2025新高考高二空間向量與立體幾何易錯(cuò)培優(yōu)競賽試題

【專題目錄】

專題一：名?？臻g向量與立體幾何易錯(cuò)題精選

專題二：名校空間向量與立體幾何培優(yōu)題精選

專題三：空間向量與立體幾何全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強(qiáng)基計(jì)劃精選試題

【精選練習(xí)】

專題一：名?？臻g向量與立體幾何易錯(cuò)題精選

I.已知正方體/BCD-44GA的棱長為2,分別是棱AA,和CG上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上一點(diǎn)且

-------1

滿足=則點(diǎn)尸的軌跡長度為（）

O

A.且4兀B.V14nC.兀D.3Ji47r

22

【答案】D

【分析】首先利用坐標(biāo)法求點(diǎn)的軌跡方程，再利用公式法，即可求解.

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以方，覺，函分別為x，％z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

=(2—x,—y,l—z),PN=(―x,2—y,l—z),

gp(x-l)2+(^-l)2+(z-l)2=y,此方程表示以（W）為球心，以學(xué)為半徑的球,

球心到每個(gè)面的距離都是1,每個(gè)平面與球的截面圓的半徑為（叵】一1=巫＜1,

K4J4

所以點(diǎn)P的軌跡是以每一個(gè)正方形的中點(diǎn)為圓心的圓，所以軌跡長度為6X27TX巫=3E兀.

4

故選：D

2.在正三棱柱N3C-4耳￡中，AB=AA,,尸為3G的中點(diǎn)，則直線5P與平面/CC/所成角的正弦值為

375「Vw3V15

L?--------D.

"7F417

【答案】A

1/90

【分析】如圖，過點(diǎn)A作平面/CG4的垂線為X軸，以ZC,為y軸和z軸，作空間直角坐標(biāo)系.求平面

/CG4的一個(gè)法向量3，以及直線3P的方向向量加，貝小cos方網(wǎng)即為所求

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作平面/CG4的垂線為X軸，以zc,幺4為y軸和z軸，作空間直角坐標(biāo)系.

則平面/CG4的一個(gè)法向量為河=(i,o,o),

設(shè)正三棱柱NBC-481G中,AB=AAl=2,則3(g,1,0),

122J

V3\_

所以加='所以cosn,BP=

V,2

10

所以直線BP與平面ACC,A,所成角的正弦值為卜os萬，而卜嚕.

故選：A

3.已知動點(diǎn)尸是棱長為1的正方體，BCD-44GA的對角線3。上一點(diǎn)，記須7=4,當(dāng)尸。為鈍角時(shí),

DL){

2的取值范圍為()

A-［可B.5"C.1口.目］

【答案】C

【分析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由N/尸。為鈍角，可得cosN/PC=cos(在左)<0,得到不

等式，解不等式，可得出答案.

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(I,O,O),B(L1,O),C(O,I,O)H(0,0,1),

函=(0,-1,0),西5C=(-l,0,0),

2/90

^PA=BA-BP=BA-(0-1,0)-21-1,1)=(A,A-1,-A),

PC=BC-BP=BC-ABDt=(-l,0,0)-/l^l-l,l)=0-1,A,-A),

A(2-l)+A(2-l)+A2

貝ijcos/APC=cos

［儲+回一丁+力.J”j+儲+外

3A2-22八

-9----------<0

3A2-22+l

因?yàn)?川-22+1=3(彳-+|>0,

2

所以3分一24<0,解得0<,

4.在空間直角坐標(biāo)系。中z中，定義：經(jīng)過點(diǎn)夕（%,%/0）且一個(gè)方向向量為成=（“也的直線/的

方程為士Z==及=二^,經(jīng)過點(diǎn)P（%,%,Z。）且法向量為五=（九〃,。）的平面的方程為

abc

彳（》-飛）+〃（歹-%）+0（2-20）=0.已知在空間直角坐標(biāo)系0中2中，經(jīng)過點(diǎn)P（l,0,2）的直線/的方程為

1-X=j=j-1,經(jīng)過點(diǎn)P的平面C的方程為3x+y+2z-7=o,則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

A2口36rV14nV35

7777

【答案】A

【分析】由題目定義得到直線的一個(gè)方向向量，和平面的法向量，由向量夾角的求解公式得出線面角的正

弦值.

【詳解】經(jīng)過點(diǎn)尸（1,0,2）的直線/的方程為1-工號=，1，即9=—=—，

則直線/的一個(gè)方向向量為玩=（-1,3,2）.

3/90

又經(jīng)過點(diǎn)尸的平面a的方程為3x+y+2z-7=0,

即3(x-l)+(y-0)+2(z-2)=0,所以a的一個(gè)法向量為為=(3,1,2).

I應(yīng),川42

設(shè)直線/與平面1所成的角為6,則sin6>=|cos玩，同

\m\\n\-71+9+4x79+1+47

故選：A

5.(多選題)如圖，在正三棱柱/BC-4AG中，E,F分別為BC,4G的中點(diǎn)，AC=2f則下列說法正

A.若44=6,則異面直線4尸和3c所成的角的余弦值為:

B.若/4=6，則點(diǎn)C到平面NE尸的距離為當(dāng)I

C.存在回，使得3C_L平面/斯

D.若三棱柱N3C-44。存在內(nèi)切球，貝1]44=述

3

【答案】AB

【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法判斷ABC,首先求等邊三角形，3c內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)

三棱柱存在內(nèi)切球，再計(jì)算用.

【詳解】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，向量就,77為八z軸的正方向，再作

若/4=百，/(O,O,O),F(O,1,V3),5(V3,1,O),C(0,2,0),E洋(0

I22J

ZF=(O,I,V3),5C=(-Ai,o),|COSZF,SC|=^-=^故A正確；

通=|g,|,0,設(shè)平面/斯的一個(gè)法向量為石=(x,y,z),

4/90

AF-m=y+=0

則＜__,e3，令歹=6，得x=-3,z=-l,

AE-m=—x+-y=O

I22

所以平面4跖的一個(gè)法向量為沅=卜3,君1),且衣=(0,2,0),

~AC.m2\l39

所以點(diǎn)。到平面力E尸的距離為一^二-7-,故B正確；

13

C.設(shè)44=人則尸(0,1,〃)，^F=(O,l,/z),數(shù)=(一6,1,0)

南.就=lw0，所以不存在力4，使得3。，平面/￡尸，故c錯(cuò)誤；

D.等邊三角形43C的內(nèi)切圓的半徑為"，若三棱柱4BC-4用。存在內(nèi)切球，則/4=氈，故D錯(cuò)誤.

33

故選：AB

6.(多選題)空間四點(diǎn)/(1,3,2)潭(1,2,1),。(-1,2,3),。(-1,0』.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)是()

A.平面/BC的一個(gè)法向量為(-U,-1)

B.若a//Z8且忖=1,則a=0,-^-,-

C.點(diǎn)B到直線NC的距離為旦

2

D.4B、C、D四點(diǎn)共面

【答案】AD

【分析】求出平面/3C的一個(gè)法向量可判斷A；設(shè),=/羽=(0,7,一)，利用同=1求出￡可判斷B；利用

點(diǎn)5到直線/C的距離向量求法可判斷C；設(shè)25=》赤+了就，求出x，＞可判斷D.

【詳解】對于A,方=(0,-1,-1),衣=(-2,-1,1),設(shè)平面/8C的一個(gè)法向量為k=(x,%z),

5/90

AB-n=-y-z=0,、

貝"一，令歹=1,則z=—l,x=—1,則無二(—1,1,—1),故A正確；

AC-n=-2x-y+z=0

對于B,AB=(0,—1,—1),因?yàn)閍〃45，設(shè)d=MB=(0,—/,—，)，

rr(5rz\(5B、

若同=1,則同="仔=1,解得:土衛(wèi)，則1=0,-],-]或)=°，事，事，故B錯(cuò)誤;

對于C,^5=（0,=-1,1）,則點(diǎn)8到直線/C的距離為

故c錯(cuò)誤；

對于D,設(shè)屈=+y就，因?yàn)槎?(一2,-3,-1),

28=(0,-l,-l),^C=(-2,-1,1),

則有(一2,-3,—1)=X(O,-1,-1)+M-2,T1),

一2=—2y,

（x=2

<-3=-x-yf解得｛,故40=2/5+力。，則4B、。四點(diǎn)共面.

|y=]

-l=-x+yU

故D正確.

故選：AD.

7.（多選題）正方體N8CD-44￡均的棱長為1,分別是與兒44的中點(diǎn)，G是/。的四等分點(diǎn)（靠

近/點(diǎn)），下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P到平面EG。1的距離的最小值為叵

26

B.若尸在底面/BCD內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，且滿足。尸=1,則動點(diǎn)尸的軌跡的長度為兀

C.若正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個(gè)面相切，則兩球半徑之和為上當(dāng)

D.當(dāng)點(diǎn)尸在底面/3CD上運(yùn)動，且滿足PF//平面片C，時(shí)，尸尸長度的最小值是行.

【答案】AC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對于A利用向量法求距離即可判斷，對于B設(shè)點(diǎn)尸（x/,0）（04x4l,0"Wl）,

由。尸=1求出點(diǎn)尸的軌跡即可判斷，對于C設(shè)兩球的半徑分別為小馬，由題意有外+芍=-3億+々一I了解出

6/90

即可判斷，對于D求平面4cA的法向量身=（a,b,c）,由由尸尸//平面耳C。有麗.而=0,最后代入兩點(diǎn)的

距離公式即可判斷.

【詳解】以。原點(diǎn)，分別以為x，％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則有。(0,0,0),/(1,0,0),3(1,1,0),c(o,1,0),4(1,0,1),巴(1,1,1)

G(0,1,1),2(0,0,1),唱,0,0

j_J_J_

對于A：設(shè)平面AEG的法向量為元=（x,y,z）,

422

一一?111

n?GE=xH——yd——z=0

422

則令>=一1得五=（4,一1,3）,

_——?111

n-D,E=-x-\——yz=0

122'2

設(shè)點(diǎn)尸(1,0,0)(04。41),所以西=(一1,0,1-a),

所以點(diǎn)P到平面EGA的距離為4=忤^固=叵，故A正確；

\n\V26V2626

對于B：設(shè)點(diǎn)尸（xj⑼（OWxWl,O041）,則加=（x,y,0）,所以|研=后刀=1=/+/=1,

1兀

即點(diǎn)。的軌跡為四分之一圓，即軌跡長度為：x2兀xl=f,故B錯(cuò)誤；

42

對于C：設(shè)兩球的半徑分別為4?，由題意有兩球分別與正方體的三面相切,

所以球心分別為a聲/）,（i-4』-G』-弓），由兩球相切,

2

所以4+4=+G-I）2+（。+弓-if+（斗+芍-I?=+r2-1），

所以（。+與）2=3[（八+與）一1]2n26+-2，一66+與卜3=0,因?yàn)閝+馬<2,解得。+々,故C正確;

7/90

對于D：設(shè)點(diǎn)尸(x,%O)(OWxVl,OWyWl),所以蘇-y,lj,

設(shè)平面8co的法向量為歷=(a,6,c),西=0,0,1),方面=(1,1,0),

mCB,=a+c=0/、

所以」，令0=1得成

m?DXBX=a+b=0

由尸產(chǎn)//平面BiCDi有而.尸尸=l_x_[g_y)_l=Onx=y_g,

所以|PF|=jl-xj+1=y/2x2-2x+2=((x-g)+[,

當(dāng)尤=:時(shí)，P尸的長度最小為逅，故D錯(cuò)誤.

22

故選：AC.

rr

8.(多選題)在平行六面體/3。。一44G〃中，AB=AD=AA[=2,“AB="AD=NBAD=3,4。與

BR交于點(diǎn)M.設(shè)血=￡,~AD=b，AA^c,則下列說法正確的有()

----?—?—?—??]-?]-?—*

A.AC,=a+b+cB.CM=-a—b+c

122

________________UUUL兀

C.ABACUSD.可與/￡的夾角為5

【答案】ACD

【分析】利用空間向量的基本定理可判斷AB選項(xiàng)；利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng).

-*—*—*—?—*-?]I

【詳解】由題知，ci-b=a-c=b-c=2x2xcos—=2.

3

對于A選項(xiàng)，ACX=AB+AD+AAX=a+b+c,故A正確；

■,*?*‘?I-?,*I/1?——>\II-*

對于B選項(xiàng)，CM=CQ+QM=AAl+-G4=AAt--[AB+ADj=--3--b+c,故B錯(cuò)誤;

對于C選項(xiàng)，AB-AQ=a^a+b+c^=^+a-b+a-c=4-i2-Q=8,故C正確；

8/90

對于D,CM-IIq=^-1a-1K+cj-(5+^+c)

1—2]f—[-一]一一1一21——一一一一一2

=——a——a-b——a-c——b-a——b——b-c+c-a+c-b+c=0,

222222

____UUULjr

所以e而與/C]的夾角為萬，故D正確.

故選：ACD.

9.(多選題)如圖，在棱長為1的正四面體/BCD中，點(diǎn)M,N分別為棱BC,4D的中點(diǎn)，貝!J()

A.ABLCDB.MN=-

2

C.側(cè)棱與底面所成角的余弦值為立D.直線與CN所成角的正弦值為好

33

【答案】ACD

【分析】把加，痂，配，而分別用刀，就，力表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算分析，即可判斷ABD,

連接。在。M上取點(diǎn)O,使得。。=2。“，連接CM,則CM_L平面BCD,解即可判斷C.

7T

【詳解】由正四面體ABCD,可得NB4C=/BAD=/D4C=耳,

對于A,CD=AD-AC，

則刀3=刀.函-就）=冠.石-M就」-Lo,

所以4BLCD,故A正確；

[/?2?2?2.，-，

=—、AD+AB+AC+2ABAC—2ABAD—2ADAC

2

=-71+1+1+1-1-1=-＞故B錯(cuò)誤；

22

對于D,AM=-AB+]-AC^NC=AC-AN=AC-U1D,

222

9/90

11111

-4828-2,

設(shè)直線4M,CN所成角為巴

1

AM-NC

則cos0=

所以直線所成角的余弦值為g,正弦值為辛，故D正確；

對于C,連接。河，在DM上取點(diǎn)O,使得OD=2OM,連接04,

則。/，平面BCD,

則NADM即為直線4D與平面BCD所成角的平面角，

在中，AM=DM=—.AD=\,

2

133_

IH.......-/T

pillcosAADM=-,

ci百3'

2xlx——

2

由正四面體的結(jié)構(gòu)特征可得，直線4B,AC,AD與平面BCD所成角的相等,

所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值為趙，故C正確.

3

故選：ACD

10.（多選題）如圖，在正方體/BCD-44GA中，E,尸分別是“瓦烏。的中點(diǎn)，G是棱4A上的動點(diǎn),

則下列說法正確的有（）

10/90

3G

AEB

A.EF_L平面48。

B.存在點(diǎn)G,滿足QG〃平面片跖

C.當(dāng)且僅當(dāng)QG=3G4時(shí)，GE+G尸取得最小值

D.直線與平面COG所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】ACD

【分析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷A；求出平面用跖的法向

量泥，若GG〃平面砧尸，則/?麻=0,進(jìn)而可判斷B；求出團(tuán)+|司的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷C；求出

直線BDX與平面CDG所成角的正弦值表達(dá)式，進(jìn)而可判斷D.

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2,DlG=a(O<a<2),

則4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,0）,4（2,0,2）,片（2,2,2）,G（0,2,2）,

A（0,0,2）,￡（2,1,0）,尸（1,2,1）,G（a,0,2）,

對于A,而=（-1,1,1）,西=僅,0,2）,麗=（2,2,0）,

則=°，￡Q05=0，

11/90

所以EF_LDA、,EF1DB,

又DAXcDB=D,DA],DBu平面AXBD,

所以環(huán)，平面4助，故A正確；

對于B,而=（。,-2,0），瓦豆=（0,-1,-2）,

設(shè)平面用環(huán)的法向量為歷=a，%Z]）,

EF?m=-x,+Vi+Z]=0

則有一12311,

B[E?m=-yx-2z1=0

取y=2,則4=（1,2,—I）,

若C]G〃平面,貝I].C]G=a—4=0,解得a=4,

又因?yàn)镺WaW4,

所以不存在點(diǎn)G,滿足GG〃平面及跖，故B錯(cuò)誤；

對于C,面=（2-°,1,-2）,不=（1-凡2,-1）,

貝”詞+同=J（2一a）?+5+J（「02+5,

J（2-ay+5+J（l-a）'+5可看作點(diǎn)M（a,0）到點(diǎn)N（2,5）與到點(diǎn)7（1,5）的距離之和,

點(diǎn)N（2,5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)V（2,-5）,

則當(dāng)機(jī)7,，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)河（0,0）到點(diǎn)乂（2,-5）與到點(diǎn)7（1,5）的距離之和最小,

即點(diǎn)河（凡0）到點(diǎn)可2,5）與到點(diǎn)7（1,5）的距離之和最小，

而=（1-%5）,俞=（1,-10）,

____7

因?yàn)槎ㄓ?，所以?0（1"）-5=0,解得a=5，

3

所以當(dāng)。=時(shí)，GE+GF取得最小值，

2

31

此時(shí)〃G=5，G4=2，即。G=3G4,故c正確；

對于D,西二（—2,—2,2）,詼=（0,2,0）,詼=（4,0,2，

設(shè)平面CZX?的法向量為五=（再,%/2），

12/90

?萬=2為=0

則有《取9=2,貝!]方=(2,0,-0),

DG?n=ax2+2z2=0

設(shè)直線82與平面CDG所成的角為a,

,I_一I\n-BD1-4-2a|

ta+2

貝sina=cos瓦BDA=--,=一匚一1

1”同股r2V3.V774區(qū)2+12

令，=a+2/目2,4],貝

當(dāng)』=；,即/=4,即。=2時(shí)，sina取得最大值，最大值為逅，故D正確.

t43

故選：ACD.

11.正方體-44CQ的棱長為2,點(diǎn)尸是棱上一點(diǎn)，且附-歸G|=2,則符合要求的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)

為.

【答案】3

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，分類討論求解方程的根即可求解.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（2,0,0）,G（0,2,2）,

當(dāng)尸在DC上，則尸(0,a,0),0<a<2,此時(shí)|尸”|一|尸Cj=,4+4—J(a_2『+4=2,無解，此時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在。G上，則尸(O,a,2),0<a<2,此時(shí)\P^\-\PC\=78+a2-^(a-2)2=38+/_(2-a)=2，解得a=l,

故此時(shí)尸（0」,2）,

當(dāng)尸在48上,則尸（2,a,0）,0<a<2此時(shí)|尸/|-|尸Cj=a-J（a-2）2+8=2,無解，此時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在4片上，則尸（2,a,2）,04a42此時(shí)-|PCj=，4+a2一J("2y+4=2,無解，此時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在4D上，則尸（a,0,0）,0<a<2,此時(shí)|尸/|-因|=2-a-J/+8=2,無解，此時(shí)尸不存在,

當(dāng)尸在49上，則尸（。,0,2）,0<o<2,此時(shí)歸一|尸Cj=—2）2+4—J/+4=2,無解，止匕時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在CS上，則P（a,2,0）,0<a<2,此時(shí)歸=',一2）2+4_'/+4=2,無解，止匕時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在G片上，則尸2,2）,0<tz<2,此時(shí)|尸⑷一|PCj=J(a-2y+8-a=2,解得a=l,此時(shí)尸(1,2,2)存

在,

13/90

當(dāng)尸在z）2上，則尸（0,0,a）,0<a<2,此時(shí)|尸/卜|尸￡|=，4+4一J（"2）2+4=2，無解,此時(shí)P不存在,

當(dāng)尸在CC］上,則尸（0,2,a）,0<a<2,此時(shí)歸聞一|尸Cj=行癡-（2-a）=2,a=l,此時(shí)尸（0,2,1）存在,

當(dāng)尸在/同上，則尸（2,0,a）,0<a<2,止匕時(shí)|尸/|-盧（71|=0-小（2-°）2+8=2,無解，此時(shí)P不存在，

當(dāng)尸在上，則尸（2,2,a）,0<a<2,此時(shí)—|尸團(tuán)=J"+4-J（2-a）?+4=2，無解，此時(shí)P不存在,

綜上可得：符合條件的P有3個(gè)，

故答案為：3

12.如圖，在三棱錐尸-48C中，G為V48c的重心，PF=^PC,PD=APA>PE^/dPB,A,〃e（0,l）,

若尸G交平面尸于點(diǎn)M,且西=；而，則%+〃的最小值為.

【答案】|4

【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.

uuuruuruuwuuryiuuruuoruuriuuruuruuruur

【詳尚牟】因?yàn)槭珿=P4+/G=P4+§x~(AB+AC)=PA+-(AP+PB+AP+PC}

1—?1—?1―?

=—PA+—PB+—PC,

333

uuuriuuoriuuruuruur

所以0M=-PG=-(PA+PB+PC),

39

因?yàn)辂?%方，PE=JLIPB,PF=^PC,

14/90

—?1―?1―?2―?

所以PMFPD+「PE+APF，

929〃9

因?yàn)椤?，，?四點(diǎn)共面，

112所以＜+^=7

所以豆+電+3=1'

Z4

因?yàn)椤?*+〃)(1,"紅A》

當(dāng)且僅當(dāng)彳=〃=1時(shí)等號成立,

所以幾+〃的最小值為自4

4

故答案為：—.

13.如圖，在四棱錐P-/8CD中，PO_L平面/BCD,4B//DC,AB工AD,DC=3AB=6,PD=2,點(diǎn)、M在

棱尸C上.

⑴當(dāng)“為尸C上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn)時(shí)，求證：尸工//平面MSZ）；

（2）若直線P4與平面/BCD所成的角為45。，當(dāng)〃r為PC的中點(diǎn)時(shí)，求二面角尸-AD-M的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵叵.

11

AClAR1AC）piU1

【分析】（1）連接NC交助于點(diǎn)O,連接OM,利用三角形相似得到芳=券=］進(jìn)而有今=￡3=2

得到P/〃MO,再由線面平行的判定證明結(jié)論；

（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面尸3D、平面M2。的法向量，進(jìn)而求它們

夾角的余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接4C交8。于點(diǎn)。，連接。M,

AC）AR1

因?yàn)?B//OC,所以△ZBOs^CQO,所以——=——=—,

COCD3

因?yàn)楹訛槭琧上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn)，所以P票M=1

CM3

因?yàn)檠?四=!，所以尸4//M0,

COCM3

15/90

因?yàn)镻/①平面MS。，MOu平面AffiZ),

所以尸/〃平面AffiD；

(2)因?yàn)槭矫鍺8CD,所以/P/O為尸/與底面4BC。所成的角，所以/尸/。=45。,

因?yàn)槭?2,所以40=2,

由題意得/DLOC,又尸。，平面/BCD,所以。4。。,。尸兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，以。4。。,。尸所在直線分別為x,?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,6,0),尸(0,0,2),M(0,3,1),

所以麗=(2,2,0),赤=(0,0,2),ZW=(0,3,1),

一DPLm

設(shè)平面尸5。的法向量為機(jī)=(網(wǎng),乂*|),則《一，

DBlm

DPm=02Z1=0

所以一，即2-,解得1°，令再=1，則必=一1，

DBm=0

則菊=(1,一1,0),

DBLn

設(shè)平面AffiD的法向量為)=(超,%/2),則＜

DMLn

DB-n=O12x+2y=0

所以即｛J?-?n，令％=1，則%=-1/2=3,

DM-n=Q'[3y2+z2=0

則1(1,-1,3),

ffi.n2A/22

因?yàn)閏°s成人所=7"=XF’又二面角尸-8。-■的平面角為銳角’

14.如圖，在四棱錐E-48co中，平面DEC_L平面NBC。，ADLCD,AB!/CD,DA=DC=44B=2,

CE=ED,且C￡_LED.

16/90

E

AB

⑴證明：CELAE.

(2)設(shè)平面ECD與平面EAB的交線為I.

①證明：DCIII.

②若P為/上的點(diǎn)，求DE與平面P3C所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)①證明見解析；②嚕.

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；

(2)①由Z8//CD根據(jù)線面平行的判定定理得DC〃平面再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明即可；

②建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將線面角的正弦值用向量表示，進(jìn)而求出所成角正弦的最大值.

【詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫妗闏D_L平面/BCD,平面ECOCl平面/BCD=CO,ADLCD,

所以4D_L平面ECO.

因?yàn)镃Eu平面EC。，所以“D_LCE.

因?yàn)镃E_LEZ),EDcAD=D,所以CE_L平面4DE.

又/Eu平面ZOE,所以CE_L/E.

(2)①證明：因?yàn)?3//CD,DC(Z平面瓦12，/8u平面E/8,所以DC〃平面及4瓦

又因?yàn)?。Cu平面ECD,平面ECOPl平面E43=/,所以DC///.

②解：過點(diǎn)。在平面。CE內(nèi)作則DM,平面八4BC,

又因?yàn)镹OLC。，所以以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、了軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),C(0,4,0),8(4,2,0),￡(0,2,2).

z卒E

設(shè)尸(0,私2),則瓦=(0,2,2),前=(-4,2,0),CP=(O,m-4,2).

17/90

n-BC=—4x+2y=0,

設(shè)平面P8C的法向量為元=(x,y,z),則＜

元?CP=(加一4)y+2z=0,

令x=l,則萬=(1,2,4一切).

MN同_帆一6|

設(shè)直線與平面尸5C所成的角為6,貝ljsine=COSDjYl—?/-----------------/------------]

2

|叫司V8j5+(4-m)逝.J("L4,+5

人ll-sin6=

令t=m—6,所以

當(dāng)且僅當(dāng)，=-|時(shí)，sin。取得最大值噤.

15.在空間直角坐標(biāo)系。-中Z中，定義：過點(diǎn)/(%,%,Z。)，且方向向量為正=(%6,c)的直線方向式方程為

￡^=三生==4次R0)；過點(diǎn)/(%,%,,Z。)，且法向量為3=(a,6,c)(/+〃+,2*0)的平面法向式方

程為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,將其整理成一般式方程為ax+如+cz-d=0,其中d=ax。+如()+cz。.

x—1y+2

已知直線I的方向式方程為其=q一=-z平面a的一般式方程為2x-亞y+z+5=0,平面月的一般式

方程為2x+3y+z-l=0,平面7的一般式方程為x-y-2z+4=0,平面必的一般式方程為

(2冽+l)x+(3m+2)y+(〃z+l)z-5=0.

(1)求直線/與平面a所成角的余弦值；

(2)求月與7所成角的正弦值；

(3)若￡。?=/',/'不在平面〃內(nèi)，證明：/'〃〃.

【答案】⑴述

7

⑵迫

14

(3)證明見解析

【分析】(1)由題意可得直線的方向向量與平面的法向量，利用線面角的向量公式，可得答案；

(2)由題意可得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；

(3)由空間向量垂直的坐標(biāo)表示，建立方程，求得直線的方向向量，根據(jù)向量垂直，可得答案.

【詳解】(1)設(shè)直線/與平面4所成角為4，

18/90

x—1v+2

因?yàn)橹本€/的方向式方程為（7=氣一=-z平面a的一般式方程為+2+5=0

所以直線I的一個(gè)方向向量為顯=（V2,2,-1）

平面a的一個(gè)法向量為，=（2,-后,1）.

2亞2拒-1.1_

77x777-

（2）設(shè)平面6和7所成角為名，

因?yàn)槠矫妗ǖ囊话闶椒匠虨?x+3了+z-1=0,

平面7的一般式方程為x-y-2z+4=0,

所以平面￡的一個(gè)法向量為0=（2,3,1）,平面7的一個(gè)法向量為0=（1,-1,-2）.

——”,,及、2—3—2。2]

所以…=酈『標(biāo)國=一丁,

2a+36+c=0

（3）證明:設(shè)直線I'的一個(gè)方向向量為m=（。力,°）,,所以

2a-b-2c=0

令6=1,則。=。=一1,所以直線/'的一個(gè)方向向量為加2=（T/，T）.

因?yàn)槠矫?的一般式方程為（2加+l）x+（3加+2）歹+（加+1”一5=0,

所以平面"的一個(gè)法向量為%=（2加+1,3加+2,加+1）.

所以加2=-2加-1+3加+2一加一1二0,

UULULU

所以僅2，%，又因?yàn)椤覆辉谄矫妗▋?nèi)所以

16.如圖，圓臺。。1的軸截面為等腰梯形力844,上、下底面半徑分別為2,4,圓臺母線與底面所成角為

JT

g,c是下底面圓周上一點(diǎn)（異于點(diǎn)42）.已知/C=4,若線段BC上存在一點(diǎn)P,使得用尸//平面4NC,

試確定點(diǎn)尸的位置，并求直線用尸與平面//C的距離；

19/90

【分析】取5c中點(diǎn)為尸，證明平面4。尸〃平面4/C即可得用尸//平面4/C,接著建立空間直角坐標(biāo)系，

____IH-ZZOI

求出向量/o和平面AAC的一個(gè)法向量為〃，再由距離公式即可求直線BP與平面44c的距離;

\n\X

【詳解】

取2C中點(diǎn)為尸，連接。尸，用。，則由題意可得。尸〃ZC,

由題意可知/。=44=4且/。//44，

所以四邊形/。旦4是平行四邊形，故4。//4/,

又。平面//C,/。，//匚平面4/。，

所以。尸〃平面4/c,4?！ㄆ矫?/C,又0尸口與。=。，

所以平面與。尸//平面Z/C,

又4Pu平面片。尸，所以4尸//平面Z/C,所以p為5c中點(diǎn)；

由上可知直線Btp與平面A.AC的距離即為點(diǎn)O到平面AAC的距離，設(shè)為d，

由題意圓臺母線長為'=u兀=4,"=（4-2）tan巴=26,

cosi3

如圖，取前中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，。2。區(qū)。。|分別為陽乃Z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。一平,

20/90

所以質(zhì)=（0,4,0）,而=僅6,0,-2石）,基=（0,-2,-26）

設(shè)平面4/C的一個(gè)法向量為加=（a,6,c）,(I

萬員=2品-2&=0

即取c=l,得。=1,6=-，

不屈=-3-2a：=0

17.已知四邊形為矩形，四邊形/ECD為直角梯形，AE1AD,AD//EC,MA=AD=3,EC=6,二面

角2-4E-C的大小為6.

（1）若。=；,P為CD的中點(diǎn).

①求點(diǎn)P到平面MBEA的距離;

②若/E=3,求平面5E尸與平面B/D夾角的余弦值.

7T

⑵若。=5,/E=3,點(diǎn)N為線段EC的中點(diǎn)，將ADCN沿。N折起,使得ADCN與四邊形MBEA在平面AEND

的同側(cè)，且平面QCW〃平面AffiE/,點(diǎn)尸為四面體AffiCO的內(nèi)切球球面上的一動點(diǎn)，求ED+；FC的最小

值.

【答案】⑴①噸；②生垣

4217

（2）巫

3

【分析】（1）①由題意作圖，根據(jù)矩形以及中位線性質(zhì)，由線面垂直的判定，結(jié)合勾股定理以及銳角三角

函數(shù)，可得答案；②由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

（2）由題意作圖名建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)距離公式建立方程進(jìn)行等量代換，根據(jù)圖象，可得

答案.

【詳解】（1）①設(shè)的中點(diǎn)分別為T,G,連接P7,TG,

在平面尸TG內(nèi)，過點(diǎn)尸作尸0，TG,垂足為。，如圖所示：

21/90

M

G

E-----------------------

因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以GT_L4E\

因?yàn)榍襎,P分別為ZE,OC的中點(diǎn)，所以尸所以/尸70=0,

因?yàn)镚TcPT=T,G7,PTu平面尸70,平面尸7。，所以NELP。.

因?yàn)镻0_LTG,且N￡cTG=T,1E,TGu平面”HEN,所以P。，平面AffiE/.

9

因?yàn)?Z）=3,EC=6,所以h=2.

2

因?yàn)間-g，所以尸。-巾.s