/上海市2024_2025學(xué)年高三下冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)評(píng)價(jià)試卷一、填空題（本大題共12小題）1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是2．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.3．為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.4．已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則其公比.5．在△中，，，，且△的面積為，則=6．設(shè)，，記的導(dǎo)數(shù)為.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為.7．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為．若點(diǎn)在圓柱的一個(gè)底面圓周上，點(diǎn)P在圓柱的另一個(gè)底面內(nèi)，則該圓柱的體積為．8．已知{}是公差不為0的等差數(shù)列.現(xiàn)從，這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù).這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為.9．圖1為一個(gè)正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，在外表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.若將這樣三個(gè)相同的正方體疊放于地面上，如圖2，則能看見(jiàn)的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小值為.

10．設(shè)為常數(shù)，，若，且函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，則的值為.11．已知反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線分別為軸和軸，且它們的夾角為，將該雙曲線繞其中心（坐標(biāo)原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)可使其漸近線為直線和，由此可求得雙曲線的離心率為.已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，那么該雙曲線的離心率為.12．已知設(shè)，，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是.二、多選題（本大題共1小題）13．設(shè)，是非零實(shí)數(shù)，若，則下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．三、單選題（本大題共3小題）14．已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）.A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則15．標(biāo)志重捕法是指的是在一定范圍內(nèi)，對(duì)活動(dòng)能力強(qiáng)、活動(dòng)范圍較大的動(dòng)物種群進(jìn)行粗略估算的一種生物統(tǒng)計(jì)方法，是根據(jù)自由活動(dòng)的生物在一定區(qū)域內(nèi)被調(diào)查與自然個(gè)體數(shù)的比例關(guān)系對(duì)自然個(gè)體總數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷.在被調(diào)查種群的生存環(huán)境中，捕獲一部分個(gè)體，將這些個(gè)體進(jìn)行標(biāo)志后再放回原來(lái)的環(huán)境，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后進(jìn)行重捕，根據(jù)重捕中標(biāo)志個(gè)體占總捕獲數(shù)的比例來(lái)估計(jì)該種群的數(shù)量.標(biāo)志重捕法估算種群密度是基于以下幾種假設(shè)：①標(biāo)記個(gè)體與未標(biāo)記個(gè)體在重捕時(shí)被捕獲的概率相等；②在調(diào)查期內(nèi)標(biāo)記的個(gè)體沒(méi)有死亡，沒(méi)有遷出，標(biāo)記物沒(méi)有脫落；③標(biāo)記個(gè)體在種群中均勻分布.若應(yīng)用標(biāo)志重捕法調(diào)查魚(yú)的種群密度，則下列捕魚(yú)過(guò)程會(huì)導(dǎo)致估算結(jié)果與實(shí)際情況誤差較大的是（

）.A．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)B．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)C．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼點(diǎn)漁網(wǎng)捕魚(yú)D．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)16．某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開(kāi)展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問(wèn)題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中、均與水平面垂直.在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離、的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中不能唯一確定與之間的距離的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，四、解答題（本大題共5小題）17．已知.(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值；(2)在中，若，，求.18．如圖，在四面體中，設(shè)棱，其余5條棱長(zhǎng)都為2.(1)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??；(2)當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，求的值及其體積.19．某航天公司研發(fā)一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個(gè)）617390105119136149163(1)建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù)；（精確到0.1，精確到整數(shù)，精確到0.0001）(2)該公司進(jìn)行了第二次測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測(cè)試，飛行前對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器占比，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？\保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100參考數(shù)據(jù)、公式如下：，其中，.，.保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢未報(bào)廢合計(jì)，其中.0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.82820．已知拋物線.(1)傾斜角為的直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，求；(2)設(shè)是上一點(diǎn)，、是的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓是的內(nèi)切圓.①若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②求面積的最小值.21．已知，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，試根據(jù)的不同取值，討論關(guān)于的方程解的個(gè)數(shù)；(3)求證：有且只有兩條直線與曲線、均相切.

答案1．【正確答案】【詳解】由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，可得又∵集合，，則有公共元素，所以2．【正確答案】20【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，3．【正確答案】【詳解】由題設(shè).4．【正確答案】【詳解】由，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，可得，即，所以，5．【正確答案】【詳解】試題分析：，∵，∴，∴．考點(diǎn)：三角形的面積，向量的夾角．6．【正確答案】【詳解】由，得，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，所以，即，，滿足；所以，7．【正確答案】【詳解】如圖所示：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，所以面，因?yàn)辄c(diǎn)在圓柱的一個(gè)底面圓周上，所以圓柱底面圓的半徑為：，又點(diǎn)P在圓柱的另一個(gè)底面內(nèi)，所以圓柱體的高為，所以圓柱體的體積為：，8．【正確答案】/0.4【詳解】不妨設(shè)，則，這組數(shù)據(jù)的極差為，要使在隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)后，極差不變，就應(yīng)在這四個(gè)數(shù)據(jù)中刪除，則有種刪除方法，故這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為.9．【正確答案】41【詳解】根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖，有數(shù)字1的正方形與有數(shù)字6的正方形相對(duì)，有數(shù)字2的正方形與有數(shù)字4的正方形相對(duì)，有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形相對(duì)，可得，，要使能看見(jiàn)的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小，最上面的一個(gè)正方體的有數(shù)字6的正方形面朝下，與中間的正方體面接觸，中間的正方體有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形面朝上下，與上下正方體接觸，最下面的正方體有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形面朝上下，與上面正方體和地面接觸，所以能看見(jiàn)的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小值為.10．【正確答案】11【詳解】在區(qū)間上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，，故為函數(shù)位于遞減區(qū)間上的零點(diǎn)，故，解得，，，解得，故，，只有當(dāng)時(shí)，滿足要求，故.11．【正確答案】【詳解】由，可得漸近線為直線與軸，因?yàn)闈u近線得斜率為，所以該漸近線得傾斜角為，所以兩條漸近線與軸得夾角為，所以將雙曲線的圖象繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，所以，所以該雙曲線的離心率為.12．【正確答案】【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，

有，，當(dāng)時(shí)，令，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，且，由于，則有，當(dāng)時(shí)，，則必有，則必包含在不等式的解中，由圖可知的解為，此時(shí)不等式的解中有2個(gè)整數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值唯一，因?yàn)榈慕馇∮幸粋€(gè)整數(shù)，所以這個(gè)整數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即有最大值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即；13．【正確答案】ABD【詳解】A，若，則，故A錯(cuò)誤；B，若，則，故B錯(cuò)誤；C，因?yàn)?，故，所以，故，故C正確；D，若，則，故D錯(cuò)誤；故選ABD.14．【正確答案】C【詳解】若，，，則平行或異面，錯(cuò)誤；若，，，則平行，或異面，或相交，錯(cuò)誤；若，，取直線的方向向量作為的法向量，取直線的方向向量為作為的法向量，，因?yàn)?，即兩平面所成角為，所以，所以，即正確；若，，，則平行或異面、或相交，錯(cuò)誤；故選C.15．【正確答案】D【詳解】理論計(jì)算公式為，其中為估算的種群數(shù)值，為第一次捕獲并標(biāo)記的個(gè)體，為一段時(shí)間后，在原來(lái)的捕獲點(diǎn)再次捕獲的個(gè)體數(shù)，為二次捕獲的個(gè)體中有標(biāo)記的數(shù)量，轉(zhuǎn)換后得，假設(shè)池塘中的魚(yú)分為大魚(yú)和小魚(yú)，大魚(yú)是指用大網(wǎng)和小網(wǎng)均能捕獲的魚(yú)，小魚(yú)指僅能用小網(wǎng)能捕獲的魚(yú)，A選項(xiàng)，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，，其中為捕獲并標(biāo)記的大魚(yú)，為捕獲并標(biāo)記的小魚(yú)，設(shè)為池塘中實(shí)際的大魚(yú)數(shù)，為池塘中實(shí)際的小魚(yú)數(shù)，為池塘中實(shí)際的魚(yú)條數(shù)，則，標(biāo)記后全部放回池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚(yú)占全部大魚(yú)比例為，被標(biāo)記的小魚(yú)占全部小魚(yú)比例為，假設(shè)每條魚(yú)被捕獲的概率相等，故，第二次捕獲的大魚(yú)條中，理論上含標(biāo)記的大魚(yú)有，第二次捕獲的小魚(yú)條中，理論中含標(biāo)記的小魚(yú)有，故，故總的標(biāo)記條數(shù)為，所以，又，故，結(jié)論：若兩次捕魚(yú)都用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實(shí)際種群數(shù)量大致相等；B選項(xiàng)，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，，其中為捕獲并標(biāo)記的大魚(yú)，為捕獲并標(biāo)記的小魚(yú)，設(shè)為池塘中實(shí)際的大魚(yú)數(shù)，為池塘中實(shí)際的小魚(yú)數(shù)，標(biāo)記后全部放回池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚(yú)占全部大魚(yú)比例為，被標(biāo)記的小魚(yú)占全部小魚(yú)比例為，假設(shè)每條魚(yú)被捕獲的概率相等，故，其中為池塘中實(shí)際的魚(yú)條數(shù)，第二次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚(yú)，捕獲的全部是大魚(yú)，即，理論上，，故，又，故，結(jié)論：第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實(shí)際種群數(shù)量大致相等；C選項(xiàng)，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼點(diǎn)漁網(wǎng)捕魚(yú)，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，，標(biāo)記后將魚(yú)全部放回到池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚(yú)占全部大魚(yú)比例為，第二次用小網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚(yú)，捕獲的魚(yú)中既有大魚(yú)也有小魚(yú)，，由于第一次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚(yú)，標(biāo)記的均為大魚(yú)，故第二次捕獲的魚(yú)中，只有大魚(yú)也有可能被標(biāo)記，理論上，，其中，因?yàn)槊織l魚(yú)捕獲的概率相等，所以第二次用小網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕獲的魚(yú)中，大魚(yú)和小魚(yú)的比例與池塘中的大魚(yú)和小魚(yú)的比例相等，即，所以，結(jié)論：第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼點(diǎn)漁網(wǎng)捕魚(yú)，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實(shí)際種群數(shù)量大致相等；D選項(xiàng)，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，，標(biāo)記后將魚(yú)全部放回到池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚(yú)占全部大魚(yú)比例為，第二次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚(yú)，捕獲的全部是大魚(yú)，即，理論上，，故，又，故，結(jié)論：第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量約等于種群中大魚(yú)數(shù)量，與實(shí)際種群數(shù)量相比小，誤差大；故選D.16．【正確答案】B【詳解】記，，，，，，，，，，，，．對(duì)于A選項(xiàng)：已知，在中，由，可確定；同理，在中，即可確定，在中，由，可確定；在中，已知，由余弦定理可解三角形知，再在中，由勾股定理，可確定；再由直角梯形，結(jié)合勾股定理可得，即可確定，故A正確；對(duì)于C選項(xiàng)：已知，在中，由，可確定；同理，在中，可確定；在中，由及余弦定理，可確定，故C正確;對(duì)于D選項(xiàng)：已知，在中，由及余弦定理，可確定；在中，由，可確定；同理，在中，即可確定，由直角梯形，結(jié)合勾股定理可得，①即可確定，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)：已知，同C，D選項(xiàng)，可確定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②聯(lián)立①②，得解此關(guān)于的二元方程組，可得，但此二元二次方程組可能有兩解，例如:若，得解得或故B錯(cuò)誤．故選B.17．【正確答案】(1)函數(shù)的最小正周期為，最大值為(2)【詳解】（1），故函數(shù)的最小正周期為，最大值為.（2）由，解得.又，從而，因?yàn)?，所以為銳角，..18．【正確答案】(1)(2)，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，為正四面體.過(guò)作平面，垂足為，則點(diǎn)為正的中心，進(jìn)而為直線與平面所成的角.在中，，，從而，故.因此直線與平面所成角的大小為.（2）當(dāng)四面體表面積最大時(shí)，和都是直角，此時(shí).取的中點(diǎn)，連接、，故，，平面，從而平面.由題意，，進(jìn)而可得的面積為.故四面體的體積.19．【正確答案】(1)，(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)【詳解】（1）由題意可得，，又由，所以，，所以變量關(guān)于的線性回歸方程為.，.（2）設(shè)零假設(shè)：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無(wú)關(guān).由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過(guò)得共臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共臺(tái)，補(bǔ)充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)6040100則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此判斷錯(cuò)誤的概率不大于0.01.20．【正確答案】(1)；(2)①3；②.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為.設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、由，消得于是，故.（2）①設(shè)，于是有，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)、，過(guò)的直線的方程可設(shè)為，由題意，兩直線均與圓相切，故，整理得，設(shè)直線、的斜率為、，于是，將代入上式，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.②由①，，點(diǎn)到的距離，故的面積，不妨令，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.21．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）令，定義域?yàn)?，求?dǎo)，得，令，解得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)嚴(yán)格減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)嚴(yán)格增；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，最小值為2.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即.（2）令，，求