專題09四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納..............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算....................................................I

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算..........................................................5

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.........................................................10

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.......................................................14

中考練場(chǎng).................................................................................................19

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

0俏題型綜述_________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨(dú)特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解與運(yùn)用，常與三角形等知識(shí)融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%?

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)平行四邊形性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分）的熟練運(yùn)用，以及基于這

些性質(zhì)進(jìn)行幾何證明和邊角計(jì)算，同時(shí)考查能否結(jié)合其他幾何圖形知識(shí)解決綜合問(wèn)題。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是平行四邊形；利用平行四邊形性質(zhì)證明線段相等、角相等或直線平行；已

知平行四邊形部分邊角條件，計(jì)算其他邊角的大?。辉谄叫兴倪呅闻c三角形等組合圖形中，進(jìn)行邊角關(guān)系的推理與計(jì)

算。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在平行四邊形的判定定理（如兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等、一組對(duì)邊平行且相等、

兩組對(duì)角分別相等、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）的應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及

平行四邊形與三角形全等、相似等知識(shí)的綜合考查。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠依據(jù)已知條件合理選擇平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)

算；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出平行四邊形及相關(guān)幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的幾何運(yùn)算能力，準(zhǔn)確求

解邊角數(shù)值。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定平行四邊形時(shí)條件使用不充分或錯(cuò)誤；在運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)時(shí)，對(duì)邊、角、對(duì)角線關(guān)系

混淆；在綜合圖形中，不能有效整合平行四邊形與其他圖形的性質(zhì)，導(dǎo)致證明和計(jì)算出錯(cuò)；計(jì)算過(guò)程中粗心大意，出

現(xiàn)數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤。

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02解題攻略

【提分秘籍】

工一平行而直形的匣質(zhì);

①邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等。

②角的性質(zhì)：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。

③對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線相互平分。即對(duì)角線交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)。

④對(duì)稱性：平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。與原圖形重合。

⑤面積計(jì)算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個(gè)平行四邊形的面積相等。

2.平行四邊形的判定：

①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：；AB〃DC,AB=DC,...四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對(duì)邊分別相等（兩組對(duì)邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：???AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：,.?/ABC=NADC,ZDAB=ZDCB,二四邊行ABCD是平行四邊形

④對(duì)角線相互平行的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：：OA=OC,OB=OD,...四邊行ABCD是平行四邊形

【典例分析】

例1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，四邊形48co的對(duì)角線/C,5。相交于點(diǎn)O,CM=OC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件

使四邊形ABCD是平行四邊形.

AD

例2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，口4BCD的對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，AC=4.若口4BCD

的周長(zhǎng)為12,貝UACOE的周長(zhǎng)為（）

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C.6D.8

例3.（2024?浙江?中考真題）如圖，在口/BCD中，AC,助相交于點(diǎn)。，AC=2,=273.過(guò)點(diǎn)“作/E_LBC的垂

線交BC于點(diǎn)E,記BE長(zhǎng)為x,5c長(zhǎng)為八當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x-yC.孫D.x2+y2

例4.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形/BCD中，AE、CF分別是/B/D,的平分線，且￡、

廠分別在邊BC,4D上.

（1）求證：四邊形/ECF是平行四邊形；

⑵若乙40c=60°,DF=2AF=2,求AGZ）下的面積.

例5.（2024?山東青島?中考真題）如圖，在四邊形48C。中，對(duì)角線NC與AD相交于點(diǎn)。，NABD=NCDB,BEYAC

于點(diǎn)￡,DFJ.AC于■點(diǎn)F,且BE=DF.

（1）求證：四邊形N8C。是平行四邊形;

Q）若AB=BO,當(dāng)//2E等于多少度時(shí)，四邊形/5CD是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出此時(shí)-示的值.

【變式演練】

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1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口/BCD中，E是8C邊上一點(diǎn)，AB=AE,AD=DE,若/8=70。，則/CDE

的度數(shù)為.

2.（2025?河南焦作?一模）如圖，在口4BCZ）中，44=80。，點(diǎn)￡是CD邊上一點(diǎn)，且此平分N4BE,若/CB￡=20。,

BE=a,EC=b,則口4BCD的周長(zhǎng)為（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+36D.6a-3b

3.（2024貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形N3C。中，NC與3。相交于點(diǎn)O,且/。=C。，點(diǎn)￡在AD上，滿足/E〃CD.

⑴判斷四邊形ZEC。的形狀，并證明；

Q）若AB=BC,CD=5,AC=8,求四邊形4ECD的面積.

4.（2024?廣東揭陽(yáng)?一模）如圖，在四邊形48CD中，ZA=ZC=9Q°,AD=CD,點(diǎn)E,尸分別是AS,上的點(diǎn),

連接。E,DF,EF,且/4DE=/CDE.

（2）若。￡=2/E=4,DE||BC,求8C的長(zhǎng).

5.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知在V/8C中，N8=/C,點(diǎn)。在BC上，以AD、NE為腰作等腰三角形NOE,且

/ADE=/ABC.連接CE,過(guò)￡作E"〃8C交C4延長(zhǎng)線于M,連接9.

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ME

（1）求證：ABAD四八CAE；

（2）求四邊形處。石的形狀，并加以證明.

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述_________________________________________

以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對(duì)特殊平行四邊形深入研究的重要內(nèi)容，依托矩

形特有的性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的掌握與運(yùn)用能力，常與三角形等知識(shí)融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)矩形性質(zhì)（四個(gè)角是直角、對(duì)角線相等且互相平分）的透徹理解與靈活運(yùn)用，基于這些性質(zhì)

開(kāi)展幾何證明，以及結(jié)合勾股定理、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行邊角的精確計(jì)算，并關(guān)注與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是矩形；利用矩形性質(zhì)證明線段相等、角相等、直線垂直；已知矩形的邊長(zhǎng)、

對(duì)角線等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、面積等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在矩形與三角形、其他四邊形構(gòu)成的

復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在矩形判定定理（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、三

個(gè)角是直角的四邊形是矩形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，矩形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及矩形與直角三角形（由矩形內(nèi)角為

直角產(chǎn)生）、等腰三角形（對(duì)角線相等產(chǎn)生）相關(guān)知識(shí)的綜合考查，例如運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)、借助相似三角形求線段

比例。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選用矩形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)密證明；擁有

良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出矩形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知識(shí)在矩形邊角計(jì)算中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定矩形時(shí)條件使用錯(cuò)誤或不完整，比如僅依據(jù)對(duì)角線相等就判定四邊形是矩形；在運(yùn)用矩形

性質(zhì)時(shí)，混淆對(duì)角線與邊、角之間的關(guān)系，致使證明出錯(cuò)；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)匦沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、?/p>

腰三角形）的性質(zhì)理解不深，運(yùn)用勾股定理、相似三角形知識(shí)出現(xiàn)偏差；在綜合圖形中，不能有效整合矩形與其他圖

形性質(zhì)，導(dǎo)致思路中斷。

02解題攻略

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【提分秘籍】

：施肥的11屆；

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

I

②矩形的四個(gè)角都是直角。

③矩形的對(duì)角線相等。

④矩形既是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱中心，過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線是矩形的

I對(duì)稱。

⑤由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

I2.矩形的判定：

I

（1）直接判定：

I

有三個(gè)角（四個(gè)角）都是直角的四邊形是矩形。

I

（2）利用平行四邊形判定：

I

①定義：有一個(gè)角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形/BCD的對(duì)角線/C與2。交于點(diǎn)。，DEJ.AC于點(diǎn)、E,延長(zhǎng)DE與8c交

于點(diǎn)F.若43=3,BC=4,則點(diǎn)尸到3。的距離為.

AK-----#

例2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形48CD中，E,尸是邊8c上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連接DE,AF,DE

與4尸相交于點(diǎn)G,連接2G.若48=4,BC=6,貝ljsin/GAF的值為（）

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Vio口3M2

A.D.-------cD.

Tr10-I3

例3.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在V/BC中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，CE//AD,AE1AD,EF工AC.

(1)求證：四邊形4DCE是矩形；

(2)若8C=4,CE=3,求￡尸的長(zhǎng).

例4.(2024?湖北武漢?中考真題)問(wèn)題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點(diǎn)￡,尸分別是3c的中點(diǎn)，連接3D,

EF,求證：ABCDs^FBE.

問(wèn)題探究：如圖(2),在四邊形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，點(diǎn)￡是48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊8C上，AD=2CF,

EF與BD交于點(diǎn)、G,求證：BG=FG.

直接寫(xiě)出F票G的值.

GF

例5.(2024?湖北武漢?中考真題)問(wèn)題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點(diǎn)、E,尸分別是的中點(diǎn)，連接8。,

EF,求證：ABCDs^FBE.

問(wèn)題探究：如圖(2),在四邊形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，點(diǎn)￡是48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊8C上，AD=2CF,

EF與BD交于■點(diǎn)、G,求證：BG=FG.

FG

問(wèn)題拓展：如圖(3),在“問(wèn)題探究”的條件下，連接4G,AD=CD,AG=FG,直接寫(xiě)出不二的值.

GF

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VB

圖⑴

【變式演練】

1.(2025?內(nèi)蒙古包頭?一模)如圖，在矩形/BCD中，40=6,對(duì)角線NC與3。交于點(diǎn)O,AE1BD,垂足為點(diǎn)E,

且/E平分/B4O,則的長(zhǎng)為()

C.2gD.373

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))如圖，平行四邊形48。的對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)。，且OC=OD.

(1)證明四邊形N8C。為矩形；

⑵若NO4D=30。，BC=6,求△OBC的面積；

(3)點(diǎn)E,尸分別是線段。8,CU上的點(diǎn)，若4E=BF,AB=5,AF=l,BE=3,求3尸的長(zhǎng).

3.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))問(wèn)題情境

在矩形ABCD中，對(duì)角線NC,8。交于點(diǎn)。，AD=AO=5.以08為邊作正方形OAEE,OE與DC交于點(diǎn)P,如圖

1所示.

E'F'

PC

DP,力C

Q\B'

o\Q

AB

AB

圖2圖3

(1)求NDAP的大??；

實(shí)踐探究

(2)將正方形08必繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形02'尸E',。8'與矩形的邊3c交于點(diǎn)。,

①如圖2,當(dāng)。夕，8C時(shí)，直接寫(xiě)出NO0P的大小；

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②如圖3,當(dāng)02'與8c不垂直時(shí)，連接尸。，試探究N。。尸的大?。?/p>

結(jié)論運(yùn)用

（3）在（2）的條件下，若2。=3,求EP的長(zhǎng).

4.（2024?貴州遵義?三模）已知四邊形A8CO是矩形，E是48邊上的一點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)P是EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與

E、。重合），連接尸8,過(guò)點(diǎn)尸作尸2,交。C于點(diǎn)尸.

（1）如圖（1）,當(dāng)/。=3,EC=DC=5時(shí)，貝!|/￡=；

【探究發(fā)現(xiàn)】

（2）在（1）的條件下，如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到EC的中點(diǎn)時(shí)，求尸尸的長(zhǎng).

【拓展提升】

（3）如圖（3）當(dāng)NBCE=45。時(shí)，探究線段CF,BC,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

5.（2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)）將一長(zhǎng)方形紙片。43c放在直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上，CM=9,0c=15.

（1）如圖1,在CM上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊，使點(diǎn)。落在NB邊上的點(diǎn)。，求線段/E.

（2）如圖2,在04OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)F,將△"（?尸沿板折疊，使點(diǎn)。落在48邊上的點(diǎn)。，處，過(guò)點(diǎn)。，作O'G

垂直于C。于點(diǎn)G,交MF于點(diǎn)、T.

①求證：TG=AM；

②設(shè)T（xj）,求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將〉用含x的代數(shù)式表示.

⑶在（2）的條件下，當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)P在直線上，問(wèn)：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)0,使以Q,P為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述_________________________________________

以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中對(duì)特殊四邊形深入探究的關(guān)鍵內(nèi)容，借助菱形區(qū)

別于一般平行四邊形的特殊性質(zhì)，全面考查學(xué)生的幾何思維與解題能力，常與其他幾何圖形知識(shí)綜合呈現(xiàn)，在中考數(shù)

學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)菱形特殊性質(zhì)（四條邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分每組對(duì)角）的深度理解與靈活運(yùn)用，以

此為基礎(chǔ)進(jìn)行各類幾何證明，以及結(jié)合三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行邊角的精準(zhǔn)計(jì)算，并注重與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包括證明一個(gè)四邊形是菱形；利用菱形性質(zhì)證明線段垂直、角平分線關(guān)系、線段相等；已知菱

形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)度等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、邊長(zhǎng)與高的關(guān)系等邊角數(shù)值；在菱形與三角形、其

他四邊形組成的復(fù)合圖形中，推理并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在菱形判定定理（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形、四條邊相等的四邊形是菱形、對(duì)角線互

相垂直的平行四邊形是菱形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，菱形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及菱形與直角三角形（因?qū)蔷€垂直

產(chǎn)生）、等腰三角形（四條邊相等）相關(guān)知識(shí)的綜合考查，如利用勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)、三角函數(shù)求角度等。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明；擁有敏

銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出菱形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算技能，特別是涉及勾股定理、

三角函數(shù)等知識(shí)在菱形邊角計(jì)算中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定菱形時(shí)錯(cuò)用或漏用條件，如僅依據(jù)對(duì)角線垂直就判定四邊形是菱形；在運(yùn)用菱形性質(zhì)時(shí)，

混淆對(duì)角線與邊、角之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯(cuò)誤；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)α庑沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、等腰?/p>

角形）的性質(zhì)把握不準(zhǔn)，運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)出錯(cuò)；在綜合圖形中，無(wú)法有效整合菱形與其他圖形性質(zhì)，思路混

亂。

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02解題攻略

【提分秘籍】

「「菱形的桂貳―一……

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

I

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對(duì)角線相互垂直，且平分每一組對(duì)角。

④菱形既是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，也是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱中心為對(duì)角線交點(diǎn)，對(duì)稱軸為對(duì)角線所在直線。

⑤面積計(jì)算：除了用計(jì)算平行四邊形的面積計(jì)算方法面積，還可以用對(duì)角線乘積的一半來(lái)計(jì)算面積。

|2.菱形的判定：

I（1）直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形。

I

符號(hào)語(yǔ)言：VAB=BC=CD=DA,二四邊形ABCD是菱形

I

（2）利用平行四邊形判定：

I

①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。

②對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在菱形/5CD中，AELCD,垂足為gCFL4D,垂足為尸.

求證：AF=CE.

例2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,S.AD=DC=-BC,E是3c的中點(diǎn).下面

2

是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接/E,則四邊形/OCE是菱形；

乙：若連接4C,則是直角三角形.

11/123

請(qǐng)選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明.

例3.(2024?云南?中考真題)如圖，在四邊形48CD中，點(diǎn)￡、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且AD//BC,

四邊形EFGX是矩形.

(1)求證：四邊形43C。是菱形；

(2)若矩形的周長(zhǎng)為22,四邊形/BCD的面積為10,求48的長(zhǎng).

例4.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形48CD中，點(diǎn)尸在邊4D上，AB=AF,連接8F,點(diǎn)。為

3尸的中點(diǎn)，/。的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)￡,連接所

⑴求證：四邊形是菱形：

⑵若平行四邊形/BCD的周長(zhǎng)為22,CE=l,ZBAD=120°,求/￡的長(zhǎng).

例5.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖1,E、F、G、〃分別是平行四邊形各邊的中點(diǎn)，連接"、CE交于點(diǎn)

連接NG、C”交于點(diǎn)N,將四邊形/MCN稱為平行四邊形48C。的“中頂點(diǎn)四邊形”.

AN

MC

圖1圖2圖3

(1)求證：中頂點(diǎn)四邊形NMCN為平行四邊形;

⑵①如圖2,連接/C、BD交于■點(diǎn)、O,可得M、N兩點(diǎn)都在AD上,當(dāng)平行四邊形ABCD滿足時(shí)，中頂點(diǎn)四邊

形AMCN是菱形;

12/123

②如圖3,已知矩形為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形.（保留作圖

痕跡，不寫(xiě)作法）

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?一模）如圖，四邊形/BCD為平行四邊形，對(duì)角線NC的垂直平分線所分別交邊AD,BC于點(diǎn)、E,

F,垂足為O.

（1）求證：四邊形/FCE為菱形；

（2）在8C的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G,使CG=OC,連接。G.若尸為3C的中點(diǎn)，且/G=15。，4B=8,求AFOG的面積.

2.（2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形Z5CZ）的對(duì)角線/C與2。相交于點(diǎn)。,CO〃O￡,直線CE是線段的垂直

平分線，CE分別交于點(diǎn)尸,G,連接。E.

⑴判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)8=6時(shí)，求EG的長(zhǎng).

3.（2025?河南鄭州?一模）如圖，菱形/3CD的對(duì)角線NC,AD相交于點(diǎn)O,E是40的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在NB上，EF1AB,

OG\\EF.

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

⑵若4。=10,EF=4,求OE和8G的長(zhǎng).

4.（2025糊南長(zhǎng)沙?一模）如圖，在菱形/BCD中，NB=6,ZB=60。，點(diǎn)瓦尸分別是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足4E=DF,

連接CE,CF,EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

13/123

I)

⑴求NEC尸的度數(shù);

⑵填空：

^AFAE^AFFG^AGAG

①一+—=②----------------=③一+一=

CDACCDEC--------------AEAF

(3)記△4EG的面積為E，A/FG的面積為5，△/￡(7的面積為?，ANFC的面積為

0^CF2=3AF-FD,求“■的值；

d3

②試判斷姜+2的值是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

?3

5.(2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè))已知：如圖，在菱形/5CD中，AD=10cm,BD=12cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿8。方

向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿ZX4方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Icrn/s,連接尸。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

/(s)(0<?<10).

⑴延長(zhǎng)。尸交BC于點(diǎn)E,若四邊形/。口是平行四邊形，求，的值;

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到CA的垂直平分線上？

⑶設(shè)四邊形尸。的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關(guān)系式.

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述_________________________________________

以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊里對(duì)特殊四邊形深度探究的關(guān)鍵內(nèi)容，憑借正方

形集矩形與菱形特性于一身的獨(dú)特性質(zhì)，全面考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用與邏輯思維，常與三角形、其他四邊形

14/123

知識(shí)交織，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約4%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)正方形性質(zhì)（四條邊相等、四個(gè)角是直角、對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一

組對(duì)角）的深度理解與靈活運(yùn)用，以此為基礎(chǔ)展開(kāi)幾何證明，并結(jié)合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行

邊角的精準(zhǔn)計(jì)算，同時(shí)注重與其他幾何圖形性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是正方形；利用正方形性質(zhì)證明線段相等、垂直、角平分線關(guān)系；已知正方

形邊長(zhǎng)、對(duì)角線等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、面積、周長(zhǎng)等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在正方形與三角形、

其他四邊形組成的復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系與圖形面積。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在正方形判定定理（一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形、對(duì)角線互相垂直

且相等的平行四邊形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，正

方形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及正方形與等腰直角三角形（由正方形性質(zhì)產(chǎn)生）、全等三角形、相似三角形相關(guān)

知識(shí)的綜合考查，如運(yùn)用勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng)度、借助全等三角形證明線段關(guān)系。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇正方形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明；擁有

敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出正方形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算技能，尤其是勾股定理、

全等與相似三角形知識(shí)在正方形邊角計(jì)算與圖形關(guān)系推導(dǎo)中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定正方形時(shí)條件使用不充分或錯(cuò)誤，如僅依據(jù)四條邊相等就判定四邊形是正方形；在運(yùn)用正

方形性質(zhì)時(shí)，混淆邊、角、對(duì)角線之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯(cuò)誤；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)φ叫沃刑厥馊切危ǖ妊?/p>

直角三角形）的性質(zhì)把握不準(zhǔn)，運(yùn)用勾股定理、全等與相似三角形知識(shí)出錯(cuò)；在綜合圖形中，無(wú)法有效整合正方形與

其他圖形性質(zhì)，思路混亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

門(mén)「正為形的I■貳一—

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

i

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。

i

所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對(duì)角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對(duì)角，把正

I方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱中心，對(duì)角線所在直線是對(duì)稱軸，過(guò)每一組

I對(duì)邊中點(diǎn)的直線也是對(duì)稱軸。

I2.正方形的判定：

（1）利用平行四邊形判定：

I

一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

[（2）利用菱形與矩形判定：

1-------------------------------------------------45-/-1-23---------------------------------------------------

①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

②對(duì)角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形/3CD的對(duì)角線/C與BD相交于點(diǎn)O.E是BC邊

上一點(diǎn)，尸是上一點(diǎn)，連接?！?￡尸.若A￡>￡戶與ADEC關(guān)于直線。E對(duì)稱，則△8EF的周長(zhǎng)是（）

C.4-272D.6

例2.（2024?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，在正方形/3CA中，/C與2。交于點(diǎn)。,〃為NB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BH=BD,

連接。H,分別交/C,BC于點(diǎn)、E,F,連接則下列結(jié)論：①空=3；②tan/〃=V5-l；③BE平分NCBD；

BF2

④2aB2=DEDH.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2024?江蘇徐州?中考真題）已知：如圖，四邊形NBC。為正方形，點(diǎn)E在8。的延長(zhǎng)線上，連接E4EC.

（1）求證：AEAB%ECB；

⑵若N/EC=45。，求證：DC=DE.

16/123

例4.(2024?四川南充?中考真題)如圖，正方形45CD邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E為對(duì)角線4C上一點(diǎn)，CE=2AE,點(diǎn)、P在AB

邊上以lcm/s的速度由點(diǎn)4向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。在邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒

(0<Z<3).

(1)求證：“EPs小CEQ.

(2)當(dāng)△項(xiàng)邊是直角三角形時(shí)，求，的值.

(3)連接“。，當(dāng)tan/N0￡=g時(shí)，求△/石。的面積.

例5.(2024?海南?中考真題)正方形/BCD中，點(diǎn)￡是邊8c上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，Zl=Z2,AE=EF,AF

交CD于點(diǎn)X,bG,8c交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：“BE知EGF；

⑵如圖2,尸于點(diǎn)P,交4D于點(diǎn)

①求證：點(diǎn)尸在/N8C的平分線上；

②當(dāng)三7=加時(shí)，猜想N尸與用的數(shù)量關(guān)系，并證明;

DH

③作HNLAE于息N,連接JW、HE,當(dāng)ACV〃族時(shí)，若NB=6,求BE的值.

【變式演練】

1.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知正方形/3CD中，E為CD垂直平分線上一點(diǎn)，E,F關(guān)于直線8。對(duì)稱，BF

和ED相交于點(diǎn)G,求證：

(V)AELBF；

(2)AG//BD.

2.(2024?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)￡為正方形/BCD對(duì)角線NC上一點(diǎn)，連接。￡,過(guò)點(diǎn)￡作EFLDE,交射線

3c于點(diǎn)R以。瓦所為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

17/123

⑴求證：矩形。EFG是正方形；

4E

(2)若/COG=30。，求行的值.

EC

3.(2023?吉林松原?模擬預(yù)測(cè))已知正方形/BCD邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作射線OEOF,分

(1)如圖1,當(dāng)OE_L4D時(shí)，求證：四邊形/EO尸是正方形；

⑵如圖2,將射線OE,。廠繞著點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷線段與。尸的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

②四邊形。以尸的面積為二

(3)如圖3,在四邊形尸。跖V中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=90°,連接若尸"=9,請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形尸0AW的

面積.

4.(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))如圖1,正方形/BCD中，對(duì)角線NC與2。相交于點(diǎn)。，在線段上任取一點(diǎn)尸(端

點(diǎn)除外)，連接P。、PB.將線段。尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在A4的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處.

(2)如圖2,作于點(diǎn)作PN~AD于點(diǎn)、N,作尸￡_LZO交NB于點(diǎn)E,作￡F_LO8于點(diǎn)尸，請(qǐng)你寫(xiě)出幺。與。尸

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,將(1)中正方形ABC。換成菱形4BCD,且/4BC=60。，其他條件不變，試探究/。與。尸的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

5.(2024?江蘇鹽城?三模)【教材呈現(xiàn)】

18/123

（1）如圖1,在正方形48cA中，E是8c上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到△4DF,

①旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn);旋轉(zhuǎn)角最少是度.

②愛(ài)動(dòng)腦筋的小明，在CD邊上取點(diǎn)G,連接/G、EG,使得NGNE=45。，他發(fā)現(xiàn)：GE=2E+DG,他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

請(qǐng)你判斷并說(shuō)明理由.

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）①圖1中，若正方形N3C。的邊長(zhǎng)為。，則ACEG的周長(zhǎng)為（用含有。的式子表示）.

②如圖2,在四邊形/BCD中，AD\\BC{BC>AD),￡)5=90°,BC=AB=12,￡是48的中點(diǎn)，且4DCE=45。，則

的長(zhǎng)=.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形/BCD中，NBAD=6Q°,在線段上選一點(diǎn)P（不與點(diǎn)4。重合），沿8P折疊，得到,

在線段。上取點(diǎn)。，沿8。折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)“重合，連接4C,分別交線段BP、8。于點(diǎn)G、H,若AG=6,CH=4,

求的長(zhǎng).

03中考練場(chǎng)

一、填空題

1.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，在正方形4BCD中，BC=3,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=2,。E平分N/OC交NE于

點(diǎn)尸，則線段。尸的長(zhǎng)為.

2.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形48c。中，點(diǎn)￡在/。邊上，點(diǎn)尸在3C邊上，旦BF=DE,連接￡尸交

對(duì)角線于點(diǎn)。，BD=5,CD=3,連接CE,若CE=CF,則防長(zhǎng)為.

19/123

3.（2025?四川?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形4BCD中，/8=60。，E,X分別為N8,8C的中點(diǎn)，G,尸分別為線段

CE的中點(diǎn).若線段的長(zhǎng)為8。，則尸G的長(zhǎng)為.

4.（2025?山西朔州?一模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形/BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,W為。4上的一點(diǎn)，ON=1,連接編.將

8河繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段點(diǎn)N在邊CD上，過(guò)點(diǎn)N作NPL/C,則DN的長(zhǎng)為

二、解答題

5.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口48c。中，對(duì)角線NC與8。相交于點(diǎn)O,ZCAB=ZACB,過(guò)點(diǎn)8作

交NC于點(diǎn)E.

（1）求證：AABOS^BEO；

（2）若N8=10,NC=16,求OE的長(zhǎng).

6.（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口48co中，點(diǎn)廠在邊40上，AB=AF,連接8尸，。為8尸的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)

線交邊BC于點(diǎn)E,連接EF.求證：四邊形43跖是菱形.

7.（2025?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=AD,E,9是對(duì)角線AD上的點(diǎn)，且BE=DF,

連接NE,CF,AF,CE.求證：四邊形NFCE是菱形.

20/123

AD

B

8.（2025?云南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口4BCD中，對(duì)角線/C,5。相交于點(diǎn)。，ADLBD,￡是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作

EF//BD,交BC于點(diǎn)、F.

（1）求證：四邊形OEEB是矩形；

⑵若4D=8,DC=U,求四邊形OEE8的面積.

9.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口48co中，對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)O,作/胡。和/BCD的平分線，分別交5D

于點(diǎn)G,H,延長(zhǎng)/G交8c于點(diǎn)￡,延長(zhǎng)S交AD于點(diǎn)尸.

（2）已知（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），判斷四邊形/ECF的形狀，并證明.條件①：BD平分NCDF；

條件②：ZBAE=2ZEAC.

10.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知四邊形N8C。中，8C=C。.連接AD,過(guò)點(diǎn)C作的垂線交NB于點(diǎn)E,連接。E.

（1）如圖1,若DCUBE,求證：四邊形8CDE是菱形；

（2）如圖2,連接/C,設(shè)8D,4C相交于點(diǎn)R若DE垂直平分線段/C,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與NDEC相等的角（/DEC除

外）.

11.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).將直角/MEN的頂點(diǎn)E放在正方形/BCD的對(duì)角線

21/123

ACh(點(diǎn)E不與/、C重合)，其中直角邊EN與8c交于點(diǎn)尸，直角邊EN與CD交于點(diǎn)G.

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖，當(dāng)即與3c垂直時(shí)，填空：EFEG.（填或“<”）

(2)探究：如圖，當(dāng)即與8c不垂直時(shí)，請(qǐng)判斷所與EG之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不

變，請(qǐng)給出證明；

⑶拓展：當(dāng)斯與3c不垂直時(shí)，以EF、EG為鄰邊構(gòu)造矩形瓦HG,連接C”,請(qǐng)直接寫(xiě)出/8CH的度數(shù).

12.(2025?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè))如圖是一張矩形紙片N8C。，點(diǎn)M是對(duì)角線NC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上.

圖2

(1)如圖1,將△OCE沿直線OE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線4C上的點(diǎn)尸處，連接。REF.

①若/EDC=30。，DE=l,求對(duì)角線NC的長(zhǎng);

CD

②若MF=CD,求ND4/的度數(shù)及此時(shí)》的值.

⑵如圖2,若CB=3,CD=2,連接3朋、ME,將AMEC沿ME折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,當(dāng)線段GE與線段交

于點(diǎn)H且ABHE為直角三角形時(shí),求此時(shí)8E的長(zhǎng).

13.(2025?湖北?一模)問(wèn)題背景:如圖1,在矩形/BC。中，AB=25ZABD=30。，點(diǎn)E是邊48的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡

作交2。于點(diǎn)?

D

(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明同學(xué)將圖1中的45所繞點(diǎn)3按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論:

cAE

①——二

DF

②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為

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(2)小明同學(xué)繼續(xù)將ABE尸繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D,E,尸在一條直線上如圖3所示位置時(shí)，求AAEF的

面積；

(3)在△AEF繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周過(guò)程中，記△/￡尸的面積為S,直接寫(xiě)出S的取值范圍.

14.(2025?山東威海?模擬預(yù)測(cè))在平行四邊形/BCD中，對(duì)角線/C、8。交于點(diǎn)O,P是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。、

點(diǎn)C重合)，過(guò)點(diǎn)P分別作4D、CD的平行線，交CD于點(diǎn)、E,交.BC、BD于點(diǎn)、F、G,連接EG.

(1)如圖1,如果尸C=2OP,求證：EG//AC；

(2)如圖2,如果48c=90。，券=：，且ADGE與APC尸相似，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求器的值；

(3)如圖3,如果B4=8G=8C,且射線EG過(guò)點(diǎn)A.請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求//2C的度數(shù).

15.(2025?山西?一模)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，活動(dòng)小組探究平行四邊形折疊過(guò)程中的一些結(jié)論，如圖1,已知平行四邊形/BCD,

AB//CD,AD//BC,ZC<90°,將平行四邊形/BCD沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)。落在NO邊上的點(diǎn)￡處，折痕與3c

交于點(diǎn)F.

初步探究：

(1)判斷四邊形CDEb的形狀，并說(shuō)明理由；

圖1圖2圖3

深入探究：如圖2,取線段。尸邊上的一點(diǎn)。(不含點(diǎn)。，F(xiàn)),過(guò)點(diǎn)。作8C邊的垂線分別與2c交于點(diǎn)/,J,將

平行四邊形/5CD沿直線〃■折疊，使點(diǎn)C落在2C邊上的點(diǎn)〃處，使點(diǎn)。落在4D邊上的點(diǎn)G處，連接G〃.

(2)若隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，G〃與D尸始終保持平行，請(qǐng)求NC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，如圖3,若CQ=6,GH與EF交于點(diǎn)M,連接(W,OC,當(dāng)NMOC=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出ZD的

值.

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專題09四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納..............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算....................................................1

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算..........................................................5

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.........................................................10

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.......................................................14

中考練場(chǎng).................................................................................................19

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

0謂題型綜述_________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨(dú)特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)