第7關一元二次方程

基礎練

考點1一元二次方程及其解法

1.[2024四川涼山州1若關于x的一元二次方程（a+2）x23+x+a2-4=。的一/根是x=0、則a的值為

（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

2.[2024貴州'一元二次方程%2-2%=0的解是（）

—31%2=1B.X]—2,汽2=0

C.xr=3,x2=—2D.xr=-2,X2=—1

3.2024內(nèi)蒙古赤峰]等腰三角形的兩邊長分別是方程%2-10%+21=0的兩個根，則這個三角形的周長為

（）

A.17或13B.13或21

C.17D.13

考點2根的判別式、根與系數(shù)的關系

4.2024北京若關于x的一元二次方程%2-4%+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為（）

A.-16B.-4C.4D.16

5.[2024四川自貢]關于x的方程/—2=。根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

6.[2024四川樂山]若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1改，且工+工=3,則p的值為（）

X1X2

22

A.--B.-C.-6D.6

33

7.[2024北京西城區(qū)二模]已知關于x的一元二次方程x2+3x+k-2=。有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若k為滿足條件的最大整數(shù)，求此時方程的根.

考點3一元二次方程的實際應用

8.[2024云南]兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成

本為60元.設甲種藥品成本的年平均下降率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的是()

4.80(1-%2)=60F.80(1-%)2=60

C.80(l-x)=60D.80(l-2x)=60

9.[2024甘肅武威一模]如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m,寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩

余的空地上鋪設草坪，使草坪的面積為570.設道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是()

A.(32-X)(20-X)=32X20-570

B.32x+2x20x=32x20-570

C.(32-2x)(20-x)=570

D.32x+2x2Ox-2x2=570

10.[2024內(nèi)蒙古通遼]如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻(墻長5.5m)的矩形鴨舍，其

面積為15m2,在鴨舍側面中間位置留一個1m寬的門(由其他材料制成)，則BC長為()

A.5m或6mB.2.5m或3m

C.5mD.3m

ll.[2024重慶二模]芬芳的鮮花，能驅散內(nèi)心的疲憊，讓人心靈得到放松，感受生活的美好.某花店抓住市場需

求，計劃第一次購進玫瑰和向日葵共300枝，每枝玫瑰的進價為2元，售價定為5元，每枝向日葵的進價為4元,

售價定為10元.

(1)若花店在無損耗的情況下將玫瑰和向日葵全部售完，要求總獲利不低于1200元，求花店最多購進玫瑰多少

枝.

(2)花店在第二次購進玫瑰和向日葵時，兩種花的進價不變.由于銷售火爆，花店決定購進玫瑰和向日葵共360

枝，其中玫瑰的進貨量在

⑴的最多進貨量的基礎上增加10m枝，售價比第一次提高m元，向日葵售價不變，但向日葵在運輸過程中有

10%已經(jīng)損壞，無法進行銷售，最終第二批花全部售完后銷售利潤為1800元，求m的值.

提升練

12J2024遼寧丹東校級模擬]下列方程是關于x的一元二次方程的是（）

A.CLX^+bx+c=0B.—H——2

X

C.x2+2%=x2—1D.3（%+l）2=2（%+1）

13.[2024黑龍江綏化]小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因

而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5,則原來

的方程是（）

A/+6%+5=0B.%2—7%+10=0

C.%2—5%+2=0D.x2—6%—10=0

14,[2024廣東深圳三?！钢讣馍系姆沁z-----麻柳刺繡”，針線勾勒之間，繡出世間百態(tài).在一幅長80cm,寬5

0cm的刺繡風景畫的四周鑲一圈金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,

設金色紙邊的寬度為xcm（風景畫四周的金色紙邊寬度相同），則列出的方程為（）

A.(50+x)(80+x)=5400

B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2x)(80+2x)=5400

D.(50-2x)(80-2x)=5400

22

15.[2024四川南充一模]關于x的方程x-2mx+m-4=0的兩個根x1，x?滿足xr=2x2+3,且Xi>x2,

則m的值為（）

A.-3B.l

C.3D.9

16,[2024江蘇揚州校級模擬]根據(jù)下表可知，方程%2+3%-1=。的一個解x的范圍為（）

X0.280.290.300.310.32

y=x2+-0.0816-0.0459-0.010.02610.0624

3x-l

A.0.28<x<0.29B.0.29<x<0.30

C.0.30<x<0.31D.0.31<x<0.32

17.[2024云南]若一元二次方程x2-2x+c=0無實數(shù)根，則實數(shù)c的取值范圍為.

2

18.[2024四川南充舊知m是方程x+4x-1=0的一個根,則(m+5)(m-l)的值為L

19.[2024江蘇靖江二模]若M=x2-4xy+4y2+2x-4y.+3、則M的最小值為.

20.[2024重慶B卷]重慶在低空經(jīng)濟領域實現(xiàn)了新的突破、今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，

預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x,根據(jù)

題意，可列方程為.

21.2024重慶A卷]隨著經(jīng)濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅

48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是________.

22.2024青海(1)解一元二次方程：

%2—4x+3=0;

(2)若直角三角形的兩邊長分別是⑴中方程的根，求第三邊的長.

23.[2024浙江舟山二模]小敏與小霞兩位同學解方程3(%-3)=0-3尸的過程如下：

小敏：

兩邊同除以(x-3)狷3=x-3,

則x=6.

小霞：

移項，得：3(x-3)-(x-3)2=0,

提取公因式彳導(x-3)(3-x-3)=0,

貝!]x-3=0或3-x-3=0,

解得Xi=3,X2=0.

你認為她們的解法是否正確?若正確，請在框內(nèi)打；若錯誤，請在框內(nèi)打“x”，并寫出你的解答過程.

24.[2024廣東廣州]關于x的方程/-2乂+4-m=。有兩個不等的實數(shù)根.

⑴求m的取值范圍；

1-m2m-1m-3

⑵化簡:

\m-3\2m+1

2

25,[2024四川內(nèi)江舊知關于x的一元二次方程x-px+l=0(p為常數(shù))有兩個不相等的實數(shù)根X1和x2.

(1)填空：%1+%2=1%2=一;

(2)求*++5；

(3)已知+%2=2P+1，求P的值.

26.[2024遼寧一模]某校乒乓球隊舉行隊內(nèi)比賽，比賽規(guī)則是每兩個隊員之間都比賽一場，每場比賽都要分出

勝負，每一場比賽結束后依據(jù)勝負獲得相應積分，本次比賽一共進行了210場，用時兩天完成，下面是第一天比賽

結束后部分隊員的積分表：

隊員號碼比賽場次勝場負場積分

1108218

21010020

387115

486214

57077

⑴在本次比賽中，有一名隊員只輸?shù)袅艘粓霰荣?，則該名隊員的積分是多少?

(2)如果有一名隊員在本次比賽中的積分不低于34分，那么他最多負場.

27.[2024甘肅蘭州校級模擬]如圖.A,B,C,D為矩形的四個頂點,AB=16cm,AD=6cm,動點P,Q分別從點A,C同時

出發(fā)點P以3cm/s的速度向點B移動，到達B點時停止，點Q以2cm/s的速度向D點移動，當點P到達

B點時點Q隨之停止運動.設運動時間為ts.

(DAP=,BP=,CQ=,DQ=(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)t為多少時，四邊形PBCQ的面積為33cm2?

(3)t為多少時，點P和點Q的距離為10cm?

第7關一元二次方程

1.A解析：1,關于x的一元二次方程(a+2)/+久+&2-4=o的一個根是x=0,a?-4=0且a+2ro，解

得(a=2.

2.B解析：/—2x=0,x(x-2)=0,x-2=0或x=0,

解得%i=2,x2=0.

3C解析：x2—10x+21=0,

(x-3)(x-7)=0,

解得%i=3,%2=7,

當?shù)妊切蔚倪呴L是3、3、7時，3+3<7、不符合三角形的三邊關系，舍去；

當?shù)妊切蔚倪呴L是7、7、3時，這個三角形的周長是7+7+3=17.

4.C解析；,方程x2-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

(-4產(chǎn)-4X1-c=0,

，4c=16,解得c-4.

5.A解析:關于x的方程./+mx—2=。中,*.a=l/b=m,c=-2,

???△=m2+8>0,

.??方程有兩個不相等的實數(shù)根.

6.A解析：二?關于x的一元二次方程./+2x+p=0兩根為xlrx2/

???x1+x2=—2,xrx2—p,

7.(l)k<^(2)X1=-1,X2=-2

解析：Q)由題意可知△=32-4(k—2)=17-4k>0,解得k<?.

4

⑵由Q)可知k=4,

，此時方程為x2+3x+2=0,

.,.(x+l)(x+2)=0,

X]——1,%2=—2.

8.B

9.C解析：?道路的寬為xm,

..鋪設草坪的部分可合成長為(32-2x)m,寬為(20-x)m的矩形.

根據(jù)題意得(32-2x)(20-x)=570.

10.C解析:設BC長為xm,則AB的長為|(10+l-x)m,

根據(jù)題意得?|(10+1-x)x=15,

解得x=5或x=6(舍去).

故BC長為5m.

11.(1)200枝⑵m=2

解析：(1)設花店購進玫瑰x枝，則購進向日葵(300-x)枝，

根據(jù)題意得(5-2)x+(10-4)(300-x)

>1200,

解得X4200,

■.X的最大值為200.

答：花店最多購進玫瑰200枝.

(2)根據(jù)題意得((5+m)(200+10m)-2(200+10m)+10[360-(200+10m)]x(l-10%)-4[360-(200+10m)]=180

整理得m2+18m-40=0,

解得不符合題意,舍去).

m-L=2,m2=-20(

答：m的值為2.

12.D解析:A.當a=0Btax2+bx+c=0不是一元二次方程，故A不符合題意；

5點+：=2不是整式方程,故B不符合題意；

C.x2+2x-x2-1是一元一次方程，故C不符合題意；

D.3(x+I)2=2(%+1)是一元二次方程，故D符合題意.

故選D.

13.B解析：設原來的方程為ax2+bx+c=0(a/0),

貝(j-￡=6+1=7,5=-2x(-5)=10,

所以b=-7a,c=10a,

所以原來的方程為ax2-lax+10a=。，即x2-7x+10=0.

14.C解析：由題意得掛圖的長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm根據(jù)題意得(50+2x)(80+2x)=5400.

15.C解析:-x2—2mx+m2—4=0,

，(x-m+2)(x-m-2)=0,

，x-m+2=0或x-m-2=0,

>x2>

???=TH+2,%2=租—2,

xr=2X2+3,

，m+2=2(m-2)+3,

解得m=3.

故選C.

16.C解析:?.?當x=0.30時,X2+3X-1=-0.01<0,

當x=0.3"時，x2+3x-l=0.0261>0,

，方程x2+3x—1—。的一個解x的范圍為0.30<x<0.31.

17.c>l

解析：因為一元二次方程/_2*+c=。無實數(shù)根,所以.△=(-2)2-4c<0,解得O1.

18.-4

解析：.m是方程.X2+4X-1=。的一個根,???m2+4m=1,

(m+5)(m-1)=m2+4m—5=1—5=—4.19.2

解析:/M=(x—2y尸+2(x—2y)+3—(x—2y+1)2+2>slant2,故答案為2.

20.200(1+x)2=401

21.10%

解析：設年平均增長率是x,

則有40(1+久尸=48.4,

解得x=0.1=10%或x=-2.1(舍).

22.(1)X1=1,X2=3(2)2魚或“U

解析:(I)%2-4%+3=0,

.-.(x-l)(x-3)=0.

.■.x-l=0或x-3=0,

x-y-3.

(2)當3是直角三角形的斜邊長時，第三邊的長==2V2,

當1和3是直角三角形的兩直角邊長時，第三邊的長：="不孕=V10,

..第三邊的長為2夜或V10

23.都錯誤，兩框內(nèi)均打"x",解答過程見解析

解析：移項，得3(x-3)-(%-3)2=0,

提取公因式，得((x-3)(3-x+3)=0,

則x-3=0或:3-x+3=0,

解得久】=3,%2=6.

24.(l)m>3⑵-2

解析：(1)1?關于x的方程/-2x+4-m=0有兩個不等的實數(shù)根，

(一2)2-4xlx(4-m)>0,解得m>3.

(2)/m>3,

...一二.二

|m-3|2m+1

--(-m-+-l-)(-?-n-l)---2-?-m--3

m-3m-1m+1

=2

25.(l)p;l

(26m=P；/+3=P

⑶P=3

解析：(1)由根與系數(shù)的關系得+%2=P>X1X2~1.

(2)%i+%2=P，=L

1,1X+XlP

----1----=---2----=-=。

X1x2xrx21

???關于x的一元二次方程X2-P%+1=0(p為常數(shù))有兩個不相等的實數(shù)根X^n亞，???好-P%1+1=0,

???—p+止=