第十一講二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

類型一線段問題(117考)重難

1.(2024德陽)如圖拋物線y=/一%。與x軸交于點(diǎn).71(-1-0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0<xW2時(shí)，求y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍；

(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移:個(gè)單位長度得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求P4+當(dāng)PM的最小

45

值.

類型二面積問題(82考)重難

2.(2024揚(yáng)州)如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)、B(l,0)兩點(diǎn).

⑴求b、c的值；

⑵若點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上,且△P4B的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.(2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C其中4(-2,0),

C(。一2).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，目點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D,APDB的面積是△CDB的

面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第3題圖

4.（2024通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-|x+3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D,拋物線y=-；

-2尸+fc（k為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)D且交x軸于A,B兩點(diǎn).

⑴求拋物線表示的函數(shù)解析式；

⑵若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD,DP,CP,求四邊形ACPD的面積.

類型三角度問題(27考)重難

5.(2024連云港)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx-l(a,b為常數(shù),(a>0).

⑴若拋物線與x軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點(diǎn),求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖，當(dāng)b=1時(shí)，過點(diǎn)C(-l-a),。(1，a+2魚)分別作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M,N,連接MN,M

D.求證：MD平分Z.CMN;

(3)當(dāng)a=1,6Wslant-2時(shí)，過直線y=%-1(1<%<3)上一點(diǎn)C作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)H.若G

H的最大值為4,求b的值.

第5透圖

類型四特殊三角形判定問題(40考)重難

6.(2024遂寧)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C

(0--3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,,試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請求出最

小值，若不存在，請說明理由.

類型五特殊四邊形判定問題（55考）重難

7.（2023重慶A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y^ax2+bx+2過點(diǎn)（1,3）,且交x軸于點(diǎn)4（-1，0）,B

兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD回BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)

E,求△PDE周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）中△PDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移四個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后

的拋物線的對稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條

件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.幾何畫板動(dòng)態(tài)演示

類型六相似三角形判定問題（含全等）（15考）

8.（2024內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù).y=-2x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

拋物線y^-x2+bx+c經(jīng)過A.B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作.DC回生軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)

E.

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和△力CE相似?若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)F作x軸的垂線交AB于點(diǎn)G,連接DF,當(dāng)四邊形E

GFD為菱形時(shí)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

1.解：(1)：拋物線y=——久+c與X軸交于點(diǎn)A(-l,0),；.l+l+c=0,

解得c=-2,

拋物線的解析式為y=/-久一2;

⑵-：y=x2-x-2的對稱軸為直線x=-熱=］而0<x<2,

函數(shù)最小值為y=1_|_2=_：,

當(dāng)x=0時(shí),y=-2,

當(dāng)x=2時(shí),y=4-2-2=0,

：.y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍為一JWyW0;

4

(3)解題思路

過點(diǎn)P構(gòu)造直角三角形，將PA與遮PM聯(lián)系起來,再結(jié)合拋物線的對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短求最值.

y=x2-x—2,

當(dāng).x=0時(shí),y=-2,

???C(0,-2),

當(dāng)y=x2—x—2=0時(shí),

解得/=-l,x2=2,

???B(2,0),

???AB=3,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx-2,

.\-k-2=0,

：.k=-2,

?,?直線AC的解析式為y=-2x-2,

??,拋物線的頂點(diǎn)向下平移9個(gè)單位長度得到點(diǎn)M,而頂點(diǎn)為。

4\24/

:當(dāng)x=1時(shí)y=-2x|-2=-3,

；.M在直線AC上.

如解圖，過點(diǎn)P作PGXAC于點(diǎn)G,連接MB,過點(diǎn)P作PH_LMB于點(diǎn)H,連接AP,AH,

VA(-l,0),C(0,-2),

AC=V5,sinzXCO==y,

:對稱軸與y軸平行，

ZAMP=ZACO,

.-.sin乙4Mp,

PM5

PG=yPM,

由拋物線的對稱性可得PG=PH,/MAB=ZMBA,

PA+^-PM=PA+PG=PA+PH>slantAH,

當(dāng)A,P,H三點(diǎn)共線時(shí)取等號，

sin^MAB=迫=三=正=sin^ABH=—,

i4CV55AB

.AH_2V5

??3—5，

AH=—,

5

即PA+gPM的最小值為等.

第1題解圖

2.解:⑴將點(diǎn)A(-2,0),B(l,0)代入y=-x2+bx+c得=”解得?=]

—1十。十C=U,C—L.

.*.b的值為-l,c的值為2;

(2)由⑴可得，二次函數(shù)的解析式為y=-/—%+2,設(shè)P(m,n),

???點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上，

n=—m2—m+2.

VA(-2,0),B(l,0),

；.AB=3,

又「△PAB的面積為6,

x|n|=6,解得n=±4,

當(dāng)n=4時(shí)，即-m2-m+2=4,化簡得m2+m+2=0,該方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；

22

當(dāng)n=-4時(shí)，即—m—m+2=—4化簡得m+m—6=0,解得=2,m2=—3,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pi(2,-4)或P2(-3,-4).

易錯(cuò)點(diǎn)撥

點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上，表示三角形面積時(shí)，高需要帶絕對值符號，分不同的情況討論.

3.解:⑴將A(-2,0),C(0,-2)代入y=/+版+c中，得｛4一?+；=。解得｛"=，

c=一乙,c=—Z.

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+x-2-,

(2)

解題思路

由題可知^PDB與ACDB是同底不等高三角形，將SgDB=2SACDB，轉(zhuǎn)化為以BD為底邊時(shí)，△PDB的高

是4CDB的高的2倍,即點(diǎn)P到x軸的距離是點(diǎn)C到x軸的距離的2倍，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)P(m,n),

?.?點(diǎn)P在第二象限，

m<0,n>0.

依題意，得變些=2,1冷=2,

SxCDB-BDCO

—=2,

co

VCO=2,

An=2CO=4.

???p是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，目點(diǎn)P在第二象限，

22

m+m—2=幾即m+m—2=4,解得=-3,m2=2(舍去),

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4).

4.解:⑴把y=0代入函數(shù)y=—|x+3中，得—|x+3=0,解得x=2,

，C(2,0),

把x=0代入函數(shù)y--|x+3中，得y=3,

???D(0,3),

V拋物線y=—久式—2￥+k(k為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)D,

-；x(0-2)2+/c=3,解得k=4,

..?拋物線表示的函數(shù)解析式為y=--2)2+4；

⑵???拋物線的函數(shù)解析式為=-i(x-2)2+4,

y4

頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4),

VC(2,0),

；.PC_Lx軸,PC=4,

如解圖，過點(diǎn)D作DEXPC于點(diǎn)E,則DE=2,

11

SACDP=-PC-DE=-x4x2=4;

把y=0代入函數(shù)y=-2尸+4中，得-［（久-2/+4=0,

角牟得%i=-2,X2=6,

???A(-2,0),B(6,0),

???AC=4,

???D(0,3),

/.DO=3,

ii

???S“CD=~AC-DO=-x4x3=6,

S四_邊形ACPD=S^ACD+SMDP=6+4=10.

5.⑴解:分別將點(diǎn)A(-l,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-l,

_1

［曰,CL—b—1=0,碗［曰ra4，

將｛16a+4b-1=0,用牛后與=_三

4，

???拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=：/-1;

44

Vb=l,

???y=ax2+%—1.

當(dāng)x=-l時(shí),y=a-2,即M(-l,a-2),當(dāng)x=l時(shí),y=a，即N(l,a).

VC(-l,a),N(l,a),

???CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM_LCN,

???在RtACMN中，MN=yJCM2+CN2=2企.

??.DN=a+2A/2—a=2V2,

ADN=MN,

ZNDM=ZNMD.

VDN//CM,

ZNDM=ZCMD,

JZNMD=ZCMD,

AMD平分NCMN;

(3)

解題思路

由題可得GH〃y軸，則點(diǎn)G,H的橫坐標(biāo)相等，所以設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再結(jié)合b的

取值范圍，確定點(diǎn)G與H的位置關(guān)系，即可用含參數(shù)的代數(shù)式表示線段GH的長，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對二次

函數(shù)對稱軸的范圍進(jìn)行分類討論并求解.

解:設(shè)G(m,m-1),貝!]H(mfm2+bm—1),1<m<3.

當(dāng)a=l時(shí)，y=x2+bx—1.

2

令x+bx-1=x-1,解得xr=0,x2=1—b.

Vb<-2,

x2=1—b>3,

???點(diǎn)G在H的上方（如解圖②）.

設(shè)GH=t,故t=—m2+（1—b）m,

其對稱軸為直線m=瞪,目y>slants

①當(dāng)j<^<3時(shí)，即-5WbW-2.

畫出t關(guān)于m的二次函數(shù)圖象如解圖③，

由解圖③可知：

當(dāng)爪時(shí)，t取得最大值小=4.

解得b=-3或b=5（舍去）：

②當(dāng)一〉3時(shí)，即b<-5,

畫出t關(guān)于m的二次函數(shù)圖象如解圖④，

由解圖④可知：

當(dāng)m=3時(shí),t取得最大值-9+3-3b=4.

解得b=一胃（舍去）.

綜上所述，b的值為-3.

冊

6.解:⑴把人(-1,0)以3,0),(2(0,-3)代入y=ax2+bx+c,

a—b+c=0,a=1,

得｛9a+35+c=0,解得｛b=—2,

c=—3,c=—3.

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=/-2%-3;

(2)如解圖①，

由y=——2%一3彳導(dǎo)拋物線對稱軸為直線x=l,

VP,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱,C(0,-3),

???P(2,-3),

設(shè)Q(mfm2—2m—3),

VZOPQ=90°,

...0P2+pQ2=0Q2,

即[(0—2)2+(0+3)2]+[(2—m)2+(—3—m2+2m+3)2]

=(0—m)2-|-(o-m2+2m+3)2,

整理得3m2—8m+4=0,

解得恤=|,啊=2舍去)，

2

???m=

3

?.山(衿數(shù)

第6題解圖①

(3)存在，理由如下：由題知點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m+1,則點(diǎn)P(m>m2-2m-3),則點(diǎn)Q(m+1,(m

+1)2-2(m+1)-3),,當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè),Q在y軸右側(cè),如解圖②,設(shè)直線PQ交y軸于點(diǎn)H,

由點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)得，

直線PQ的表達(dá)式為：y-(2m—1)(%—m)+m2—2m—3,令x=0,則y=—m2—m—3,則OH=m2+m+

2m

3,S=S^OHQ+S&OHP—|OH(XQ-xP)=|(m+m+3)x1=|(+1)+昔，

-?-->0,

2

.?.當(dāng)巾=-S存在最小值，S的最小值為2當(dāng)點(diǎn)P,Q同時(shí)在y軸左側(cè)和當(dāng)點(diǎn)P,Q同時(shí)在y軸右側(cè)方法

Zo

同上，經(jīng)驗(yàn)證均不是仆OPQ面積的最小值.

..?綜上所述，S存在最小值為三

O

第6題解圖②

解題技巧

求面積最值：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,用含m的代數(shù)式表示出所求圖形的面積，利用

二次函數(shù)的增減性求最值.

類題通法

當(dāng)所求圖形不規(guī)則或者不易直接求解時(shí)，考慮通過分割法或者補(bǔ)形法將所求圖形面積轉(zhuǎn)化為其他規(guī)則圖形的面

積和差求解.

7.解:⑴將點(diǎn)(1,3),(-1,0)代入瞿勿線y=ax2+bx+2中,

得憶露上得;

..?該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=—]/+|x+2；

(2)

解題思路

根據(jù)PD，BC,PE〃y軸推導(dǎo)出4PDEs^BOC,得出DE,PE,PD之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

當(dāng)x=0時(shí),y=2,

，C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí).-|x2+|x+2=0,解得%]=一1,X2=4,

，B(4,0),

.?.OC=2,OB=4,BC=2V5

???直線BC過點(diǎn)B(4,0),C(0,2),

..?直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-|x+2.

：PD_LBC,PE〃y軸，

ZPDE=ZBOC=90°,ZPED=ZBCO,

APDE^ABOC,

DE_PE_PD

''OC~BC~BOr

：.DE=—PE,PD=—PE.

5'5

設(shè)P(mf—|m2+|m+2^

貝!jE（m-—jm+2^（0<m<4）.

???PF=-|m2+|m+2-|m+2^=—|（m—2）2+2,?；一<0,

當(dāng)m=2時(shí)，PE有最大值，最大值為2,

/.APDE周長的最大值為DE+PD+PE=^-PE+qPE+PE=等+2.

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）;

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（一|弓）或或（（|一誓）

由⑴得，原拋物線解析式為y=-號（X-1）2+葛將拋物線沿射線CB方向平移近個(gè)單位長度，即拋物線向

右平移2個(gè)單位長度，向下平移1個(gè)單位長度，易得平移后拋物線的解析式為y=-9—a?+?

Z\Zzo

：M在平移后拋物線的對稱軸上，設(shè)乂（1,t）,N（n,k）.

2

①當(dāng)AP為對角線時(shí)，由題意得,MA=MP,即（1+I/+產(chǎn)=弓_2）+（t-3產(chǎn)解得t=—*

二nT,T即--|彳）；

②當(dāng)AP為菱形的邊長時(shí)，若AP=PM,則（2+I）2+32=（2-1）2+（3-t）2解得t=3士亭

;n=1,/c=土季即N&乎）或N（|，-乎），若，AP=AM,則（2+I）2+32=（1+0+戶,無解.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（-］，），弓手），（3—答）

類題通法

當(dāng)所求圖形為菱形時(shí)，通常分兩定點(diǎn)構(gòu)成的線段為菱形的邊長和為菱形的對角線兩種情況去分類討論.

8.解:⑴令y=0,則-2x+6=0解得x=3;

令x=0,解得y=6,

.*.A(3,0),B(0,6),

把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,

(b=1,

9+3b+c=。，解得lc=6.

c=6,

這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-/+%+6；

(2)存在點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,6)或(|，m),使得△BDE和△ACE相似.理由如下：

設(shè)點(diǎn)D(t--t2+t+6),則E(t,-2t+6),C(t,0)(0<t<3),

EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t2+3t,

VABDE和4ACE相似,NBED=NAEC,

AACE^ABDE或△ACEs/\D