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大學(xué)生極限考試題及答案
一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$()A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.當(dāng)$x\to0$時(shí),$x^2$是$x$的()A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小3.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$()A.0B.1C.eD.∞4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)是()A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無(wú)間斷點(diǎn)5.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在,則$f(x)$在點(diǎn)$a$處()A.一定有定義B.一定無(wú)定義C.不一定有定義D.有定義且$f(a)=\lim_{x\toa}f(x)$6.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$()A.0B.1C.2D.37.當(dāng)$x\to0$時(shí),與$x$等價(jià)無(wú)窮小的是()A.$2x$B.$x^2$C.$\sinx$D.$1-\cosx$8.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$()A.0B.1C.2D.39.極限$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{3n^2-2n+1}=$()A.0B.$\frac{1}{3}$C.1D.∞10.函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的極限為()A.0B.1C.2D.不存在二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.以下哪些是無(wú)窮小量()A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\pi}\sinx$2.極限存在的準(zhǔn)則有()A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.洛必達(dá)法則D.等價(jià)無(wú)窮小替換3.下列函數(shù)在$x=0$處間斷的有()A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sin\frac{1}{x}$C.$y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}$D.$y=\frac{x^2-1}{x-1}$4.當(dāng)$x\to0$時(shí),下列哪些是等價(jià)無(wú)窮?。ǎ〢.$x$與$\tanx$B.$x$與$\arcsinx$C.$x^2$與$1-\cosx$D.$x$與$e^x-1$5.計(jì)算極限的方法有()A.直接代入法B.消去零因子法C.分子分母同除最高次冪法D.利用等價(jià)無(wú)窮小替換6.以下極限值為1的有()A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$7.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系正確的是()A.函數(shù)極限存在則某點(diǎn)處數(shù)列極限一定存在B.數(shù)列極限存在則函數(shù)極限一定存在C.海涅定理建立了兩者聯(lián)系D.兩者沒(méi)有關(guān)聯(lián)8.下列極限存在的是()A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\vertx\vert}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}$9.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$,$\lim_{x\toa}g(x)=B$,則()A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=A+B$B.$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=A-B$C.$\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=AB$D.當(dāng)$B\neq0$時(shí),$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$10.關(guān)于無(wú)窮大量,以下說(shuō)法正確的是()A.無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量B.兩個(gè)無(wú)窮大量的和是無(wú)窮大量C.無(wú)窮大量與有界量的乘積可能是無(wú)窮大量D.無(wú)窮大量一定是無(wú)界變量三、判斷題(每題2分,共10題)1.無(wú)窮小量是一個(gè)很小很小的數(shù)。()2.若$\lim_{x\toa}f(x)$與$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在,則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$一定不存在。()3.函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在,則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。()4.當(dāng)$x\to0$時(shí),$x^3$比$x^2$更快趨于0。()5.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。()6.等價(jià)無(wú)窮小在任何情況下都可以相互替換。()7.單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限。()8.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$在$x=0$處的極限是無(wú)窮大。()9.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$,$\lim_{x\toa}g(x)=\infty$,則$\lim_{x\toa}f(x)g(x)$一定為0。()10.數(shù)列極限$\lim_{n\to\infty}(-1)^n$不存在。()四、簡(jiǎn)答題(每題5分,共4題)1.簡(jiǎn)述無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。答案:無(wú)窮小量(非零)的倒數(shù)是無(wú)窮大量,無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。例如當(dāng)$x\to0$時(shí),$x$是無(wú)窮小量,$\frac{1}{x}$是無(wú)窮大量。2.簡(jiǎn)述等價(jià)無(wú)窮小替換的條件。答案:在求極限的乘除運(yùn)算中,可使用等價(jià)無(wú)窮小替換。例如$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$,若$f(x)\simf_1(x)$,$g(x)\simg_1(x)$($x\to0$),則$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$,加減運(yùn)算中一般不能隨意替換。3.簡(jiǎn)述極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。答案:夾逼準(zhǔn)則:若$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$,且$\lim_{x\toa}g(x)=\lim_{x\toa}h(x)=A$,則$\lim_{x\toa}f(x)=A$;單調(diào)有界準(zhǔn)則:?jiǎn)握{(diào)遞增有上界或單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限。4.簡(jiǎn)述函數(shù)極限與連續(xù)性的關(guān)系。答案:函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),則該點(diǎn)極限存在且等于函數(shù)值,即$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。反之,若函數(shù)在某點(diǎn)極限存在但不等于函數(shù)值,或極限不存在,則函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案:極限在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛。如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,計(jì)算邊際成本、邊際收益等;在物理中,計(jì)算瞬時(shí)速度、加速度等;在工程中,分析材料的極限承載能力等,都是通過(guò)極限思想來(lái)精確描述和求解實(shí)際問(wèn)題。2.討論等價(jià)無(wú)窮小替換在復(fù)雜極限計(jì)算中的作用與局限。答案:作用是簡(jiǎn)化復(fù)雜極限計(jì)算,通過(guò)等價(jià)替換將復(fù)雜函數(shù)化為簡(jiǎn)單形式。局限在于只能用于乘除運(yùn)算,在加減運(yùn)算中使用可能導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果,使用時(shí)需謹(jǐn)慎判斷運(yùn)算形式及函數(shù)關(guān)系。3.討論數(shù)列極限與函數(shù)極限在研究方法上的異同。答案:相同點(diǎn)是都用極限定義研究,都有四則運(yùn)算法則等。不同點(diǎn)在于數(shù)列極限自變量是離散的正整數(shù),常用數(shù)列性質(zhì)和遞推關(guān)系研究;函數(shù)極限自變量連續(xù)變化,多借助函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等工具研究。4.討論函數(shù)間斷點(diǎn)的類型及判斷方法。答案:間斷點(diǎn)分為第一類(可去、跳躍)和第二類(無(wú)窮、振蕩等)。判斷時(shí),先看函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義,再求左右極限。左右極限都存在為第一類,相等是可去間斷點(diǎn),不等是跳躍間斷點(diǎn);至少有一個(gè)極限不存在為第二類間斷點(diǎn)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.C4
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