專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型

幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的

特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案（一個、多個或所有答案）或探索出解決問題的多種方法.

該題型對考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個熱點(diǎn).通常這類

題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組

合型、問題開放型等.考生在復(fù)習(xí)時，首先對于基礎(chǔ)知識一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加

強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.由于題

型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角

度考慮：

1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出

規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.

3.分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重

復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果.

4.類比猜想法.即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)

密的論證.

真題布析

（2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在正方形A8CD中，E,尸分別是BC,CZ）邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與

點(diǎn)8,C重合），且NE4F=45。.

AAD

(1)當(dāng)班=￡)?時，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸二條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3汝口圖2,連接AC,G是C8延長線上一點(diǎn)，GHLAE,垂足為K,交AC于點(diǎn)H且G"=AE.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示所的長.

哪瓶

(1)先利用正方表的性質(zhì)求得=ZB=ZD=90°,再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等,

然后由全等三角形的性質(zhì)求解;

(2)延長CB至M,使BM=DF,連接AM,先易得△ABM/△AT乃(&1S),推出40=AF,

ZMAB=ZFAD,進(jìn)而得到△必(S45),最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；

(3)過點(diǎn)“作MVLBC于點(diǎn)N,易得AABE絲AGNH(AAS),進(jìn)而求出附=專。7,再根據(jù)(2)的結(jié)

論求解.

【答案與解析】

【答案】(1)見解析

(2)EF=DF+BE,見解析

(3)^-Z7+(z

2

【詳解】(1)證明：I?四邊形ABC。是正方形，

/.AB=AD,ZB=ZD=90°.

在和△>!￡)廠中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

:.AE=AF；

(2)解：BE,EF,。廠存在的數(shù)量關(guān)系為所=。產(chǎn)+3石.

理由如下：

延長。5至使BM=DF,連接4拉，

貝!|NABM=NO=90。.

在△ABM和△ADb中

AB=AD

<ZABM=ZD,

BM=DF

：.AABM^AADF(SAS),

^AM=AF,ZMAB=/FAD.

VZE4F=45°,

:.ZMAB^-ZBAE=ZFAD+ZBAE=45°.

:.ZMAE=ZFAE9

在△A￡M和△的尸中

AM=AF

</MAE=ZFAE,

AE=AE

：.Z\AEM^/\AEF(SAS),

：.EM=EFf

*：EM=BE+BMf

：.EF=DF+BE；

(3)解：過點(diǎn)H作池上BC于點(diǎn)N,

則NHVG=9。。.

VGW1AE,

：.ZAKG=ZABG=90°9

：.ZBGK=ZEAB.

在△ABE和VGNH中

NABE=ZGNH

</BAE=ZNGH,

AE=GH

：.AABE"NGNH〈AAS）,

：.EB=HN.

VZHC7V=45°,ZHNC=90°9

HN

sin45°=

He

：.HN=—CH,

2

由（2）知，EF=BE+DF=HN+DF=烏+

2

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構(gòu)建三角

形全等是解答關(guān)鍵.

*

（2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。在AABC的內(nèi)部，連接A。，將線段

CE.

圖3

（1）判斷線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明;

（2）延長ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關(guān)系為

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸為線段8C中點(diǎn)，且EZ）=EC時，猜想NA4D的度數(shù)，并說明理由.

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△ABD/△ACE（S45）,再由全等三角形的性質(zhì)求解;

（2）①根據(jù)線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AE得到VADE是等邊三角形,

由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G,連接AF,根據(jù)等邊三角形的性

ArzAF

質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到ZBAF=ZDAG,—=—，進(jìn)而得到4rs4G,進(jìn)而求出ZADB=90°,

ADAB

結(jié)合BD=CE,EO=EC得到%>=AD,再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解.

［答案與解析】

【答案】⑴BD=CE,理由見解析

（2）@BE=AE+CEt②440=45。，理由見解析

【詳解】（1）解：BD=CE.

證明：???△ABC是等邊三角形，

/.AB=AC,Zfi4c=60°.

?.?線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

/.AD=AE9ZZME=60。，

???ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ADAC=Z.DAE-ZDAC,

即NBA。=NC4E.

在△ABQ和ZXACE中

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

：.AABZ）^AAC￡（S4S）,

:?BD=CE；

⑵解：①BE=AE+CE

理由：??,線段A。繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

???VAD￡是等邊三角形，

/.AD=DE=AE,

由（1）得BD=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②過點(diǎn)A作AGLE廠于點(diǎn)G,連接AH如下圖.

:.ZDAG=-ZDAE=30°,

2

：,-----=cosZ.DAG=——.

AD2

???AABC是等邊三角形，點(diǎn)尸為線段3C中點(diǎn)，

：.BF=CF,AFIBC,ZBAF=-ZBAC=30°,

2

：,-----=cos/BAF=—

AB2

/.ZBAF^ZDAF=ZDAG^-ZDAF9

即NB40=NE4G,

:.△BADs△融G,

：.ZADB=ZAGF=9Q°.

?:BD=CE,ED=EC,

:.BD=AD,

即△ABD是等腰直角三角形，

:.ZBAD=45°.

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形

的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.

例孽3

（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形A3CD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將

八4￡?沿BE翻折到△BEF處，延長交8邊于G點(diǎn).求證：△毋G絲zXBCG

ED

圖①

（2）【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AT＞邊上一點(diǎn)，且AO=8,AB=6,將"EB沿BE翻折到

ABEF處,延長EF交BC邊于點(diǎn)G,延長BF交。邊于點(diǎn)H,且FH=CH,求AE的長.

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形ABC。中，AB=6,E為8邊上的三等分點(diǎn)，=

翻折得到"FE，直線跖交BC于點(diǎn)P,求CP的長.

備用1備用2

(1)根據(jù)將AAEB沿3E翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，得AB=BF,ZBFE=ZA=90°,即得

ZBFG=90°=ZC,可證RIABFG/RMBCG(HL)；

711

(2)延長3H,AD交于Q,設(shè)M=〃C=x,在中，有8?+，=(6+無)2,得彳=—,DH=DC-HC=~,

6_BG_FGI

由ABFGsABCH,得飛=＞二丁，BG=§,FG=,而EQ//GB,DQ//CB,可得存=照，即2,

o+——44DQDHDQ

33~3

144

DQ=^,設(shè)AE=EF=m,則DE=8rw,因祟=/，有不二-=?,即解得AE的長為。；

/D(jrr(jr±2._2

T4

(3)分兩種情況：(I)當(dāng)DE=；OC=2時，延長FE交AD于。，過。作。于設(shè)。。=》，QE=y,

2

貝?。軦Q=6-x,CP=2x,由AE是AA。尸的角平分線，有歲二三①，在RtAHQE中，(l--x)+=y2@9

622

33

可解得x=“CP=2x=]

1I?

(II)當(dāng)CE=$OC=2時，延長正交AD延長線于。'，過。作ON，AB交助延長線于N,同理解得％=彳,

CP=-

［答案與解析1

【答案】(1)見解析；(2)9(3)CP的長為'3或］6

【詳解】證明：(D???將AAEB沿跖翻折到AB￡尸處，四邊形ABCD是正方形,

:.AB=BF,ZBFE=ZA=90°9

..ZBFG=90。=NC,

-AB=BC=BF,BG=BG,

RtABFGmRtABCG^HL)；

(2)解：延長跳，A。交于。，如圖：

在Rt^BCH中，BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

7

解得一

:.DH=DC-HC=—

3

-,-ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=ZFBG,

FG=-

?：EQ!!GB,DQ//CB,

/.\EFQ^\GFB,NDHQ^\CHB,

7

BCCH

.=即8二§

-DQ~DH'即質(zhì)"/I，

~3

^AE=EF=m,貝!)0石=8—根，

88144

.\EQ=DE+DQ=S-m+—=------m,

77

???AEFQsAGFB,

144

m

.EQEF^EV-=m

-BG—=PG，即25~7J

44

9

解得機(jī)=］，

.：AE的長為，

(3)(I)當(dāng)?！?"。=2時，延長FE交AD于。，過。作QH1C。于H,如圖:

DQ=x,QE=y,貝1)AQ=6_%,

-CP//DQ,

\CPE^\QDE,

?空=里=2

"DQDE'

:.CP=2x,

?.?AADE沿AE翻折得到AAFE,

:.EF=DE=2,AF=AD=6,NQAE=NFAE,

J.AE是AAQF的角平分線，

.噂嚕，即等*

-.?ZD=60°,

DH=—DQ=—x9HE=DE—DH=2——x,HQ=>/3DH=x,

在放△“Q￡中，HE2+HQ2=EQ2,

(1『+(-^-x)2=V②，

聯(lián)立①②可解得冗

4

3

..CP=2x=-；

2

(ID當(dāng)CE=；OC=2時，延長莊交AO延長線于。，過。作交及延長線于N,如圖:

NAB

同理NQ'AE=NE4尸，

Ar，E

.Q=Q即6+x=y

??AF-EF'6-4'

由亭)2+j+4)2=y2,

I?

可解得％=

/.CP=—x=—,

25

綜上所述，CP的長為g或

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì),

勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用.

睛由眼期題

1.(2022.安徽合肥?校聯(lián)考三模)已知AC,EC分別是四邊形ABCD和四邊形EFCG的對角線，點(diǎn)E在AABC

的內(nèi)部，ZCAE+ZCBE=90°.

(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)四邊形ABCD和四邊形EFCG均為正方形時，則NEBb的度數(shù)為

⑵引申運(yùn)用：如圖2,當(dāng)四邊形A3CD和四邊形EfCG均為矩形時，

ARFF

①若黑==，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

BCFC

②若要=要=1，/a=2,BE=1,求線段CE的長；

BCFC4

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,當(dāng)四邊形ABCD和四邊形EFCG均為菱形且NDW=NGEF=30。時，設(shè)

BE=a,AE=b,CE=c,試探究a,b,c三者之間的等量關(guān)系，并說明理由.

2.(2022?浙江寧波??？既?【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖①，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZACD=ZB,求證：AABC^ADCA；

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，/血＞與NC互補(bǔ)，BE=2,EC=4,

求AE的長；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCD中，E為其內(nèi)部一點(diǎn)，與NC互補(bǔ)，點(diǎn)廠在CD上，EF//AD,

且AD=2EF,AE=3,CF=1,求DE的長.

3.(2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)(1)【問題情境】如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AD邊上的一

個動點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG,連接DG、BE,則。G與班的數(shù)量關(guān)系是；

圖1

(2)【類比探究】如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,點(diǎn)E是AO邊上的一個動點(diǎn)，以CE為

邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,連接OG、BE.判斷線段。G與班有怎樣的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展提升】如圖3,在(2)的條件下，連接BG,則23G+BE的最小值為

4.(2022?江蘇蘇州??？家荒?【理解概念】

定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”.

⑴已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形"，且NC>90。.

①若/A=60。，則N3=

②若NA=40。，貝l|/B=

【鞏固新知】

(2)如圖①，在RtaABC中，ZACB=90°,AB=6,BC=2,點(diǎn)。在AC邊上，若是"準(zhǔn)直角三角形”,

求8的長;

圖①

【解決問題】

(3)如圖②，在四邊形A3CD中，CD=CB,ZABD=ZBCD,A