-1)+2k=2k+2-3.若m為奇數(shù)，則am+am+1+…+am+9為3的倍數(shù)，248不是3的倍數(shù)，不合題意；若m為偶數(shù)，則am+am+1+…+am+9=Sm+9-Sm-1=S2m=(2m2+4+2-3)-(=2m2=2m2(26-2)=62×2即2m2=4，所以m=44.D[由a1=3，an+1-an=2，得數(shù)列{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，則an=2n+1，于是bn=14×(-1)n+1×當n為偶數(shù)時，Tn=1413+15=14當n為奇數(shù)時，Tn=Tn+1-bn+1=141=1當n為偶數(shù)時，Tn=1413當n為奇數(shù)時，Tn=1413+1因此(Tn由不等式3Tn<λ(3-5λ)(n∈N*)恒成立，得215<λ-53λ2，即λ2-35λ+225<0，解得1所以λ的取值范圍為15，5.AD[由題可知，2到20的全部整數(shù)和S1=19×(2+20)2=2092到20的全部素數(shù)和為S2=2+3+5+7+11+13+17+19=77，故A正確；所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為209-77=132，故B錯誤；2到30的全部整數(shù)和S3=29×(2+30)2=464，2到30的全部素數(shù)和為S4=S2+23+29=129，故C所以挑選2到30的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為464-129=335，故D正確.]6.ABD[由題意，第一次得到數(shù)列：1，3，2，此時a1=3+3；第二次得到數(shù)列：1，4，3，5，2，此時a2=3+3+9；第三次得到數(shù)列：1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時a3=3+3+9+27；第四次得到數(shù)列：1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時a4=3+3+9+27+81.所以a4=3+3+9+27+81=123，故A正確；因為an+1=1+(1+x1)+x1+(x1+x2)+x2+…+xk+(xk+2)+2=an+2(1+x1+x2+…+xk+2)-3=3an-3.故an+1-32=3又a1-32=所以an-32是以所以an-32=92×3n-1?an=32×(3n+1所以Sn=32×(3+32+…+3n)+3n2=32×3(3n-1)2+3n2=設(shè)a1有b1=3個數(shù)相加，a2有b2=3+2=5(個)數(shù)相加，a3有b3=5+4=9(個)數(shù)相加，…，an有bn=bn-1+2n-1(n≥2)個數(shù)相加，所以b2-b1=2，b3-b2=22，b4-b3=23，…，bn-bn-1=2n-1(n≥2)，各式相加得bn-b1=21+22+…+2n-1=2n-2，所以bn=2n-2+3=2n+1，n≥2，當n=1時，b1=3符合該式，所以k=bn-2=2n-1?k+1=2n，故B正確.]7.-250解析數(shù)列{an}滿足(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1，當n為正奇數(shù)時，an+2-an=-2，即數(shù)列{a2n-1}是以a1=1為首項，-2為公差的等差數(shù)列，于是a2n-1=1+(n-1)·(-2)=-2n+3，當n為正偶數(shù)時，-an+2+an=4，即an+2-an=-4，則數(shù)列{a2n}是以a2=1為首項，-4為公差的等差數(shù)列，于是a2n=1+(n-1)·(-4)=-4n+5，所以{an}的前20項和S20=1+(-17)2×10+1+(-35)2×8.613(3150解析由an+1=3an+1，得an+1+12=3又a1+12=所以數(shù)列an+12是以所以an+12=32·3n-1所以an=3n2所以bn=2an+1=3n，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，則S100=c1+c2+c3+c4+…+c99+c100=b1+b2+b4+b5+…+b145+b146+b148+b149=(b1+b4+…+b145+b148)+(b2+b5+…+b146+b149)=(3+34+…+3145+3148)+(32+35+…+3146+3149)=3[1-(=613(3150-1)9.解(1)因為2Sn=3an-1，所以當n≥2時，2Sn-1=3an-1-1，所以2an=3an-3an-1(n≥2)，即an=3an-1(n≥2).當n=1時，2S1=2a1=3a1-1，解得a1=1，則{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故an=3n-1.(2)由(1)可知，當n為奇數(shù)時，bn=an=3n-1；當n為偶數(shù)時，bn=log3an=n-1.當n為奇數(shù)時，Tn=(b1+b3+b5+…+bn)+(b2+b4+b6+…+bn-1)=(1+32+34+…+3n-1)+(1+3+5+…+n-2)=1-9n=3當n為偶數(shù)時，Tn=(b1+b3+b5+…+bn-1)+(b2+b4+b6+…+bn)=(1+32+34+…+3n-2)+(1+3+5+…+n-1)=1-9n=3n綜上，Tn=310.解(1)因為等差數(shù)列{An}的首項為2，公差為8，所以A1=2，A2=10，又在{An}中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{an}，設(shè)其公差為d，則a1=A1=2，a5=A2=10，所以d=a5-所以an=2+(n-1)×2=2n，即數(shù)列{an}的通項公式為an=2n，Sn=n(2+2n)2=n(n+1)(n∈所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(n+1).(2)設(shè)等比數(shù)列ak1，ak由于ak1，ak2為等比數(shù)列的前兩項，且k1則q=ak2ak1=所以akn=2×3n由(1)知an=2n，所以akn=2kn=2×3n從而kn=3n-1，于是bn=nkn=n·3n-1，由Tn=1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1，得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n，所以-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n·3n=1-3n1-3-n·3n=1-2n2從而Tn=12n-14×必刷大題12數(shù)列的綜合問題分值：60分1.(13分)已知數(shù)列{an}的各項均不小于1，前n項和為Sn，a1=1，{2Sn-an2(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(6分)(2)求數(shù)列a2n+1Sn2的前2.(15分)(2024·三明模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1-2an.(1)證明：數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(6分)(2)在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列1dn的前n項和Tn3.(15分)已知函數(shù)f(x)=ax2-x+ln(x+1)，a∈R.(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)x1，x2，均有f(x1(2)記tn=1+12+…+1n(n∈N*)，證明：tn-56<ln(n+1)<t4.(17分)在無窮數(shù)列{an}中，令Tn=a1a2…an，若?n∈N*，Tn∈{an}，則稱{an}對前n項之積是封閉的.(1)試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列{an}對前n項之積是否是封閉的？(5分)(2)設(shè){an}是無窮等比數(shù)列，其首項a1=2，公比為q.若{an}對前n項之積是封閉的，求出q的兩個值；(5分)(3)證明：對任意的無窮等比數(shù)列{an}，總存在兩個無窮數(shù)列{bn}和{cn}，使得an=bn·cn(n∈N*)，其中{bn}和{cn}對前n項之積都是封閉的.(7分)答案精析1.解(1)由a1=1，得2S1-a12因為{2Sn-an2}是公差為所以2Sn-an2=1+(n-1)當n≥2時，2Sn-1-an-12=兩式相減，得2an-an2+a所以(an又an≥1，所以an-1=an-1，則an-an-1=1，所以{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an=1+(n-1)=n.(2)由(1)可知，Sn=n則a2n+1S所以數(shù)列a2n+1Sn2的前=41-1(n2.解(1)因為an+2=3an+1-2an，所以an+2-an+1=2(an+1-an)，又因為a1=2，a2=4，所以a2-a1=2≠0，所以an+2所以數(shù)列{an+1-an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以an+1-an=2×2n-1=2n，當n≥2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+21+2=2(1-2n-1當n=1時，a1=2也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.(2)由題意可知an+1-an=(n+2-1)dn，所以(n+1)dn=an+1-an=2n，所以1dn所以Tn=221+322+423將①式兩邊同時乘以12，得12Tn=222+323+①-②得12Tn=1+122+123+12=1+141-12n-1所以Tn=3-n+32n，故數(shù)列1dn的前n3.(1)解f(x)的定義域為(-1，+∞)，且f(0)=0，f'(x)=2ax-1+1x+1=2ax-xx+1=x2a-1①當a≤0時，2a-1x+1則令f'(x)>0，有x∈(-1，0)，令f'(x)<0，有x∈(0，+∞)，則f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又f(0)=0，所以f(x)≤0，此時令x1x2<0，有f(x②當a>0時，f'(x)有零點0和x0=12a若-1<x0<0，即a>1此時令f'(x)<0，有x∈(x0，0)，令f'(x)>0，有x∈(-1，x0)∪(0，+∞)，f(x)在(x0，0)上單調(diào)遞減，在(-1，x0)，(0，+∞)上單調(diào)遞增，又f(0)=0，則f(x0)>0，令x1>0，x2=x0，有f(x若x0>0，即0<a<1此時令f'(x)<0，有x∈(0，x0)，令f'(x)>0，有x∈(-1，0)∪(x0，+∞)，f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(-1，0)，(x0，+∞)上單調(diào)遞增，又f(0)=0，則f(x0)<0，令-1<x1<0，x2=x0，有f(x若x0=0，即a=1此時f'(x)=x2x+1f(x)在(-1，+∞)上單調(diào)遞增，又f(0)=0，則當x>0時，f(x)>0，當-1<x<0時，f(x)<0，則當x≠0時，f(也即對x1x2≠0，f(綜上，a=12(2)證明由(1)的結(jié)論可知，當a=0時，f(x)=-x+ln(x+1)≤0；當a=12，xf(x)=12x2-x+ln(x+1)>0則當x>0時，x-12x2<ln(x+1)<x令x=1n(n∈N*有1n-12n2即1n-12n2<ln(n+1)-ln所以1n-1-12(n-1)2<lnn-ln(n-1)<1n將上述n個式子相加，tn-121+122+…+1n2欲證tn-56<ln(n+1)<tn只需證tn-56≤tn-只需證1+122+…因為1n2=4=21所以1+122+…+1=53-22n于是tn-56<ln(n+1)<tn得證4.(1)解不是的，理由如下：如等差數(shù)列-1當n為偶數(shù)時，Tn=a1a2…an>0，Tn?-所以不是任意一個無窮等差數(shù)列對前n項之積都是封閉的.(2)解{an}是等比數(shù)列，其首項a1=2，公比為q，所以an=a1·qn-1=2qn-1(n∈N*)，所以Tn=a1a2…an=2nq1+2+…+(n-1)=2nq由已知得，對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Tn=am成立，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得2nq(n-1)n2即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得q(n-1)n①當m=(n+1)n2≥1時，得(n-1)n2-(m②當m=(n-1)n2+(2-n)=得(n-1)n2-(m-1)所以q=12綜上，q=2或q=12(3)證明對任意的無窮等比數(shù)列{an}，設(shè)公比為q'，則an=a1q'n-1=a1n令bn=a1n，c則an=bn·cn(n∈N*)，下面證明：{bn}是對前n項之積是封閉的.因為bn=a所以Tn=a11+2+…+取正整數(shù)t=n(n+1)2得Tn所以{bn}對前n項之積是封閉的，同理證明：{cn}也對前n項之積是封閉的，所以對任意的無窮等比數(shù)列{an}，總存在兩個無窮數(shù)列{bn}和{cn}，使得an=bn·cn(n∈N*)，其中{bn}和{cn}對前n項之積都是封閉的.必刷小題11數(shù)列分值：73分一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a2+a5=7，a4+a7=21，則a8+a11等于()A.28 B.63 C.189 D.2892.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n3-2n+sinn2π，則a6A.66 B.77 C.88 D.993.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”說的是，有996斤棉花要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止……根據(jù)這些信息，第三個孩子分得斤棉花()

A.99 B.116 C.133 D.1504.已知數(shù)列{an}滿足an+1=2(an+1)，若a5=78，則a1等于()A.4 B.3 C.52 5.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，則a1等于()A.1 B.4 C.12 D.366.在數(shù)列{an}中，若a2=2，an=(n+2)(an+1-an)，則a2026等于()A.1013 B.1014C.2024 D.20267.若整數(shù)a，b，c經(jīng)過適當排序后可成等差數(shù)列，再經(jīng)過適當排序后也可成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比不可能是()A.1 B.-12 C.-2 8.已知數(shù)列{an}滿足a3-a2=9，an-4an-1+3an-2=0(n≥3)，則當n≥2時，an-a1等于()A.3n-32C.2·3n-6 D.3二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，an+1=4Sn，則()A.S2=5B.a2025=25a2023C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列D.數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列10.已知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且a6=-2a3，前n項和為Sn，公差為d，則下列結(jié)論正確的有()A.d<0B.a1>0C.當n=5時，Sn最小D.當Sn<0時，n的最小值為811.(2025·四平模擬)數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足Sn+1+Sn=n(n∈N*)，則下列選項中錯誤的是()A.數(shù)列{an+1+an}是常數(shù)列B.若a1<13，則{anC.若a1=-1，則S2025=1012D.若a1=1，則{an}的最小項的值為-1三、填空題(每小題5分，共15分)12.在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an1+2an，則113.圍棋起源于中國，至今已有4000多年的歷史.在圍棋中，對于一些復雜的問題，比如在判斷自己單個眼內(nèi)的氣數(shù)是否滿足需求時，可利用數(shù)列通項的遞推方法來計算.假設(shè)大小為n的眼有an口氣，大小為n+1的眼有an+1口氣，則an與an+1滿足的關(guān)系是a1=1，a2=2，an+1-n=an-1(n≥2，n∈N*)，則{an}的通項公式為.14.在數(shù)列{an}中，a1=3，且(an+1-1)(an-1)=4(an-an+1)，設(shè)bn=2n(an-λ)，其中λ為常數(shù)，若{bn}是遞減數(shù)列，則整數(shù)λ的最小值是.答案精析1.C2.C3.A4.B[由an+1=2(an+1)可得an+1+2=2(an+2)，所以an+1則{an+2}是公比為2的等比數(shù)列，所以a5+2=(a1+2)·24=80，所以a1=3.]5.C[由題意可得，{an}的所有項之和S奇+S偶是所有偶數(shù)項之和S偶的4倍，所以S奇+S偶=4S偶，故S偶=13S奇設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，該等比數(shù)列共有2k(k∈N*)項，則S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=13S奇所以q=1因為a23=a1a2a3=64，可得a2因此a1=a2q=126.B[因為an=(n+2)(an+1-an)，所以(n+3)an=(n+2)an+1，所以ann所以an所以a20262028又a2=2，所以a2026=1014.]7.D[當a，b，c同號時，不妨設(shè)a≥b≥c，則有2解得a=b=c，此時等比數(shù)列公比為1；當a，b，c是兩個正數(shù)一個負數(shù)時，不妨設(shè)a>b>0>c，則有2得c2=b(2b-c)，即c2+bc-2b2=(c+2b)(c-b)=0，由c≠b，得c=-2b，a=4b，若構(gòu)成的等比數(shù)列為b，-2b，4b，則公比為-2；若構(gòu)成的等比數(shù)列為4b，-2b，b，則公比為-12當a，b，c是兩個負數(shù)一個正數(shù)時，同理也有構(gòu)成的等比數(shù)列公比為-2或公比為-1若構(gòu)成的等比數(shù)列公比為2，設(shè)這3個數(shù)為a，2a，4a(a≠0)，則不能構(gòu)成等差數(shù)列.]8.A[由已知得an-an-1=3(an-1-an-2)(n≥3)，又a3-a2=9，所以a3-a2=3(a2-a1)=9，即a2-a1=3，所以{an+1-an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，因此an+1-an=3×3n-1=3n，當n≥2時，a2-a1=3，a3-a2=32，…，an-an-1=3n-1，累加得an-a1=3+32+…+3n-1=3(1-3n-1)9.AB[對于A，由an+1=4Sn，則a2=4S1=4a1=4，∴S2=a1+a2=5，A正確；對于B，an+1=4Sn， ①當n≥2時，an=4Sn-1， ②①-②得an+1-an=4Sn-4Sn-1=4an，∴an+1=5an，∴a2025=5a2024=25a2023，B正確；對于C，當n≥2時，an+1=5an，但a2=4a1不滿足，∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，C錯誤；對于D，由an+1=4Sn，即Sn+1-Sn=4Sn，∴Sn+1=5Sn；∴數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，D錯誤.]10.ABD[由a6=-2a3，得a1+5d=-2(a1+2d)，即a1=-3d，由等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，知d<0，則a