高二月考試題一、單選題1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為只須將縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變成原來的相反數(shù)即可，即可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故選：B.2.若圓C：的半徑為1，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由，得，所以圓C的圓心為，半徑為，因?yàn)閳AC：的半徑為1，所以，解得，故實(shí)數(shù).故選：D.3.圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.4.已知，，則點(diǎn)B到直線AC的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算求出，，，進(jìn)而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出點(diǎn)B到直線AC的距離.【詳解】因，，所以，，，，所以在方向上的投影為，，所以點(diǎn)B到直線AC的距離為.故選：C.5.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】由，可知，，且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：又因?yàn)楸硎景雸A上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，?dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，故選：C．6.過點(diǎn)引圓：的切線，切點(diǎn)為A，則PA的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，由圓切線的性質(zhì)及兩點(diǎn)距離公式可得，即可求PA的最小值.【詳解】由題設(shè)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心為，半徑為3，∴由切線的性質(zhì)知：，∴當(dāng)時(shí)，.故選：A7.如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用向量表示，再根據(jù)向量的模的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律求，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，，，，，所以所?故選：C.8.已知棱長為2的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)，可知，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，分析求解即可.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最大值為，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，所以的取值范圍為：.故選：A.二、多選題9.下列關(guān)于直線的斜率和傾斜角的敘述正確的有（）A.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角B.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有斜率C.若，則D.若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角、斜率的概念可判斷ABD選項(xiàng)的正誤，根據(jù)兩直線平行與傾斜角的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，A對；對于B選項(xiàng)，平面直角坐標(biāo)系中傾斜角為的直線沒有斜率，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)、都與軸垂直時(shí)，、的斜率都不存在，但，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，D對.故選：AD.10.若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念可得解.【詳解】由已知，，不共面，則，，不共面，A選項(xiàng)正確；設(shè)，即方程無解，所以，，不共面，B選項(xiàng)正確；設(shè)，即，解得：，即，所以，，共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，顯然三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四面體是鱉臑B.陽馬的體積為C.若，則D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由△不是直角三角形否定選項(xiàng)A；求得陽馬的體積判斷選項(xiàng)B；以為基底表示向量進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；求得到平面的距離判斷選項(xiàng)D.【詳解】A錯(cuò)，連接AC，則△中，，則△不是直角三角形，則四面體不是鱉臑；B對，.C對，D對，設(shè)到平面的距離為d，又，由，得，則到平面的距離為故選：BCD三、填空題12.若是直線的一個(gè)法向量，則直線的斜率為__________，傾斜角的大小為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由直線的法向量得到直線斜率，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】由題意知，向量是直線的一個(gè)法向量，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，可得則直線的傾斜角的大小為.故答案為：；.13.已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】由二級結(jié)論：若點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程【詳解】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為：，化簡得：.故答案為：.14.已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用斜率計(jì)算公式可得：，．再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．【詳解】設(shè)，則，，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，的取值范圍是,，故答案為：,四、解答題15.如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(diǎn)（1）證明：平面;（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意易知，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）由題意，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，再通過空間角的向量求解即可.【小問1詳解】分別為的中點(diǎn)，為正方形，,平面平面，平面.【小問2詳解】由題知平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=則，令則，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出兩直線的交點(diǎn)，再求出所求直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【小問1詳解】由已知得解得，∴兩直線交點(diǎn)為.設(shè)直線的斜率為，∵直線與垂直，∴，∵直線過點(diǎn)，∴直線的方程為，即.【小問2詳解】設(shè)圓半徑為，依題意，得圓心到直線的距離為，則由垂徑定理得，∴，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)分別在棱上，．（1）判斷與平面的位置關(guān)系并證明；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）平面，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）平面，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得，可證結(jié)論；（2）求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得平面與平面夾角的余弦值．【小問1詳解】平面．理由如下：以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由，，所以，所以是共面向量．因?yàn)槠矫?，平面，故平面．【小?詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，不妨令，得，則平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知點(diǎn)和直線.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn).（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線對稱，則直線直線，且線段AB的中點(diǎn)在直線上，兩個(gè)方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用關(guān)系式可以得出點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，知圓心到直線的距離小于等于半徑，解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱，則有線段AB的中點(diǎn)在直線上，即①，又直線直線，且直線的斜率為，則①，聯(lián)立①①式子解得，故點(diǎn)B的坐標(biāo)【小問2詳解】設(shè)，由，則，故，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡是圓，其方程為，圓心坐標(biāo)，半徑.又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，利用圓心到直線距離小于等于半徑，則，解得.故的取值范圍為.19.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．（1）若，求斜坐標(biāo)；（2）在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求．【答案】