高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，即；由得：，即，.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.

故選：D.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.4.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】對于p而言，，故p是假命題，是真命題.對于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.5.已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標(biāo)準方程為.故選：D.6.已知正方體內(nèi)切球半徑為，則該正方體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為正方體的內(nèi)切球半徑為，所以正方體的棱長為．設(shè)外接球的半徑為R，則，所以，故外接球的體積為．故選：B.7.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】〖祥解〗分段函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在個區(qū)間上遞減，且左邊函數(shù)在右端點值大于右邊函數(shù)左端點值，建立不等式組，求得范圍.【詳析】為在上單調(diào)遞減，所以，解得，則a的取值范圍是.故選：D.8.已知為坐標(biāo)原點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，，即，①.因為點A在圓上運動，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點P的軌跡方程為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，，則（）A. B.直線AB的一個方向向量為C.四點共面 D.點到直線的距離為【答案】ACD【解析】，A正確；，B錯誤；由題意得，則，所以四點共面，C正確；，，，則點到直線的距離為，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點是圖象的一個對稱中心B.的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.在上的值域為D.將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則【答案】AC【解析】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調(diào)遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將的圖象先向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC.11.已知圓：與圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當(dāng)時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關(guān)于點對稱，則D.當(dāng)時，對任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點【答案】ABD【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當(dāng)時，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關(guān)于點對稱，則解得，C錯誤．當(dāng)時，圓：，圓：，則，所以對任意的，曲線W恒過圓與圓的交點，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.從1至5這5個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的乘積為奇數(shù)的概率為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意知樣本空間，所以，事件為這2個數(shù)的乘積為奇數(shù)，所以，則，所以.13.已知點，，，，若A，B，C，D四點共面，則__________.【答案】【解析】由題可知，，，因為A，B，C，D四點共面，所以（m，），，即，解得，，所以.14.如圖，在四棱臺體中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，，P為線段的中點，直線與平面所成角的大小為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，則平面的一個法向量，所以，即直線平面，故直線與平面所成角的大小為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）由，可知，故所求直線的方程為，即.（2）易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調(diào)查的居民平均每天的運動時長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.解：（1）由，解得.因為，所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)為2.4h.（2）由題知，平均每天運動時長在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.05，則應(yīng)從平均每天運動時長在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個，所以這2人來自不同分組的概率為.17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面積的最大值解：（1）由，可得，即，因為，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因為，所以，則，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的面積的最大值為.18.已知直線，圓.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）記圓的圓心為，若直線與圓交于，兩點，為等邊三角形，求的值.解：（1）由圓的方程可知圓心，半徑.直線，即.因為直線與圓相切，則，解得或.（2）因為為等邊三角形，所以圓心到直線的距離.同樣根據(jù)點到直線距離公式得.化簡得.解得.19.如圖，在幾何體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，.（1）求異面直線EB與DF所成角的余弦值（2）證明：平面平面BDF.（3）若M是幾何體ABCDEF內(nèi)的一個動點，且（），點N滿足，，求的最小值.（1）解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，則，，，故異面直線EB與D