專題18轉化的數(shù)學思想在壓軸題中的應用

概述

轉化思想在數(shù)學壓軸題中應用比較廣泛，例如在幾何壓軸題中，多應用轉化思想，具體表現(xiàn)為利用平移、

旋轉、翻折、全等等圖形變換或者等量變換將未知的問題轉化為己知問題，將復雜的問題轉化為簡單的問

題。

真題精析

例孽1

(2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題)

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接班)，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和AAOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE^9Q°.連接出)，CE.請

直接寫出舞的值.

CE

ARAF)3

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和AAOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且====二.連

BCDE4

接BD,CE.

①求空的值；

CE

②延長CE交BO于點凡交4B于點G.求sin/BPC的值.

(1)證明AR40g△C4E,從而得出結論;

(2)證明△A40s△C4E,進而得出結果;

(3)①先證明AABCs△AOE,再證得△CAEs△R4O,進而得出結果；

②在①的基礎上得出NACE=NAbZ>,進而NBFC=NR4C,進一步得出結果.

[答案與解析】

【答案】(1)見解析

⑵正

2

34

(3)@-;②]

【詳解】(1)證明：???△45。和AADE都是等邊三角形,

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°9

:.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE9

:.ZBAD=ZCAE9

：.ABAD^ACAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：,?,△A5c和AADE都是等腰直角三角形,

ABAB1

"花=&,皿EWC=45。，

:.ZDAE-ZBAE=ABAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^/\CAE,

BDAB1_72

"CE-AC-Z/2-V；

ARAO3

(3)解：①——=——=—,ZABC=ZADE=90°,

ACDE4

/.AABC^AADE,

ABAD_3

：.ZBAC=ZDAE,

AC-AE-5

：.ZCAE=ZBADf

：.ACAE^ABAD9

BDAD_3

,CE-AE-5；

②由①得：△CAE^ABAD,

:.NACE=NABD,

VZAGC=ZBGF9

:.ZBFC=ZBAC9

：.sinZBFC=—=~.

AC5

與翻

本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的

關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

例學2

（2022?山東濰坊?中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。

順時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③

所示，AB交HO于E,AC交0G于F,通過證明△（?班/△Q4F,可得OE=OF.

請你證明:

【遷移應用】

延長G4分別交80,加所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明。G與法/的住罩關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接如圖⑥所

示，其他條件不變，請你猜想并證明AG與9的藜掌關系.

證明VBO“=VAOG,即可得出結論；通過/3"O=NAGO,可以求出/￡>G"+N3"O+/O//G=90。，得

出結論AG_L3H；證明VBOHSVAOG,得出4￡=空=@,得出結論;

BHOB3

［答案與解析】

【答案】證明見解析；垂直；BH=?AG

【詳解】證明：??,AB=AC,AO,5C,

/.OA=OB,ZAOB=90°,

/BOH+ZAOH=90°,ZAOG+ZAOH=90°,

/.ZBOH=ZAOG,

OH=OG,

??.NBOH^AOG,

??.AG=BH；

遷移應用：DG±BHf

證明：vNBOH^VAOG,

ZBHO=ZAGO,

???NDGH+ZAGO=45。,

NDGH+/BHO=45。,

???ZOHG=45°,

??.Z.DGH+ZBHO-^-ZOHG=90°,

NHDG=90。,

..DG±BH；

拓展延伸：BH=^AG9

證明：在HMAOB中，tan3()o=2^=且，

OB3

在此△HOG中，tan3(r=^=迫，

OH3

.OAOG

由上一問題可知，ZBOH=ZAOG9

NBOH^NAOG,

.AGOA6

?>==—,

BHOB3

BH=y［3AG.

總結與點撥

本題考查旋轉變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、

等角的余角相等，解題關鍵結合圖形靈活應用相關的判定與性質.

(2022?廣西貴港?中考真題)已知：點C,。均在直線I的上方，AC與即都是直線I的垂線段，且在AC

的右側，BD=2AC,AD與相交于點。.

圖1圖2圖3

An

(1)如圖1,若連接8,則△3CD的形狀為_____,裝的值為______;

AD

(2)若將沿直線/平移，并以AD為一邊在直線I的上方作等邊VADE.

3

①如圖2,當AE與AC重合時，連接OE,若AC=—,求OE的長；

2

②如圖3,當NACB=60。時，連接EC并延長交直線/于點孔連接。尸.求證：OF±AB.

郵甌

(1)過點C作于可得四邊形A8HC是矩形，即可求得AC=5H,進而可判斷△的形狀,

AC、5。都垂直于/,可得△AOCSABOZ),根據(jù)三角形相似的性質即可求解.

(2)①過點E作所上也于點H,AC,50均是直線/的垂線段，可得AC//3D,根據(jù)等邊三角形的性

質可得/氏4。=30。，再利用勾股定理即可求解.

②連接。，根據(jù)AC〃即，得/CBD=NACB=60。，即△BCD是等邊三角形，把△ABD旋轉得

ZECD=ZABD=90%根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一般得到普=黑=：,則可得

ABAD3

△AOF-AADS,根據(jù)三角形相似的性質即可求證結論.

［答案與解析］

【答案】⑴等腰三角形，I

⑵①OE=2g;②見解析

【詳解】(1)解：過點C作于如圖所示:

VAC±Z,DB±l,CH±BD,

工ZCAB=ZABD=ZCHB=90°,

.,?四邊形A8HC是矩形，

：.AC=BH,

y."：BD=2AC,

：.AC=BH=DH,KCHLBD,

△BCD的形狀為等腰三角形,

VAC,3。都垂直于/,

二AC//BD,

：.4AOCs叢BOD,

AOAC_AC=1,即00=240,

DO^DB~2AC

AOAOAOI

AD~AO+DO~3AO~3

故答案為：等腰三角形，

(2)①過點E作所工AD于點”，如圖所示:

圖2

,：AC,50均是直線/的垂線段,

，ACHBD,

???VAT組是等邊三角形，且A石與AC重合，

:.ZEAD=60°9

：.ZADB=ZEAD=60°9

：.ZBAD=30°,

J在凡△ATW?中，AD=2BD,AB=^BD,

3

又?.?BD=2AC,AC=-

2f

***AD=6,AB=3^/3,

:.AH=DH=—AD=3,AE=6

2

在及AAEH中,EH=YIAE2-AH2=762-32=373,

又由⑴知而二葭

AO=1AD=2,貝!]O”=1,

...在RtAEOH中,由勾股定理得：OE=\lEH2+OH2=277.

②連接C。，如圖3所示：

圖3

■:AC//BD,

J.ZCBD=ZACB=60°,

?.?由（1）知△BCD是等腰三角形，

二△BCD是等邊三角形，

又???VADE是等邊三角形，

二AABD繞點D順時針旋轉60。后與AECD重合,

二NECD=ZABD=90°,

又,:Z.BCD=ZACB=60°,

/.ZACF=NFCB=NFBC=30。,

：.FC=FB=2AFf

.AFAO1

??—―，

ABAD3

X^OAF=ZDABf

：.AAOF^AADB,

：.ZAFO=ZABD=90°9

：.OF±AB.

皿與他

本題考查了矩形的判定及性質、三角形相似的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理的應用，

熟練掌握三角形相似的判定及性質和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵.

精稀網(wǎng)題

1.(2022?山東濟寧??？级?如圖1,正方形ABC。對角線AC、BD交于點、0,E、尸分別為正方形ABC。

邊AB、AD上的點，砂工AC交于點且=N為郎中點.

(1)請直接寫出QV與的數(shù)量關系

(2)若將AAEF繞點A旋轉到圖2所示位置時，(1)中的結論是否成立，若成立請證明；若不成立，請說明

理由；

⑶若AB=8,E為A3中點，△鉆尸繞點A旋轉過程中，直接寫出點M與點C的最大距離.

【答案】⑴OM=0ON

(2)成立，證明見解析

(3)472

【思路分析】(1)如圖1,連接兒W,由正方形的性質可知，。是的中點，AB^AD,ZBAD=90°,

由=M'可知〃為的中點，尸是等腰直角三角形，貝=D產(chǎn)，由N為防中點，可知和ON

分別為/XBEF和V氏萬的中位線，根據(jù)中位線的性質可得NMNO=90。，MN=ON,在H/AMON中，由勾

股定理可求得OM=也ON;

(2)如圖2,連接MN,連接BE、。尸交于點“，證明△■OAF四△BAE(SAS),貝I],DF=BE/ADF=/ABE,

在△BDH中,由三角形內(nèi)角和求得/BHD=90。，則BELOF,跖V和ON分別為△BEF和V3D廠的中位線,

根據(jù)中位線的性質可得/MM9=90。，MN=ON,在RbMON中,由勾股定理可求得OM=&ON;

(3)由題意知，AE=^AB=4,AM=AEsin45°=2^2，可知M在以A為圓心，2夜為半徑的圓上運動，

如圖3,由題意知，當C、A、”三點共線時，CM取最大與最小值，根據(jù)二者的差為。A的直徑計算求解

即可.

【詳解】(1)解：OM=s/2ON.

如圖1,連接MN,

由正方形的性質得，。是8D的中點，AB=AD,440=90。,

ME=MF,

為所的中點，且跖1AC,

A尸是等腰直角三角形,

AE=AF,BE=DF,

為即中點,

MN和ON分別為ABEF和7BDF的中位線,

MN//AB,ON//AD,MN=-BE,ON=-DF,

22

.ZMNO=90°,MN=ON,

在Rt4MON中，由勾股定理得OM=\lMN2+ON2=-J1ON，

OM=忘ON.

(2)解:成立.

證明如下：如圖2,連接MN,連接班、￡＞廠交于點H,

由(1)知AE=AF,NE4尸=90。，

由正方形的性質得=/BAD=90°,ZABD=ZADB=45°,

?/ZDAF=ZDAE+ZEAF,ZBAE=ZBAD+ZDAE,

ZDAF二/BAE,

在△IMF和ABAE中

AF=AE

'；IZDAF=ZBAE,

AD=AB

：.△DAF^ABA￡'(SAS),

DF=BE,NADF=/ABE,

：.N3HD=180。-(ZASD-ZASE)-(ZADB+ZADb)=90。,

BEIDF,

為E尸的中點，N為BF中點,

MV和ON分別為△BEP和V5D廠的中位線，

J.MN//BE,0N//DF,MN=-BE,ON=-DF,

22

/.ZMNO=90°,MN=ON,

在Rt4MON中，由勾股定理得OM=\)MN2+ON2=41ON，

OM=四ON-

(3)解:由題意知，AE=^AB=4,AM=AEsin45°=2y/2

在以A為圓心，2夜為半徑的圓上運動，如圖3,

圖3

由題意知，當C、A、M三點共線時，CM取最大與最小值，且最大與最小的差為。4的直徑4四，

，點M與點C的最大距離和最小距離的差為4&.

故答案為：4萬

2.(2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒?如圖1,在RtZXABC中，ZACS=90°,過點A作直線MN,使

ZCAB=ZCAM,過點B作于點N,過點C作CM_LMN于點

(1)猜想NAQW與N&W的數(shù)量關系，并說明理由；

⑵求證：AB=AN+2AM；

3

(3)如圖2,連接NC交A3于點G,若CG=1NG,CM=6,求AC的長.

【答案】(1)NA4N=2NACN,理由見解析

(2)證明見解析

zox6730

O---Z

【思路分析】(1)根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到NC4〃=90。-NACN,再由平角的定義得到

2ZCAM+ZBAN=180°,由此即可推出結論；

(2)如圖所示，過點C作CD_LAB于。，證明=△C4D,AD=AM,CN=CD,再證明A、C、B、N

四點共圓，得到NABC=NANC,進而證明△CMV2△CD3,得到&)=肱V,由此即可證明結論；

(3)如圖所示，過點N作于E,過點C作CHL3N于H,則四邊形C/VC陽是矩形，得到

NH=CM=6,再由全等三角形的性質和三線合一定理得到，BN=2NH=U,證明△CDGS/WEG,推

出NE=8,利用勾股定理求出族=4迷，證明AABNsAA以石，求出A5二可^,AN=笞進而求出

AM=—則AC=

5f5

【詳解】(1)解：ZBAN=2ZACM,理由如下；

,：CM1MN,即NM=90。，

???ZACM+ZCW=90°,

???ZCAM=90°-ZACM

VZCAB=ZCAMfZCAB+ZCAM+ZBAN=180°,

???2ZCAM+/BAN=180°,

???180°-2ZACM+/BAN=180°,

???ZBAN=2ZACM；

(2)證明：如圖所示，過點。作SLAB于。，

ZM=ZCDA=90°f

XVZCAD=ZCAM,CA=CA,

：.ACW^AC4Z>(AAS),

AAD=AM,CM=CD,

BN工MN,

：.NBNA=ZACB=90°,

???AC,B、N四點共圓，

：.ZABC=ZANC,

又,：/CMN=/CDB=9QP,CM=CD,

：.ACW^ACDB(AAS),

BD=MN,

AB=AD+BD=AMMN=AM+AM+AN=2AM+A/V；

(3)解：如圖所示，過點N作于￡,過點C作C”,BN于"，則四邊形CVM/是矩形,

???NH=CM=6,

???/\CMN9ACDB,

：.CN=CB,

：.BN=2NH=12f

CD±AB,NE±ABf

：.CD//NE,

:.△CDGsATVEG,

.NENG

，9'CD~~CG9

3

,:CG=—NG,

4

.NE_4

??—―，

CD3

又?:CD=CM=6,

：.NE=8,

?*-BE=y/BN2-NE2=4A/5，

ZNEB=ZANB,ZNBE=ZABN,

：.AABNsAABE,

.ABANBNanABAN12

9NB~NE~BE91284V5

.36A/52475

55

.…AB-AN66

25

/.AC=>]AM2+CM2=.

N

3.（2021?北京?一模）在正方形ABCD中，點E在射線BC上（不與點8、C重合）,連接。3,DE,將DE

繞點E逆時針旋轉90°得到EF,連接BF.

⑴如圖1,點E在BC邊上.

①依題意補全圖1；

②若鉆=6,EC=2,求所的長；

（2汝口圖2,點E在BC邊的延長線上，用等式表示線段8。，BE,火之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】⑴①見解析；②BF=26

（2）BF+BD=-J2BE,證明見解析

【思路分析】（1）①根據(jù)題意作圖即可；

②過點尸作交CB的延長線于證明△DEC四△EfE得到EC=77/=2,CD=BC=EH=6,

則HB=EC=2,在中，利用勾股定理即可求解；

（2）過點歹作用交CB的延長線于"證明40￡右四^￡五才得到￡^=2,CD=BC=EH,則

HB=EC=HF,△DCS和ABHF都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）①如圖所示，即為所求；

②如圖所示，過點尸作FHLCB,交CB的延長線于

???四邊形ABCQ是正方形,

ACD=AB=6,ZC=90°,

■:/DEF=/C=90。，

；?ZDEC+/FEH=90。，/DEC+/EDC=90。，

:?/FEH=/EDC,

在ADEC和Z\EFH中,

ZH=ZC=90°

<ZFEH=/EDC,

EF=DE

：.△DE8AEFH,

；?EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

：.HB=EC=2,

???在中，BF=y]FH2+BH2=722+22=272.

(2)結論：BF+BD=y[2BE,理由如下：

過點尸作加，CB,交CB的延長線于H,

???四邊形ABC。是正方形，

ACD=AB,NDCE=90。,

ZDEF=ZDCE=90%

；?/DEC+/FEH=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

：./FEH=/EDC,

在△DEC和△班H中,

ZFHE=ZDCE=90°

<ZFEH=ZEDC,

EF=DE

：.△DEC"AEFH,

：?EC=FH,CD=BC=EH,

：.HB=EC=HF,

???△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，

'BD=NBC?+CD2=^BC=?EH'BF=^BH2+HF2=y/2BH

,:EH+BH=BE,

BF+BD=y[2BE.

4.（2021?安徽?統(tǒng)考三模）已知：在AErG中，ZEFG=90。，EF=FG,且點E,b分別在矩形ABC。的邊

AB,AD上.

(1)如圖1,當點6在8上時，求證：AAEF沿力FG；

(2)如圖2,若尸是AD的中點，F(xiàn)G與。相交于點N,連接EN,求證：EN=AE+DN；

(3)如圖3,若AE=AD,EG,尸G分別交CD于點M,N,求證：MG?=MN-MD

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

(3)詳見解析

【思路分析】(1)先用同角的余角相等，判斷出/4￡尸=/。/G,即可得出結論；

(2)先判斷出AAHF名AOVF,得出AH=DN,FH=FN,進而判斷出=即可得出結論；

(3)先判斷出AE=PG,PF=AE,進而判斷出PG=PD,得出/MDG=45。，進而得出/PGE=NGDN,

判斷出AMGNSAMDG,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，

:.ZA=ZD=90°,

:.ZAEF+ZAFE=90°,

■.■ZEFG=90°,

:.ZAFE+NDFG=90°,

ZAEF=ZDFG,

■：EF=FG,

在△?!￡尸和△DPG中，

ZFAE=ZGDF

<ZAEF=ZDFG

EF=FG

?.△AEF^AZ）FG（AAS）；

（2）證明：如圖2,延長N/，E4相交于H,

:.ZAFH=ZDFN,

由⑴知，ZEAF=ZD=90°,

,\ZHAF=ZD=90°f

??,點尸是AD的中點，

.\AF=DF,

在八4/*和△QNF中，

ZHFA=ZNFD

<AF=DF

ZHAF=ZNDF

:.^AHF^AZ)A^(ASA),

:.AH=DN,FH=FN,

Q?EFN90?,

：.EH=EN,

?;EH=AE+AH=AE+DN,

:.EN=AE+DN；

（3）證明：如圖3,過點G作GPLAD交AO的延長線于P,

/.ZP=90°,

同⑴的方法得，尸之△PEG(AAS),

/.AF=PG,PF=AE,

\-AE=AD,

:.PF=AD,

:.AF=PD,

:.PG=PD,

VZP=9O°,

:./PDG=45°,

ZMDG=45°,

在RtAEFG中，EF=FG,

:.ZFGE=45°9

:./FGE=NGDM,

???ZGMN=ZDMG,

:AMGNSAMDG,

.MG_MN

'DM~~MG，

/.MG2=MNMD.

5.（2022?江蘇揚州??？既＃┰诰匦蜛BC。中，AB=6,BC=8f

G

B

EC

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,E為邊。C上的一個點，連接BE,過點C作BE的垂線交AZ)于點/，試猜想BE與C尸的數(shù)量關

系并說明理由.

【類比探究】

⑵如圖2,G為邊AB上的一個點，E為邊。延長線上的一個點，連接GE交AD于點”，過點C作GE的

垂線交于點R試猜想GE與C尸的數(shù)量關系并說明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖3,點E從點8出發(fā)沿射線8C運動，連接AE,過點8作AE的垂線交射線8于點凡過點E作防

的平行線，過點B作BC的平行線，兩平行線交于點連接DL,在點E的運動的路程中，線段DL的長

度是否存在最小值？若存在，求出線段加長度的最小值；若不存在，請說明理由.

4

【答案】(l)BE=gCT,理由見解析

4

(2)GE=-CF,理由見解析

⑶存在，。“長度的最小值為3.6

【思路分析】(1)證明ABCESACD廠，即可得解；

(2)過點G作。〃的垂線交。于點證明AGMESAC/*,即可得解；

(3)過點H作HKLBC于點K，連接"CAC,則四邊形尸CK"是矩形，證明/何/4班心，得出

—=—=—=根據(jù)N〃KC=NASC=90。，可得AABCSACKH,得出H在〃。上運動，當DH工HC

HKBCFC4

3

時，DH最小,進而求得sinNOC〃=g,根據(jù)OH=DCxsinNOC",即可求解.

4

【詳解】(1)解：BE=-CF,理由如下：

???四邊形ABC。為矩形，

...ZBCD=ZCDA=90°,CD=AB=8,

???/BCF+/DCF=90。,

■:BELCF,

：.NBCF+NEBC=90。,

：.NDCF=NEBC,

：.ABCES晨JDF,

,BEBC_84

9，~CF~~CD~6~3"

4

???BE=-CF；

3

4

(2)解：GE^-CF9理由如下：

過點G作。。的垂線交CO于點M,如圖所示:

E

：.GM=BC=8,

,：GMLCD,

:./EGM+/E=94。,

VCF1GE,

；?NE+/ECF=90°,

：.ZEGM=ZECF,

???ZGME=ZCDF=90°,

:?AGMES衛(wèi)DF,

.GEGM84

^^F~~CD~6~3f

4

：.GE=-CF；

3

(3)存在，理由如下,

如圖，過點“作于點K,連接“CAC,則四邊形尸CK"是矩形,

圖3

?.?BE//FH,FH//BE

???四邊形BEHF是平行四邊形，

???FH=BE=CK,

VZABE=ZFCB=90°fBFLAE,

???ZFBC+ZAEB=ZFBC+ZBFC=90°,

JZAEB^BFC,

.BEAB3

**FC-BC-4?

?：FH=BE=CK,

.CKFHBE3

又/HKC=ZABC=900,

：.^ABC^CKH,

；?/HCK=/CAB,

???H在〃。上運動，

?,?當時，最小，

,：ZHCK=ZCAB,

：.ZCHK=ZACB,

丁FC//HK,

：.ZCHK=ZFCHf

?.?AB=6,BC=8,

：.AC=10,

3

sinZACB=sinZCHK=sinZDCH=-,

31R

當DH±HC時，DH=DCxsinZ.DCH=6x—=—=3.6,

即￡歸長度的最小值為3.6.

6.(2022?山東濟南?模擬)如圖1,已知AB為。。的直徑，點C為A8的中點，點。在BC上，連接3D、CD、

⑴求證：ZC+ZCBD=ZCBA；

(2)如圖2,過點C作C。的垂線，分別與A。，AB,相交于點尸、G、H,求證：AF=BD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8尸，若BF=BC,的面積等于3,求尸G的長.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)FG=—

2

【思路分析】(1)連接AC,由AC=BC，推出==由C￡)=CZ)，BD=BD，

推出/DC3=NZMS,ZCBD=ZCAD,推出N￡)C3+NCB￡>=NC4D+/ZMB=NC4B=NCBA；

(2)只要證明AACF=ABCD,即可推出AF=8D；

(3)由AACK=ACBM,推出AK=CAf,由推出CV=CE>,△AFK是等腰直角三角形,

CK

推出AK=FK=FM=CM,在RtaATQ中，tanZCAK=——=3,作EN