北京市中關(guān)村中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)

學(xué)試題

一、單選題(本大題共10小題)

1.已知集合A={%￡N|%K6},B={XGR\X2-3X>0},則()

A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{x|3<x<6}D.{x|3<x<6}

2:.如圖，二在平行四邊形AB:CD中，AC-AB=()

A.CBB.ADC.BDD.CD

3.與-224。角終邊相同的角是()

A.24°B.113°C.124°D.136°

4.已知函數(shù)”x)=9-log2X,在下列區(qū)間中,

，包含/(x)零點的區(qū)間是

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+co)

ab

5都是非零向量，下列四個條件中，使H=而成立的充分條件是

A.=M且〃〃BB.a=-bC.a//bD.a=2b

AB

6.已知平面上不共線的四點。A民C，若OA—3。?+20c=6，貝!1一《=

AC

()

2

A.2B.-C.1D.-

323

7.設(shè)Q=log。？0.3,b=log20.3,貝Ij

A.a+b<ab<GB.ab<a+b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a+b

8.如圖所示，已知在矩形ABC。中，AD=4A/3,設(shè)麗=￡,BC=b,BD=c，則

5+S+c=()

AD

;

BC

A.273B.46C.8出D.16A/3

9.已知函數(shù)無)=￡=7,給出下列四個結(jié)論：

①〃x)在定義域上單調(diào)遞增；②存在最大值；③不等式的解集是

(-8,Tn2)；④/(x)的圖象關(guān)于點(0,J對稱.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①③C.①④D.①③④

px+vyt—1%>0

10.已知函數(shù)/(%)=｛'~，其中機<-1,對于任意石￡R且石W0,均存在

ax+b,x<0

唯一實數(shù)%,使得/(%)=/(匕)，且芯片/，若|/(刈=A㈤有4個不相等的實數(shù)

根，則。的取值范圍是

A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-l)u(-l,0)D.(-2,-1)

二、填空題(本大題共6小題)

11.與向量：=(T,1)方向相同的單位向量石=.

12.半徑為2,圓心角為2弧度的扇形的面積為.

13.函數(shù)〃尤)=—一+石工的定義域為

14.已知點A(3,-4)與點8(-1,2),點p在直線A3上，且|Q|=2|而則點P的坐標(biāo)

為.

15.對于函數(shù)/(x),若集合｛x|x>0,/(無)=/(-無)｝中恰有左個元素，則稱函數(shù)/(無)是

“上階準(zhǔn)偶函數(shù)”.已知函數(shù)“幻二‘力

2x,x>a.

(1)若。=0,則函數(shù)/(X)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”；

(2)若函數(shù)/Q)是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則。的取值范圍是.

16.定義在上,內(nèi))上的函數(shù)〃x),g(x)單調(diào)遞增，I(f)=g(t)=M,若對任意

存在玉<%,使得/a)=g(%)=左成立，則稱g(x)是在上,+向上的“追逐函

數(shù)”已知“無)=1,下列四個函數(shù)：①g(x)=x；②g(x)=lnx+l；③g(龍)=2-1；

④g(x)=2一.其中是〃尤)在［1,+⑹上的“追逐函數(shù)”的個數(shù)是個.

三、解答題(本大題共4小題)

17.已知2=(1,0)石=(2,1)

(1)當(dāng)“為何值時，左Z-石與Z+2I共線？

(2)^AB=2a+3b,BC=a+mb,且4B,。三點共線，求口的值.

18.某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線

并對所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進行檢

［6,8),［8,10］分組，得到如圖所示的

甲、生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖乙、生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖

(1)分別求甲、乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點值作代表)；

(2)若產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在［8,10］內(nèi)，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從

樣品中的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品進一步進行

檢測，求抽取的這2件產(chǎn)品中恰有1件產(chǎn)品是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

19.如圖1所示，在VABC中，點。在線段回上，滿足3①=方瓦G是線段46上的

點，且滿足3而=2而，線段"與線段交于點。.

(1)若標(biāo)=+求實數(shù)x,y的值；

⑵若超少，求實數(shù)f的值；

(3)如圖2,過點。的直線與邊加分別交于點區(qū)F,設(shè)荏=2麗衣=〃記，

(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

20.若函數(shù)/(尤)滿足：對任意正數(shù)型都有〃s)+/?)</(s+f),則稱函數(shù)/(X)為

“N函數(shù)”.

(1)試判斷函數(shù)X(x)=Y與力(x)=ln(x+l)是否為“N函數(shù)”，并說明理由；

⑵若函數(shù)y=3*+x-3a是“N函數(shù)”，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶若函數(shù)/⑺為“N函數(shù)”，/(1)=1,對任意正數(shù)s、t,都有7?(s)>0"(f)>0,

1Y7

是否對任意xe(2：23)(keN)都有/(x)-,若成立，請加以證明，若不

x2x

成立，請說明理由.

參考答案

1.【答案】B

【詳解】由A={尤eN|xW6},B={xe用一-3q0}得：A={0,1,2,3,4,5,6),

B={x[x>3叫<0},故Ac3={4,5,6},故選B.

2.【答案】B

【詳解】由圖知衣-麗=竟=而，

故選B.

3.【答案】D

【分析】根據(jù)條件，利用終邊相同的角的集合，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為-224。=-360。+136°,所以與-224°角終邊相同的角是136。，

故選D.

4.【答案】C

3_

【分析】因為/(2)=3-1>0,/(4)=--2<0,所以由根的存在性定理可得答案.

3

【詳解】因為"2)=3—1>0,/(4)=--2<0,

滿足"2)/(4)<0.所以“X)在(2,4)內(nèi)必有零點.

故選C.

【關(guān)鍵點撥】本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解

答好本類題目的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【詳解】對于A,當(dāng)口=忖且￡〃否時,abab

甲W或同A錯誤;

ab

對于B,當(dāng)，』時,□一W，B錯誤;

a_ba_b

對于c,當(dāng)￡〃B時,同w或同w,C錯誤;

ab

對于D,當(dāng)％=2萬時,甲M，D正確.

故選D.

6.【答案】B

【詳解】由次一3麗+20d=6，得3次一3彷=2函一2詼，W3BA=2CA,

\AB\2

所以^==二.

IAC|3

故選B.

7.【答案】B

1111

【詳解】分析：求出一=log03027=log032,得到一+7的范圍，進而可得結(jié)果.

abab

詳解：.vtz=log020.3,Z?=log20.3

「?一=logo.302工=logo.32

ab

11.」

—I—=log?！?.4

abJ

c11y口n八a+b/

0<—i—<1,Bp0<------<1

abab

又a>0,b<0

.,."<0即ab<a-\-b<0

故選B.

8.【答案】C

【詳解】a+b+c=AB+W+BD=AB+AD+(M5-AB)=2AD,

因止匕，|fl+g+c|=2|An|=8A/3.

故選C.

9.【答案】C

【詳解】對于①，因為內(nèi)層函數(shù)a=1+b在R上為減函數(shù)，且。>0,

外層函數(shù)>=:在(0,+向上為減函數(shù)，故/⑺在定義域上單調(diào)遞增，①對;

對于②，因為尸>0,則1+b>1,可得〃x)=]+；-e(O,l),

所以，函數(shù)無最大值，也無最小值，②錯；

對于③，由/(無)可得1+123,可得-2,解得x4-ln2,

故不等式的解集是(-8,Tn2],③錯；

對于④，函數(shù)“X)的定義域為R,

f[x}+f(-x)=—^—+-^—=—^-—=父擔(dān)=1

v7v7xA

1+bl+ee'[l+e,)l+e1+e*'

所以，〃元)的圖象關(guān)于點1o,￡|對稱，④對.

故選C.

10.【答案】D

【詳解】由題意可知F(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增，值域為[q+8),

:對于任意不eA且X1W0,均存在唯一實數(shù)X2,使得f8=f1xj,

f(x)在(9,0)上是減函數(shù)，值域為(0,+8),

/.a<0,b-m.

???"(x)|二廣(加有4個不相等的實數(shù)根,

0〈廣(勿)<-m,又冰-1,

0<a/z?+6<-ffl,即0<(a+1)m<-/n,

：.-2<a<-l.

本題選擇D選項.

點睛：（1）求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后

代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)『（『（a））的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

（2）當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段

上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相

應(yīng)段自變量的取值范圍.

11.【答案】（-冬冬

【詳解】與向量方向相同的單位向量B=

12.【答案】4

【詳解】設(shè)弧長為1，半徑為八圓心角為由題意知/=入。=4,

x>0

+有,解得0<xW2且xwl,

2-x>0

因此，函數(shù)的定義域為（0」）U（l，2].

14.【答案】go1或（—5,8）

【詳解】設(shè)P（x,y）,則由網(wǎng)=2同，得Q=2方或衣=-2萬.

若羽=2萬，貝I]（龍一3,y+4）=2（-l-x,2-y）.

_l（

x—3=-2—2x,解得「=了故尸!，0

所以

y+4=4-2y.

J=。，,

j——5

若麗=-2而，同理可解得Jy=8'故尸（一5,8）?

綜上，點P的坐標(biāo)為1,0)或(-5,8).

15.【答案】2[-2,T)U[1,2)

【詳解】①當(dāng)°=0時，函數(shù)=/(尤)的取值為2x,的取值

2x,x>0

為g),即21根據(jù)題意得丁=2力解得x=2或x=l,

則集合｛尤|x>0JO)=/(-x)｝中恰有2個元素，

故=是"2階準(zhǔn)偶函數(shù)”

2x,x>0

②根據(jù)題意，函數(shù)=是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，

2x,x>a.

則集合｛尤|尤>O"(X)=/(T)｝中恰有1個元素,

當(dāng)4=0時，〃x)=U"4°是"2階準(zhǔn)偶函數(shù)”，不合題意;

2x,x>0

當(dāng)。<0時，函數(shù)的圖像如圖①所示，

2x,x>a.

圖①

根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得〃尤)的可能取值為2x,〃-尤)的可能取值為

由題意知f(x)=f(-x),

所以2x=2，解得x=1或x=2

要使得集合M尤>0,〃尤)=〃-x)｝中恰有1個元素，則需要滿足1<-。42,

即-2<a<-l

當(dāng)a>0時，函數(shù)/(xxlj的圖像如圖②所示，

2x,x>a.

圖②

根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得〃力的可能取值為2x或("-可為出”=2，,

由題意知f(x)=f(-x),

當(dāng)］=2\解得x=0不符合題意

當(dāng)2x=2",解得尤=2或x=l,

要使得集合｛x|x>O"(x)=〃-x)｝中恰有1個元素，則需要滿足14〃<2.

綜上，若函數(shù)/Q)是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則。的取值范圍是l-2,-l)U［L2).

16.【答案】2

【詳解】“犬)=/在［1,+8)上的值域為［1,+8).

若對任意人>",存在不<々，使得/(%)=g(x2)=%成立，

則“X)與g(X)在［1,E)上的值域相同，

又〃力=/在［1,+8)上單調(diào)遞增，則〃占)=8優(yōu))<〃々),

則對任意xe(l,+e),有/(x)>g(x).

對于①：8(%)=》在□，+℃>)上單調(diào)遞增且值域為［L+s),

且F(x)=〃x)_g(x)=x2_x=x(x_l)>0恒成立.

即〃x)>g(x)在。，+功上恒成立，符合題意；

對于②，當(dāng)時，g(x)=lnx+l>lnl+l=l,即函數(shù)g(x)在［L+S)上的值域為

作出函數(shù)g(x)=lnx+l、y=的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)x?l,+e)時，的增長速度顯然快于函數(shù)g(x)的增長速度，

則對任意的x?l,+8),/(x)>g(x),符合題意；

對于③，函數(shù)g(尤)=2-1在［1,+8)上遞增，且值域為

且〃5)=52<25—l=g(5),不符合題意；

2

對于④，對于函數(shù)g(x)=l-二，該函數(shù)在［1,+°°)上為增函數(shù),

X

17

且當(dāng)xZl時，0<-<1,則g(x)=l丁卜1,1),不符合題意.

所以，①②是“追逐函數(shù)”.

17.【答案】⑴左=一二

2

小3

(2)7?1=-

【詳解】(1)因為2=(1,0),3=(2,1)

所以％%-0)-(2,1)=(%-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),

因為筋-另與2+25共線,

所以k解-得1％=一;1

(2)因為Z=(1,0)石=(2,1)

所以通=22+33=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m),

因為A,B,。三點共線，

1+9mrn3

所以須與而共線，即^^=9，解得“2=3.

o32

18.【答案】(1)X甲=6,X乙=5

⑵*

15

【詳解】(1)解：甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：

%甲=3x0.05x2+5x0.15x2+7x0.2x2+9x0.1x2=6.4；

乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：

%乙=3x0.15x2+5x0.1x2+7x0.2x2+9x0.05x2=5.6.

(2)由題意可知，甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有100X0.1義2=20件，

乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有100X0.05X2=10件.

從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有6x2J0^=4件，記為a,b,c,d；

從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有6乂"^=2件，記為凡邑

20+10

從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有：

(a,6),(a,c),(a,d),(a,￡),(a,F),

(人，c),(6,d),(A￡),(6,戶)，

(c,d'),(c,￡),(c,F),

(d,￡),(d,b)，

(￡,F),共15種;

其中符合條件的情況有：

(a,￡),(a,尸)，(6,￡),(6,6)，

(c,￡),(c,6)，(d,E),(46)，共8種.

Q

故所求概率尸=話.

【方法總結(jié)】

(1)由頻率分布直方圖直接求甲、乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)即可；

(2)先確定甲、乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品的個數(shù)，再利用列舉法寫出所有情況，利

用古典概率模型求解即可.

13

19.【答案】⑴x===

44

⑵"三

(3)8+4月

11

-1.

【詳解】(1)因為3比=而所以CO=：C5,

4

所以而=又+國=前+一9=!?+一(通一七)=—南+一正，

4444

所以V1，y二：3

44

__.2__________________.?__?__?

(2)由題意可知：GC=AC-AG=AC--AB=-^AB+AC,

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD——AB=t\-AB+-AC——AB=(---)AB+—AC,

5U4J5454

又因為G,O,C三點共線，所以存在實數(shù)上使得口必玄，

(---)AB+—AC=k(--AB+AC)=--AB+kAC

45455f

ft22k[8

__-i-f____

所以;§5,解得：1〉

"=kk=〃

〔4I11

Q

所以

1—.—.1—.—.

(3)易知TAE=AB,—AF=AC,

由（2）知

—.8、81—?3—?2—?6—?21―?61—,2—>6—?

AO=-AD=—(-AB+-AC)=—AB+—AC=—x-AE+—x-AF=——AE+—AF

11114411111121141U11〃

26

又因為瓦。尸三點共線，所以彳+丁=1,又丸

71T1/111〃

所以：

,,26、,，82〃628.[2u_6A8c叵8+40