專題19方程思想在壓軸題中的應(yīng)用

I明1概述

方程思想在中考壓軸題中的應(yīng)用非常廣泛，主要表現(xiàn)在幾何壓軸題中的動點問題，幾何、函數(shù)壓軸題中的

存在性問題以及面積問題和相似問題等。通過設(shè)出未知數(shù)，并用未知數(shù)表示出各線段的長度，再根據(jù)勾股

定理、相似三角形的性質(zhì)以及各幾何圖形的判定，列出方程，進行求解。

真題精析

(2022?上海?統(tǒng)考中考真題)平行四邊形ABC。，若尸為5c中點，AP交BD于點E,連接CE.

⑴若AE=CE,

①證明ABCD為菱形；

②若AB=5,AE=3,求3。的長.

⑵以A為圓心，AE為半徑，8為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=QE.若/在

直線CE上，求絲的值.

BC

郵甌

(1)①連接AC交于。，證AAOE絲△COE(SSS),得NAOE=NCOE,從而得NCOE=90。，貝！J4C_LBZ>,

即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；

②先證點E是△A3C的重心，由重心性質(zhì)得5E=2OE,然后設(shè)0E=x,則BE=2x,在出AAOE中，由勾

股定理，得。<2=AE2-OE2=32-X2=%X2,在大公A03中，由勾股定理，得O42=A*-032=52-(3X)2=25-%2,從而

得9--=25-9尤2,解得：x=VL即可得O5=3x=30，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出3。長；

(2)由。4與。5相交于E、F,^ABIEF,點E是△A5c的重心，又E在直線CE上，貝！JCG是AABC

的中線，貝！JAG=BG=4A5,根據(jù)重心性質(zhì)得GE=±CE=^AE,CG=C￡+G￡=—A￡,在衣必AGE中,

2222

由勾股定理，得走AE）2=±AE2,貝（JAG=—AE,^\ikAB=2AG^J2AE,在Rt4BGC

222

中，由勾股定理，得5c2=5G2+CG2=gAE2+（述AE）2=5AE2,貝!JbC=^AE,代入即可求得g的值.

［答案與解析】

【答案】⑴①見解析；②6及

⑵典

5

【詳解】（1）①證明：如圖，連接4c交于。，

???平行四邊形ABCD,

二OA=OC,

"：AE=CE,OE=OE,

：.△AOEdCOE(SSS),

二ZAOE=ZCOE,

VZAOE+ZCOE=180°,

：.NCOE=90。，

：.AC±BD,

???平行四邊形ABC。，

J.四邊形ABCQ是菱形；

@'：OA=OC,

.?.05是445c的中線，

:P為BC中點,

：.AP是4ABC的中線，

，點E是△ABC的重心,

：.BE=2OE,

設(shè)OE=x,則BE=2x,

在RS40E中，由勾股定理，得。42=4。-0郎=32.2=9.2,

在火必4。3中，由勾股定理，得。42=452-0爐=52-(3X)2=25-93,

.,.9--=25-9/,

解得：X=y/2,

：.OB=3x=3正,

???平行四邊形ABC。，

:.BD=2OB=6五；

(2)解：如圖，

與。8相交于E、F,

J.AB1.EF,

由(1)②知點E是△A3C的重心，

又F在直線CE上，

二。6是4ABC的中線，

：.AG=BG=^AB,GE=gcE,

'：CE=^2AE,

：.GE=顯AE,CG=CE+GE=—AE,

22

在RSAGE中，由勾股定理，得

61

AG2=AE2-GEE=AE2-(—AE)2=-AE2,

22

：.AG=J^AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在RQBGC中，由勾股定理，得

BCZUBG+CG/AE?+(述AE)2=5AE2,

22

：.BC=45AE,

.AB_也AE_710

,?BC后AE5'

，儂與翻

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓

與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目.

例零2

布*

(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個玻璃球體近似半圓O,A8為直徑，半圓。上點C處有個吊燈

EF,EF//AB,CO±AB,EF的中點為D,OA=4.

⑴如圖①，CM為一條拉線，M在上，0M=1.6，。/=0.8,求C。的長度.

⑵如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點,M為OB上一點,為入射光線，N4為反射光線，

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=一，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動點，為入射光線，為反射光線交圓。于點N,在M從

。運動到8的過程中，求N點的運動路徑長.

郵甌

(1)由￡＞尸=0.8,。0=1.6,￡)尸〃03,可得出為VCOAf的中位線，可得出。為CO中點，即可得出CD

的長度；

3

(2)過N點作NDLOH,交OH于點。，可得出△NHD為等腰直角三角形，根據(jù)tan/COH=不可得出

4

ND34

tanZ.NOD==—,設(shè)ND=3x=DH,貝！|OZ)=4x,OD+DH=OH,即可求得苫=—,再根據(jù)勾股

OD47

定理即可得出答案；

(3)依題意得出點N路徑長為：OB+lBT,推導(dǎo)得出NBOT=80。，即可計算給出心，即可得出答案.

［答案與解析】

。'=型4+2

【答案】⑴2；(2)7；(3)9

【詳解】(1),/DF=0.8,=1.6,DF//OB

：.DF為7coM的中位線

二。為C。的中點

VCO=AO^4

：.CD=2

(2)過N點作ND，。//,交OH于點D,

'：ZOHN=45°,

...△NHD為等腰直角三角形，即=

3

XVtanZCOH=-,

4

3

AtmZNOD=-

49

AtmZNOD=-=-

OD4f

:?ND:OD=3:4,

設(shè)ND=3x=DH,貝!|OD=4x,

?：OD+DH=OH,

，3x+4x=4,

解得x=54,

:.在RtLNOD中,ON=個ND?+0D?二.同+（同=爭

(3)如圖，當(dāng)點M與點。重合時，點N也與點0重合.當(dāng)點M運動至點4時，點N運動至點T,故點

VZNHO=NMHO,Z.THO=ZMHO,ZHOM=50°.

:.ZOHA=ZOAH=65°.

工Z.THO=65°,Z.TOH=50°.

，ZBOT=80°,

???N點的運動路徑長為：OB+/=4+—^,

BI9

故答案為：4+午］.

總結(jié)與點撥

本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識，

并能靈活運用是解題的關(guān)鍵.

例孽3

南*品宗u

(2022?遼寧盤錦?中考真題)如圖，拋物線y=-!尤2+灰+。與x軸交于A(-3,0),B兩點(A在8的左

側(cè))，與y軸交于點C(0,9),點。在y軸正半軸上，00=4,點尸是線段08上的一點，過點8作BEd_￡)P,

8E交。P的延長線于點E.

(1)求拋物線解析式；

⑵若沁=。，求點P的坐標(biāo)；

建BEP4

(3)點尸為第一象限拋物線上一點，在(2)的條件下，當(dāng)/時，求點F的坐標(biāo).

郵甌

(1)將4-3,0),C(0,9)代入拋物線y=-g^+Bx+c,建立方程組，求解即可；

(2)易證△OPOSABPE,所以多"=緇=緇=:，設(shè)。尸=f(0W6),所以BP=6-f,由相

1

SABEPBE2PE4

644產(chǎn)

似比可得，B￡2=y,PE2號,在RS5PE中，利用勾股定理建立方程可求出f的值，即可得出點P

的坐標(biāo)；

(3)如過點。作OGLPF于點G,過點G作GNJ_x軸于點N,過點。作OMLGN交NG的延長線于點

M,易證△OPOg/kDPG(AAS),所以O(shè)0=GZ>=4,OP=PG=2,由一線三等角可得△MDGs△NGP,

所以O(shè)G：GP=MD：GN=MG：PN=2：1,設(shè).PN=m,貝！JMG=2zn,所以GN=4-2/n,DM=8-4m,

由平行四邊形的性質(zhì)可得8-4m=2+m,解得,n=|,可得G(y,1),由待定系數(shù)法可求得直線PF的解析

48

式為：y=jx-|,聯(lián)立直線班的解析式和拋物線的解析式可得出點方的坐標(biāo).

［答案與解析】

13

【答案】⑴好一產(chǎn)+—X+9

⑵尸⑵0)

(3*(5,4)

【詳解】⑴將4-3,0),C(0,9)代入拋物線y=-5X2+0X+C,

——x9-3/7+c=0

2,

c=9

:3

b——

解得2.

c=9

二拋物線的解析式為：y=-1x^+|-x+9.

乙2

(2；?拋物線的解析式為：y=-2X2+2X+9,

：.B(6,0),

BELDP,

；.NE=NDOP=9Q°,

'：ZDPO=ZBPE,

：./\DPO^/\BPE,

?S4OP。斤。產(chǎn)_5

,,SABEABE2PE24''

設(shè)OP=￡(0<r<6),

：.BP=6-t9

644戶

：.BE2=—,PE2=—,

55

在RtABPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2=PB2,

644產(chǎn)

/.—+—=(6-力2,解得￡=58(舍)或￡=2,

，P(2,0)；

(3)如圖，過點。作DGLPW于點G,過點G作GNLx軸于點N,過點。作DMLGN交NG的延長線于

點M,

:.ZDOP=ZDGP=90°,

?：NFPD=NDPO,DP=DPf

：.ADPO^ADPG(AAS),

：.OD=GD=49OP=PG=2,

???GNJ_x軸，DMLGN,

，NM=NGNP=90。，

VZDGM+ZMDG=ZDGM+ZPGN=90°,

:.ZMDG=ZPGN9

:AMDGS/\NGP,

：.DGzGP=MD：GN=MGzPN=2：1,

設(shè)PN=m,貝！|MG=2m,

：.GN=4-2m,

/.DM=8-4m,

6

.".8-4m—2+m,解得

5

61668

??ON=2、—=—9GN=4-2x—=—,

5555

.八168

設(shè)直線P尸的解析式為：y=fcr+”,

-2k+b'=Q

2+H,

I55

，直線W的解析式為：y=|4x-18,

4R1314

令丁-§=y=-]f+5%+9,解得*=5或"=一可(舍),

:?F⑸4).

總結(jié)與點撥

本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)

與判定，二次函數(shù)上點的坐標(biāo)特征等知識，第(2)問關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方表

達出8E2和尸??；第(3)問關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，建立方程.

精耐題M題

1.(2022.山東苗澤?苗澤一中?？寄M)如圖1,在AABC中，AB=AC,AC平分ZBCD,連接3。，

ZABD=2NCBD,Z.BDC=ZABD+ZACD.

⑴求—A的度數(shù)；

(2)如圖2,連接A。，AELAD交BC于E,連接DE,求證：ZDEC=NBAE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G為CE的中點，連接AG交于點R若梟皿=32,求線段AF的長.

【答案】(1)ZA=9O°

(2)見解析

(3)AF=4

【思路分析】(1)設(shè)/￡>BC=尤.則ZABD=2x,ZABC=ZACB=3x,由AC平分N3CD,得到

ZACD=ZACB=3x,由三角形內(nèi)角和定理5x+x+6x=180。，求得x=15。，進一步即可得到答案；

(2)先證明AABE式AACD,則NBAE=NCAD,AE=AD,BE=CD,則4?=/ADE=45。，又由

ZACB=45°MZDEC=ZCAD,即可得到結(jié)論;

(3)由。是少E■的中點及S^=-AB2=32得到AB=8,再證明AAOG^ADEB,得到ZGAO=ZBDE,

c2

則N/田D=/OOA=90。，又由N/M=30。，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖1中，設(shè)NOBC=龍.

AB=AC,ZABD=2ZCBD,

ZABD=2x,/LABC=AACB=3x,

AC平分ZBCD,

???ZACD=ZACB=3x.

VZD=ZABD+ZACD=5xfZD+ZDBC+DCS=180°,

5x+x+6x=180°，

：.ZABC=ZACB=ZACD=45°,NABD=30。，

???NA=180?！?5?！?5。=90。.

(2)證明：*：EA1DA,

：.ZEAD=ZA=90°,

：.ZBAE=ZCAD,

?.?AB=AC,ZABE=ZACD=45°,

**?^,ABE=^ACD9

AE=AD,BE=CD,

???ZAED=ZADE=45°,

'：ZACB=45°,

ZDEC=NCAD,

：.ZDEC=ZBAE.

(3)解:如圖3中，連接OE,取。是OE的中點,

1

???S^=-A9B2=32,

c2

?，?AB=8或-8（舍去），

由（1）、（2）及根據(jù)G是CE的中點可知：

A.O=—DE,GO=—CD=—BE,A,O_LDE,OGJ_CE,

222

???ZAOG=ZBED=90°+ZEOG,

■:AO:DE=GO:BE=GO:CD=1:2,

:.^AOG^ADEB,

:.ZGAO=ZBDE,

：.ZAFD=ZDOA=9Q°,

又NAB尸=30。，

/.AF=-AB=4.

2

2.（2022?海南?？?海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬）如圖①，在正方形ABCD中，點E、F、G、X分別在邊AB、

BC、CD、DA±.,若EG工FH,

圖①圖③

⑴求證：EG=FH；

FH

（2）如果把題目中的“正方形”改為“長方形”、若4?=3,BC=4（如圖②），求力的值;

ECr

⑶如果把題目中的“EG,切”改為“EG與F”的夾角為45?！保ㄈ鐖D③），若正方形ABCD的邊長為2,FH

的長為石，求EG的長.

【答案】（1）見詳解

（2）1

g2M

【思路分析】（1）過點H作HN,3c交于N,過點G作GML54交于證明ANFN2AGEN即可求解;

(2)過點H作交于。，過點G作GP，互交于尸，由(1)可得3FS&PGE,再由黑=照，

GEPG

HF3

口J求=—；

GE4

(3)過A作4V〃EG交。。于N,過A作AA/〃HF交5C于M,以A為旋轉(zhuǎn)中心，△">_/繞A點順時針旋

轉(zhuǎn)90。至!J△尸8A,可證明△以"也設(shè)DN=x,貝|NC=2—x,MN=PM=x+l,在Rt△腦VC中，

(1+X)2=(2-X)2+1,求出DN=g,在RtZkADN中，求出⑷V=3^，再由AN=EG即可求解.

【詳解】(1)證明：過點H作HNL5C交于N,過點6作6/旅，區(qū)4交于M,

圖①

?.?四邊形ABCQ是正方形,

:.MG=HN,

\HF±EG,

:.ZMGE=ZNHFf

:△HFN'GEM(ASK),

.\HF=EG；

(2)解：過點H作HQL5C交于Q,過點G作GPLAB交于P,

圖②

由(1)可得，ZQHF=ZPGE,

：.AQHFS^PGE,

.HFHQ

…~GE~~PG'

vAB=3,BC=4,

:.PG=4,HQ=3,

.HF_3

-GE-4；

（3）解：過A作4V〃石G交。。于N,過A作AM〃斷交3C于M,以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADN繞A點順時

針旋轉(zhuǎn)90。到△PBA,

?.?AB=2,FH=日

???￡G與F”的夾角為45。，

.?.ZM47V=45。，

:.ABAM+ADAN=^5°,

:.ZPAM=45°,

\-AP=AN,

.'.^PAM^ANAM(SAS),

:.PM=MN,

設(shè)DN=x,貝l」NC=2—x,MN=PM=x+l,

在Rt△腦VC中，(1+X)2=(2-X)2+1,

2

解得x二§,

DN=—,

3

在RtZ\ADN中，4V=3叵，

3

.F「_2M

..zSCr-----.

3

3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖1,在四邊形A5CQ中，/ABC=NBCD,點E在邊BC上,且鉆〃CD,

小〃AB.作CR〃AD,交線段AE于點尸，連結(jié)

圖2

⑴求證:

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的長;

RF

（3）如圖3,若砥的延長線經(jīng)過AD的中點M,求匕的值.

EC

【答案】（1）見解析

(2)6

⑶翳1+&

【思路分析】（1）先根據(jù)題意得出AB=AE,DE=DC,再證四邊形AZX獷是平行四邊形，得出AF=CD,

進而得出AF=OE,再由平行線性質(zhì)得NA￡D=44B,進而證得結(jié)論;

（2）先證明△E34CFE,得當(dāng)=差=與，根據(jù)四邊形ADC戶是平行四邊形，得45=CF,AF=CD,

EFCECF

CF5910

進而可得丁/而，求得H6,CE1,再利用AABESAZ雙,求得答案;

(3)如圖3,延長BM、ED交于點G,先證明^ABE^^DCE,得出四=—=—,^DC=DE=a,CE=b,

DCDECE

ABAEBE

———X，貝UAB=AE=ax,AF=CD=a,BE=bx,可得EF=AE-AF=ax-a=a(x-1),再利

DCDECE

用AAB^SAEG廣，列方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖1,

圖1

9：AE//CD,

:.ZAEB=ZBCD,

?：ZABC=NBCD,

:.ZABC=ZAEB,

.,.AB=AE,

?:DE//AB,

../DEC=ZABC,ZAED=ZBAF,

?.?ZABC=ZBCD,

:.ZDEC=ZBCD,

:.DE=DC,

'：CF//AD,AE//CD,

，四邊形ADB是平行四邊形，

/.AF=CD,

:.AF=DE,

在△ABF和AEAD中，

AB=AE

<NBAF=ZAED,

AF=DE

:.AABF^AEAD(SAS),

：.BF=AD；

(2)解：如圖2

,/CF//AD,

:./EAD=/CFE,

ZECF=ZAED,

:./\EAD^/\CFE,

.ADDEAE

''EF~CE~CF9

由（1）知：四邊形AT>CF是平行四邊形,

:.AD=CF,AF=CD,

???AB=9,CD=5,

:.AE=9,DE=5,

.\EF=AE-AF=9-5=4,

,CF59

CF2=4x9=36,即CF=6,

CE=—

3

?,ZABC=ZBCD=ZAEB=ZDEC,

:.AABESADEC,

10

?些EC即毀旦,

"AB~DC

~9~~~5

/.BE=6；

(3)解：如圖3,延長BM、ED交于點G,

圖3

?；AABE,△￡>CE均為等腰三角形，AZABC=ZDCE,

:.AABE^ADCE,

.ABAEBE

"DC~DE~CE

ABAEBE

設(shè)DC=DE=a,CE=b,~~=x,

CDDECE

貝ijAB=AE=ax,AF=CD=a,BE=bx,

/.EF=AE-AF=ax-a=a{x-1）,

?：AB//DG,

.\ZABG=ZG

???AD的中點

:.AM=DM,

-.-ZAMB=ZDMG,

AAMB^ADMG(AAS),

DG=AB=ax,

EG=DG+DE=ax+a=a{x+1),

-：AB//DG,即Afi〃GE,

:./\ABFs^EGF,

ABAFa

：.——=——,即nn-----=------,

EGEF〃(九+1)〃(九-1)

%?—2%—1=0,

解得：x=l+7I或x=l-忘(舍去)，

—=X=1+A/2.

EC

4.(2022?寧夏吳忠??？家荒?己知：如圖，在Rt&4BC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,點P從點

3出發(fā)，沿8C向點C勻速運動，速度為1CM/S；過點P作尸交AC于點。，同時，點。從點A出

發(fā)，沿A8向點8勻速運動，速度為2c機/s；當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ.設(shè)運

動時間為《s)(0</<2.5),解答下列問題:

(1)當(dāng)r為何值時，四邊形ADPQ為平行四邊形？

⑵設(shè)四邊形A。尸。的面積為y(cm2),試確定y與f的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻/,使金邊/0相：5,物=13：2?若存在，請說明理由，若存在，求出［的

值.

【答案】(1)、20

⑶存在，2

【思路分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到尸。〃AC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

列出比例式，計算即可；

（2）過點P作PEJ.AB,證明ABPESAWC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出心、尸。，根據(jù)梯形的面積公

式計算即可；

（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出f,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可.

【詳解】（1）解：-.-ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

AB=VAC2+BC2=5cm，

?.PD//AB,

???當(dāng)PQ〃AC時，四邊形AOPQ是平行四邊形,

,QBBP5—2tt

??---=---,即Bn-----二一，

ABBC54

20

解得，

答：當(dāng)”黃20時，四邊形ADPQ為平行四邊形；

（2）解：過點尸作垂足為E,

-.-ZPEB=ZC=90°,

ZB=NB,

:ABPES^BAC,

PEBPRnPEt

ACBA35

3

解得，PE=-tf

?;PD〃AB,

:.ZDPC=/B,

zc=zc,

:.^CPD^^CBA,

PDCPPD4T

——,即nn——=——

ABCB54

20-5t

解得，PD

4

y二S四邊形皿正=/x(PD+AQ)xPE

120-5t3

=—x(---------+2t)x-t

24

=-402

(3)解：若存在某一時刻，使S四邊形.Q：S/QB=13:2,

1q

則丁=萬5.也8

i33

2

■.-S^PQB=-xQBxPE=~t+^t,

.?.々+當(dāng)=竺(3+%,

402252

解得，4=。(舍去)，/2=2,

則/為2s時,S四邊形ADPQA：S/QB=13:2.

5.(2022.山東青島??？级?已知，如圖，矩形A5CO中，AB=3,3c=4,點P以每秒1個單位從點C

向點B運動，同時點。沿著AC以每秒2個單位從A向C運動，在點。運動的同時，作QFLAC交于產(chǎn)，

(1)幾秒時，AA。尸sCPQ?

(2)設(shè)平行四邊形PQEE的面積是S,用f表示S；

(3)當(dāng)尸尸，AO時，CP=PQ嗎?說明理由.

(4)存不存在某個時刻，使得QE〃BC?若存在，求出/；若不存在，說明理由.

【答案】(1)當(dāng)運動時間是2曾0秒時，xAQFsKPQ

⑵

⑶CP#PQ,理由見解析

(4”[

【思路分析】(1)可推出ACPQS進而得出冬=gg,進一步得出結(jié)果；

BCAC

(2)設(shè)PE交AC于H,根據(jù)△AQbs^cRi表示出。尸，根據(jù)sZ\C4B表示出C”,從而表示出廠Q

上的高。8,進一步得出結(jié)果；

(3)先表示出AF,根據(jù)AAQ^S△CBA求得t的值，進而表示出CQ和CH,根據(jù)CQ和2CH的數(shù)量關(guān)系

確定CP和尸。的數(shù)量關(guān)系；

(4)連接交QE于0,延長歹。交3C于G,當(dāng)度〃BC可推出點。是尸G的中點，進而推出Q點為AC的

中點，進一步求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：?.?QFLAC,

ZAQF=90°,

四邊形ABCD是矩形，

:.ZABC=90°,AD//BC,

ZFAQ=ZACB,ZAQF=ZABC,

：.^AQFsMBA,

,.?△AQ尸sACPQ,

:.ACPQS△CBA,

,CPCQ

,BC-AC)

t5—2t

??一，

45

20

t=----!

13

20

.??當(dāng)運動時間是點秒時，AAQF-^CPQ.

(2)設(shè)PE交AC于H,

?JAAQ"MBA,

,FQ=AQ

"AB~BC

?.?FQ_一^L，

34

3

：.FQ=-t,

???四邊形尸是平行四邊形,

:.PE//FQ,

/PHC=ZAHE=ZAQF=90°,

:.ZCHP=ZABC,

?:/PCH=ZACB,

:.ACPHS△C4B,

.CHCP

-

,BCACJ

.CH_t

??=一，

45

4

:.CH=-t,

414

:.QH=AC-AQ-CH=5-2t--t=5-—t,

,二S平行四邊形加此=尸。=，八(，—，

.O21215

..S=-----1H------1；

52

(3)CPAPQ,理由如下：

當(dāng)/時，四邊形CPED是矩形，

.0.DF=CP—t,

:.AF=AD-DF=4-tf

由bs△CB4得,

AQ_AF

.2/_4T

.彳一丁

?廣8

??L一,

7

819

CQ=AC-AQ=5-2x-=—,

77

432

CH=—t=——,

535

:.CQ豐2CH,

：.CP^PQ.

(4)如圖,

連接尸尸交QE于。，延長尸。交8C于G,

???四邊形EQPE是平行四邊形,

:.OF=OP,

■：QE//BC,

,FQ=O^=

'QG~OP~，

QF=QG,

同理可得AQ=CQ,

Ae=|xc=|,

即：2/=-

2

_5

~4

6.(2022?四川成都?成都市樹德實驗中學(xué)?？寄M)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

y=--x2

4

⑴求證：ZACB=90°；

(2)點。是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點。作x軸的垂線交BC于點E,交x軸于點P.

①求。E+其iBE的最大值；

5

②點G是AC的中點，若以點C,D,E為頂點的三角形與AAOG相似，求點。的坐標(biāo).

【答案】(1)見解析

⑵①9；②0(4,6)或0(3,亍25).

【思路分析】(1)分別計算AB,C三點的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得4?、BC、AC的長，最后利用勾股

定理逆定理解題；

I31

(2)①先解出直線BC的解析式，設(shè)。(尤+_彳+4),得出B尸=8-x,DE^—X2+2X,由OC〃止，

42