(九)中考復(fù)習(xí)《相似三角形綜合解答題》

1.如圖，矩形ABC。中，AB=3,BC=2,點(diǎn)M在BC上，連接AM,^ZAMN=ZAMB,

點(diǎn)N在直線4。上，MN交CD于點(diǎn)E.

(1)求證：△AMN是等腰三角形；

(2)求證：AM2=2BM-AN；

(3)當(dāng)〃為2C中點(diǎn)時，求ME的長.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知。4=10c〃z,08=5”?,點(diǎn)尸從點(diǎn)。開始沿。4邊向點(diǎn)A以

2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B0邊向點(diǎn)0以lcm/s的速度移動.如果尸、。同

時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0W/W5),

(1)用含f的代數(shù)式表示：線段尸。=cm；0Q=cm.

(2)當(dāng)t為何值時，四邊形的面積為195？.

(3)當(dāng)△P。。與△AOB相似時，求出t的值.

3.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，AC=BC=2,M是邊AC的中點(diǎn)，CH_LBM于H.

(1)求MH的長度；

(2)求證：AMAHsAMBA；

(3)若。是邊AB上的點(diǎn)，且△A/TO為等腰三角形，直接寫出的長.

4.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CDLAB.

⑺圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為(不需證明):

(2)已知A8=5,AC=4,請你求出CD的長：

(3)在(2)的情況下，如果以為x軸，為y軸，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。，建立直角

坐標(biāo)系(如圖2),若點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，點(diǎn)。出

8點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段運(yùn)動，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時，兩

點(diǎn)即刻同時停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為，秒是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)從P、。為頂點(diǎn)的三角

形與AABC相似？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

5.如圖，直線a〃6,氤M、N分別為直線。和直線b上的點(diǎn)，連接M,N,Nl=70°,點(diǎn)

P是線段MN上一動點(diǎn)，直線。E始終經(jīng)過點(diǎn)P,且與直線a,b分別交于點(diǎn)。、E,設(shè)/

NPE=a.

(1)求證△MPDSANPE.

(2)當(dāng)△〃「￡)與全等時，直接寫出點(diǎn)P的位置.

(3)當(dāng)是等腰三角形時，求a的值.

6.如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AB

向終點(diǎn)8運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，過點(diǎn)E作跖，AB交直線AC于點(diǎn)尸，連接

CE.設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為r秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)/在線段AC上(不含端點(diǎn))時，

①求證：△ABCS/XAFE；

②當(dāng)f為何值時，△CEE的面積為1.2；

(2)在運(yùn)動過程中，是否存在某時刻3使為等腰三角形？若存在，求出f的值；

若不存在，請說明理由.

7.【操作發(fā)現(xiàn)】如圖（1）,在△043和△OCZ）中，。4=。2,OC=OD,/AOB=NCOD

=45°,連接AC,BD交于點(diǎn)、M.

①AC與BD之間的數(shù)量關(guān)系為；

@ZAMB的度數(shù)為；

【類比探究】如圖（2）,在△04B和△OCZ）中，NAOB=NCOD=90°,/0AB=N

08=30°,連接AC,交2。的延長線于點(diǎn)M.請計算空■的值及的度數(shù)；

BD

【實(shí)際應(yīng)用】如圖（3）,是一個由兩個都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、OCE

組成的圖形，其中/ACB=NZ）CE=90°,ZA=ZD=30°且。、E、8在同一直線上，

CE=1,BC=、國,求點(diǎn)4。之間的距離.

8.如圖①，在四邊形A2CD的邊A3上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與A、2重合)，分別連接區(qū)＞、

EC,可以把四邊形A8CD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫

做四邊形ABC。的邊上的“相似點(diǎn)”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四

邊形A8CD的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.解決問題：

(1)如圖①，NA=NB=/OEC=45°,試判斷點(diǎn)￡是否是四邊形ABCD的邊A8上的

相似點(diǎn)，并說明理由；

(2)如圖②，在矩形ABC。中，A、B、C、。四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方

形的邊長為1)的格點(diǎn)(即每個小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖②中畫出矩形A8CD的邊

48上的強(qiáng)相似點(diǎn)；

(3)如圖③，將矩形ABC。沿CM折疊，使點(diǎn)。落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好

是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系.

參考答案

1.(1)證明：???四邊形A8CD是矩形，

J.AD//BC,

，ZNAM=ZBMA,

,：/AMN=ZAMB,

：.NAMN=ZNAM,

：.AN=MN,即△&胸是等腰三角形；

(2)證明：???四邊形ABC。是矩形，

C.AD//BC,AD=BC=2,AB=CD=3,

：./NAM=/BMA,

作NH工AM于H,如圖所示：

,:AN=MN,NH1AM,

：.AH=^AM,

2

VZNHA^ZABM^90°,/NAM=/BMA,

：.ANAHsAAMB,

.AN=AH

■*AM麗，

AN'BM=AH-AM=AAM2,

2

:.AW=2BM?AN；

(3)解：為BC中點(diǎn)，

BM=CM=AfiC=AX2=1,

22

由(2)得：AM2^2BM-AN,

即：AM2=2AN,

VAM2=AB2+BM2=32+l2=10,

；.10=2AN,

：.AN^5,

：.DN=AN-AD=5-2=3,

設(shè)。E=x,貝UCE=3-x,

,JAN//BC,

:.ADNEs"ME

.DN_DE即3—x

"CM-CE，［一言

解得：x=l,即。￡=2,

44

2.解：(1)OP=2tcm,0Q=(5-t)cm,

故答案為：26(5-r),

(2)*.*S四邊形物=-S^PQOf

19=1,義10X5-1X2fX(5-t'),

22

.\t=2或3,

...當(dāng)f=2或3時，四邊形物8。的面積為19C%2.

(3)?.,△POQ與△A08相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

.OP^OPJQ

0AOBOB0A

當(dāng)_Qg_=OQ,則2L=5-t,

0AOB105

:.t=1,

?.當(dāng)或1時，△POQ與△AOB相似.

2一

3.解：(1)在△M8C中，ZMCB=90°,BC=2,

又是邊AC的中點(diǎn)，

：.AM=MC=—BC=1,

2

；.MB=rcM2+Bc2=T1+4=遍，

***SAMCBt=XxBCXCM=^-XBMXCH,

22

1X2.2V5

：.CH=

5

：.MH

場

(2)：叫=5V5MA1-V5

-

AM1kMBW5一一5

MHJ(A；^.ZAMH=ZAMB,

AMMB

AMAHsAMBA；

(3)VZACB=90°,AC=BC=2,

:.AB=2近,

AMAHsAMBA；

.AHAMV5

ABBM5_

AH=逅X2&=2A,

55

BM二遍,

5

：.BH=^^-,

5

若AH=A。時，

5

若DH=A//時，如圖1,過點(diǎn)X作HELAB于E,

5

,:AH=DH,EHLAB,

?SC4口8V2

..AD—2AE—v,

5

若時，如圖2,過點(diǎn)X作HELAB于E,

"：HE1=AH1-AE2=DH--DE1,

，歿,絲=4。2_(W2__AD)2,

25255

；.4。=亞，

2___

綜上所述：的長為生亙或量之或近.

552

4.解：(1)圖1中共有3對相似三角形，分別為：AABC^AACZ),AABC^ACBf),△

ACDs^CBD.

故答案為：3；AABC^AACD,AABC^ACBD,AACD^ACBZ).

(2)如圖2中，在△ABC中，VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=VAB2-AC2=^52-42=3-

?/AABC的面積=LAB?C￡)=IAC?8C,

22

.^nAC*BC12

AB5

(3)存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)2、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下:

在△BOC中，VZCOB=90°,BC=3,0C=衛(wèi)，

5

：.0B=，.

5

分兩種情況：

①當(dāng)/8。尸=90°時，如圖2①，此時△PQBszXACB,

.BP=BQ

■"ABBC'

?3~tt

53

解得Z=2,即80=CP=—,

88

：.BP=BC-CP=3--=—

88

3

在△BP。中，由勾股定理，得尸。=4Bp2_BQ--，

2

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（紅，—）

402

②當(dāng)NBPQ=90°時，如圖2②，此時△QPBSA4CB,

.BP=BQ

"BC而’

??3?~t_-t,

35

解得f=E,gpBQ^CP^—,BP=2C-CP=3-m=9

8888

過點(diǎn)尸作PEJ_x軸于點(diǎn)E.

:△QPBs^ACB,

15

嚼嚕即里=至

絲T

5

10

29.2-27

在△BPE中，BE22-(-

VPB-PE1040,

：.OE=OB-BE=--@=2,

5408

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（?，且），

810

5.（1）證明：

AMPDs叢NPE.

(2),：a//b,

：.Z1=ZPNE.

又?：/MPD=/NPE,

.?.當(dāng)與△"產(chǎn)￡全等時，AMPD咨ANPE,止匕時MP=NP,即點(diǎn)P是MN的中點(diǎn);

(3)①若PN=PE時，

?：Nl=NPNE=70°,

：.NT=NPNE=NPEN=70°.

.?.a=180°-/PNE-/PEN=\80°-70°-70°=40°.

Na=40°；

②若EP=EN時，則a=NPNE=N/=70°；

③若NP=NE時,則/PEN=a,此時2a=180°-NPNE=180°-ZZ=180°-70°

=110°

a=APEN—55°；

④當(dāng)。點(diǎn)在M點(diǎn)右側(cè)時，a=35°.

綜上所述，a的值是40°或70°或55°或35°.

6.解：(1)當(dāng)點(diǎn)/在線段AC上時,

①證明如下：

ZAEF=90°

在△ABC中，ZACB=90°

：.ZACB=ZAEF

又?:ZA=ZA

AABC^AAFE

②當(dāng)f秒時，AE=3t,

由①得△ABCs/XAPE

?AC__BC即6__8

’'短記TT'FE

：.FE=4t

在RtAABC中，AB=4石53=762+82=10,

過點(diǎn)C作CHLAB于H,如圖1：

由面積法可得：

yAB'CH=yBC-AC

."OAC6X824

??CH=^-F=

A

S^CEF=S/^ACE-SAAEF

=r3tx^v3t，4t

=爭56t2

令警t-6t2=1.2

D

=1,

解得：t2

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

答：當(dāng)r為』秒或1秒時，△（?￡尸的面積為1.2.

5

（2）存在，理由如下：

力當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時（0<f<旦），

5

ZCFE=ZAEF+ZA>900,

...當(dāng)ACE尸為等腰三角形時，只能是尸C=FE

由②可知：FE=4t

：.AF=5t,FC=4t

.,.5/+4/=6,

?

??i——

3

而）當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC的延長線上時哈<《也），如圖2,

53

ZFCE=ZFCB+ZECB>90°,

...當(dāng)△CEP為等腰三角形時，只能是PC=EC

此時/尸=NCEP

'：EFLAB

：.ZAEF=90°即/CEA+ZCEF=900

又/尸+乙4=90°

：.ZCEA=ZA

；.CE=AC=6

，F(xiàn)C=6

：.AF=n即5f=12

.12

"T

綜上所述，f的值為2秒或空秒時，所為等腰三角形.

35

7.解：【操作發(fā)現(xiàn)】如圖（1）中，設(shè)交于K.

VZAOB=ZCOD=45°,

：.ZCOA=ZDOB,

"：OA=OB,OC=OD,

：./\COA^/\DOB(SAS),

：.AC=DB,ZCAO=ZDBO,

NMKA=NBKO,

：.ZAMK=ZBOK=45

故答案為：AC=BD,ZAMB=45

【類比探究】如圖（2）中，

%

圖（2）

在△OA8和△OCZ）中，VZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,

J.ZCOA^ZDOB,OC=M（）D,OA=?OB,

.OC=OA

"OD而’

：./\COA^/\DOB,

.?里=世=?,ZMAK=ZOBK,

BDOD

ZAKM=ZBKO,

：.ZAMK^ZBOK^90°.

【實(shí)際應(yīng)用】如圖3-1中，作CHJ_8。于“，連接AD

圖（3必

在RtZkZJCE中，VZDC￡=90°,ZCDE=30°,EC=\,

.\ZC￡H=60°,

VZCHE=90°,

：.ZHCE^30°,

：.EH=^EC=^,

22

：.BE