專題11幾何壓軸中的實(shí)踐與操作題型

對(duì)于實(shí)踐操作型問(wèn)題，在解題過(guò)程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價(jià)值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再

創(chuàng)造”的過(guò)程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識(shí)與綜合能力，這是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的

基本要求之一，因此，近年來(lái)實(shí)踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).

圖形的設(shè)計(jì)與操作問(wèn)題，主要分為如下一些類型：

1.己知設(shè)計(jì)好的圖案，求設(shè)計(jì)方案（如：在什么基本圖案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行何種圖形變換等）.

2.利用基本圖案設(shè)計(jì)符合要求的圖案（如：設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，面積或形狀符合特定要求的

圖形等）.

3.圖形分割與重組（如：通過(guò)對(duì)原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿足特定要求）.

4.動(dòng)手操作（通過(guò)折疊、裁剪等手段制作特定圖案）.

解決這樣的問(wèn)題，除了需要運(yùn)用各種基本的圖形變換（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似）外，還需要綜合運(yùn)

用代數(shù)、幾何知識(shí)對(duì)圖形進(jìn)行分析、計(jì)算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計(jì).由于折疊操作相當(dāng)

于構(gòu)造軸對(duì)稱變換，因此折疊問(wèn)題中，要充分利用軸對(duì)稱變換的特性，以獲得更多的圖形信息.必要時(shí)，

實(shí)際動(dòng)手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效.

真題精析

（2022?寧夏?中考真題）綜合與實(shí)踐

知識(shí)再現(xiàn)

如圖1,R/AABC中，NACB=90。，分別以BC、C4、AB為邊向外作的正方形的面積為工、$2、邑.當(dāng)岳=36,

邑=100時(shí)，邑=.

問(wèn)題探究

如圖，HAABC中，ZACB=90°.

圖3

(1)如圖2,分別以BC、CA.為邊向外作的等腰直角三角形的面積為岳、S”S3,則加、S”邑之

間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖3,分別以BC、CA.A3為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S”S6,試猜想必、&、,之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

實(shí)踐應(yīng)用

(1)如圖4,將圖3中的ABCD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至ABG”，AACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至

AAMN,GH、睦V相交于點(diǎn)P.求證：S^PHN=SmpMFG.

(2)如圖5,分別以圖3中RMABC的邊BC、C4、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體,

BC、CA,為直徑的半圓柱的體積分別為匕、匕、匕.若AB=4,柱體的高力=8,直接寫出匕+%的

值.

圖4圖5

哪如

問(wèn)題探究：⑴S1+S2=S3t(2)S4+S5=S6.理由見(jiàn)解析;

實(shí)踐應(yīng)用：(1)見(jiàn)解析；(2)匕+匕=16萬(wàn).

知識(shí)再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；

問(wèn)題探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；

22

（2）過(guò)點(diǎn)。作。GL5C交于G,分別求出S5=^-AC,S6=^-AB,由勾股定理可得

2BC?+西AC2=是AB。,即可求S4+S5=S6；

444

實(shí)踐應(yīng)用：⑴設(shè)4B=c,BC=a,AC=b,則印V=a+b-c,FG=c-a,MF=c-b,可證明△HNP是等邊三角形，

四邊形MFGP是平行四邊形，貝=￥（“+%-。）2，S四邊物＞MFG=#（c-a）（c-6），再由。2="+廿，可

證明S&PMN=S四邊形^但；.

⑵設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,以A3為直徑的圓的面積為&、以8c為直徑的圓的面積為S/、以AC為直徑

的圓的面積為可得S/+S2=S3,又由即可求h+K=16萬(wàn).

[答案與解析】

【答案】知識(shí)再現(xiàn)64；

【詳解】知識(shí)再現(xiàn)：解：QHVMC中，ZACB=90°,

AB2=AC2+BC2,

S[+邑二邑，

?.?工=36,S3=100,

/.S2=64,

故答案為：64；

問(wèn)題探究：⑴解：Q或VABC中，ZACB=90°,

AB2=AC2+BC2,

:.-AB2=-AC2+-BC2

2229

S[+邑二邑，

故答案為：Si+S2=S3；

⑵解：QR/VABC中，ZACB=90°,

AB2=AC2+BC2,

過(guò)點(diǎn)。作DG,3c交于G,

E

在等邊三角形BCD中，CD=BC,CG=；BC,

DG=—BC,

2

2

:.S4=-xBCx^-BC=—BC,

4224

2

同理可得$5=走4。2,S6=^AB,

5464

■.^HAB2=—AC2+—BC2,

444

.?.S4+SS=56J

實(shí)踐應(yīng)用：⑴證明：設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,

:.HN-a+b-c,FG-c—a,MF=c-b,

?.?△”G3是等邊三角形，△AB尸是等邊三角形，

:.HG//AF,MN//BF,

:.ZHPN^60°,

:.AHNP是等邊三角形,四邊形誨:尸是平行四邊形，

2

；S#MN=^-(a+b-c),s四邊形PMFG=￥(。_。)(。一6〉

?.?△ABC是直角三角形，

/.C2="+〃，

:.^-(a+b-c)2=

+/++2ab—2bc—2QC+ab-bc-ac-Q)(c—b),

（2）解：設(shè)4?=c,BC=a,AC=b,以AB為直徑的圓的面積為S?、以BC為直徑的圓的面積為M、以AC

為直徑的圓的面積為邑,

???△ABC是直角三角形,

/.。2=〃+〃，

—+/，

5,+52=53,

-：v2=^s2h,h=gS]〃，匕=3邑〃，

，%+乂=g(H+S2)//=gs3〃=K，

?」AB=4,h=8,

.,.V3=-^S3h=-^x7rx4x8=16TT,

...乂+%=16%?

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓柱的體

積，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例學(xué)2

布?如^?

（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大

的直角三角板尸。"/P=90。,/尸=60。）的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心。處，并繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角

三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)。處,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OF與08重合時(shí)，重疊部分的

面積為；當(dāng)O尸與3c垂直時(shí)，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積工與S的關(guān)系為；

(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)廠放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M,N.

①如圖2,當(dāng)&W=CN時(shí)，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說(shuō)明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=OV時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心。處，該銳角記為/GO"(設(shè)NGOH=e),將

NGO8繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NGOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為邑，

請(qǐng)直接寫出邑的最小值與最大值(分別用含a的式子表示)，

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°=,cosl5°="+后,tanl5°=2—6)

"-404

(1)如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)尸放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)。尸與08重合時(shí)，0E與OC重合，

此時(shí)重疊部分的面積=A03C的面積=；正方形48。的面積=1；當(dāng)。歹與5c垂直時(shí)，OELBC,重疊部

分的面積正方形A3C。的面積=1；一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S/與S

4

的關(guān)系為利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；

4

(2)①結(jié)論：AOMN是等邊三角形.證明0M=0N,可得結(jié)論；

②如圖3中，連接OC,過(guò)點(diǎn)。作。/_LBC于點(diǎn)J.證明△OCM迫△OCN(SAS),推出NCOM=NCON=30。，

解直角三角形求出OJ,即可解決問(wèn)題；

(3)如圖4-1中，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。，當(dāng)5M=CN時(shí)，A0MN的面積最小，即S?最小.如圖4-2

中，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大.分別求解即可.

［答案與解析】

【答案】⑴1,1,

(2)①AOMN是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②6-1

⑶tan'/一tan(45°_^|

【詳解】(1)如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)尸放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)。歹與重合時(shí)，0E與0C

重合，此時(shí)重疊部分的面積=AOBC的面積=4正方形ABCD的面積=1；

當(dāng)。歹與5c垂直時(shí)，OE±BC,重疊部分的面積=：正方形A5CD的面積=1；

一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,重疊部分的面積S,與S的關(guān)系為S尸!S.

理由：如圖1中，設(shè)OF交AB于點(diǎn)J,OE交BC于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)。作OM_L43于點(diǎn)M,ONLBC于氤N.

圖一

V0是正方形ABCD的中心，

:.OM=ON,

VZOMB=ZONB=ZB=90°,

二四邊形OMBN是矩形，

?:OM=ON,

：.四邊形OMBN是正方形，

:.ZMON=ZEOF=90°,

：.ZMOJ=ZNOK,

"：ZOMJ=ZONK=90°,

：.AOMJ^AONK(AAS),

ASAPMJ=SKONK,

**?S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=—S正方形ABCD,

4

4

故答案為：I,I,S尸;S.

4

(2)①如圖2中，結(jié)論：AOMN是等邊三角形.

圖二

理由：過(guò)點(diǎn)。作。TJ_3C,

V0是正方形ABCD的中心，

:.BT=CT9

■:BM=CN,

：.MT=TN9

^OT±MN9

：.OM=ON,

???NMON=60。，

???△A/ON是等邊三角形；

②如圖3中，連接OC,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)J.

圖三

■:CM=CN,NOCM=NOCN,OC=OC,

:?△OCM%AOCN(SAS),

:.NCOM=NCON=3Q。,

：.ZOMJ=ZCOM+ZOCM=75°9

?：0J工CB,

:.ZJOM=90°-75°=15°,

*：BJ=JC=OJ=lf

/.JM=OJ*tanl5°=2-73，

：.CM=CJ-MJ=1-(2.百)=61,

：?S四邊形0MCN=2x；xCMxOJ=6-1.

(3)如圖4,將N"OG沿CW翻折得到N”O(jiān)G',貝!!AMONGA"ON,此時(shí)則當(dāng)MN在BC上時(shí)，邑比四

邊形NWC的面積小，

圖四

設(shè)M，C=a,CN=b,則當(dāng)叢CN”最大時(shí)，S2最小，

a+7>

\MVW=—ab<—[^\)即Af'C=NC時(shí)，SQM,最■大，

2212J

此時(shí)OC垂直平分MN,^ON=OM',則O0=ON

如圖5中，過(guò)點(diǎn)。作。0，3c于點(diǎn)。，

圖五

???OM=ON,OQ^MN

：.BM=CN

.?.當(dāng)5Af=CN時(shí)，AOMN的面積最小，即S最小.

aa

在RtLMOQ中，M0=O0?tan—=tan—,

a

：.MN=2MQ=2^n—,

：.S2=SAOMN=IxMNxOQ=tan—.

22

如圖6中，同理可得，當(dāng)CM=CN時(shí)，S最大.

圖六

OC=OC,ZOCN=AOCM,CN=CM

則4COM^ACON,

a

:.ZCOM=-

29

VN000=45。，

AZMOe=45°-y,

aa

QM=Oe?tan(450-y)=tan(45°--),

a

：.MC=CQ-MQ=l-tan(45°-y),

ia

：.Si=lSLCMO=2x-xCMxOQ=l-tan(45°--).

22

的與蒯￡

本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

精除UK題

1.(2022?內(nèi)蒙古通遼?模擬預(yù)測(cè))綜合實(shí)踐

問(wèn)題情境

在圖1所示的直角三角形紙片ABC中，。是斜邊的中點(diǎn).數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將AABC繞中點(diǎn)。做圖形的

旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段之間的關(guān)系.

解決問(wèn)題

（1）“實(shí)踐小組”的同學(xué)們將AABC以點(diǎn)。為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與C重合時(shí)，與它

的對(duì)應(yīng)邊B'C'交于點(diǎn)O.他們發(fā)現(xiàn)：ODLB'C.請(qǐng)你幫助他們寫出證明過(guò)程.

數(shù)學(xué)思考

（2）在圖2的基礎(chǔ)上，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將AASC以點(diǎn)。為中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB的對(duì)應(yīng)邊

AZ'LAB時(shí)，設(shè)與3c交于點(diǎn)尸，B'C'與AB交于點(diǎn)E.他們認(rèn)為即+FD=AC.他們的認(rèn)識(shí)是否正

確？請(qǐng)說(shuō)明理由.

再探發(fā)現(xiàn)

（3）解決完上面兩個(gè)問(wèn)題后，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們?cè)趫D3中連接O。，他們認(rèn)為。尸，DE與。。也具有一

定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系.（不要求證明）

2.（2022?山西.山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：

問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師出示了一道思考題：

如圖，在正方形ABCD中，尸是射線8。上一動(dòng)點(diǎn)，以轉(zhuǎn)為直角邊在AP邊的右側(cè)作等腰直角三角形APE,

使得NAPE=90。，AP=PE,且點(diǎn)E恰好在射線CD上.

E

圖1圖2

EE

圖3圖4

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在對(duì)角線3。上，點(diǎn)E在CO邊上時(shí)，那么3尸與CE之間的數(shù)量關(guān)系是

探索發(fā)現(xiàn):

(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)如圖2與圖3,(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行證明;

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

問(wèn)題解決:

(3)如圖4,在正方形ABCD中，AB=2A/2，當(dāng)尸是對(duì)角線8。的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接BE,若BE=6枝,

求ABPE的面積.

3.(2022.廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè))【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N,M分別在邊BC、CD±.連接AM、AN、MN.ZMAN=45°,AMD

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)2重合,得至IUABE.易證：AANM^AANE,從而可得：DM+BN=MN.

圖③

(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形A8CZ)的邊長(zhǎng)是

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊。C、8C上，連接AM、AN、MN,ZMAN=45°,若

tanZBAN=1,求證：M是CD的中點(diǎn).

(3)【拓展】如圖③，在矩形A8C。中，43=12,4。=16,點(diǎn)M、N分別在邊。C、BC上，連接AM、AN,

已知/MAN=45。，BN=4,則。M的長(zhǎng)是.

4.(2022?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模)綜合與實(shí)踐

如圖①，放△ABC中，ZACB=90°,CD為配△ABC的斜邊上的中線，在證明CO=AO=8。的過(guò)程中，我

們可以延長(zhǎng)CD到E,使得CO=OE,連接BE.很容易證明NACD0AB即，進(jìn)而證明△ABC會(huì)AECB,

所以A2=CE,所以CD=AD=8D.我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半.

實(shí)踐操作：

將兩個(gè)全等的R。A3。，RdACE拼在一起,如圖②，△A3。不動(dòng).

問(wèn)題解決：

（1）將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。E,M是。E的中點(diǎn)，連接Affi,MC,如圖③，求證：MB=MC；

拓展延伸：

（2）若將圖②中的CE向上平移，且/CAE不變，連接DE,〃是。E的中點(diǎn)，連接MB,MC,如圖④,

則線段MB,MC的數(shù)量關(guān)系為；

問(wèn)題再探：

（3）在（2）的條件下，若NCAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請(qǐng)你判斷線段MB,MC的數(shù)量關(guān)

系還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖④圖⑤

5.（2022.河南南陽(yáng).統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐

【動(dòng)手操作】如圖①，四邊形A3C。是一張矩形紙片，AB=6,AD=5.先將矩形ABC。對(duì)折，使8C與

AD