房山區(qū)2024-2025學年度第一學期學業(yè)水平調(diào)研(一)

局一數(shù)學

本試卷共4頁，滿分150分，考試時長120分鐘.考生務必將答案填涂或書寫在答題卡上，在

試卷上作答無效.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共50分)

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.在平面直角坐標系宜打中，設點'(T4),則線段.的中點坐標為()

A.(1,1)B.(-2,3)C.(2,2)D.(2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用中點的坐標公式計算即可.

【詳解】由題可知中點的坐標為

故選：A

2.在空間直角坐標系。-az中，點P(l,2,1)關于坐標平面xOz的對稱點為()

A.(-1,2,1)B.(1,2,-1)C.(1,-2,1)D.(-1,2,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用關于坐標軸、坐標平面對稱點的特征求解即得.

【詳解】依題意，點「(1,2,1)關于坐標平面xOz的對稱點為

故選：C

3.已知向量Z=(1,0,2),S=(x,l,l),如果￡_LB，則x的值為()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示，列式求解，即得答案.

【詳解】由題意知向量2=(1,0,2),S=(x,l,l),ZJJ,

則a.6=0，故1xx+0x1+2x1=0,.,.x=—2,

故選：B

4.直線x++2=0的傾斜角是（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.

【詳解】x+V3_y+2=0=,

設其傾斜角為戊，則tana=-y±，又0°Ka<180°，

3

?a=150°，即傾斜角為150°，

故選：D

5.已知直線x+ay—2=0與直線4：2ax+（a+l）>+2=0平行，則。的值為（）

1191

A.1B.----C.----或1D.一

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線平行的充要條件列式計算即得.

【詳解】由直線4：x+a_y-2=0與直線，2：2ax+（a+l）_y+2=0平行，

得生=小。2,解得。=1,

1a-2

所以。的值為1.

故選：A

6.如圖，在平行六面體48CD—4片。。1中，益二，AD=b^五彳=），/。與相交于點。.則而=

ILL

A.a+b+cB-a+b-c

]-1r一

C—aH—b+cD.—a+—b-c

.2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量基本定理及空間向量線性運算求解即得.

【詳解】在平行六面體48CD-481G3中，NC與8。相交于點。，則。為AD的中點,

A^O=AO-A^=^(AB+AD)-A^=-^b-c.

故選：D

7.已知直線/的方向向量為何，平面a的法向量為貝『'記i=0"是"http:///a”的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D,必要不充分條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，結合充分、必要條件的概念，即可得答案.

【詳解】若三i=0,貝1J///a或/ua,故充分性不成立,

若///<2,則7""=0,故必要性成立,

所以“藍.n=0"是“///tz”的必要不充分條件，

故選：D.

8.已知圓C：（x—3『+（y—4）2=1和兩點/（一加,0）,（加>0）,若圓。上存在點尸，使得

ZAPB=90°,則m的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由直角三角形性質(zhì)得|。P|=3^同=加，要求加的最小值即求圓。上點2到原點。的最小距離,

從而得解.

【詳解】顯然|45|=2加，因為/4P5=90°，所以|。尸|=；|48|=加，

所以要求m的最小值即求圓C上點P到原點0的最小距離，

因為=所以10Hmm=|0C|—r=5—1=4,即/"的最小值為4.

9.已知直線/：ax+by=1,圓。1：x2+y2=1,圓Q：(x-a)2+(y-b)2=1,a,6eR.則下列說法

錯誤的是()

A,若圓心Q在圓01內(nèi)，則圓心。1在圓。2內(nèi)

B.若圓心a在圓a內(nèi)，則直線/與圓a相離

c.若直線/與圓。相切，則直線/與圓&相切

D,若直線/與圓a相切，則圓心Q在直線/上

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心的半徑，結合點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系逐I判斷即可.

【詳解】圓。1：必+「=1的圓心。］(0,0),半徑外=1,圓Q：(x-a)?+(y—b)2=1的圓心。2(。力)，

半徑4=1,

22

對于A,圓心Q在圓0］內(nèi)，則0<。2+〃<1，|0x021=V?+b<1>圓心。i在圓Q內(nèi)，A正確;

1

對于B,圓心0在圓°i內(nèi)，則0</+b2<i，點0到直線/的距離［=>1,直線/與圓&相

yla2+b2

禺，B正確;

1,I。一+6TI_c

對于CD,直線/與圓&相切，則j.+7="點0到直線/的距離

耳+7—'

圓心打在直線/上，直線/與圓。2相交，C錯誤，D正確.

故選：C

10.在正方體45co—Z/CQi中，CM=xCD+yCCx,其中xe[0,l],ye[0,1].給出下列三個結論:

①所有滿足條件的點M構成的圖形為正方形（含內(nèi)部）；

7T

②當x=l時，CM與4。所成角的最小值為一；

3

③當了=；時，存在點使得用c，G〃.

則所有正確結論的序號為（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】對于①，由平面向量基本定理可得解；建立空間直角坐標系，對于②先判斷M在線段。A上，可

設四（0,0,加）,（加用加表示向量夾角余弦值，結合不等式的性質(zhì)判斷即可；對于③，當時，

可得加求得麻的值，即可判斷不可能垂直.

【詳解】如圖所示：

對于①，因為。1/=xCZ)+yCG，xe[0,l],je[0,l],

由平面向量基本定理可得點尸在正方形。CGA內(nèi)，故①正確;

對于②，當x=l時，CM=CD+yCCl,即由—而=y西，DM=yCCx,

所以加在線段上,

如圖以。4。。,。3分別為工，以2軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1,

則。(0,0,0),4(1,0,1),。(0/,0),設屈(0,0,加),(加6[0』]),

則n4；=(l,0,l),CA7=(0,-l,m),

函.函

所以卜os(西,由)=ImV21

HRA/2xV1+w221+m2

因為加￡[0,1],則卜osZ>4，CA/|￡0,g

所以當加=1時，即點M與A重合時，

JT

CN與4。所成角的最小值為一，故②正確；

3

對于③，由于用(1,1,1),G(0,1,1),

則配=(—1,0,—1),而(0,1,0),西=(0,0,1),

當y=1?時，O/=xCD+1cC；=x(0,-l,0)+1(0,0,l)=(0,-x,^-

0,一,一；

使得③錯誤.

故選：A

【點睛】方法點睛：利用空間向量法解決不定點問題.

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.己知點2(—2/)，5(1,-5),則直線的斜率.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率的坐標公式計算即得.

【詳解】由點2（—2/），5（1,-5）,得直線的斜率左相=三二=一2.

1一（一2）

故答案為：-2

12.在空間直角坐標系?！衵中，己知點/（0,2,1）,5（0,0,1）,C（l,2,0）,則忸4=_____；點/到直

線BC的距離為.

【答案】①.V6②.宜I##2G

33

【解析】

【分析】求出向量就，瓦1的坐標，再利用向量模的坐標表示及空間點到直線的距離公式計算得解.

【詳解】由點8（0,0,1）,C（l,2,0）,得瑟=（1,2,—1），所以|直|=m+22+（_1）2=〃；

由/（0,2,1）,得方=（0,2,0）,所以點/到直線3c的距離為

故答案為：娓;2回

3

13.已知點4（0,0）,5（0,2）,C（3,-l）,。（4,2）在同一個圓上，則這個圓的方程為.

【答案】x23*10+y2-4x-2y=0

【解析】

【分析】設圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求得答案.

【詳解】設圓的方程為xZ+V+Dx+4+pnO,OZ+E?—/〉。），

F=0

將點2（0,0）,5（0,2）,C（3,—1）代入得4+2E+/=0,

10+3D-E+F=0

D=-4

解得<E=-2,滿足D2+E2-4F>0>則必+/-4x-2y=0,

F=0

將。（4,2）代入%2+/-4x-2j=0也適合,

故所求圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,

故答案為：x2+y2-4x-2y=0

14.過點(1,1)且與原點的距離最大的直線I的方程為.

【答案】x+y-2=0

【解析】

【分析】設點(1/)為4確定所求直線為過點且與直線ON垂直的直線，求出斜率，即可得答案.

【詳解】設點(1』)為4

則過點(1,1)且與原點的距離最大的直線/為過點(1』)且與直線垂直的直線，

而OA斜率為1,故所求直線斜率為-1,

則所求直線方程為J—1=—(x—1),即x+y—2=0,

故答案為：x+y-2=0

15.已知正方體4BCD-m=4彳，為鈍角，則實數(shù)丸的一個可能的取值為.

【答案】-(答案不唯一，-<2<1)

23

【解析】

【分析】設瓦0=x,CxM=t,正方體的棱長為1,在△卸⑷中，利用余弦定理求出Y<1，在“。眼

中，再利用余弦定理即可求解.

【詳解】設@M=x,CxM=t,正方體的棱長為1,則HD=及，

在△370。中，BM=DM，由余弦定理得cos/8M)=----------=--

2x2x2

由/⑻為鈍角，得J2-1<0,貝！顯然M與4G都不重合，即0<2<1，

x

在ABGM中，8G=0,COSNBC[M=g，由余弦定理得=2+〃—2-JLdg，

于是2+/—2-JL八逅<1，即3/—4G/+3<0，解得由</〈百，

33

而c/=G,則:<x<i,所以實數(shù)2的取值范圍是;<2<1,取彳=；.

故答案為：一

2

16.數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、

思維方法等之中.已知一條曲線C的方程為(|x|-l)2+(|j|-l)2=8,給出下面四個結論：

①曲線C上兩點間距離的最大值為6也；

②若點P(a,—。)在曲線C內(nèi)部(不含邊界)，則—3<。<3；

③若曲線C與直線>=x+冽有公共點，則—6〈加《6；

④若曲線C與圓必+/=/(井〉0)有公共點，則4WrW3jL

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】作出。的圖象，結合圖象分析任意兩點距離的最大值判斷①；根據(jù)直線^=一》與C的交點坐標進

行判斷②；根據(jù)直線>=x+冽與。相切時m的取值進行判斷③；分析臨界情況：x2+/=r2(r>0)經(jīng)過

。與坐標軸的交點、/+/=/化〉0)與。在四個象限相切，由此求解出「的范圍判斷④.

【詳解】當X20/20時，C:(x—ly+O—1)2=8,圓心G(l,l)；

當x20,y<0時，C:(x-l)2+(j+l)2=8,圓心。2(1，-1)；

當x<0,y20時，C:(x+l)2+(v-l)2=8,圓心G(—1,1)；

當x<0,y<0時，C:(X+1)2+(J+1)2=8,圓心Q(T，T)；

當x=0時，j=±(V7+l)；當>=0時，x=±(V7+l)

作出C在平面直角坐標系下的圖象如下:

?Q

X

?c2

對于①，C上任意兩點距離的最大值為CcJ+2r=萬/+2x20=60，①正確;

|（I4-I）2（W-I）2=8解得］x=-3X=3

對于②，點P(a,—a)在直線V=-x上，由+；、或“

J=—xb=3

而點P(a,—a)在曲線。內(nèi)部(不含邊界)，則有—3＜a＜3,②正確;

對于③，當直線＞=x+加與。相切時，如圖,

若〉=丫+加與C在第二象限相切時，則G到y(tǒng)=x+7〃的距離等于圓的半徑,

|-1-1+w|

則二2收，而加〉0,解得m=6，

V2

若y=x+加與C在第四象限相切時，則。2到了=》+加的距離等于圓的半徑,

『一（T）+M

則=2V2,而加＜0,解得加=一6,

V2

結合圖象知，曲線C與直線＞=x+"z有公共點時有一6?加(6,③正確;

對于④，如圖,

曲線C與坐標軸的交點坐標為(±(J7+1),0),(0,±(J7+1))，

因此當x2+v2=r2(r>0)剛好經(jīng)過曲線C與坐標軸的交點時，此時入J7+1,

當/+72=/&〉())剛好與。在四個象限內(nèi)部分都相切時，r=|OQ|+r=372,

因此曲線C與圓/+/二/化〉。)有公共點時jy+ivr43遮，④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓、圓與圓位置關系的綜合運用，難度較大.數(shù)形結合是處理本題的

高效方法，通過在圖象上對臨界位置的分析，得到直線與C相切以及圓與C相切時參數(shù)的取值.

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知A/BC的三個頂點4(—3,9),5(2,2),C(5,3).

(1)求過點A且與直線5C平行的直線4的方程；

(2)求邊的高線所在直線4的方程.

【答案】(1)x-3j+30=0

(2)3x+y=0

【解析】

【分析】(1)求得直線8C的斜率，利用點斜式即可求得直線方程；

(2)由兩直線垂直關系可得所求直線的斜率，代入點斜式方程可得結果.

【小問1詳解】

由5(2,2),。。⑼可知噎二三^^，

故所求直線4的方程為y-9=；(x+3),

即x-3y+30=0.

【小問2詳解】

易知噎=1,

則所求直線的斜率為-3,

故所求直線/2的方程為歹—9=-3(x+3),

即3x+y=0.

18.已知圓C與x軸相切于點(1,0),并且圓心在直線2x-y=0上.

(1)求圓C的標準方程;

(2)若圓C與直線/：X-了+加=0交于a2兩點，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一

個作為已知，求比的值.

條件①：圓。被直線/分成兩段圓弧，其弧長比為2:1；

條件②：［48|=2五；

條件③：ZACB=90°.

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)(X-1)2+(J-2)2=4

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)由題意求出圓心和半徑，即得答案；

(2)根據(jù)所選條件，均可以求出圓心到直線的距離，結合點到直線的距離公式求出機的值即可.

【小問1詳解】

由題意知圓C的圓心在直線=0上，與x軸相切于點(1,0),

故設圓心為則q=l,則圓心為(1,2),半徑為2,

故圓C的標準方程為(x—+(y—2)2=4

【小問2詳解】

若選條件①：圓C被直線/分成兩段圓弧，其弧長比為2:1；

則NZC3=120°，而|C4|=|CB|=2,故圓心C到直線/的距離為2XCOS60°=1，

|l-2+m|

所以d==i,解得m=42+1或加=-A/2+1；

Vi+T

若選條件②：|46|=2后；

W|G4|=|CS|=2,故圓心C到直線/的距離為，22—(&『=也,

|l-2+m|

所以d=—V2,解得加=3或加=—1

VT+T

若選條件③：ZACB=90°,

而|C4|=|CS|=2,△ZC3是等腰直角三角形，|48|=2近,

|l-2+m|=

故圓心C到直線/的距離為0,所以d=J5,解得加=3或加=—1.

Vi+i

19.如圖，棱長為1的正方體A8CD-4BCQ1中，尸是線段上的動點.

(1)當點尸為8G的中點時，求證：2尸//平面4。5；

(2)求點4到平面CQB的距離;

(3)是否存在點尸，使得平面GO5?若存在，求同P的長度；若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵坦

3

(3)不存在

【解析】

【分析】(1)建立合適的空間直角坐標系，求出平面的法向量，證明線面平行即可；

(2)求出平面的法向量，利用空間向量的距離公式計算即可；

(3)根據(jù)線面垂直的空間向量證法即可.

【小問1詳解】

以。為坐標原點，DA,DC,DDi的方向分別為x，F(xiàn)，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

〃(o,o,i),毛心］,4(1,01)，HU,0)，

則不西=(1,0,1),麗=(1』,0),

------------*f

DA.Wi-0xz——0

設平面的法向量為訪=O,y,z）,貝乂,，即《八，

DB-m=O〔x+.y=O

uuuririi

令x=l,則歹二-1/二一1,則玩=（1,一1,一1）,則〃尸?加二萬一1+萬=0,

UUULLL

則〃尸，加，且直線DXP不在平面AXDB內(nèi)，故DP//平面AXDB.

【小問2詳解】

由（2）知G（0』』），/=（0,1/），麗=。』,0）,

-n=Qy+z=0

設平面CQB的法向量元=（a,瓦C）,,則，即《

n=0x+y=0'

令y=l,則x=—l,z=—l,貝！］萬=（一1』,一1）,而￡>4=（1，。』），

DAcn

則點4到平面CQB的距離d=

廠一耳一亍

綜上，點4到平面QDB的距離為2回.

3

【小問3詳解】

假設存在這樣的點尸，則設P（x,l,l—x）,其中0<x<l,4（1,01），則乖=（x—1」,—x）,

ULlllIy_11—x

若4月，平面GQB，則40//〃，則——=-=——，無實數(shù)解，

故不存在這樣的點P使得4P±平面CQB.

20.如圖，在三棱柱48C-4Aq中，側面ZCG4是邊長為3的正方形，側面/8用4為矩形，AB=4,

BC=5,M,D分別為44,BC的中點，且CC]=3CN.

（1）求證：44］，平面48C；

（2）求平面48c與平面408］夾角的余弦值；

（3）判斷直線與平面的位置關系，并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵幽

41

（3）相交（不垂直），理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結論；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面2。片以及平面/3C的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答

案；

（3）利用向量法可判斷直線龍W與平面2。四的位置關系.

【小問1詳解】

由題意知在三棱柱48C-4AG中，側面ZCG4是邊長為3的正方形，側面48片4為矩形，

故Z4±AC,AAX±AB,而ZCcA5=aZC,N8u平面/BC,

故幺4，平面/BC；

【小問2詳解】

由于ZC=3,Z8=4,BC=5,故802=282+4。2,即1

則兩兩垂直，以/為坐標原點，ZC,25,441所在直線為x/,z軸建立空間直角坐標系,

則8（0,4,0），4（0,0,3）,男（0,4,3）6（3,0,3）4（3,0,0）,0弓,2,01

則詼=1|,2,0）函=（0,4,3）,

m-AD-0

設平面ADBX的法向量為訪=（%,y,z）,則｛___.，

m-AB、=0

-3

—x+2y—0/、

即｛2,令x=4,則成=（4,—3,4）,

4y+3z=0

平面ABC的法向量可取n=（0,0,1）,

n,/_八m-n44A/41

貝!Jcos（m,n）=,,,,=,——==-------，

同同A/16+9+1641

故平面ABC與平面ADB1夾角的余弦值為生史；

41