8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1、理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟.2、能利用等高堆積條形圖、2×2列聯(lián)表探討兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)聯(lián).3、了解隨機(jī)變量χ2的含義及作用.4、通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)？就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響？不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別？研究?jī)蓚€(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系，或者說(shuō)是否獨(dú)立的問(wèn)題——獨(dú)立性檢驗(yàn)在研究上述問(wèn)題時(shí)，為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類(lèi)隨機(jī)變量稱(chēng)為分類(lèi)變量．分類(lèi)變量是說(shuō)明事物類(lèi)別的一個(gè)名稱(chēng)，其取值是分類(lèi)數(shù)據(jù)．分類(lèi)變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，在很多時(shí)候，這些數(shù)值只作為編號(hào)使用，并沒(méi)有通常的大小和運(yùn)算意義．前面兩節(jié)所討論的變量，如人的身高等，都是數(shù)值變量，數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù)．其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義．性別數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校乙校合計(jì)在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存，我們將上表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱(chēng)為2×2列聯(lián)表（contingencytable）．將題目中的數(shù)據(jù)直觀用表格呈現(xiàn)33104338745711788為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異．實(shí)例用表中各類(lèi)變量的頻率分析：

性別數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校331043乙校38745合計(jì)711788為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異．實(shí)例用等高堆積條形圖直觀地展示甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來(lái)，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色，這就是等高堆積條形圖．兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法定義一對(duì)分類(lèi)變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)有2×2列聯(lián)表

總計(jì)cae23d48

總計(jì)b78121A．54，43B．53，43C．53，42 D．54，42B觀察如圖所示的等高條形圖，其中最有把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量x，y之間有關(guān)系的是（

）ABCDD現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問(wèn)題，學(xué)校抽取了部分男?女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖，根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的（

）DA．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于

有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛(ài)兩理一文D．樣本中的女生偏愛(ài)兩文一理由于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，這一推斷有可能是錯(cuò)誤的！那么犯錯(cuò)誤的概率有多大呢？如何從概率的角度去研究?jī)蓚€(gè)分類(lèi)變量X和Y是否有關(guān)聯(lián)？將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述一下兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)聯(lián)．事件｛Y=1｝與事件｛X=1｝或事件｛X=0｝是否有關(guān)聯(lián)．概率語(yǔ)言從集合{X=0}中隨機(jī)先取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于{X=0，Y=1}的概率從集合{X=1}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于{X=1，Y=1}的概率

判定根據(jù)條件概率的計(jì)算方法不同學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有影響P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)不同學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)有影響P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1)判斷依據(jù)性別數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計(jì)711788P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1)故兩個(gè)不同的學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)是有影響的在統(tǒng)計(jì)中：構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)成對(duì)的分類(lèi)變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷由條件概率的定義可知，零假設(shè)H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0)①P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0);P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).②{X=0}與{Y=0}獨(dú)立;{X=0}與{Y=1}獨(dú)立;{X=1}與{Y=0}獨(dú)立;{X=1}與{Y=1}獨(dú)立.由于分類(lèi)變量之間結(jié)合列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得綜合②中的四個(gè)式子,如果零假設(shè)H0成立,下面四個(gè)量的取值都不應(yīng)該太大:

反之,當(dāng)這些量的取值較大時(shí),就可以推斷H0不成立.化簡(jiǎn)得將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和

決定了卡方值的大小

小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生依據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：類(lèi)似于數(shù)學(xué)的反證法，要確認(rèn)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，①首先，假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立。②其次，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量K2，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的k很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理。③最后，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，利用P(K2≥k0)的值評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度。(k0叫臨界值)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.我們推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；(2)當(dāng)χ2<x0.05=3.841時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立,即兩類(lèi)變量沒(méi)影響例如：對(duì)于小概率值α=0.05，我們有如下的具體檢測(cè)規(guī)則：(1)當(dāng)χ2≥x0.05=3.841時(shí)，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異．

學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校331043乙校38745合計(jì)711788由題意得2×2列聯(lián)表由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：故可以認(rèn)為H0成立即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異012×2列聯(lián)表03

計(jì)算卡方04確定臨界值，如：犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校乙校合計(jì)02

假

設(shè)05給出推斷結(jié)果及其解釋H0的反面成立】

解：

在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力(

)A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率C分類(lèi)變量X和Y的列表如下，則下列說(shuō)法判斷正確的是(

)A．a(chǎn)d－bc越小，說(shuō)明X和Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說(shuō)明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)C