專(zhuān)題20等腰三角形與等邊三角形

考點(diǎn)一：三角形的中位線

知識(shí)回顧

1.中位線的定義：

三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線段叫做這個(gè)三角形的中位線。

2.中位線的性質(zhì)：

三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

微專(zhuān)題

1.（2022?南充）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)量校園內(nèi)被花壇隔開(kāi)的48兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)贏B外選擇

一點(diǎn)C,測(cè)得AC,8C兩邊中點(diǎn)的距離OE為10根（如圖），則A,B兩點(diǎn)的距離是m.

【分析】利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可.

【解答】解：CE=EB,

是△ABC的中位線，

：.AB=2DE,

\'DE=10m,

.\AB=20m,

故答案為：20.

2.（2022?福建）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若8c=12,則的長(zhǎng)為

【分析】直接利用三角形中位線定理求解.

【解答】解：VD,E分別是42,AC的中點(diǎn),

.?.OE為△ABC的中位線，

.?.￡）E=ABC=—X12=6.

22

故答案為：6.

3.（2022?西藏）如圖，如果要測(cè)量池塘兩端A,B的距離，可以在池塘外取一點(diǎn)C,連接AC,BC,點(diǎn)D,

E分別是AC,BC的中點(diǎn)，測(cè)得。E的長(zhǎng)為25米，則AB的長(zhǎng)為米.

【分析】應(yīng)用三角形的中位線定理，計(jì)算得結(jié)論.

【解答】解：￡分別是AC,BC的中點(diǎn)，

.?.ZJE是△ABC的中位線.

：.AB=2DE=2X25=50（米）.

故答案為：50.

4.（2022?麗水）如圖，在△ABC中，D,E,尸分別是8C,AC,AB的中點(diǎn).若AB=6,BC=8,則四邊形

BOEP的周長(zhǎng)是（）

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：E,尸分別是BC,AC,48的中點(diǎn),

：.DE=BF=—AB=3,

2

■:E、尸分別為AC、A3中點(diǎn)，

:.EF=BD=LBC=4,

2

四邊形8。所的周長(zhǎng)為：2X（3+4）=14,

故選：B.

5.（2022?眉山）在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,點(diǎn)。，E,尸分別為邊AB,AC,8C的中點(diǎn)，則^

DEE的周長(zhǎng)為（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出△ABC的周長(zhǎng)=2z\OEP

的周長(zhǎng).

【解答】解：如圖，點(diǎn)Q,E,歹分別為各邊的中點(diǎn)，

:.DE、EF、。廠是△ABC的中位線，

：.DE^—BC=3,EF=—AB^2,DF^—AC=4,

222

A￡）EF的周長(zhǎng)=3+2+4=9.

故選：A.

6.（2022?廣東）如圖，在△ABC中，BC=4,點(diǎn)。，E分別為A8,AC的中點(diǎn)，則?！?（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【分析】由題意可得。￡是△ABC的中位線，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)度.

【解答】解：：點(diǎn)。，E分別為AB,AC的中點(diǎn)，BC=4,

是△ABC的中位線，

：.DE=—BC=-X4=2,

22

故選：D.

7.（2022?沈陽(yáng)）如圖，在Rt^ABC中，/A=30°,點(diǎn)。、E分別是直角邊AC、8c的中點(diǎn)，連接。E,

則/CEZ）的度數(shù)是（）

A.70°B.60°C.30°D.20°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/B,根據(jù)三角形中位線定理得到根據(jù)平行線的性質(zhì)解答

即可.

【解答】解：在RtZVIBC中，ZA=30°,

則/8=90°-ZA=60°,

VD,E分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，

.'.DE//AB,

AZCE￡）=ZB=60°,

故選：B.

8.（2022?常州）如圖，在△ABC中，D、E分別是A8、AC的中點(diǎn).若。E=2,則BC的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：:D、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，

.?.￡）E是△ABC的中位線，

:.BC=2DE,

,:DE=2,

：.BC=4,

故選：B.

考點(diǎn)二：等腰三角形

知識(shí)回顧

3.等腰三角形的定義:

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底。兩腰構(gòu)成的夾

角叫做頂角，腰與底構(gòu)成的夾角叫做底角。

4,等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩腰相等。

②等腰三角形的兩底角相等。（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）

③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。（簡(jiǎn)稱(chēng)底邊上三線合一）

5.等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形。（等角對(duì)等邊）

③若一個(gè)三角形某一邊上存在“三線合一”，則三角形是等腰三角形。

/--------------------------------------------------------------------------X

微專(zhuān)題

9.（2022?黑龍江）如圖，ZkABC中，AB=AC,平分/BAC與8c相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸是。C的中點(diǎn)，連接所交于點(diǎn)P.若△ABC的面積是24,尸￡>=1.5,則PE的長(zhǎng)是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

【分析】如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG_LA。于G,證明得PG=PO=1.5,由三角形中位線定理

可得AD的長(zhǎng),由三角形ABC的面積是24,得3c的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGLAQ于G,

A

,：AB=AC,A。平分/SAC,

J.ADLBC,BD=CD,

:.NPDF=NEGP=9Q°,EG//BC,

；點(diǎn)E是42的中點(diǎn)，

；.G是AD的中點(diǎn)，

：.EG^—BD,

2

???尸是C￡)的中點(diǎn),

：.DF=^CD,

2

:.EG=DF,

'：NEPG=NDPF,

:.△EGP^AFDP(AAS),

：.PG=PD=1.5,

：.AD=2DG=6,

「△ABC的面積是24,

,-.A.BC?A￡>=24,

2

.,.BC=484-6=8,

：.DF^—BC^2,

4

：.EG=DF=2,

由勾股定理得：PE=422+i.~^2=2.5.

故選：A.

10.（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示,道路A2〃CD,道路A3與AE的夾角50°.城

市規(guī)劃部門(mén)想新修一條道路CE,要求則/E的度數(shù)為（）

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB〃C￡＞得到/OFE=NBAE=50°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/C

=NE,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算NE的度數(shù).

【解答】解:'JAB//CD,

；.NDFE=NBAE=5Q°,

,:CF=EF,

：.ZC=ZE,

■:NDFE=/C+NE,

：.ZC=—ZZ）FE=AX50°=25°,

22

故選：B.

11.（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA4c=24°,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，使C￡）=AC,連接AD,

則/。的度數(shù)為（）

A.39°B.40°C.49°D.51°

【分析】利用等邊對(duì)等角求得/B=NACB=78°,然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可.

【解答】M：'：AB=AC,ZBAC=24a,

.?./B=NACB=78°.

VCD^AC,NACB=78°,NACB=ND+NCAD,

：.ZD=ZCAD=^ZACB^39°.

2

故選：A.

12.（2022?荊州）如圖，直線/i〃/2,AB=AC,ZBAC=40°,則N1+N2的度數(shù)是（

B

【分析】過(guò)點(diǎn)。作CO〃/1,利用平行線的性質(zhì)可得N1+N2=NACB再由等腰三角形的性質(zhì)可得NAC5

=ZABC,從而可求解.

VZ1Z//2,

：.h//l2//CDf

：.Z1=ZBCD,Z2=ZACD,

：.Z1+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,

*：AB=AC,

：.ZACB=ZABC,

VZBAC=40°,

AZACB=A（180°-ZBAC）=70°，

2

???N1+N2=7O°.

故選：B.

13.（2022?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，。點(diǎn)在AB上，E點(diǎn)在3。上，OE為A3的中垂線.若NB=NC,且

ZEA0900,則根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）

A.N1=N2,Z1<Z3B.N1=N2,Z1>Z3

C.N1WN2,Z1<Z3D.N1WN2,Z1>Z3

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???為A3的中垂線,

：.ZBDE=ZADEfBE=AE,

:?/B=/BAE,

AZ1=Z2,

9：ZEAC>90°,

/.Z3+ZC<90°，

VZB+Z1=9O°,/B=/C,

AZ1>Z3,

???N1=N2,Z1>Z3,

故選：B.

14.（2022?宜賓）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,。是5C上的點(diǎn)，。匹〃A3交AC于點(diǎn)E,DF//AC3C

A3于點(diǎn)R那么四邊形尸的周長(zhǎng)是（)

B.10C.15D.20

【分析】由于OE〃AHDF//AC,則可以推出四邊形AFOE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)

可以證明團(tuán)AbOE的周長(zhǎng)等于AB+AC.

【解答】解：-DE//AB,DF//AC,

???四邊形AEDE是平行四邊形，ZB=ZEDC,ZFDB=ZC

VAB=AC,

???/B=/C,

：.ZB=ZFDBf/C=/EDC,

:,BF=FD,DE=EC,

：.^\AFDE的周長(zhǎng)=A3+AC=5+5=10.

故選：B.

15.（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3c機(jī)和5c處則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.8cmB.13cmC.8cm或130nD.He加或13cm

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3c初和5cm,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討

論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：當(dāng)3c機(jī)是腰長(zhǎng)時(shí)，3,3,5能組成三角形，

當(dāng)5cm是腰長(zhǎng)時(shí)，5,5,3能夠組成三角形.

則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm.故選：D.

16.（2022?天津）如圖，△04B的頂點(diǎn)。（0,0）,頂點(diǎn)A,8分別在第一、四象限，且A3,無(wú)軸，若

=6,OA=OB=5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

A.（5,4）B.（3,4）C.（5,3）D.（4,3）

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)勾股定理求出OC,根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解答】解：設(shè)與x軸交于點(diǎn)C,

"：OA=OB,OCLAB,AB=6,

.*.AC=LB=3,

2

由勾股定理得：OC=寸U/2={52_）2=4,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,3）,故選：D.

17.（2022?泰安）如圖，A〃/2,點(diǎn)A在直線人上，點(diǎn)B在直線/2上，AB=BC,NC=25°,/1=60°.則

Z2的度數(shù)是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到NC=/BAC=25°,禾理平行線的性質(zhì)得到乙陽(yáng)4=95°,再根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【解答】解:如圖，

???AB=3C,ZC=25°,

：.ZC=ZBAC=25°,

???/i〃/2,Nl=60°,

：.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

,?NBEA=NC+N2,

???N2=95°-25°=70°.

故選:A.

18.（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°,則這個(gè)底角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】設(shè)底角的度數(shù)是式,則頂角的度數(shù)為（2/20）°,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解

方程即可得出答案.

【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是,則頂角的度數(shù)為（2%+20）°,

根據(jù)題意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故選：B.

19.（2022?廣安）若（。-3）2+4^5=0,則以°、6為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為.

【分析】先求。，b.再求第三邊c即可.

【解答】解：：（"3）2+匹后=0,（a-3）220,匹石20,

?'?a-3=0,b-5=0,

??a=3,。=5,

設(shè)三角形的第三邊為c,

當(dāng)a=c=3時(shí)，三角形的周長(zhǎng)=a+A+c=3+5+3=ll,

當(dāng)。=。=5時(shí)，三角形的周長(zhǎng)=3+5+5=13,

故答案為：n或13.

20.（2022?岳陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于點(diǎn)。，若BC=6,貝!JCZ）=.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是BC的中點(diǎn)，即可求出CD的長(zhǎng).

【解答】解：'：AB=AC,AD±BC,

：.CD=BD,

VBC=6,

：.CD=3,

故答案為：3.

21.（2022?蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等

腰AABC是“倍長(zhǎng)三角形"，底邊8c的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為.

【分析】由等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，可知AB=2BC或BC=2AB,若4B=2BC=6,可得AB的長(zhǎng)

為6；若BC=3=24B,因1.5+1.5=3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案.

【解答】解：???等腰AABC是“倍長(zhǎng)三角形”，

：.AB^2BC或BC=2AB,

若AB=2BC=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意，

...腰的長(zhǎng)為6；

若BC=3=2AB,貝!|AB=L5,△ABC三邊分別是1.5,1.5,3,

V1.5+1.5=3,

...此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰A3的長(zhǎng)是6,

故答案為：6.

22.（2022?云南）已知AABC是等腰三角形.若/A=40°,則△ABC的頂角度數(shù)是.

【分析】分/A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答.

【解答】解：當(dāng)NA是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是40。；

當(dāng)NA是底角時(shí)，則AABC的頂角度數(shù)為180°-2X40°=100°；

綜上，ZVIBC的頂角度數(shù)是40°或100°.

故答案為：40°或100°.

23.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中A8=AC,立柱且頂角/8AC=120°,

則/C的大小為.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到N3=/C=30°.

【解答】解：且/BAC=120°,

；./8=NC=1（180°-NBAC）=1X60°=30°.

22

故答案為：30°.

考點(diǎn)三：等邊三角形

知識(shí)回顧

1.等邊三角形的概念：

三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

2.等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角也相等，且三個(gè)角都等于60°。

②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”

③等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸。

④等腰三角形的面積等于3/（。為等腰三角形的邊長(zhǎng)）。

4

3.等腰三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②三個(gè)角都相等（兩個(gè)角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。

④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

微專(zhuān)題

24.（2022?鞍山）如圖，直線等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線。上，N2=40°,則N1的度數(shù)為

A

A.80°B.70°C.60°D.50°

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/A=60°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出/3=80°,然后根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到/I的度數(shù).

【解答】解：???△ABC為等邊三角形，

/.ZA=60°,

VZA+Z3+Z2=180°,

.*.Z3=180°-40°-60°=80°,

'：a//b,

.".Zl=Z3=80°.

故選：A.

A

25.（2022?綿陽(yáng)）下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是（）

A.是軸對(duì)稱(chēng)圖形

B.對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)是其重心

C.是中心對(duì)稱(chēng)圖形

D.繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條邊的高線所在的直線是其對(duì)稱(chēng)軸，

故A選項(xiàng)不符合題意；

三條高線的交點(diǎn)為等邊三角形的重心，

對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)是其重心，

故B選項(xiàng)不符合題意；

等