第二十二講尺規(guī)作圖與無(wú)刻度直尺作圖

命題點(diǎn)1五種基本尺規(guī)作圖

類型一作圖已知

考向1判斷作圖結(jié)果（47考）

1.（2024河北）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（）

A.角平分線

B.高線

C.中位線

D.中線第】題圖

2.（2024煙臺(tái)）某班開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為乙4OB

的平分線的有（

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考向2根據(jù)作圖痕跡進(jìn)行相關(guān)判斷與計(jì)算（93考）

3.（2024眉山）如圖在△4BC中，AB=AC=6,BC=4,,分別以點(diǎn)A,點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)E,F作直線交AC于點(diǎn)D,連接BD,貝［|△BCD的周長(zhǎng)為)

4.（2024湖北省卷）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA

于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于卷MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在乙4BC的內(nèi)部相交于點(diǎn)D、

畫(huà)射線BD,連接AC.若乙CAB=50。,貝！I"BD的度數(shù)是

()

A30。8.25。

C.20°0.15°

5.(2024武漢)如圖，小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD:⑴畫(huà)NM4N;(2)以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧，分別交AM,AN于點(diǎn)B,D；(3)分別以點(diǎn)B,D為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C;(4)連接BC,

CD,BD.若N4=44。,則NCBD的大小是()

464°8.66°

C.68。0.70。

6.(2024貴州)如圖，在△力中，以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D,連接AD.若.AB

=5,,則AD的長(zhǎng)為.

7.(2024山東省卷)如圖，已知4MAN以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與AM,AN相交于點(diǎn)B,C；

分別以B,C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NM4N內(nèi)部相交于點(diǎn)P,作射線AP.分別以A,B為圓

心，以大于|AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D,E,作直線DE分別與AB,AP相交于點(diǎn)F,Q.若AB=4,乙PQE=

67.5。,則F至UAN的距離為.

8.(2024遼寧)如圖,四邊形ABCD中，AD\\BC,AD>AB,AD=a,AB=10,以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作

弧，與BC相交于點(diǎn)E,連接AE.以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與EA,EC相交于點(diǎn)M,N,再分別

以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在"EC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P,作射線EP,與AD相交于點(diǎn)

F,則FD的長(zhǎng)為.(用含a的代數(shù)式表示)

9.(2024日照)如圖以團(tuán)A8CD的頂點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)E,再分別以A,E為圓心，

大于34E長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F,畫(huà)射線BF,交AD于點(diǎn)G,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

⑴由以上作圖可知，N1與N2的數(shù)量關(guān)系是一；

(2)求證：CB=CH;

(3)若AB=4,4G=2GD/ABC=60。,求△8cH的面積.

類型二根據(jù)條件作圖

考向3依據(jù)要求直接作圖（36考）

10.（2024廣西）如圖，在AABC中,N2=45。,4c>BC.

⑴尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線1,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)

明字母）

⑵在⑴所作的圖中，連接BE,若AB=8,求BE的長(zhǎng).

第10題圖

11.（2024河南）如圖，在RtAABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE||DC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作NECM,使乙ECM=N4且射線CM交BE于點(diǎn)F；（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵證明⑴中得到的四邊形CDBF是菱彩

第II意圖

12.（2024赤峰）如圖在△ABC中.D是AB中點(diǎn).

⑴求作：AC的垂直平分線???（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵若1交AC于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=2。民連接BE,CF.補(bǔ)全圖形，并證明四邊形BCFE是平

行四邊形.

13.（2024威海）感悟如圖①，在△4BE中,點(diǎn)C,D在邊BE上,AB=AE,BC=DE.

求證：.Z.BAC=Z.EAD-,

應(yīng)用⑴如圖②，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D，點(diǎn)E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得Z.EAD=NBAC,且DE

=BC;（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵如圖③，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使得乙CDE=NB2C,且DE=4B.（不

考向4轉(zhuǎn)化類作圖（27考）

14.（2024陜西）如圖，已知直線1和1外一點(diǎn)A請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角△ABC,使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)

C都在直線1上.（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可.保留作圖痕跡，不寫作法）

第14題圖

15.新考法注重學(xué)習(xí)過(guò)程（2024浙江）尺規(guī)作圖問(wèn)題：

如圖①，點(diǎn)E是回A8CD邊AD上一點(diǎn)（不包含A,D）,連接CE,用尺規(guī)作AF〃CE,F是邊BC上一點(diǎn).

小浙：如圖②，以C為圓心，AE長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F,連接AF廁AF\\CE.

小江：以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F,連接AF,則AF\\CE.

小浙：小江，你的作法有問(wèn)題.

小江：哦...我明白了！

⑴證明：AF\\CE;

⑵指出小江作法中存在的問(wèn)題.

圖①圖②

第15題圖

16.（2024綏化）已知：AABC.

（1）尺規(guī)作圖：畫(huà)出.A4BC的重心G；（保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明）

⑵在⑴的條件下，連接AG,BG.已知A4BG的面積等于5m2廁△48C的面積是______cm^{2}.

第16題圖

17.（2024連云港）如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,EC=ED,AC\\BD.

⑴求證：AAEC=ABED;

（2）用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BD上.（不寫作法，保留作圖

痕跡，標(biāo)明字母）

18.新考法傳統(tǒng)文化（2024甘肅省卷）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白

彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，

體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧.如圖①的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的

三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖②，已知。O和圓上一點(diǎn)M.作法如下：

①以點(diǎn)M為圓心,OM長(zhǎng)為半徑，作弧交。O于A,B兩點(diǎn)；

②延長(zhǎng)MO交0。于點(diǎn)C;

即點(diǎn)A,B,C將。O的圓周三等分.

⑴請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖②中將。O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；

⑵根據(jù)⑴畫(huà)出的圖形，連接AB,AC,BC,若。O的半徑為2cm很UA48c的周長(zhǎng)為cm.

圖①圖②

第18題圖

19.（2024揚(yáng)州）如圖，已知NPZQ及AP邊上一點(diǎn)C.

⑴用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O,使得乙COQ=2NC4Q;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在⑴的條件下，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B,用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求

作點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（3）在⑴、⑵的條件下，若siiM=|,CM=12,求BM的長(zhǎng).

20.新考法補(bǔ)充過(guò)程、依據(jù)（2024蘭州）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單更便于操作的方

法，正如木匠劉師傅的“木條畫(huà)直角法”.如圖①，?他用木條能快速畫(huà)出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：

①木條的兩端分別最為點(diǎn)M,N,先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置

記為點(diǎn)B、連接AB；

②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A,B,C

不在同一條直線上）；

③連接CB并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上的落

點(diǎn)記為點(diǎn)B:

④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫(huà)線，連接AD,AC，則畫(huà)出的/DAC是直角.

操作體驗(yàn)：⑴根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)’中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫(huà)法.如圖②，BA=BC,請(qǐng)畫(huà)出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記

作ADAC;

推理論證：（2）如圖①，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)；

證明：???AB=BC=BD,

.?.△ABC與AABD是等腰三角形.

\therefore\angleBCA=\angleBAC,\angleBDA=\angleBAD.依據(jù)1)

Z.BCA+^BDA=ABAC+乙BAD=ADAC.

'：/DAC+NBCA+/BDA=180）（依據(jù)2）

2/.DAC=180".

ADAC=90°.

依據(jù)1：；依據(jù)2:;

拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減

少誤差.如圖③，點(diǎn)O在直線1上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖③中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作/POQ,

使得直角邊OP（或OQ）在直線1上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖②圖③

第20題圖

21.新考法新定義（2024鹽城）如圖①,E,F,G,H分別是團(tuán)4BCD各邊的中點(diǎn)，連接AF,CE交于點(diǎn)M,連接A

G,CH交于點(diǎn)N,將四邊形AMCN稱為口ABCD的“中頂點(diǎn)四邊形”.^\ABCD

第21題圖

⑴求證：中頂點(diǎn)四邊形AMCN為平行四邊形；

（2）①如圖②，連接AC,BD交于點(diǎn)O,可得M,N兩點(diǎn)都在BD上，當(dāng)團(tuán)2BCD滿足________時(shí)，中頂點(diǎn)四邊形AM

CN是菱形；

②如圖③，已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

命題點(diǎn)2無(wú)刻度直尺作圖

類型一網(wǎng)格內(nèi)作圖（24考）

22.（2024濱州）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B均在格點(diǎn)上.

（1）AB的長(zhǎng)為;

（2）請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出以AB為邊的矩形ABCD，使其面積為個(gè),并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)

c,D的位置是如何找到的（不用證明）：.

第22題圖

23.新考法無(wú)刻度直尺畫(huà)切線（2024吉林省卷）圖①、圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為

格點(diǎn).點(diǎn)A,B,C,D,E,。均在格點(diǎn)上.圖①中已畫(huà)出四邊形ABCD,圖②中已畫(huà)出以O(shè)E為半徑的。O,只用無(wú)

刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖.

⑴在圖①中，畫(huà)出四邊形ABCD的一條對(duì)稱軸；

（2）在圖②中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的。。的切線.

圖①圖②

第23期國(guó)

類型二根據(jù)圖形的性質(zhì)作圖（10考）

24.（2024江西）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線,請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

⑴如圖①，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線；

⑵如圖②，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線.

第二十二講尺規(guī)作圖與無(wú)刻度直尺作圖

1.B2.D

3.C【解析】由作圖知,EF垂直平分AB,.,.AD=BD,.^.△BCD的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,：AB

=AC=6,BC=4,?.ABCD的周長(zhǎng)=6+4=10.

4.C【解析】TAB為半圓O的直徑,.,.NACB=90。,在R3ACB中,NCAB=50。,.,./ABC=40。,由作圖可得B

D是/ABC的平分線,，4CBD=^ABC=20°.

5.C【解析】由作圖步驟易知四邊形ABCD為菱彩/A=44。,則.4ABe=180°-44°=136°,VBD平分/A

BC,AZCBD=68°.

6.5

7.V2【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FGXAN于點(diǎn)G,；NPQE=67.5。,；./AQF=NPQE=67.5。.由作圖可知,DE

為線段AB的垂直平分線,AP平分/MAN,；.AF=BF=|AB=2,ZFAQ=90°-ZAQF=22.5°,AZFAG=2ZFAQ=45°,iS

RtAAFG中,FG=AF-sin/FAG=VI；.F到AN的距離為V2

第7題解圖

解題技巧

解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，結(jié)合對(duì)頂角相等，垂直平分線及角平分線性質(zhì)求出特殊角，利用三角函數(shù)

解題.

8.a-10【解析】由作圖痕跡可得,AB=AE=10,EF為/AEC的平分線,，ZAEF=ZCEF,VAD〃BC,；.NAFE

=NCEF,ZAEF=ZAFE,AAF=AE=10,/.FD=AD-AF=a-10.

9.⑴解:N1=N2;

⑵證明：；四邊形ABCD為平行四邊形,

由作圖步驟得/1=/2,

.,.ZH=Z2,.\CB=CH;

(3)解：?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

AD〃BC,AD=BC,；.Z2=ZAGB,

由作圖步驟得/1=/2,

Z1=ZAGB,AG=AB=4,

VAG=2GD,.\GD=2,

/.BC=AD=AG+DG=4+2=6,

由(2)得CH=BC=6,

如解圖，過(guò)點(diǎn)H作HK1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,ZHKC=90°,

四邊形ABCD是平行四邊形，

AB〃CD,；./HCK=NABC=60°,在RtAHCK中，HK=CH-sin60°=3痘，：.S^BCH=^BC-HK=6X3

V3=9v

第9題解圖

10.解：（1）尺規(guī)作圖如解圖①所示；

第10題解圖

⑵如解圖②,YDE垂直平分線段AB,

.\EB=EA,.\ZEBA=ZA=45°,.\/BEA=90°,在RtAABE中,BE=AB-cosNABE,；.BE=4或

11.⑴解：尺規(guī)作圖如解圖所示；

Q

⑵證明:由(1)得,/ECF=/A,，CF〃AB.

；BE〃DC,.?.四邊形CDBF是平行四邊形.

,/CD是RtAABC斜邊AB上的中線，

；.CD=BD....平彳亍四邊形CDBF是菱形.

12.解:⑴直線1如解圖①所示；

(2)補(bǔ)全圖形，如解圖②所示，

證明：由⑴作圖知，E為AC的中點(diǎn)，

VD,E分別為AB,AC的中點(diǎn),

DE\\BC,DE=泗，

-I

：EF=2DE,即DE=jEF,

.\EF=BC,

：EF〃BC,.?.四邊形BCFE是平行四邊形.

13.感悟證明如解圖①過(guò)點(diǎn)A作AH,BE于點(diǎn)H,

AB=AE,BC=DE,ZBAH=ZEAH,BH=HE,

.,.CH=DH,.\ZCAH=ZDAH,.\ZBAC=ZEAD;

應(yīng)用：解：⑴如解圖②，點(diǎn)D,E即為所求；(作法不唯一)

⑵如解圖③，點(diǎn)D,E即為所求作法不唯一)

解題技巧

解決本題的關(guān)鍵是由感悟中總結(jié)歸納出作等角可轉(zhuǎn)化為作等線段.

14.解：如解圖①，等腰直角4ABC即為所求.(答案不唯一)

如解圖②，③，等腰直角4ABC即為所求.

15.(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD〃BC,

由作圖可知,CF=AE,

四邊形AFCE是平行四邊形，

；.AF〃CE;

(2)解:如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AGXBC于點(diǎn)G,當(dāng)CE>AG且CE<AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，此

時(shí)這個(gè)弧與BC有兩個(gè)不同的交點(diǎn)F,F,使得四邊形AECF不能唯一確定.

16.解:⑴如解圖，點(diǎn)G即為所求;

【作法提示】①作BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D;②作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F；③連接AD,BF相

交于點(diǎn)G；④標(biāo)出點(diǎn)G,點(diǎn)G即為所求.

(2)15.

22

【解法提示】：G>AABC的重心，??.AG=|4D,.?.1=|J.F/1BG的面積等于5cm,.-.S^ABD=7.5cm.

3b^ABD§

又；D是BC的中點(diǎn)，，SA4BC=2S-BD=15cm2.

解題技巧

由重心的性質(zhì)得出SAABC與SAABD的比值，由D是BC中點(diǎn)推出SAABC-

17.(1)證明:：AC〃BD,

,>.ZA=ZB,ZC=ZD.

Z-A=乙B

在^AEC和^BED中｛z_C=z.D,

EC=ED

：.AAEC^ABED(AAS);

⑵解:菱形DMCN如解圖所示：

第17題解圖

18.解:⑴如解圖①點(diǎn)A,B,C即為將。0的圓周三等分；

第18題解圖①

（2）6V3

【解法提示】如解圖②，連接AM,由（1）可知點(diǎn)A,B,C是0O的三等分點(diǎn),.-.AB=AC=BC,AB=AC=BC,

gPAABC為等邊三角形,.,.NABC=NAMC=60<V；CM為。O的直徑,NCAM=90。,，AC=MCsin^CMA=4sin6

0°=2V3(cm),.'.AABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=6V3cm.

第18題解圖②

19.解：（1）如解圖①，點(diǎn)O即為所求作（作法不唯一）；

第19題解圖①

（2）如解圖②，點(diǎn)M即為所求作（作法不唯一）；

第19題解圖②

【作法提示】連接BC,以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AQ于點(diǎn)Bi,以點(diǎn)Bx為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)

弧交AQ于點(diǎn)Ci,Di,分別以點(diǎn)J,Di為圓心，大于巳6。1的長(zhǎng)為半徑在孰Di上方畫(huà)弧，交于點(diǎn)Fi,作射線

BiFi交AP于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求點(diǎn)的位置

⑶如解圖③，連接BM,

A

第19題解圖③

由(1)(2)彳導(dǎo)AC_LBC,MBi=MC=12,

在RtAABiM中，sinA=嗎=。=烏,

15MA5MAr

：.MA=20,JAC=AM-CM=8,

在RtAABC中,sinA=-=

15AB5

設(shè)BC=3x,則AB=5x,

由勾股定理得，（3支）2+82=（5x）2,解得x=2（負(fù)值已舍去）,

，BC=6,

.?.在RtABMC中，由勾股定理得，BM=V62+122=6倔

20.解:⑴如解圖①,NDAC即為所求作；

C*

D

(2)等邊對(duì)等角(或等腰三角形的兩個(gè)底角相等)；三角形的內(nèi)角和為180°；

(3)如解圖②,NPOQ即為所求作.

題多解

如解圖③；如解圖④.(其他作法正確即可，作法不唯一)