專(zhuān)題04一次函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：一次函數(shù)的平移易錯(cuò)點(diǎn)2：求直線圍成的圖形面積易錯(cuò)點(diǎn)3：一次函數(shù)探究性問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)4：一次函數(shù)與幾何綜合知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念一次函數(shù)定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0）稱(chēng)y是x的正比例函數(shù)，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)k的符號(hào)k>0k<0圖象增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小位置圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)k的符號(hào)b的符號(hào)圖象分布象限圖象增減性y=kx+b

(k≠0)k>0b>0一、二、三

y隨x的增大而

增大b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x的增大而

減小b=0二、四b<0二、三、四知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的特殊點(diǎn)及與其他直線的交點(diǎn)問(wèn)題（難點(diǎn)）分類(lèi)求法直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)令y=0,求出對(duì)應(yīng)的x的值,即(?b直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)令x=0,求出對(duì)應(yīng)的y值,即(0,b)與其他直線的交點(diǎn)坐標(biāo)解由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組,方程組的解即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)的平移(1)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x+m)+b的圖象;(2)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x-m)+b的圖象;(3)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b+n的圖象;(4)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向下平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b-n的圖象.平移口訣：左加有減，上加下減知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1）設(shè)出函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數(shù)的一般形式中，從而得到一次函數(shù)解析式.知識(shí)點(diǎn)五：正比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別正比例函數(shù)一次函數(shù)區(qū)別一般形式y(tǒng)=kx+b（k是常數(shù)，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一條直線k，b符號(hào)的作用k的符號(hào)決定其增減性，同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限k的符號(hào)決定其增減性；b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號(hào)共同決定直線在直角坐標(biāo)系的位置求解析式的條件只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系1）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．2）正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫(huà)法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線，但畫(huà)一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫(huà)正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可．3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．知識(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的求解思路①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)應(yīng)用?？碱}型解析技巧1.利潤(rùn)(費(fèi)用)最值問(wèn)題通過(guò)題中所給條件建立函數(shù)模型，再根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定最值2.行程問(wèn)題(1)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析橫、縱坐標(biāo)表示的意義;(2)根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的解析式,若是分段函數(shù),注意自變量的取值范圍;(3)關(guān)注轉(zhuǎn)折點(diǎn)、交點(diǎn)(兩直線的交點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))等特殊點(diǎn),并弄清該點(diǎn)坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。3.方案選取問(wèn)題方案選取問(wèn)題的解題步驟(1)建立一次函數(shù)模型;(2)根據(jù)限制條件列出不等式(組),求出自變量的取值范圍,結(jié)合自變量取值范圍進(jìn)行方案設(shè)計(jì);(3)結(jié)合實(shí)際,利用函數(shù)的性質(zhì)選擇最佳方案【典例1】（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為、該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（

）A．B． C． D．【典例2】（2024·陜西安康·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與正比例函數(shù)（a，b是常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，．若為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則關(guān)于，，大小關(guān)系的表述中，正確的是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下圖表示光從空氣進(jìn)入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的函數(shù)解析式分別為，，則關(guān)于與的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【典例5】（2024·天津·中考真題）若正比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限，則的值可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【典例6】（2024·廣東陽(yáng)江·二模）先從，，0，6四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為，再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為．若，則正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率是．考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）【典例1】（2024·陜西·中考真題）一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·山西·中考真題）生物學(xué)研究表明，某種蛇在一定生長(zhǎng)階段，其體長(zhǎng)是尾長(zhǎng)的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與x之間的關(guān)系式為（）尾長(zhǎng)6810體長(zhǎng)45.560.575.5A． B．C． D．【典例3】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為cm，【典例4】（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【典例5】（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，已知，．直線（k，b為常數(shù)，且）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并把分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)部分的面積為，則k的值為．【典例6】（2024·四川樂(lè)山·一模）當(dāng)，是正實(shí)數(shù)，且滿足時(shí)，就稱(chēng)點(diǎn)為“友誼點(diǎn)”．已知點(diǎn)與點(diǎn)都在直線上，點(diǎn)、是“友誼點(diǎn)”，且點(diǎn)在線段上．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）若，，則的面積為．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中．若過(guò)原點(diǎn)的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為．【典例8】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)已知變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)規(guī)律．x…1234……8421…寫(xiě)出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；(3)一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于點(diǎn)D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【典例9】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)點(diǎn)，．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)在上，拋物線G：與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，試用含的代數(shù)式表示四邊形的面積；②當(dāng)，，中有兩點(diǎn)與點(diǎn)，圍成的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的函數(shù)解析式．考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系【典例1】（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【典例2】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①隨的增大而增大；②；③．當(dāng)時(shí)，；④關(guān)于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．為了了解關(guān)于x的不等式的解集，某同學(xué)繪制了與（m，n為常數(shù)，）的函數(shù)圖象如圖所示，通過(guò)觀察圖象發(fā)現(xiàn)，該不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的兩個(gè)頂點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則使四邊形周長(zhǎng)最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【典例5】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為．【典例6】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【典例7】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).(1)求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫(xiě)出的取值范圍.【典例8】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中________；x…01234…y…420m02468…描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)；連線：請(qǐng)用平滑的線順次連接各點(diǎn)，在圖中畫(huà)出函數(shù)圖象；(2)探究函數(shù)性質(zhì)請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)：________________；（寫(xiě)一條即可）(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)根據(jù)圖象，求不等式的解集．【典例9】（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的的取值范圍；(2)請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)若直線的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)x的取值范圍．（保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【典例10】（2024·河北·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與y軸交于點(diǎn)A，直線與y軸，x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，與交于點(diǎn)，連接，已知的長(zhǎng)為4．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線的解析式；(2)求的面積；(3)若直線上有一點(diǎn)P使得的面積等于的面積，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐生活中的數(shù)學(xué)：如何確定單肩包的最佳背帶長(zhǎng)度？素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．使用時(shí)可以通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，使背帶的總長(zhǎng)度加長(zhǎng)或縮短．總長(zhǎng)度為單層部分與雙層部分的長(zhǎng)度和，其中調(diào)節(jié)扣的長(zhǎng)度忽略不計(jì)．素材2：對(duì)該款單肩包的背帶長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度是，單層部分的長(zhǎng)度是，得到幾組數(shù)據(jù)如下表所示．雙層部分的長(zhǎng)度2610…單層部分的長(zhǎng)度116108100…素材3：?jiǎn)渭绨淖罴驯硯Э傞L(zhǎng)度與身高的比為．素材4：小明爸爸準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)此款單肩包．爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調(diào)節(jié)到最短提在手上（背帶的傾斜忽略不計(jì)），背帶的懸掛點(diǎn)離地面的高度為；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為，頭頂?shù)郊绨虻拇怪备叨葹樯砀叩模?qǐng)根據(jù)以上素材，解答下列問(wèn)題：(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以所測(cè)得數(shù)據(jù)中的x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出所表示的點(diǎn)，并用光滑曲線連接；根據(jù)圖象思考與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)設(shè)人的身高為h，當(dāng)單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，此時(shí)人的身高h(yuǎn)與這款單肩包背帶的雙層部分的長(zhǎng)度x之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)小明爸爸的單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，求此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度．【典例2】（2024·陜西漢中·三模）在一條筆直的道路上依次有三地，小明從地跑步到達(dá)地，休息后按原速跑步到達(dá)地．小明距地的距離與時(shí)間之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)從地到地的距離為_(kāi)_____；(2)求出段的函數(shù)表達(dá)式：(3)求小明距地時(shí)所用的時(shí)間．【典例3】（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批航空、航海模型．已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的．(1)求航空和航海模型的單價(jià)；(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)“六一兒童節(jié)”促銷(xiāo)：航空模型八折優(yōu)惠．若購(gòu)買(mǎi)航空、航海模型共120個(gè)，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請(qǐng)問(wèn)分別購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少？【典例4】（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車(chē)輛通過(guò)兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來(lái)計(jì)算車(chē)輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車(chē)在高速公路上行駛，其間經(jīng)過(guò)一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開(kāi)始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車(chē)在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車(chē)在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)的值為_(kāi)_______；(2)當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車(chē)減速前是否超速．（此路段要求小型汽車(chē)行駛速度不得超過(guò)120千米/時(shí)）【典例5】（2024·山東日照·中考真題）【問(wèn)題背景】2024年4月23日是第18個(gè)“世界讀書(shū)日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書(shū)館面積，增加藏書(shū)數(shù)量，現(xiàn)需購(gòu)進(jìn)20個(gè)書(shū)架用于擺放書(shū)籍．【素材呈現(xiàn)】素材一：有兩種書(shū)架可供選擇，A種書(shū)架的單價(jià)比B種書(shū)架單價(jià)高；素材二：用18000元購(gòu)買(mǎi)A種書(shū)架的數(shù)量比用9000元購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)架的數(shù)量多6個(gè)；素材三：A種書(shū)架數(shù)量不少于B種書(shū)架數(shù)量的．【問(wèn)題解決】(1)問(wèn)題一：求出兩種書(shū)架的單價(jià)；(2)問(wèn)題二：設(shè)購(gòu)買(mǎi)a個(gè)A種書(shū)架，購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的購(gòu)買(mǎi)方案；(3)問(wèn)題三：實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，商家調(diào)整了書(shū)架價(jià)格，A種書(shū)架每個(gè)降價(jià)m元，B種書(shū)架每個(gè)漲價(jià)元，按問(wèn)題二的購(gòu)買(mǎi)方案需花費(fèi)21120元，求m的值．【典例6】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）隨著新能源汽車(chē)的發(fā)展，東營(yíng)市某公交公司計(jì)劃用新能源公交車(chē)淘汰“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車(chē)．新能源公交車(chē)有型和型兩種車(chē)型，若購(gòu)買(mǎi)型公交車(chē)輛，型公交車(chē)輛，共需萬(wàn)元；若購(gòu)買(mǎi)型公交車(chē)輛，型公交車(chē)輛，共需萬(wàn)元．(1)求購(gòu)買(mǎi)型和型新能源公交車(chē)每輛各需多少萬(wàn)元？(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的型和型新能源公交車(chē)每輛年均載客量分別為萬(wàn)人次和萬(wàn)人次．公司準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10輛型、型兩種新能源公交車(chē)，總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元．為保障該線路的年均載客總量最大，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案，并求出年均載客總量的最大值．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦，已知每臺(tái)電腦的進(jìn)價(jià)型比型多元，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)型電腦和用萬(wàn)購(gòu)進(jìn)型電腦的數(shù)量相同．(1)兩種型號(hào)電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少？(2)隨著技術(shù)的更新，型號(hào)電腦升級(jí)為型號(hào)，該商城計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)電腦共臺(tái)，型號(hào)電腦的每臺(tái)售價(jià)元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售型號(hào)電腦所獲利潤(rùn)(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售量臺(tái)()，如圖所示，AB為線段，為拋物線一部分()．若這兩種電腦全部售出，則該商城如何進(jìn)貨利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)銷(xiāo)售總價(jià)總進(jìn)價(jià))易錯(cuò)點(diǎn)1：一次函數(shù)的平移一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當(dāng)b>0時(shí)，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度平移口訣：左加有減，上加下減【典例1】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與直線的交點(diǎn)可能是（）A． B． C． D．【典例2】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）將直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，將直線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線．若直線和直線恰好重合，則k的值為（

）A． B． C．1 D．【典例3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，將直線向左平移后與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．若，則直線的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·湖南常德·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且在直線上，把直線的圖象向右平移2個(gè)單位后，所得的直線解析式為．【典例5】（2024·四川眉山·二模）如圖，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線：平行，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、．(1)求直線的表達(dá)式及其與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷四邊形是什么四邊形？并證明你的結(jié)論．易錯(cuò)點(diǎn)2：求直線圍成的圖形面積解題方法：1.求點(diǎn)---圍成圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。2.確定底邊---找到與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)軸上的邊長(zhǎng)作為底邊。作輔助線：（切割法）過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線切割圖形。求出線段長(zhǎng)。4.帶公式求出面積。S△=×底×高割補(bǔ)求面積（鉛垂法）：【典例1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線分別與x軸、直線交于點(diǎn)A、B，則的面積為（

）A．2 B．3 C．5 D．6【典例2】（2024·西藏·中考真題）將正比例函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象的解析式為．【典例3】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)把直線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與的圖象交于點(diǎn)，連接，求的面積．【典例4】（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線的解析式為，且與x軸交于點(diǎn)D，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，直線、交于點(diǎn)C．(1)求直線的解析式；(2)求的面積；(3)試問(wèn)：在直線上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得與的面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例5】（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，且與相交于D．點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D，E重合），作直線．(1)求直線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若直線將的面積分為兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是否存在某個(gè)位置，使得點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在直線上方的坐標(biāo)軸上．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例6】（2023·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+bk≠0交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與直線，分別交于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線y=kx+bk≠0(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值；(3)點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【典例7】（2024·河北衡水·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)，直線與x軸交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)D．(1)求直線的函數(shù)解析式：(2)求的面積；(3)嘉淇為了更好觀看圖象，截屏該問(wèn)題的圖象，如圖所示，嘉淇發(fā)現(xiàn)屏幕上有一位置固定的黑點(diǎn)M，剛好落在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為的位置上，嘉淇通過(guò)手機(jī)的觸屏功能，在坐標(biāo)原點(diǎn)的位置與可視范圍不改變的情況下，把截屏橫向、縱向放大相同的倍數(shù)，當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，圖中坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，直接寫(xiě)出a的值．易錯(cuò)點(diǎn)3：一次函數(shù)探究性問(wèn)題【典例1】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【典例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）正方形，，，…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)，，，…和點(diǎn)，，，…分別在直線和軸上．已知點(diǎn)，點(diǎn)，，則的坐標(biāo)是()A． B． C． D．【典例3】（2024·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖是直線在第一象限內(nèi)的一部分，其上有一點(diǎn)，且．過(guò)作軸于，以為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，過(guò)作于，以為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)；過(guò)作于；……，如此重復(fù)下去．則：（1）的縱坐標(biāo)是；（2）的縱坐標(biāo)是．【典例4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線上有點(diǎn)，且，，，分別過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交y軸于點(diǎn)，依次連接，得到，，，…，，則的面積為．（用含有正整數(shù)n的式子表示）【典例5】（2024·山東泰安·二模）如圖，直線x，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,1，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)以為邊作等邊三角形，再過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，……，按此做法進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【典例6】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）如圖放置的，，，，，都是以，，，，為直角頂點(diǎn)的三角形，點(diǎn)，，，，都在直線上，，點(diǎn)在軸上，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【典例7】（2024·山東東營(yíng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線交于點(diǎn)，過(guò)作x軸的垂線，垂足為，過(guò)作的平行線交于，過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作的平行線交于，過(guò)作軸的垂線，垂足為按此規(guī)律，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【典例8】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線的解析式為與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作交于，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，，則長(zhǎng)為．【典例9】（2024·山東東營(yíng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于點(diǎn)，…，按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【典例10】（2024·山東臨沂·一模）如圖，已知直線，直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．易錯(cuò)點(diǎn)4：一次函數(shù)與幾何綜合【典例1】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，在該平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．【典例2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線：，直線：，直線與直線交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，直線與直線交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)D，連接，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，的值為．【典例3】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)P在邊上，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F．連接，取的中點(diǎn)E．在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【典例4】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，E為格點(diǎn)，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點(diǎn)，C為，的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．(1)的長(zhǎng)等于___________．(2)點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q在線段上，且滿足．請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出點(diǎn)P，點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出做法）【典例5】（2024·河北秦皇島·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線與y軸相交于點(diǎn)C．(1)如圖1，當(dāng)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求k的值．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，直線與線段存在交點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合），且，求m的取值范圍．【典例6】（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C、P作直線．(1)求直線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)A9,0，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y【典例7】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在x上，在y軸上，的長(zhǎng)分別是的兩個(gè)根（），于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，過(guò)點(diǎn)P作的平行線，交于點(diǎn)M，令的面積為s．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；(3)在直線上是否存在點(diǎn)M，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例8】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形的下底在x軸的正半軸上，線段，的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，且，，邊長(zhǎng)為3的正方形在梯形右側(cè)，邊也在x軸的正半軸上，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合．(1)求線段所在直線的解析式(2)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線段向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，正方形也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連結(jié)、，求的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍(3)在（2）的條件下，是否存在使的面積等于的面積的情況？若存在，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【典例9】（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱(chēng)圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過(guò)的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱(chēng)為“雙直四邊形”．請(qǐng)你根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說(shuō)法，正確的有（把所有正確的序號(hào)都填上）；①雙直四邊形”的對(duì)角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則其一定是正方形．(2)如圖①，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上且，是否存在點(diǎn)在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例10】（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著折線（從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)結(jié)束）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x時(shí)，記．(1)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y的圖象，并寫(xiě)出y的性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．（結(jié)果取精確值）【典例11】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，連接，．(1)如圖1，求直線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q在線段上，，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)Q作軸交于點(diǎn)D，連接，的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接交y軸于點(diǎn)M，連接，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【典例12】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若線段的垂直平分線交直線AD于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，點(diǎn)E在第一象限，，連接，求的值；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線DE上，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以E、M、N為頂點(diǎn)的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例13】．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于直線l和線段，給出如下定義：若線段關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形是的弦（，分別為P，Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是關(guān)于直線l的“對(duì)稱(chēng)弦”．(1)如圖，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．線段，，中，是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”的是(2)是關(guān)于直線y=kxk≠0的“對(duì)稱(chēng)弦”，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)已知直線和點(diǎn)，若線段是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”，且，直接寫(xiě)出的最值和相應(yīng)b的值．【典例14】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)且，點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M，連接，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；(3)如圖，直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于E，P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)．【典例15】（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求和的值；(2)將直線向上平移得到直線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例16】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）將一長(zhǎng)方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，．(1)如圖1，在上取一點(diǎn)E，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)D，求線段．(2)如圖2，在邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M，F(xiàn)，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)D，作垂直于于點(diǎn)G，交于點(diǎn)T．①求證：；②設(shè)，求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示．(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在直線上，問(wèn)：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例17】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：圖形M上任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值，稱(chēng)為該圖形的“郡園長(zhǎng)”，點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到直線l的距離恰好等于圖形M的“郡園長(zhǎng)”，那么點(diǎn)P稱(chēng)為直線l的“郡園點(diǎn)”．圖1

圖2(1)已知圖形M為線段，其中，，則該圖形M的“郡園長(zhǎng)”為_(kāi)_____；(2)如圖1，x軸上方有一個(gè)等腰直角三角形，，軸，頂點(diǎn)A在y軸上，且在上方，，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是x軸的“郡園點(diǎn)”，求的面積；(3)如圖2，以，B?2,0，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線的“郡園點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍．【典例18】．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱(chēng)點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

專(zhuān)題04一次函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：一次函數(shù)的平移易錯(cuò)點(diǎn)2：求直線圍成的圖形面積易錯(cuò)點(diǎn)3：一次函數(shù)探究性問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)4：一次函數(shù)與幾何綜合知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念一次函數(shù)定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0）稱(chēng)y是x的正比例函數(shù)，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)k的符號(hào)k>0k<0圖象增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小位置圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)k的符號(hào)b的符號(hào)圖象分布象限圖象增減性y=kx+b

(k≠0)k>0b>0一、二、三

y隨x的增大而

增大b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x的增大而

減小b=0二、四b<0二、三、四知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的特殊點(diǎn)及與其他直線的交點(diǎn)問(wèn)題（難點(diǎn)）分類(lèi)求法直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)令y=0,求出對(duì)應(yīng)的x的值,即(?b直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)令x=0,求出對(duì)應(yīng)的y值,即(0,b)與其他直線的交點(diǎn)坐標(biāo)解由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組,方程組的解即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)的平移(1)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x+m)+b的圖象;(2)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x-m)+b的圖象;(3)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b+n的圖象;(4)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向下平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b-n的圖象.平移口訣：左加有減，上加下減知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1）設(shè)出函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數(shù)的一般形式中，從而得到一次函數(shù)解析式.知識(shí)點(diǎn)五：正比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別正比例函數(shù)一次函數(shù)區(qū)別一般形式y(tǒng)=kx+b（k是常數(shù)，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一條直線k，b符號(hào)的作用k的符號(hào)決定其增減性，同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限k的符號(hào)決定其增減性；b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號(hào)共同決定直線在直角坐標(biāo)系的位置求解析式的條件只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系1）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．2）正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫(huà)法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線，但畫(huà)一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫(huà)正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可．3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。R(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的求解思路①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)應(yīng)用?？碱}型解析技巧1.利潤(rùn)(費(fèi)用)最值問(wèn)題通過(guò)題中所給條件建立函數(shù)模型，再根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定最值2.行程問(wèn)題(1)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析橫、縱坐標(biāo)表示的意義;(2)根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的解析式,若是分段函數(shù),注意自變量的取值范圍;(3)關(guān)注轉(zhuǎn)折點(diǎn)、交點(diǎn)(兩直線的交點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))等特殊點(diǎn),并弄清該點(diǎn)坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。3.方案選取問(wèn)題方案選取問(wèn)題的解題步驟(1)建立一次函數(shù)模型;(2)根據(jù)限制條件列出不等式(組),求出自變量的取值范圍,結(jié)合自變量取值范圍進(jìn)行方案設(shè)計(jì);(3)結(jié)合實(shí)際,利用函數(shù)的性質(zhì)選擇最佳方案【典例1】（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為、該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正比例函數(shù)的應(yīng)用，扇形的面積，設(shè)該扇面所在圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式表示出，進(jìn)一步得出，再代入即可得出結(jié)論．掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)該扇面所在圓的半徑為，，∴，∵該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，∴，∴，∴是的正比例函數(shù)，∵，∴它的圖像是過(guò)原點(diǎn)的一條射線．故選：C．【典例2】（2024·陜西安康·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與正比例函數(shù)（a，b是常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】此題考查了一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，先根據(jù)判斷符合條件的正比例函數(shù)圖象，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵，∴的圖象經(jīng)過(guò)二四象限，∴B，D不符合題意；A、由一次函數(shù)圖象可知，，則，故此選項(xiàng)符合題意；C、由一次函數(shù)圖象可知，，則，與矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，．若為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則關(guān)于，，大小關(guān)系的表述中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，若為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，取為中點(diǎn)，則，若連接原點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜程度，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．分析出的幾何意義是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：若為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，為中點(diǎn)，則，連接原點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜程度，如圖所示：由過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜程度和直線與正半軸夾角大小有關(guān)，，關(guān)于，，大小關(guān)系是，故選：B．【典例4】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下圖表示光從空氣進(jìn)入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的函數(shù)解析式分別為，，則關(guān)于與的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)．根據(jù)函數(shù)圖像的增減性，判斷選項(xiàng)A、B；利用兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，取橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)和，利用縱坐標(biāo)的大小列出不等式，即可判斷選項(xiàng)C、D．【詳解】解：由圖像可知，隨的增大而減小，隨的增大而減小，所以，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，不符合題意；如下圖，在兩個(gè)圖像上分別取橫坐標(biāo)為的兩個(gè)點(diǎn)和（），則，，∵，即∴，又∵，∴，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意，而選項(xiàng)D正確，符合題意．故選：D【典例5】（2024·天津·中考真題）若正比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限，則的值可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限確定的符號(hào)．【詳解】解：正比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，．∴k的值可以為1，故答案為：1（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與的符號(hào)有直接的關(guān)系．時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限．時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限．【典例6】（2024·廣東陽(yáng)江·二模）先從，，0，6四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為，再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為．若，則正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率是．【答案】【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列表表示出所有可能得情況，然后根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：列表如下：0600000060共有12種等可能結(jié)果，其中滿足的有2種，則正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率是．故答案為：．考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）【典例1】（2024·陜西·中考真題）一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖象，坐標(biāo)與中心對(duì)稱(chēng)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，∴，，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kxk≠0，把代入，得：，∴；故選A．【典例2】（2024·山西·中考真題）生物學(xué)研究表明，某種蛇在一定生長(zhǎng)階段，其體長(zhǎng)是尾長(zhǎng)的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與x之間的關(guān)系式為（）尾長(zhǎng)6810體長(zhǎng)45.560.575.5A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意可設(shè)，利用待定系數(shù)法求出k，b即得x、y之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：∵蛇的體長(zhǎng)是尾長(zhǎng)的一次函數(shù)，設(shè)，把時(shí)，；時(shí)，代入得，解得，∴y與x之間的關(guān)系式為．故選：A．【典例3】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為cm，【答案】【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、由自變量求函數(shù)值的知識(shí)點(diǎn)，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，由待定系數(shù)法求出解析式，并把代入解析式求出對(duì)應(yīng)的值即可．【詳解】解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，由題意，得，解得：，故與之間的關(guān)系式為：，當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【典例4】（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，如圖，直線過(guò)，，再求解一次函數(shù)的解析式即可．【詳解】解：如圖，直線過(guò)，，∴為等腰直角三角形，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，故答案為：，（答案不唯一．）【典例5】（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，已知，．直線（k，b為常數(shù)，且）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并把分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)部分的面積為，則k的值為．【答案】/0.6【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求待定系數(shù)法求出的解析式，再根據(jù)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出，聯(lián)立兩直線求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)靠近原點(diǎn)部分的面積為為等量關(guān)系列出關(guān)于k的等式，求解即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形如下，設(shè)直線的解析式為：，把，B0,3代入，可得出：，解得：，∴直線的解析式為：，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴直線，聯(lián)立兩直線方程：，解得：，∴∵，B0,3，∴，，根據(jù)題意有：，即，，解得：,故答案為：．【典例6】（2024·四川樂(lè)山·一模）當(dāng)，是正實(shí)數(shù)，且滿足時(shí)，就稱(chēng)點(diǎn)為“友誼點(diǎn)”．已知點(diǎn)與點(diǎn)都在直線上，點(diǎn)、是“友誼點(diǎn)”，且點(diǎn)在線段上．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）若，，則的面積為．【答案】/【分析】（1）由變式為，可知，所以在直線上，點(diǎn)在直線上，求得直線：，進(jìn)而求得；（2）根據(jù)直線平行的性質(zhì)從而證得直線與直線垂直，然后根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．【詳解】解：（1）∵且，是正實(shí)數(shù)，∴，即，∴，即“友誼點(diǎn)”在直線上，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴直線：，∵“友誼點(diǎn)”在直線上，∴由解得，∴，故答案為：；（2）∵一、三象限的角平分線垂直于二、四象限的角平分線，而直線與直線平行，直線與直線平行，∴直線與直線垂直，∵點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，∴垂足是點(diǎn)，∵點(diǎn)是“友誼點(diǎn)”，∴點(diǎn)在直線上，∴是直角三角形，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積的計(jì)算等，判斷直線垂直，借助正比例函數(shù)是本題的關(guān)鍵．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中．若過(guò)原點(diǎn)的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【分析】此題考查了面積相等問(wèn)題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式求出AB的長(zhǎng)．【詳解】如圖，過(guò)作于，易知，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，，而，，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線解析式為，則，∴，∴直線l解析式為．故答案為：【典例8】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)已知變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)規(guī)律．x…1234……8421…寫(xiě)出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；(3)一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于點(diǎn)D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式、畫(huà)反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）根據(jù)表格中的規(guī)律即可得函數(shù)表達(dá)式，再利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則，然后利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?2,0，代入得：，解得，則一次函數(shù)的解析式．（2）解：由表格可知，，畫(huà)出函數(shù)圖象如下：．（3）解：聯(lián)立，解得或，∵一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），∴，∵點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則，∴，點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之和為，∵的面積為15，∴，即，解得或（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為1,4．【典例9】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)點(diǎn)，．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)在上，拋物線G：與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，試用含的代數(shù)式表示四邊形的面積；②當(dāng)，，中有兩點(diǎn)與點(diǎn)，圍成的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的函數(shù)解析式．【答案】(1)(2)①或或②或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）①分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可；②分與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，以及當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入，得：，解得：，∴；（2）①∵點(diǎn)在上，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，令，則，解得：，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)，即時(shí)，，則：四邊形的面積；當(dāng)時(shí)，則：四邊形的面積；當(dāng)，即：時(shí)，則：四邊形的面積；綜上：四邊形的面積為或或；②當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖，則：，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，兩點(diǎn)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴，∴，∴，∴，把代入，得：∴，即：；當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形時(shí)，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；綜上：或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系【典例1】（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當(dāng)函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．【詳解】解∶∵不等式的解集是，∴當(dāng)時(shí)，，觀察各個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【典例2】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①隨的增大而增大；②；③．當(dāng)時(shí)，；④關(guān)于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①、隨的增大而增大，故選項(xiàng)①正確；②．由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在的圖象與軸的交點(diǎn)的下方，即，故選項(xiàng)②正確；③．由圖象可知：當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；④．由圖象可知，兩條直線的交點(diǎn)為，∴關(guān)于，的方程組的解為；故選項(xiàng)④正確；故正確的有①②④共三個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握?qǐng)D象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．【典例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．為了了解關(guān)于x的不等式的解集，某同學(xué)繪制了與（m，n為常數(shù)，）的函數(shù)圖象如圖所示，通過(guò)觀察圖象發(fā)現(xiàn)，該不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的下方，∴關(guān)于的不等式的解集是．在數(shù)軸上表示的解集，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【典例4】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的兩個(gè)頂點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則使四邊形周長(zhǎng)最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)—最短路線問(wèn)題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)已知條件得到，，求得，，得到，，在軸正半軸取點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，連接交于，連接，，推出垂直平分，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，此時(shí)四邊形周長(zhǎng)最小，E0,2，求得直線為，直線的解析式為，解方程組即可得到結(jié)論．正確的找到點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，，在軸正半軸取點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，連接交于，連接，，∴，∴，∵，，∴，即平分，∴，，∴垂直平分，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取“”號(hào)，此時(shí)四邊形周長(zhǎng)最小，設(shè)直線為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴直線為，直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴直線的解析式為，解方程組得：，∴．故選：C．

【典例5】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，難度不大，認(rèn)真分析題意即可．根據(jù)一次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，∴關(guān)于的方程的解是．故答案為：．【典例6】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式，分類(lèi)討論，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．可知過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與平行時(shí)，，由函數(shù)圖象知，．【詳解】解：可知過(guò)原點(diǎn)，∵中，時(shí)，，∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，得；當(dāng)與平行時(shí)，得．由函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，a的取值范圍為：．故答案為：．【典例7】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).(1)求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫(xiě)出的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象平行的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．（1）將2,1代入先求出k，再將2,1和k的值代入y=kx+bk≠0即可求出b；（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解決，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖象在直線和直線的上方，畫(huà)出臨界狀態(tài)圖象分析即可．【詳解】（1）解：由題意，將2,1代入得：，解得：，將，2,1，代入函數(shù)y=kx+bk≠0中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別為，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫(huà)出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時(shí)符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時(shí)的夾角也符合題意，∴當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖象在直線和直線的上方時(shí)，，∴m的取值范圍為．【典例8】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中________；x…01234…y…420m02468…描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)；連線：請(qǐng)用平滑的線順次連接各點(diǎn)，在圖中畫(huà)出函數(shù)圖象；(2)探究函數(shù)性質(zhì)請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)：________________；（寫(xiě)一條即可）(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)根據(jù)圖象，求不等式的解集．【答案】(1)，圖見(jiàn)解析(2)函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)（答案不唯一）(3)【分析】本題考查通過(guò)列表，描點(diǎn)，連線，畫(huà)函數(shù)圖象，通過(guò)函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；（1）把代入即可求出m的值；直接描點(diǎn)，用平滑的曲線的進(jìn)行連線即可畫(huà)出函數(shù)圖象；（2）根據(jù)圖象即可求解；（3）圖象法解不等式即可．【詳解】（1）把代入，得，∴．如圖，故答案為：；（2）函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)（答案不唯一）．故答案為：函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)（答案不唯一）；（3）由圖象可知不等式的解集是．【典例9】（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的的取值范圍；(2)請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)若直線的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)x的取值范圍．（保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【答案】(1)(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）(3)當(dāng)時(shí)的取值范圍為：或【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可解；（2）通過(guò)取點(diǎn)描點(diǎn)連線繪制圖象即可；再觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）觀察函數(shù)圖象即可求解；【詳解】（1）解：，，則，即，則四邊形為矩形，在中，，，則，則矩形為邊長(zhǎng)為4的正方形，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可得：，即；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；將上述坐標(biāo)描點(diǎn)連線繪制圖象如下：從圖象看，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）；（3）從圖象看，當(dāng)時(shí)的取值范圍為：或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的判別和性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（1），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．【典例10】（2024·河北·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與y軸交于點(diǎn)A，直線與y軸，x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，與交于點(diǎn)，連接，已知的長(zhǎng)為4．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線的解析式；(2)求的面積；(3)若直線上有一點(diǎn)P使得的面積等于的面積，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．（1）把代入，即可求出坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)和用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）先求出，再根據(jù)圖象即可求解；（3）設(shè)，根據(jù)或即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴將點(diǎn)代入得，∴；∵的長(zhǎng)為4，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)和代入得：，解得：，故直線的解析式為；（2）解：令，得，，；（3）解：根據(jù)題意得：，設(shè)，令，得，，如圖：，解得：，或，解得：，故或．考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐生活中的數(shù)學(xué)：如何確定單肩包的最佳背帶長(zhǎng)度？素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．使用時(shí)可以通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，使背帶的總長(zhǎng)度加長(zhǎng)或縮短．總長(zhǎng)度為單層部分與雙層部分的長(zhǎng)度和，其中調(diào)節(jié)扣的長(zhǎng)度忽略不計(jì)．素材2：對(duì)該款單肩包的背帶長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度是，單層部分的長(zhǎng)度是，得到幾組數(shù)據(jù)如下表所示．雙層部分的長(zhǎng)度2610…單層部分的長(zhǎng)度116108100…素材3：?jiǎn)渭绨淖罴驯硯Э傞L(zhǎng)度與身高的比為．素材4：小明爸爸準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)此款單肩包．爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調(diào)節(jié)到最短提在手上（背帶的傾斜忽略不計(jì)），背帶的懸掛點(diǎn)離地面的高度為；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為，頭頂?shù)郊绨虻拇怪备叨葹樯砀叩模?qǐng)根據(jù)以上素材，解答下列問(wèn)題：(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以所測(cè)得數(shù)據(jù)中的x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出所表示的點(diǎn)，并用光滑曲線連接；根據(jù)圖象思考與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)設(shè)人的身高為h，當(dāng)單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，此時(shí)人的身高h(yuǎn)與這款單肩包背帶的雙層部分的長(zhǎng)度x之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)小明爸爸的單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，求此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度．【答案】(1)圖見(jiàn)解析；；(2)(3)此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度為【分析】（1）直接描點(diǎn)并作圖，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值和最小值；（2）根據(jù)“背帶的總長(zhǎng)度為單層部分與雙層部分的長(zhǎng)度和”和與之間的函數(shù)關(guān)系式，用含的代數(shù)式將背帶的總長(zhǎng)度表示出來(lái)，再由背帶總長(zhǎng)度與身高的比例關(guān)系列出等式，將表示為的函數(shù)的形式即可；（3）當(dāng)背包的背帶調(diào)節(jié)到最短時(shí)都為雙層部分，求出此時(shí)的值，從而求出手離地面的高度；設(shè)小明爸爸的身高為未知數(shù)，根據(jù)臂展與身高的關(guān)系及肩寬，將一條胳膊的長(zhǎng)度用身高表示出來(lái)，頭頂?shù)郊绨虻拇怪备叨取⒁粭l胳膊的長(zhǎng)度、手離地面的高度之和為身高，利用此等量關(guān)系列方程求出身高，將其代入任務(wù)2中得到的函數(shù)關(guān)系式，求出對(duì)應(yīng)的值即可．【詳解】（1）解：描點(diǎn)并作圖如圖所示：根據(jù)圖象可知，變量、滿足一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)、為常數(shù)，且，將，和，代入，得，解得，．當(dāng)背帶都為單層部分時(shí)，；當(dāng)背帶都為雙層部分時(shí)，，即，解得，的取值范圍是；（2）解：∵背帶的總長(zhǎng)度為單層部分與雙層部分的長(zhǎng)度和，總長(zhǎng)度為，當(dāng)單肩包背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，得，∴；（3）解：由素材可知，當(dāng)背包的背帶調(diào)節(jié)到最短時(shí)都為雙層部分，即，，背包提在手上，且背包的懸掛點(diǎn)離地面高度為，手到地面的距離為，設(shè)小明爸爸的身高為．臂展和身高一樣，且肩寬為，小明爸爸一條胳膊的長(zhǎng)度為，，解得，根據(jù)任務(wù)2，得，解得，此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及求一次函數(shù)解析式，畫(huà)一次函數(shù)圖象，求一次函數(shù)值，理解題意，利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、求出小明爸爸的身高是本題的關(guān)鍵．【典例2】（2024·陜西漢中·三模）在一條筆直的道路上依次有三地，小明從地跑步到達(dá)地，休息后按原速跑步到達(dá)地．小明距地的距離與時(shí)間之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)從地到地的距離為_(kāi)_____；(2)求出段的函數(shù)表達(dá)式：(3)求小明距地時(shí)所用的時(shí)間．【答案】(1)1500(2)段的函數(shù)表達(dá)式為；(3)小明距地時(shí)所用的時(shí)間為．【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從地到地的距離；（2）先計(jì)算出小明跑步的速度，即可計(jì)算出小明從地到地用的時(shí)間，從而可以寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到段的函數(shù)表達(dá)式；（3）令（2）中的值為750，求出相應(yīng)的的值，即可得到小明距地時(shí)所用的時(shí)間．【詳解】（1）解：由圖象可得，從地到地的距離為：，故答案為：1500；（2）解：由圖象可得，小明的跑步速度為：，小明從地到地用的時(shí)間為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)段的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)，在該函數(shù)圖象上，，解得，即段的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：令，，解得，即小明距地時(shí)所用的時(shí)間為．【典例3】（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批航空、航海模型．已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的．(1)求航空和航海模型的單價(jià)；(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)“六一兒童節(jié)”促銷(xiāo)：航空模型八折優(yōu)惠．若購(gòu)買(mǎi)航空、航海模型共120個(gè)，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請(qǐng)問(wèn)分別購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少？【答案】(1)航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為元；(2)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)航空模型40個(gè)，購(gòu)買(mǎi)航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為元，根據(jù)用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購(gòu)買(mǎi)航海模型個(gè)，先根據(jù)航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為元，由題意得，，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解，且符合題意，∴，答：航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購(gòu)買(mǎi)航海模型個(gè)，由題意得，，解得，，∵，∴y隨m增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，最小值為，此時(shí)有，答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)航空模型40個(gè)，購(gòu)買(mǎi)航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少．【典例4】（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車(chē)輛通過(guò)兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來(lái)計(jì)算車(chē)輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車(chē)在高速公路上行駛，其間經(jīng)過(guò)一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開(kāi)始，他先勻速行駛小時(shí)