2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專(zhuān)題11 函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點(diǎn)突破(含答案)_第1頁(yè)
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2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專(zhuān)題11函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點(diǎn)突破(含答案)專(zhuān)題11函數(shù)的單調(diào)性與最值一、考情分析二、經(jīng)驗(yàn)分享【知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性】1.函數(shù)單調(diào)性的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:①如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有___________,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);②如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有___________,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).名師解讀:對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解:(1)定義中的x1,x2有三個(gè)特征:①任意性,即不能用特殊值代替;②屬于同一個(gè)區(qū)間;③有大小,一般令x1<x2.(2)增、減函數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化:若是增函數(shù),則;若是減函數(shù),則.2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)___________,區(qū)間D叫做y=f(x)的___________.名師解讀:對(duì)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解(1)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“∪”連接,而應(yīng)該用“和”連接.(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上,所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.(3)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的,在某一點(diǎn)上不存在單調(diào)性.(4)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)就不具有單調(diào)性.名師解讀:常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)類(lèi)型單調(diào)性一次函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是和單調(diào)增區(qū)間是和二次函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是【知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的最大值與最小值】1.最大值一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足:(1)對(duì)于任意的,都有___________;(2)存在,使得___________.那么,我們稱(chēng)M是函數(shù)的最大值.函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.最小值一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足:(1)對(duì)于任意的,都有___________;(2)存在,使得___________.那么,我們稱(chēng)m是函數(shù)的最小值.函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).名師解讀:函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),則函數(shù),在處有最大值.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則函數(shù),在處有最小值.如果函數(shù)在區(qū)間上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值和最大(?。┲担?、題型分析(一)證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1.(1)、(2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A. B. C. D.(2)、(2020·上海高一專(zhuān)題練習(xí))下列函數(shù)中,在是增函數(shù)的是()A. B. C. D.(3).(2020·貴陽(yáng)市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學(xué)校高一月考)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【變式訓(xùn)練1-1】、(2022·江蘇·高一)下列函數(shù)在單調(diào)遞減的是(

)A. B.C. D.【變式訓(xùn)練1-2】.(2022·江蘇·高一)(多選題)下列函數(shù)中,在上單調(diào)遞增的是(

)A. B.C. D.【變式訓(xùn)練1-3】、(2021·徐州市第三十六中學(xué)(江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué))高一期中)(多選題)下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是(

)A. B.C. D.

例2.(1)(2020·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中)根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2).(2020·巴南區(qū)·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)已知函數(shù),.(1)判斷并證明在上的單調(diào)性;(2)解不等式.

【變式訓(xùn)練2-1】、(2021·四川甘孜·高一期末)判斷并證明在的單調(diào)性.【變式訓(xùn)練2-2】.(2021·浙江高一期末)已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明其結(jié)論;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

(二)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3.(1)、(2022·江蘇·高一)設(shè)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù).若,則a的取值范圍是______.(2)、(2022·甘肅慶陽(yáng)·高一期末)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.(3)、(2022·江蘇·高一)如圖是函數(shù)的圖象,則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是(

)A. B. C. D.

【變式訓(xùn)練3-1】.(2021·云南麗江市·高一期末)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是()A. B.C. D.【變式訓(xùn)練3-2】.(2020·北碚區(qū)·重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù),且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【變式訓(xùn)練3-3】.(2022·陜西·銅川陽(yáng)光中學(xué)高一期末)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.例4.(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.或【變式訓(xùn)練4-1】.(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意的總有.則不等式的解集為_(kāi)_______.(三)分段函數(shù)的單調(diào)性與最值例5.(1)、(2021·廣東·汕頭市潮陽(yáng)區(qū)河溪中學(xué)高一期中)已知函數(shù)滿(mǎn)足且,有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.(用集合或區(qū)間表示)(2).(2020·江蘇常州市·常州高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.(3)、(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(多選題)已知函數(shù),則下列敘述正確的是(

)A.的值域?yàn)?B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.若,則的最小值為-3【變式訓(xùn)練5-1】.(2020·江西高一期中)已知函數(shù)是上的增函數(shù),則的取值范圍是________.

【變式訓(xùn)練5-2】、(2021·廣東·江門(mén)市廣雅中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則a的取值范圍是(

)A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]【變式訓(xùn)練5-3】、(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A., B. C., D.(四)求函數(shù)的最大值與最小值例6.(2020·重慶市第七中學(xué)校高一月考)函數(shù)()A.有最大值5,無(wú)最小值 B.有最小值4,無(wú)最大值C.有最大值5,最小值4 D.無(wú)最大值和最小值【變式訓(xùn)練6-1】.(2020·重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校高一月考)若函數(shù)()的最大值為,最小值為.則______.

【變式訓(xùn)練6-2】.(2021·云南省云天化中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)的最大值為_(kāi)______.例7.(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))(2021·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【變式訓(xùn)練7-1】.(2021·云南省昆明市第十中學(xué)高一階段練習(xí))已知,函數(shù).(1)指出在上的單調(diào)性(不需說(shuō)明理由);=專(zhuān)題11函數(shù)的單調(diào)性與最值一、考情分析二、經(jīng)驗(yàn)分享【知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性】1.函數(shù)單調(diào)性的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:①如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有___________,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);②如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有___________,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).名師解讀:對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解:(1)定義中的x1,x2有三個(gè)特征:①任意性,即不能用特殊值代替;②屬于同一個(gè)區(qū)間;③有大小,一般令x1<x2.(2)增、減函數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化:若是增函數(shù),則;若是減函數(shù),則.2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)___________,區(qū)間D叫做y=f(x)的___________.名師解讀:對(duì)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解(1)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“∪”連接,而應(yīng)該用“和”連接.(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上,所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.(3)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的,在某一點(diǎn)上不存在單調(diào)性.(4)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)就不具有單調(diào)性.名師解讀:常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)類(lèi)型單調(diào)性一次函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是和單調(diào)增區(qū)間是和二次函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是【知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的最大值與最小值】1.最大值一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足:(1)對(duì)于任意的,都有___________;(2)存在,使得___________.那么,我們稱(chēng)M是函數(shù)的最大值.函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.最小值一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足:(1)對(duì)于任意的,都有___________;(2)存在,使得___________.那么,我們稱(chēng)m是函數(shù)的最小值.函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).名師解讀:函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),則函數(shù),在處有最大值.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則函數(shù),在處有最小值.如果函數(shù)在區(qū)間上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間的左、右端點(diǎn)處分別取得最?。ù螅┲岛妥畲螅ㄐ。┲担?、題型分析(一)證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1.(1)、(2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象直接確定單調(diào)遞減區(qū)間即可.【詳解】由題圖知:在上的單調(diào)遞減,在上的單調(diào)遞增,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B(2)、(2020·上海高一專(zhuān)題練習(xí))下列函數(shù)中,在是增函數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】A【分析】分別判斷各選項(xiàng)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間,可得答案.【詳解】對(duì)于A,在是增函數(shù),正確;對(duì)于B,在是減函數(shù),錯(cuò)誤;對(duì)于C,在是減函數(shù),錯(cuò)誤;對(duì)于D,在上沒(méi)有意義,錯(cuò)誤;故選:A(3).(2020·貴陽(yáng)市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學(xué)校高一月考)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.【詳解】二次函數(shù),圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為所以函數(shù)的單增區(qū)間為.故選:C.【變式訓(xùn)練1-1】、(2022·江蘇·高一)下列函數(shù)在單調(diào)遞減的是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】逐個(gè)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),故A不正確;對(duì)于B,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),故B正確;對(duì)于C,函數(shù)在上是增函數(shù),故C不正確;對(duì)于D,函數(shù)在上是增函數(shù),故D不正確.故選:B.【變式訓(xùn)練1-2】.(2022·江蘇·高一)(多選題)下列函數(shù)中,在上單調(diào)遞增的是(

)A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)楹瘮?shù)、在在上均為增函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故C正確;對(duì)于D選項(xiàng),對(duì)于函數(shù),,,則,故函數(shù)在上不是增函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:BC.【變式訓(xùn)練1-3】、(2021·徐州市第三十六中學(xué)(江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué))高一期中)(多選題)下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是(

)A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)判斷即可;【詳解】解:對(duì)于A:在定義域上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:在上單調(diào)遞增,故B正確;對(duì)于C:在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:在定義域上單調(diào)遞增,故D正確;故選:BD例2.(1)(2020·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中)根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】利用單調(diào)性的定義,按照取值、作差、化簡(jiǎn)、定號(hào)、得結(jié)論的步驟,即可得證【詳解】證明:,且,則====,,則,,,,即,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2).(2020·巴南區(qū)·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)已知函數(shù),.(1)判斷并證明在上的單調(diào)性;(2)解不等式.【答案】(1)單調(diào)遞減,證明見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)根據(jù)定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞減即可;(2)首先找到,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式化簡(jiǎn)得到,最后求解不等式即可.【詳解】設(shè)滿(mǎn)足,∵,∴,,∴,∴,∴在上單調(diào)遞減.(2)令,解得或-3,∵,∴,∵在上單調(diào)遞減,且,∴,∴解得,即不等式解集為.【變式訓(xùn)練2-1】、(2021·四川甘孜·高一期末)判斷并證明在的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在單調(diào)遞增【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可【詳解】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義:任取,所以因?yàn)?,所以,所以所以原函?shù)單調(diào)遞增?!咀兪接?xùn)練2-2】.(2021·浙江高一期末)已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明其結(jié)論;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)函數(shù)在上是增函數(shù),證明見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域.【詳解】(1)函數(shù)在上是增函數(shù).證明:任取,且,,,,,即,函數(shù)在上是增函數(shù);(2)由(1)知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),又,,所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)取值,設(shè),且;(2)作差,求;(3)變形,(合并同類(lèi)項(xiàng)、通分、分解因式、配方等)向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形;(4)定號(hào),判斷的正負(fù)符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)應(yīng)分類(lèi)討論;(5)下結(jié)論,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.(二)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3.(1)、(2022·江蘇·高一)設(shè)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù).若,則a的取值范圍是______.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意,列出不等式組,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù),因?yàn)椋傻?,解得,所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為:.(2)、(2022·甘肅慶陽(yáng)·高一期末)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由單調(diào)性可直接得到,解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增,,,解得:,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.(3)、(2022·江蘇·高一)如圖是函數(shù)的圖象,則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是(

)A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系,結(jié)合圖像即得解【詳解】結(jié)合圖像易知,函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)遞減,故選:BD【變式訓(xùn)練3-1】.(2021·云南麗江市·高一期末)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【分析】先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,而拋物線的開(kāi)口向下,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,從而可求出的取值范圍【詳解】解:函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,解得,所以的取值范圍為,故選:D【變式訓(xùn)練3-2】.(2020·北碚區(qū)·重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù),且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的減函數(shù),且,所以,故.故答案為:.【變式訓(xùn)練3-3】.(2022·陜西·銅川陽(yáng)光中學(xué)高一期末)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】分類(lèi)討論,時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】時(shí),滿(mǎn)足題意;時(shí),,解得,綜上,故答案為:.例4.(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.或【答案】B【分析】函數(shù)化為,討論,和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用單調(diào)性可得最小值,解方程即可得到所求值.【詳解】函數(shù),即,,當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng),即時(shí),在遞減,可得為最大值,即,解得成立;當(dāng),即時(shí),在遞增,可得為最大值,即,解得不成立;綜上可得.故選:.【變式訓(xùn)練4-1】.(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意的總有.則不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【分析】由條件可得函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù),然后可解出答案.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的總有所以函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù),從而由得,解得.故答案為:

(三)分段函數(shù)的單調(diào)性與最值例5.(1)、(2021·廣東·汕頭市潮陽(yáng)區(qū)河溪中學(xué)高一期中)已知函數(shù)滿(mǎn)足且,有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.(用集合或區(qū)間表示)【答案】【解析】【分析】由條件可知函數(shù)是增函數(shù),可得分段函數(shù)兩段都是增函數(shù),且時(shí),滿(mǎn)足,由不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì),且都有成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以,解得.故答案為:.(2).(2020·江蘇常州市·常州高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為上的減函數(shù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知,在上為減函數(shù),則,函數(shù)在上為減函數(shù),且有,所以,,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時(shí),除了分析每支函數(shù)的單調(diào)性外,還應(yīng)由間斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解.(3)、(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(多選題)已知函數(shù),則下列敘述正確的是(

)A.的值域?yàn)?B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.若,則的最小值為-3【答案】BCD【解析】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再逐項(xiàng)判斷.【詳解】函數(shù),A.的值域?yàn)?,故錯(cuò)誤;B.在區(qū)間上單調(diào)遞增,故正確;C.,故正確;D.因?yàn)?,則的最小值為,故正確;故選:BCD【變式訓(xùn)練5-1】.(2020·江西高一期中)已知函數(shù)是上的增函數(shù),則的取值范圍是________.【答案】【分析】函數(shù)是增函數(shù)可得,且,即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),遞增,即,當(dāng)時(shí),遞增,即,且,解得,∴,綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,需滿(mǎn)足分段函數(shù)每部分分別單調(diào),還應(yīng)注意在分段處的函數(shù)值大小問(wèn)題,這是容易漏掉的地方.【變式訓(xùn)練5-2】、(2021·廣東·江門(mén)市廣雅中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則a的取值范圍是(

)A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]【答案】D【解析】【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(-∞,+∞)上的減函數(shù)可得解得.故選:D.【變式訓(xùn)練5-3】、(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A., B. C., D.【答案】D【解析】【分析】由題意是上的增函數(shù),所以分段函數(shù)的每一段單調(diào)遞增且分界點(diǎn)處單調(diào)遞增,列出不等式組求出的取值范圍即可.【詳解】根據(jù)題意,任意實(shí)數(shù)都有成立,所以函數(shù)是上的增函數(shù),則分段函數(shù)的每一段單調(diào)遞增且分界點(diǎn)處單調(diào)遞增,所以,解得:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:,.故選:D.(四)求函數(shù)的最大值與最小值例6.(2020·

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