/內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁區(qū)2024_2025學(xué)年高二下冊開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種2．已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（

）A．； B．； C．； D．3．設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知三個隨機(jī)變量的正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，5．已知市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是（

）A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.2856．展開式中的常數(shù)項是（

）A．-160 B．-140 C．160 D．1407．已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）1234PabA．12 B．6 C． D．8．如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于及其二項展開式，下列說法正確的是（

）A．該二項展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為B．該二項展開式中第8項為C．當(dāng)時，除以100的余數(shù)是9D．該二項展開式中不含有理項10．現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法11．袋中有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取一個小球，直到取到白球后停止取球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．抽取次后停止取球的概率為B．停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為C．取球次數(shù)的期望為D．取球次數(shù)的方差為三、填空題（本大題共3小題）12．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為．附：若，則，.13．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab14．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說法正確的序號是.①事件，相互獨(dú)立；②；③；④；⑤．四、解答題（本大題共5小題）15．在下列所給的三個條件中，任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答選擇多個解答，按第一個解答給分．①與直線垂直；②直線的一個方向向量為；③與直線平行．已知直線l過點(diǎn)，____________．(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求．16．某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，競賽成績的頻率分布表如下：競賽成績頻率(1)估計該校學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)已知樣本中競賽成績在的男生有人，從樣本中競賽成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為，求的分布列及期望.17．如圖，在正方體中，正方體的棱長為2，E為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)B到平面的距離.18．2022年10月1日，某超市舉行“迎國慶促銷抽獎活動”，所有購物的顧客，以收銀臺機(jī)打發(fā)票為準(zhǔn)，尾數(shù)為偶數(shù)（尾數(shù)中的奇偶數(shù)隨機(jī)出現(xiàn)）的顧客，可以獲得三次抽獎，三次抽獎獲得獎品的概率分別為，，，每次中獎都可以獲得一份獎品，且每次抽獎是否中獎互不影響.(1)求顧客獲得兩個獎品的概率；(2)若3位購物的顧客，沒有獲獎的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．已知和為橢圓上兩點(diǎn)．(1)求的離心率；(2)若過P的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程；(3)過OA中點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，，試判斷在y軸上是否存在點(diǎn)T使得，若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明利用．

答案1．【正確答案】A【詳解】解:由題知某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,共7門,故該同學(xué)的不同選法共有7種.故選A2．【正確答案】C【詳解】解：對于A，，故正確；對于B，因?yàn)?，所以，故正確；對于C，因?yàn)閚，m為正整數(shù)，且，所以令，則，，此時，故錯誤；對于D，，故正確；故選C3．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)?，則，又，所以．故選A．4．【正確答案】D【詳解】由題意知：正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，且越大，對稱軸越靠右，故，又越小，數(shù)據(jù)越集中，圖像越瘦高，故.故選D.5．【正確答案】A【詳解】記A為“甲廠產(chǎn)品”，B為“合格產(chǎn)品”，則，，所以．故選A．6．【正確答案】A【詳解】展開式通項為，令，所以，所以常數(shù)項為，故選A.7．【正確答案】B【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，．且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故選:B．8．【正確答案】C【詳解】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種方法，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.故選C9．【正確答案】BC【詳解】偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A錯誤；展開式中第8項為，故B正確；當(dāng)時，，∵，除以100的余數(shù)是9，∴當(dāng)時，除以100的余數(shù)是9，故C正確；的展開式的通項為，當(dāng)為整數(shù)，即時，為有理項，故D錯誤．故選BC．10．【正確答案】ABC【詳解】解：選項A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；選項B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，故共有種選法，故B正確；選項C，分兩步：第一步選老師，第二步選學(xué)生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；選項D，若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有13種不同選法，故D錯誤.故選ABC.11．【正確答案】BD【詳解】設(shè)取球次數(shù)為，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，則，，.對于A選項，抽取次后停止取球的概率為，A選項錯誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為，B選項正確；對于C選項，取球次數(shù)的期望為，C選項錯誤；對于D選項，取球次數(shù)的方差為，D選項正確.故選BD.12．【正確答案】3413【詳解】由題意，，可知，所以，故正方形中陰影部分面積，設(shè)落在陰影部分中點(diǎn)的個數(shù)的估計值為，從而，解得，.13．【正確答案】5【詳解】依題意可得，解得，所以14．【正確答案】③④⑤【詳解】依題意，，和是兩兩互斥事件，，，又，①②錯誤；又，，，③④正確；，⑤正確15．【正確答案】(1)選①：直線的方程為；選②：直線的方程為；選③：直線的方程為.(2)選①②時，為4；選③時：為．【詳解】（1）選①：因?yàn)橹本€的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選②：因?yàn)橹本€的一個方向向量為，所以直線的向量為，依題意，直線的方程為，即；選③：因?yàn)榈男甭蕿?，又因?yàn)橹本€與平行，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為：，即；（2）選①②時，圓的圓心到直線的距離為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，因此，即弦長為4．選③：圓的圓心到直線的距離為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，因此，即弦長為．16．【正確答案】(1)(2)分布列見解析；期望【詳解】（1）平均數(shù)為.（2）由題意知：樣本中競賽成績在的共有人，其中有男生人，則所有可能的取值為，；；；的分布列為數(shù)學(xué)期望.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，，，∴；（2）因?yàn)檎襟w的棱長為2，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（Ⅱ）知，平面所的法向量為，所以點(diǎn)B到平面的距離，，.18．【正確答案】(1)(2)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為【詳解】（1）顧客獲得兩個獎品的概率為：.（2）個顧客沒有獲獎的概率為，所以，則的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以.19．【正確答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）依題意，，解得，則離心率；（2）由（1）可知，橢圓C的方程為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方