專題07三角形中的證明與計(jì)算問題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.............................................................................................1

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................1

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................4

題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算..........................................................8

題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算.........................................................12

中考練場(chǎng).................................................................................................14

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述________________________________________

三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是解決三角形相關(guān)問題、推導(dǎo)幾何結(jié)論的關(guān)鍵工具，

在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查依據(jù)不同幾何情境，精準(zhǔn)選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三

角形全等，并熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的證明與計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個(gè)三角形全等；利用全等三角形性質(zhì)，證明線段

相等、角相等或計(jì)算線段長度、角度大??；在復(fù)雜圖形中，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，解決幾何問題。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理的靈活運(yùn)用，全等三角形性質(zhì)在證明線段、角度關(guān)系及計(jì)算中的應(yīng)用，

全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實(shí)際問題（如測(cè)量距離）中的運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能

力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構(gòu)造全等三角形突破解題難點(diǎn)；同時(shí)具備將實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定三角形全等時(shí)，錯(cuò)用判定條件，如誤將“SSA”當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用全等三角形性質(zhì)

時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段、角度計(jì)算錯(cuò)誤；添加輔助線時(shí)缺乏針對(duì)性，無法有效構(gòu)造全等三角形；在綜合問題中，

不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計(jì)算。

02解題攻略

【提分秘籍】

全等三角形的判定:

①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對(duì)應(yīng)性相等的兩個(gè)三角形全等。

②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

全等三角形的性質(zhì)：

對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段（高、中線、角平分線等）相等

【典例分析】

例1.（2024?云南?中考真題）如圖，在VABC和△AED中，AB^AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.

求證：AABC^AAED.

例2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，點(diǎn)。在VABC的邊AB上，。廠經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)E,且跖=DE.求證CF//AB.

例3.（2024?福建?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，ZBAF=ZDAE,求證：BE=DF.

D

例4.（2024?四川樂山?中考真題）知：如圖，平分NC4D,AC=AD.求證：NC=ND.

A

例5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

請(qǐng)從①CE；②CE=DF；③4="這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由.

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?二模）如圖，E是A3上一點(diǎn)，AB=DE,CB=CE,EC平分NBED,求證：ND=NA.

2.（2025?福建泉州?一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是8C上一點(diǎn)，連接DE,4￡>=。石，點(diǎn)尸是OE上一點(diǎn),

ZAFD=90°.求證：AF=CD.

3.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)AC,D,歹在一條直線上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求證:

AC//DE.

4.（2025?陜西西安?二模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。是48上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作=點(diǎn)E在48上方，連接AE,

AE=AC,ZADE■與NE4c互補(bǔ)，求證：DE=BA.

5.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD工AB交

BE的延長線于點(diǎn)。，CG平分/ACB交80于點(diǎn)G,尸為邊上一點(diǎn)，連接CP,且NACF=NCBG.求證：

(1)AF=CG；

Q)CF=2DE.

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述

相似三角形的判定及性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容，它主要研究三角形之間的相似關(guān)系，通過判定定

理確定相似性，并利用性質(zhì)解決線段比例、角度關(guān)系等幾何問題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)相似三角形判定定理（如兩角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等）的

準(zhǔn)確運(yùn)用，以及相似三角形性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類

幾何情境中的應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度、角

度大小、圖形面積；通過構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題，如測(cè)量物體高度、距離等。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中的運(yùn)用，相似三角形

與函數(shù)、圓等其他知識(shí)的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識(shí)別與應(yīng)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖

形分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型求解。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定相似時(shí)錯(cuò)用條件，例如誤將兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其中一邊的對(duì)角相等當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用

相似三角形性質(zhì)時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段比例、面積計(jì)算出錯(cuò)；對(duì)相似模型的特征把握不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確識(shí)別與應(yīng)

用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識(shí)解題。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.相似圖形的概念:

把形狀相同的圖形稱為相似圖形。

2.相似三角形的概念：

如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

3.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

②對(duì)應(yīng)邊判定：

三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

4.相似三角形的性質(zhì)：

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角

平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形ABC。的邊BC,上，BE=3,EC=6,CF=2.求

證：△ABESAECF.

例2.（2024?新疆?中考真題）如圖，在中，43是。的直徑，弦CD交于點(diǎn)E,AD=BD-

⑴求證：AAC%△￡■＜力；

(2)若AC=3,6C=1,求CE的長.

例3.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，48是。的直徑，ACD內(nèi)接于,0,CD=DB，AB,CD的延長線相交于

點(diǎn)E,且DE=AD-

（1）求證：△C4r）saCE4；

⑵求NADC的度數(shù).

例4.（2024?四川?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=90°,連接80,過點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E,CE交BD

于點(diǎn)F,Z1=ZABC.

⑴求證：N2=N3；

（2）若N4=45。.

①請(qǐng)判斷線段BC,的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②若5c=13,4）=5,求E/的長.

【變式演練】

1.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VA2C中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，求證：AACD-ACBD.

2.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）如圖，將VABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN,連接MA,CN.求證：CBN.

3.（2024.四川樂山.模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知線段A3,CD相交于點(diǎn)。，ADCD,AO=2,AB=5.求黑?

4.（2024.廣西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE,3區(qū)AD相交于點(diǎn)E求證：AE2=3EFEB.

A

5.(2025?上海虹口?一模)如圖，在RtAABC中，ABC=90，點(diǎn)。在邊AC上，過點(diǎn)。作OE垂直AC交A8于點(diǎn)E,

連接EC、交于點(diǎn)

(I)求證：ABD-ACE；

(2)如果3。=鹿，求證：^CE2=BFBD.

6.(2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè))如圖，在ABCD^P，對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)。，NC4B=NACB,過點(diǎn)3作BE,

交AC于點(diǎn)E.

⑴求證：ABO^BEO；

(2)若A8=10,AC=16,求OE的長.

題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算

01題型綜述

結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合運(yùn)用的關(guān)鍵內(nèi)容，深度融合全等三角形與相似

三角形的核心性質(zhì)，對(duì)學(xué)生綜合分析與解決問題能力要求較高，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查靈活運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，在復(fù)雜幾何情境下，通過

尋找、構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對(duì)三角形中線段長度的精準(zhǔn)計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型有在一個(gè)圖形中，先證明三角形全等得到部分線段相等關(guān)系，再借助相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例，

計(jì)算其他線段長度；或者先利用相似三角形求出部分線段比例，再通過證明全等三角形，確定關(guān)鍵線段長度，進(jìn)而計(jì)

算所求線段。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對(duì)應(yīng)相

等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及全等與相似三角形性質(zhì)在串聯(lián)線段關(guān)系、計(jì)算

線段長度過程中的綜合體現(xiàn)。

4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復(fù)雜圖形中迅速識(shí)別全等與相似三角形的基本模型；擁有強(qiáng)大

的邏輯推理能力，依據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等與相似的證明順序，搭建線段計(jì)算的橋梁；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，處理

復(fù)雜線段比例與長度計(jì)算。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和性質(zhì)，導(dǎo)致證明過程出錯(cuò)；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí),

輔助線添加不合理，無法有效建立線段聯(lián)系；在利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混亂，造成計(jì)算錯(cuò)誤；

對(duì)題目中隱含的全等或相似條件挖掘不充分，影響解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例L（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，AC,8。相交于點(diǎn)0,AB//DC,河是48的中點(diǎn)，MN//AC,交BD

于點(diǎn)N.若00:03=1:2,AC=12,則MN的長為（）

例2.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12,點(diǎn)、E,尸分別在邊BC,CD±,AE與BP相交

于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則3G的長為.

D

例3.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于。，點(diǎn)。在上，AD平分4AC交？O于。，連接若

AB=10,BD=2辨,則的長為.

例4.（2023?遼寧營口?中考真題）如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,將AC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

AF

CD,連接8。交AC于在E,則==.

例5.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD是VABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn),

連接BE.若BE=BC,CD=2,則.

例6.（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)E為ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接DE并延長至點(diǎn)尸,

使得EF=DE,連接班則即為（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

【變式演練】

1.（2025?山西朔州?一模）如圖，AB//CD,AC與3。相交于點(diǎn)E,已知AE=4,CE=6,BE=5,則臺(tái)￡）的長為

2.（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，ABC中，AB^AC,點(diǎn)。是ASC的外心，且。4=2,延長2。交AC于點(diǎn)。,

^AD2=ABXDC,則OD=.

3.（2025?陜西西安?一模）如圖，在VABC中，/BAD=2/C,N1=N2,AD_LBD交BC于E,AB=5,BD=4,則CE

的長度為.

4.（2025?陜西西安?二模）如圖，VABC中，M是BC的中點(diǎn)，AD平分ZBAC,于點(diǎn)。，若A3=4,AC=6,

則MD等于（）

5.（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）在等腰VABC中，AB=AC,。是BC上一點(diǎn),過點(diǎn)。作DEIAD交AC延長線于點(diǎn)E,

什24BD2EAC上位

tanZBAC=—,—,則的值為一?

7AB5CE

A

6.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABC。的邊長為20,AG=CH=16,BG=08=12,連接GH,則線段GH的長

為（）

A.2應(yīng)B.2上C.4D.4A/2

7.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線2。上有一點(diǎn)E,滿足DE=2BE,連接CE,過。作DFLCE于

BF

F,連接防，則蕓的值為（）

DF

A.3B.手C.當(dāng)D-f

題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算

01題型綜述

結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對(duì)知識(shí)綜合運(yùn)用能力要求頗高的內(nèi)容，它緊密關(guān)

聯(lián)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等和相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的特性，旨在培養(yǎng)學(xué)生深度分析幾何圖形中角度關(guān)系的能力，在中

考數(shù)學(xué)里分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等這兩大核心性質(zhì)，在復(fù)雜多變的

幾何圖形情境中，精準(zhǔn)定位并通過構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對(duì)三角形中未知角度的準(zhǔn)確計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型有在給定圖形中，先證明三角形全等獲取部分角度相等關(guān)系，接著借助相似三角形對(duì)應(yīng)角性質(zhì)

來計(jì)算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通過證明三角形全等，確定關(guān)鍵角度數(shù)值，從而完成

所求角度的計(jì)算。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對(duì)

應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等）的恰當(dāng)選用，以及全等與相似三角形對(duì)應(yīng)角性質(zhì)在構(gòu)建角度

關(guān)系、求解角度數(shù)值過程中的綜合運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形感知能力，能快速從復(fù)雜圖形中識(shí)別出全等與相似三角形的基本模型；擁有較

強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，依據(jù)已知條件有條不紊地規(guī)劃全等與相似的證明流程，以此搭建起角度計(jì)算的邏輯鏈條；同時(shí)，

還需掌握扎實(shí)的角度運(yùn)算能力，準(zhǔn)確處理各類角度的計(jì)算問題。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和對(duì)應(yīng)角性質(zhì)，致使證明過程出現(xiàn)錯(cuò)誤；在構(gòu)造全等或相似

三角形時(shí)，輔助線添加不當(dāng)，無法成功建立起有效的角度關(guān)聯(lián)；在利用相似三角形對(duì)應(yīng)角性質(zhì)計(jì)算時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混亂，

造成角度計(jì)算失誤；對(duì)題目中潛藏的全等或相似條件察覺不敏銳，從而阻礙解題思路的順暢推進(jìn)。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024.山東濟(jì)南?中考真題）如圖,已知AABC絲△DEC,NA=60。,N3=40。，則NDCE的度數(shù)為（).

C.80°D.100°

例2.（2024?四川成都?中考真題）如圖,△ABC芻4CDE,若/O=35。，ZACB=45°,則/DCE的度數(shù)為

【變式演練】

1.（2025.河南.模擬預(yù)測(cè)）如圖,已知△ABCsAACD,ZA=80°,ZADC=6O°,貝=

2.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在VABC和V3DE中，點(diǎn)C在邊上，AC交BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,ZACS=50°,則NAEB=

3.（2025?浙江寧波?一模）如圖，長方形A3CD沿AE折疊，使點(diǎn)。落在8C邊上的點(diǎn)尸處.如果N5V=55。，那么

ZDAE=,ZAEF=,/EFC=

03中考練場(chǎng)

一、單選題

1.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)三角形相似比為1:3,則這兩個(gè)三角形的周長比為（）

A.1:3B.1:9C.1:2D.1:4

2.（2025?河南安陽?一模）如圖，為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱A8的高為0.3m,踏板DE長為1.6m,支撐點(diǎn)

A到踏腳。的距離為0.6m,現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點(diǎn)E離地面的高度改為（）

3.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VA5c與二DEF位似，點(diǎn)。為位似中心，已知。4:00=2:3,VABC的面積為8,則

DEF的面積為（）

A.8B.12C.18D.24

4.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。在上，連接AD,￡FG的頂點(diǎn)b、G分別是C。、AC的中點(diǎn),

EG、EF分別交AD于點(diǎn)打、P,若點(diǎn)〃是EG的中點(diǎn)，AZ）=6,則"P的長為（）

A.3B.2C.2.5D.1.5

5.（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ASC中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別在邊A5,AC

上，AE=CF,則四邊形的面積為（）

A.18B.972C.9D.6

6.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形A3CD,連接80,點(diǎn)E為8。上一點(diǎn)，連接CE,將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

GFFD

轉(zhuǎn)90。得到線段C/,連接EB交CD于點(diǎn)G,若岑=3,則器的值為（）

（jrEC

A.辿B.-C.D.1

433

二、填空題

7.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，AB=10,AC=8,AO平分NA4C,AC^AD,過。作CELAD于點(diǎn)E,

則OE長為.

8.（2025?湖南長沙?一模）如圖，在VA5c中，AB=AC,分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于:AB長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M,N,

2

作直線MN分別交3c,48于點(diǎn)若NADC=72。，則NC4O的度數(shù)是.

9.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，尸AW中，ZMPN=90°,PM=PN,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4,6）,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

10.（2025?河北唐山?一模）點(diǎn)A,0,C在同一直線上，點(diǎn)8,0,。在同一條直線上，ABAO=ZDCO=90°,部分

數(shù)據(jù)如圖所示，將△OAB沿虛線剪成三塊，其中兩塊為梯形，一塊為三角形，陰影部分的面積記為將，08沿虛

線剪成三塊，三塊均為三角形，陰影部分的面積記為S?,貝”|：邑=.

三、解答題

11.（2025?陜西西安?二模）如圖，E是48上一點(diǎn)，AB=DE,CB=CE,EC平分/BED,求證：ZD=ZA.

12.（2025?江蘇宿遷?一模）己知：如圖，AC_L3尸于點(diǎn)C,DF_LAB于點(diǎn)。，且。是AB的中點(diǎn).求證：CD'=DEDF.

13.（2025?陜西咸陽?一模）如圖；在VABC中，延長取到點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。石〃AC,連接BE,AB=DE,AC^DB,

求證：EB=BC.

D

14.(2025?海南三亞?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CD〃BE且CD=BE.

⑴求證：ACD^CBE；

⑵若NO=50。，求/OCE的度數(shù).

15.(2025?湖南長沙?一模)如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處,

折痕為EF.

(1)求證：AEBgAFGC；

(2)若NECB=30。，ZA=120°,試判斷△ECF的形狀，并說明理由.

專題07三角形中的證明與計(jì)算問題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.............................................................................................1

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................1

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................4

題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算..........................................................8

題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算.........................................................12

中考練場(chǎng).................................................................................................14

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述________________________________________

三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是解決三角形相關(guān)問題、推導(dǎo)幾何結(jié)論的關(guān)鍵工具，

在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查依據(jù)不同幾何情境，精準(zhǔn)選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三

角形全等，并熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的證明與計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個(gè)三角形全等；利用全等三角形性質(zhì)，證明線段

相等、角相等或計(jì)算線段長度、角度大??；在復(fù)雜圖形中，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，解決幾何問題。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理的靈活運(yùn)用，全等三角形性質(zhì)在證明線段、角度關(guān)系及計(jì)算中的應(yīng)用，

全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實(shí)際問題（如測(cè)量距離）中的運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能

力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構(gòu)造全等三角形突破解題難點(diǎn)；同時(shí)具備將實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定三角形全等時(shí)，錯(cuò)用判定條件，如誤將“SSA”當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用全等三角形性質(zhì)

時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段、角度計(jì)算錯(cuò)誤；添加輔助線時(shí)缺乏針對(duì)性，無法有效構(gòu)造全等三角形；在綜合問題中，

不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計(jì)算。

02解題攻略

【提分秘籍】

全等三角形的判定:

①邊邊邊(SSS)：三條邊分別對(duì)應(yīng)性相等的兩個(gè)三角形全等。

②邊角邊(SAS)：兩邊及其這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

③角邊角(ASA)：兩角及其這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

④角角邊(AAS)：兩角及其其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

⑤直角三角形判定(HL)：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

全等三角形的性質(zhì)：

對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段(高、中線、角平分線等)相等

【典例分析】

例1.(2024?云南?中考真題)如圖，在VABC和△AED中，AB^AE,ZBAE^Z,CAD,AC^AD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.利用“SAS”證明

△ABC短△AED,即可解決問題.

【詳解】證明：ZBAE=ZCAD,

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即ABAC=NEAD,

在VABC和△AED中，

AB=AE

，ABAC=NEAD,

AC=AD

：.ABC絲AED(SAS).

例2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，點(diǎn)。在VA3C的邊AB1.,DF經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)E,且.求證CF//AB.

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得/Z=EC,即可證明AED^CEF,

有ZDAE=ZFCE成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：???點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，

AE=EC,

EF=DE,ZAED=ZCEF,

???AAED且△CEF（SAS）,

??.ZDAE=ZFCE,

：,CF//AB.

例3.（2024.福建?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、/分另!］在BC、C。邊上，NBAF=NDAE,求證：BE=DF.

【答案】見解析

【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明NR4E=/ZMF,再證明函隹0△LAF,從

而可得結(jié)論.

【詳解】證明：在菱形ABC。中,

AD

AB=AD,ZB=ZD，

9

.'ZBAF=ZDAEf

???ZBAE+ZE4F=/E4F+ZZMF,

:,ZBAE=ZDAF,

ZB=ZD

在么歷場(chǎng)和ADAF中,AB=A。

ZBAE=ZDAF

/\BAE^/\DAF.

BE=DF.

例4.（2024.四川樂山.中考真題）知：如圖，平分NC4O,AC=AD.求證：ZC=ZD.

【答案】見解析

【分析】利用SAS證明AC4B2ADAB,即可證明NC=/D.

【詳解】解：超平分NC4D,

/.ZCAB=ZDAB,

在AC4B和AZMB中，

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

,\ACAB^ADAB（SAS）f

；2C=/D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

例5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則AB=CD.

請(qǐng)從①CE；②CE=DF；③NE=4這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出==再由全等三角

形的判定和性質(zhì)得出結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出

一AEC空BFD（SAS）,結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：選擇①CE；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=ZFBD,ZD=NECA,

"：AE=BF,

：..AEC^BFD（AAS）,

AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

選擇②CE=D尸；

無法證明AAEC絲ABFD,

無法得出AB=CD；

選擇③

AE//BF,

ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=NF,

.?一AEC均BFD（AS0,

：.AC=BD,

:.AC—BC=BD—BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?二模）如圖，E是AB上一點(diǎn)，AB=DE,CB=CE,EC平分/BED,求證：ZD=ZA.

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線的定義和等腰三角

形的性質(zhì)可得=進(jìn)而由SAS可得△OCE四△ACS,據(jù)此即可求證，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】證明：=

ZB=NBEC,

,/EC平分NBED,

ZDEC=ZBEC,

：.ZDEC=ZB,

在△￡)(7￡r和ZXACB中，

DE=AB

<ZDEC=ZB,

CE=CB

：.ADCE^AACB(SAS),

，ZD=ZA.

2.(2025?福建泉州?一模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是3C上一點(diǎn)，連接DE,AD=DE,點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)、,

ZAFD=9O°.求證：AF=CD.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形的性質(zhì)可得AD〃3C,ZDCE=90°,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得=再結(jié)合NAfZ?=9O。，可

得ZAFD=NDCE,利用AAS可證得△"口絲△OCE,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：-四邊形ABC。是矩形，

.-.AD//BC,ZDCE=90°,

:.ZADF=ZDEC,

又.ZAFD=90°,

..ZAFD=NDCE,

在△AFD和△DCE中,

NAFD=NDCE

<ZADF=ZDEC,

AD=DE

..AFD/aDCE(AAS),

/.AF=CD.

3.(2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)BC,D,廠在一條直線上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求證:

AC//DE.

△

AB

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與平行線的判定，先證，ABC當(dāng)EED(SAS),得出NACB=NEDF,貝I]

ZACD=/EDC,再由平行線的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：在VABC和，EFD中，

AB=EF

<ZCAB=ZDEF,

AC=ED

,ABC瑪EFD&AS),

：.ZACB=/EDF,

：.ZACD=NEDC,

：.AC//DE.

4.(2025?陜西西安?二模)如圖，在VABC中，點(diǎn)。是48上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作=點(diǎn)E在A8上方，連接AE,

AE=AC,ZADE與NEAC互補(bǔ)，求證：DE=BA.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵；由同角的補(bǔ)角相等可得

ZEAC=NBDE,再證明ABC經(jīng)￡DA(AAS)即可得證.

【詳解】證明：Z4DE與/E4c互補(bǔ)，

..ZADE-^-ZEAC=180°f

NADE+N或史=180。，

:"EAC=/BDE,

，NE4D+ZZMC=ZE4D+NE,

:.ZDAC=ZE,

ZADE=NB,AE=AC9

，一ABC均EDA(AAS),

.e.DE=BA.

5.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在VA2C中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD上AB交

物的延長線于點(diǎn)。，CG平分/ACS交8。于點(diǎn)G,尸為邊上一點(diǎn)，連接CP,^.ZACF=ZCBG.求證：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，則NACG=NBCG=45。，ZCAF=ZCBF=45°,等量代換，則NC4歹=ZBCG,根據(jù)全等三角形的

判定和性質(zhì)，即可；

(2)延長CG交于連接AG,根據(jù)題意，垂直平分線的性質(zhì)，證明得到CH是A8的垂直平分線，則=

AG=BG,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，則AD〃CG,ND=NEGC,根據(jù)NGR4+ND=44G+NZMG=90。，推出

/D=NDAG,根據(jù)全等三角形性質(zhì)，則四aCGB,得到CF=3G,根據(jù)E為AC邊的中點(diǎn)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，貝UADE金CGE(AAS),根據(jù)邊的等量關(guān)系，即可.

【詳解】(1)證明，如下：

VZACB=90°,AC^BC,

???ZCAF=ZCBF=45°f

???CG平分ZACB交BD于點(diǎn)G

:.ZACG=ZBCG=45°9

：./CAF=NBCG,

VAC=BC,ZACF=ZCBG,

：..AFC^ACGB(ASA),

：.AF=CG.

(2)證明，如下：

延長CG交A3于"，連接AG,

???CG平分/AC?,AC=BC,

???CH是AB的垂直平分線，

；?AH=BH,AG=BG,

:,ZABG=/GAB,

,:ADJ.AB,

：.AD//CG,ZDAB=9Q0,

：.ZD=ZEGC,

9：ZGBA+ZD=ZBAG+ZDAG=90°,

：.ZD=/DAG,

:?DG=AG=GB,

9：AAFgACGB,

JCF=BG,

:.DG=CF,

???石為AC邊的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

?:ZAED=/CEG,

E(AAS),

:.DE=GE,

???DG=2DE,

：.CF=2DE.

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述

相似三角形的判定及性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容，它主要研究三角形之間的相似關(guān)系，通過判定定

理確定相似性，并利用性質(zhì)解決線段比例、角度關(guān)系等幾何問題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)相似三角形判定定理（如兩角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等）的

準(zhǔn)確運(yùn)用，以及相似三角形性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類

幾何情境中的應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度、角

度大小、圖形面積；通過構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題，如測(cè)量物體高度、距離等。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中的運(yùn)用，相似三角形

與函數(shù)、圓等其他知識(shí)的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識(shí)別與應(yīng)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖

形分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型求解。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定相似時(shí)錯(cuò)用條件，例如誤將兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其中一邊的對(duì)角相等當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用

相似三角形性質(zhì)時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段比例、面積計(jì)算出錯(cuò)；對(duì)相似模型的特征把握不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確識(shí)別與應(yīng)

用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識(shí)解題。

02解題攻略

【提分秘籍】

5.相似圖形的概念:

把形狀相同的圖形稱為相似圖形。

6.相似三角形的概念：

如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

7.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

②對(duì)應(yīng)邊判定：

三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

8.相似三角形的性質(zhì)：

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角

平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)、E,尸分別在正方形A2CL（的邊BC,CD±,BE=3,EC=6,CF=2.求

證：AABESAECF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì),

AR

得出々=NC=9O。，AB=CB=9,進(jìn)而得出三二?，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明.

ECCF

【詳解】解：BE=3,EC=6,

:.BC=9,

四邊形ABCD是正方形，

.-.AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AB_9_3BE_3

EC-6-2*CF-2?

ABBE

,EC-CF

又?.NB=NC=90。，

/.ABEsECF.

例2.（2024?新疆?中考真題）如圖，在，0中，A3是。的直徑，弦C。交A3于點(diǎn)E,AD=BD-

⑴求證：AACD^AECB；

（2）若AC=3,3C=1,求CE的長.

【答案】（1）見解析

⑵|■四

【分析】（1）利用圓周角定理可得出NACD=/BCE,ZADC=ZABC,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

AF

（2）利用勾股定理可求出AB,AD,利用等面積法求出卡=3,可求出BE,然后利用（1）中△ECB求解

BE

即可.

【詳解】⑴證明：?.,AD=2r＞，

ZACD=/BCE,

又NADC=NABC,

：.AACD^AECB；

（2）解：：A8是（。的直徑，

?.ZACB=ZADB=90°,

-：AC=3,BC=1,

AB=^AC2+BC2'

AD=BD，

：.AD=BD,

ACr+BEr=AB1=\G,

/.AD=M,

ZACD=NBCE,

到AC、BC的距離相等，

設(shè)E到AC的距離為“，C到AB的距離為優(yōu)，

—AC-h—AE-m

??cACE_2_2

4BCE-BCh-BEm

22

.AEAC

>?——J,

BEBC

BE=—AB=-y/10,

1+34

AACDsAfc?,

.ACAD3=^2_

""~EC~~EB，'EC-V10，

4

：.CE=-yf2.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

例3.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，48是。的直徑，ACD內(nèi)接于。。，CD=DB，AB,CD的延長線相交于

點(diǎn)E,且DE=AD-

(1)求證：/XCADSACEA；

⑵求ZADC的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等知識(shí)，掌握

這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等弧所對(duì)的圓周角相等可得出/CAD=,再由等邊對(duì)等角得出NZM5=NE,等量代換可得出/C4D=/E,

又NC=NC,即可得出

(2)連接3￡),由直徑所對(duì)的圓周角等于90。得出/ADB=90。，設(shè)/QU)==a,即NC4E=2a,由相似三角

形的性質(zhì)可得出/ADC=NC4￡=2a,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2a+2a+90。=180。，即可得出a的值，進(jìn)

一步即可得出答案.

【詳解】(1)證明：???1□=DB

ZCAD^ZDAB,

DE=AD,

/.NDAB=NE,

：.NCAD=ZE,

又；/C=NC

：./\CAD^/\CEA,

(2)連接BD,如下圖：

；AB為直徑，

：.ZADB^90°,

^ZCAD=ZDAB=a,

ACAE=2a,

由(1)知：ACW^ACEA

ZADC=NC4E=2a,

?.?四邊形AftDC是圓的內(nèi)接四邊形,

二ZG4B+ZCDB=180°,

即2a+2々+90。=180°,

解得：a=22.5。

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

例4.（2024?四川?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=90°,連接BD,過點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E,CE交BD

于點(diǎn)尸，Zl^ZABC.

⑴求證：N2=/3；

⑵若N4=45。.

①請(qǐng)判斷線段2C,8。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BC=13,AD=5,求斯的長.

【答案】（1）見解析

⑵①30=80,理由見解析；②EF=w

【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)由余角的性質(zhì)可得Nl+N3=90。，Z2+ZABC=90°,根據(jù)=可得N2=/3；

(2)①設(shè)/2=/3=X,可求ZBFE=9(F-x=ZDFC,可求ZBCD=ZBZ)C=45o+x,根據(jù)等腰三角形的判定可得BC=B￡>；

EFBE

②由勾股定理可求AB=12,由“AAS”可證ZiADB四△￡BC,可得8E=A￡>=5,通過證明△EFBs△也兒可得一=一,

ADAB

即可求解.

【詳解】(1)證明：CE1AB,

ZCEB=90°=ZA,

.?.Nl+N3=90。，Z2+ZABC=90°,

Z1=ZABC,

.?.N2=N3；

(2)解：①BC=BD,理由如下：

設(shè)N2=N3=x,

ZBFE=90°-x=ZDFCf

Z4=45°,

ZCDB=180?！?5°-(90°—x)=45。+%,

ZBCD=N4+N2=45。+x,

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