2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之圖形的相似（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?蜀山區(qū)校級一模）點尸是矩形ABC。內(nèi)一點，。是4。邊上的任意一點，連接力、PB、PC、

PD,已知A2=6,BC=8,下列結(jié)論不正確的是（）

A.若g△P8C,則PA+PD的最小值是10

24

B.若貝Ijpa=€

C.公+PB+PC+P。的最小值為20

48

D.若SAPAB=S“BC,則出+P。的最小值為w

2.（2025?湖南模擬）魏晉時期劉徽所著的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點E,H,G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱

為"表高”（記為加）,EG稱為“表距”（記為d）,EH和GC都稱為“表目距”（分別記為zm,臉）,

則海島AB的高為（）

dhn

C.-------+dD.-d

m2-m1m2-m1

3.（2025?湖南模擬）如圖，已知△ABC與△。跖位似，位似中心為O,且△ABC的面積與△。所的面積

之比為25：16,則。氏BE等于（）

D.4：5

4.（2025春?渝中區(qū)校級月考）如圖，在正方形A3C。中，點尸為CD中點，點E為8C上一點，滿足8E+DF

BG

EF，點G為線段的上一點，若QEG,則正的值為（）

2V764V2V10

A.——B.-C.—D.——

5553

5.（2025?開州區(qū)一模）如圖，M為正方形ABCQ的對角線8。上的一點，連接CM,將線段CM繞點M

順時針旋轉(zhuǎn)90°,點C的對應(yīng)點N恰好落到邊AB上，線段MN交對角線AC于點G,且G為MN的

中點.若正方形的邊長為4,則AG的長為（）

A.返3V2

B.V2C.—D.2V2

22

6.（2025?海淀區(qū)校級模擬）己知NB4Q=36°,點B為射線AQ上一固定點，按以下步驟作圖:

1一

①分別以A,3為圓心，大于的長為半徑畫弧，相交于兩點N；

②作直線交射線AP于點。，連接

③以8為圓心，8A長為半徑畫弧，交射線AP于點C

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

B.LADBsAABC

C.CD：AD=2：1D.ZABC=3ZACB

7.（2025?寧國市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZXAOB的斜邊A8與x軸交于點C.若點A的坐標(biāo)

，則△AOC與△50C的面積之比為（)

2C.5：2D.5：3

8.(2025?新安縣一模)如圖，AB//CD//EF,A尸與相交于點G.若AG=2,GZ)=1,DF=5,BC=4,

A.—B.12C.10D.20

3

9.（2025春?合肥月考）如圖，在鈍角三角形ABC中，分別以和AC為斜邊向△A5C的外側(cè)作等腰直

角三角形A5E和等腰直角三角形AC足NA班的平分線交于點D,N分別為BC,AC的中

點，連接。N,DE,DF.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.EM=DN

_1

B?S^CDN=^S四邊形ABDN

C.DE=DF

D.DE上DF

10.（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，△ABC和△OEF是以。為位似中心的位似圖形，且OC=3OF,△

的周長是6,則△A8C的周長是（)

A.12B.18C.3D.2

二.填空題（共5小題）

H.（2025?鞍山模擬）如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,E,尸五個點均在格點

上，AB//DE,AC//DF,則△A8C與△￡）￡尸的面積比為.

12.（2025春?朝陽區(qū)校級月考）正方形A8CD的邊長為4,點E,尸分別在邊。C,8C上，且

AE平分/CA。，連接。R分別交AE,AC于點G,M、P是線段AG上的一個動點，過點尸作

AC,垂足為N,連接PM.給出下列四個結(jié)論：

①AE垂直O(jiān)M；②C^=GE?AE；③尸M+PN的最小值為3/；@S^ADM=4V2.上述結(jié)論中，正確結(jié)論

的序號有.

13.（2025春?普陀區(qū)月考）在等邊△ABC中，AB=6,點￡＞、E在分別在8C、AC上，ZADE=ZB,AE=

那么80=.

14.（2025?浦口區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC與△AOE中，ZBAC+ZZ）A￡=180°,AB=AC=5,BC=6,

AD=AE=1,則。E的長為.

15.（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，在矩形A8C。中，AB=3,8C=4,點P為邊CO上一動點，連接AP交對

角線8。于點E,過點E作EFLAP,EF交BC于點、F,連接AF交8。于點G,在點尸的運動過程中,

△AEG面積的最小值為.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?花溪區(qū)模擬)如圖，OO的半徑為5,是。。的直徑，弦COLA8于點F,。尸=3,P是疝上

一點，連結(jié)CP,交A8于點E,連結(jié)AD,交CP于點G.

(1)寫出圖中一對相等的角：;

(2)若CP_L4￡),求證：BD=PD；

(3)在(2)的條件下，求線段￡G的長.

17.(2025?盤龍區(qū)校級模擬)已知48是。0的直徑，尸是O。上的一點，NAP2的平分線交。。于點D,

C是A8延長線上一點，滿足CP2=C8?CA.

(1)如圖(1),求證：PC與。。相切；

(2)試判斷CE2-CB2=CB,BA與CF2_CB2^CB+BA,哪個式子成立？并說明理由.

18.(2025?沁陽市二模)如圖1,在四邊形ABC。中，/D4B被對角線AC平分，且AC2=A8?A。，我們

就稱該四邊形為“共邊形”，稱為“共邊角”.

(1)如圖2,四邊形ABCD為“共邊形"，ZDAB為“共邊角”，如果則

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，ZDAB=60°,AC平分NZMB,且/BCZ)=150°,求證：四邊形

ABCD為“共邊形”.

(3)如果四邊形4BCD為“共邊形”，為“共邊角”，且AC=8,BC=4,ZD=90°,求A。

19.(2025?宿遷校級一模)在△ABC中,CA^CB,/ACB=a，點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任意一

點，連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段。P,連接A。，BD,CP.

(1)如圖1,當(dāng)a=60°時，

①證明：BD=CP；

②求直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)；

BD

(2)如圖2,當(dāng)a=90°時，一=；直線2。與直線CP相交所成的較小角的度

CP---------------------------

數(shù)為;

(3)當(dāng)a=90°時，若點E,尸分別是CA,C3的中點，點P在直線上，當(dāng)點C,P,。在同一直

20.(2025?福田區(qū)模擬)【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,將正方形A8CZ)和正方形AEFG按如圖所示的位置擺放，連接8E和。G,則BE與。G

的數(shù)量關(guān)系是，請說明理由.

【類比探究】

(2)若將“正方形ABCD和正方形AEBG”改成“矩形ABCD和矩形AEFG,且矩形A2C￡)s矩形AEFG,

AE=3,AG=4"，如圖，點E、D、G三點共線，點G在線段DE上時，若4。=笠型，求3E的長

【拓展延伸】

(3)若將“正方形ABCD和正方形AEBG”改成菱形ABCD和菱形AEFG,且菱形菱形AEFG,

如圖3,4。=5,AC=8,AG平分/ZMC,點P在射線AG上，在射線河上截取A。，使得AQ=|xP,

連接P。，QC,當(dāng)tGi/PQC=］時，直接寫出AP的長.

圖1圖2圖3

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之圖形的相似（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案DAACCCCABB

選擇題（共10小題）

1.（2025?蜀山區(qū)校級一模）點P是矩形ABCD內(nèi)一點，。是4。邊上的任意一點，連接以、PB、PC、

PD,已知A8=6,BC=8,下列結(jié)論不正確的是（）

A.若絲△P8C,則PA+PD的最小值是10

B.若貝ijpa=€

C.PA+PB+PC+PD的最小值為20

48

D.若SAPAB=S?BC,則出+尸。的最小值為E

【考點】相似三角形的性質(zhì)；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；全等三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理,

線段垂直平分線的判定的性質(zhì)逐項判斷即可.

:.PB+PD'BD,

"JPA^PB,

：.PA+PD^BD,

.,.AC=BD=V62+82=10,

PA+PD的最小值是10,故A正確;

②如圖:

若△E4BSAPZX4,則NE4B=NP￡)A,

則/出2+/小。=/尸。4+/出。=90°,ZAPD=180°-CZPDA+ZPAD)=90°,

同理可得NAP8=90°,

那么/BP￡>=180°,

即8、P、。三點共線，8P是直角△BAD斜邊上的高，AC=BD=V62+82=10,

根據(jù)面積公式可得PA=鬻=算故2項正確；

③因為AP+PCNAC,BP+PD^BD,

故當(dāng)點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小,

則AC=BD=V62+82=10,

所以PA+PB+PC+PD的最小值為2X10=20,故C項正確；

④如圖：

A

]

H1

右貝JS4PAB+S^PAD=S^PBC+^^PCD=7ts矩形ABCD，

在8。上,

:四邊形A8CQ是矩形，AB=6,BC=8,BD=V62+82=10.

根據(jù)三角形面積公式S3BQ=^ABxAD=專BDxAG,

,11

則一x6x8=-xl0xAG,

22

解得AG=4.8,

作點A關(guān)于3。的對稱點A,連接A4）AA'=9.6,

止匕時PA+PQ=A'P+PQ,

根據(jù)兩點之間線段最短，當(dāng)A,P,。共線且時，B4+PQ的值最小，即40的長，

在RtABDA和RtAAA'g中，

VZADB+ZDAG^90°,ZDAG+ZA'=90°,

ZADB=ZA',

：.RtABDA^RtAAA'Q,

.A/QAAiAQ9.6

"AD~BD~8—10’

"0=7.68,即B4+PQ的最小值為7.68,故。項錯誤.

故選：D.

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形

內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?湖南模擬）魏晉時期劉徽所著的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱

為“表高”（記為加），EG稱為“表距”（記為1）,EH和GC都稱為“表目距”（分別記為優(yōu)1,機2）,

則海島AB的高為（）

7n2—7nlm2-m1

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力.

【答案】A

DEEHFGCG

【分析】根據(jù)A5〃OE〃尸G,可得AABHsAEDH,ACFG^ACBA,從而得到一二一，一=一，

ABAHBACA

17LJZ7LjCG,

進而得到躊=彳再由比例的性質(zhì)可得由----------------，從而得到(CG-EH)?AE=EH?EG,

AE+EG+GC

FHFG

進而得到2E=祟然，再由AH=AE+E//,可得AB=空犁=DE-福a+嚅^即可求解.

CCr—￡,n匕ti

【解答】解：???。片和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,

AB//DE//FG,

叢ABHs叢EDH,ACFG^ACBA,

DEEHFGCG

AB~AH'BA~CA

DE=FG=ho,

EHCG

AH~CA

EHCG

AE+EH~AE+EG+GC"

(CG-EH)?AE=EH?EG,

AE-EH-EG

AC-CG—EH'

AH=AE+EH,

DE-AH_DE(AE+EH)

AB=EH=EH

DE-AEDE-EH

EH+EH

EH-EG

DnjH7,CG-EHDE-EH

EH+EH

=DE-EG

=CG—EH+DE，

,:EG=d,DE=ho,EH—m\,CG=mz,

hd

：.AB='°-+h0.

m2~ml

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等構(gòu)

建等量關(guān)系，利用比例性質(zhì)和解方程組是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2025?湖南模擬）如圖，己知△ABC與△。所位似，位似中心為O,且△ABC的面積與△。跖的面積

之比為25：16,則OE：8E等于（)

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到A2〃即，進而證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即

可.

【解答】解：:△ABC與△￡>￡1/位似，位似中心為。，且△A8C的面積與△DEF的面積之比為25：

16,

C.AB//ED,/XABC^/XDEF,AB：ED=5：4,

LAOBsADOE,

,ABOB5

"'DE—OE―4’

OE：BE=4：9,

故選：A.

【點評】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

4.（2025春?渝中區(qū)校級月考）如圖，在正方形42。中，點尸為中點，點￡為8C上一點，滿足8E+D/

BG

所’點G為線段,上一點‘若4G=￡G'則疏的值為（)

2V764V2V10

A.-----B.-C.—D.——

5553

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì);

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】幾何圖形；運算能力.

【答案】c

【分析】將△AOF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4B”，在EF上取點L使得BE=EL,連接A3過點

G作GK_L2C于點K,設(shè)正方形的邊長AB=2C=CD=2a,BE=EL=b,進而得出=依次證

明絲△AEF(SSS),Z\ABE^/\ALECSAS),RtAADF^RtAALF(H￡),從而推出△AEG是等腰

直角三角形，AG=EG=乘b,證明△EG/s/^GKE,求出GK=2b,再利用勾股定理求出EK=b,BG=

2立b,即可得到答案.

【解答】解：將△AD尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A8H,在EF上取點L使得BE=EL,連接AL

過點G作GKLBC于點K,

設(shè)AB=8C=CO=2a,BE=EL=b,則CE=BC-BE=2a-6,

,:DF=CF=a,

:?EF=a+b,

:.CF2+CE2=EF2,

672+(2〃-Z?)2=(〃+/?)2,

??CL1)9

：.EF=|b,AB=3b,

：.AE=7AB2+BE2=VlOfo,

AH=AF,BH=DF,

：.BE+BH=EH=EF,

在△AEH和△AEP中，

AH=AF

EH=EF,

AE=AE

：.AAEH^AAEF(SSS),

AZAEH=ZAEF,NEAH=NEAF,NH=/AFE,

在△ABE和△ALE中，

AE=AE

Z-AEB=Z-AELy

BE=EL

：.AABE^AALE(SAS),

AZBAE=ZLAE,ZALE=ZABE=90°,AB=AL=AD,

在RtAADF和RtAALF中，

(AF=AF

iAD=AL9

.*.RtAADF^RtAALF(HL),

ZDAF=ZLAF,

'：ZBAD=90°,

：.ZBAL+ZDSL=2(ZEAL+ZLAF)=90°,

ZEAL^-ZLAF=ZEAF=45°,

'：AG=EG,

'.AG=EG=AE?s譏45°-V10Z)x:=逐b,

'：ZEAH=ZEAF=45°=/AEG,

：.AH//EG,

：./H=ZGEK=/AFE,

?：/EGF=/GKE,NEFG=/GEK,

：.△EGFsdGKE,

EG_EF

?t?—,

GKEG

,V5b|b

?F=G

：.GK=2b,

：.EK=VEG2-GK2=b,

：.BK=2b.

：.BG=yjBK2+GK2=2ab,

BG2y/2b4V2

"~EF=IT=~T

2

故選：c.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，

解直角三角形的應(yīng)用等知識，正確作輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵.

5.（2025?開州區(qū)一模）如圖，M為正方形ABC。的對角線8。上的一點，連接CM,將線段CM繞點M

順時針旋轉(zhuǎn)90°,點C的對應(yīng)點N恰好落到邊AB上，線段交對角線AC于點G,且G為跖V的

中點.若正方形的邊長為4,則AG的長為（）

372

D.2V2

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】由正方形的性質(zhì)得48=BC=4,ZABC=90°,OA^OC,AC1BD,貝UAC=4應(yīng)，進而得

OA^OC=2V2,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得MC=MN,/CMN=90°,MC=MN=2MG,證明△OMG和△OCM

OMOGMG1,「，，、廳

相似得-==一,貝！IOC—2OM,OM=2OG,進而得OC=4OG=2V2,由此得OG=丁，

OCOMMC22

進而可得AG的長.

【解答】解：：四邊形A8CZ）是正方形，且邊長為4,

：.AB=BC=4,ZABC=90°,OA=OC,ACLBD,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC=7AB2+=4VL

；.OA=OC=2V2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：MC=MN,ZCMN=90°,

:點G是MN的中點，

：.MC=MN=2MG,

；/CMN=90°,AC±BD,

:?/MOG=/CMN=90°,

：.ZOMG^-ZOMC=90°,ZOMC+ZOCM=90°,

：.ZOMG=ZOCM,

:.叢OMGs叢OCM,

.OMOGMG1

,?OC~OM~MC~2

：.OC=2OM,0M=20G,

：.OC=4OG=2V2,

???0G=￥，

：.AG=OA-0G=2V2-^=竽.

故選：c.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，理解正方

形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2025?海淀區(qū)校級模擬）已知/出。=36°,點8為射線A。上一固定點，按以下步驟作圖：

1一

①分別以A,8為圓心，大于的長為半徑畫弧，相交于兩點N；

②作直線交射線AP于點連接

③以B為圓心，8A長為半徑畫弧，交射線AP于點C.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.ZCDB=12°B.AADBs^ABC

C.CD：AD=2：1D.ZABC^3ZACB

【考點】相似三角形的判定；作圖一基本作圖.

【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似.

【答案】C

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的判定及三角形的內(nèi)角和

一一判斷即可.

【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分A3,AB=BC,

〈MN垂直平分A3,

：.DA=DB,

：.ZA=ZDBAf

VZW=36°,

ZCDB=ZA+ZDBA=72°,故A正確；

'：AB=BC,

：.ZA=ZACBf

又?:ZA=ZA,

AADB^AABC,故5正確；

VZA=ZACB=36°,

ZABC=180°-ZA-ZACB=108°,

AZABC=3ZACB,故。正確；

VZABD=36°,ZABC=108°,

：.ZCBD=ZABC-ZABD=72°,

：.ZCBD=ZCDB=72°,

：.CD=BC,

VZA=ZACB=36°,

：.AB=BC,

：.CD=ABf

9

：AD+DB>ABfAD=DB,

：.2AD>ABf

：.2AD>CD,故C錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及判定等

知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?寧國市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^AOB的斜邊與x軸交于點C若點A的坐標(biāo)

為（28，3）,^OCA=120°,則△AOC與△BOC的面積之比為（）

y

oK/cx

A.2：1B.3：2C.5：2D.5：3

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積；三角形內(nèi)角和定

理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】如圖，過點A組喲軸于點〃，R/LOC于點，解直角三角形求出AC,再利用相似三

角形的性質(zhì)求出可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點A組喲AH，尤軸于點BJLOC于點工

VA(2V3,3),

：.0H=2V3,AH=3,

；NOCA=120°,

AZACH=60°,

AZCAH=30°,

：.CH=AHXtan30°=亞AC=2CH=2W，

：.OC=OH-CH=V3,

VZACH=ZBCJ=60°,

：.CJ-.BJ-.BC=1：V3：2,

設(shè)CJ=k,BJ=瓜,BC=2k,

:/AOB=NAHO=/OJB=90°,

ZAOC+ZBOJ=90°,ZAOC+ZOAH=90°,

；./OAH=/BOJ,

：.￡\BJO^^OHA,

.21_肛

??—,

HAOH

OJV3fc

'1-T=運

OJ=|瓦

:0C=V3,

3「

:「k+k=v3,

2

：.BC=2k=等

4J3

△AOC與△BOC的面積之比=AC：BC=2V3：—=5：2.

故選：C.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理，坐標(biāo)

與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

8.（2025?新安縣一模）如圖，AB//CD//EF,與8E相交于點G.若AG=2,G￡）=l,DF=5,BC=4,

A.—B.12C.10D.20

3

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】A

【分析】利用平行線分線段成比例解題即可.

ADBC

【解答】解：由平行線分線段成比例可得：—=—，

DFCE

.2+14

??—,

5CE

?

??C"￡1_-23°，

故選：A.

【點評】本題主要考查平行線分線段成比例的知識點，能夠熟練運用比例關(guān)系是解題關(guān)鍵.

9.（2025春?合肥月考）如圖，在鈍角三角形ABC中，分別以和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直

角三角形ABE和等腰直角三角形ACF.的平分線EM交AB于點M,D,N分別為BC,AC的中

點，連接。N,DE,DF.下列結(jié)論錯誤的是()

A.EM=DN

B.SXCDN=]S四邊形ABDN

C.DE=DF

D.DELDF

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】首先根據(jù)。是BC中點，N是AC中點、N,可得OV是△ABC的中位線，判斷出￡W=然

后判斷出即可判斷出EM=?V；根據(jù)。N〃AB,可得△CDNsABC；然后根據(jù)。N=

可得SACDN=〃SA4BC，所以SXCDN=*四邊形ABDN，據(jù)此判斷即可；首先連接FN,判斷出。

FN,NEMD=NDNF,然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EMDgZkONF,即可判斷出DE=

DF-,判斷出——=sin45°=3，DM=^FA,ZEMD=ZEAF,根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△

即可判斷出然后根據(jù)/MED+NAE￡)=45°，判斷出/。所=45°,

再根據(jù)Z)E=QR判斷出/Z)FE=45°,ZEDF=90°,即可判斷出。E_LOF.

【解答】解：是BC中點，N是AC中點，

：.DN是ZkABC的中位線，

J.DN//AB,MDN=

,/三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分NAEB交于點M,

是A8的中點，

：.EM=^AB,

又?:DN=%B

，EM=DN,

.*.A選項正確，

故該選項不符合題意；

9：DN//AB,

??.△CDNSABC,

,:DN=|AB,

.1

,?SACDN=[SAABC，

.1

,,SACDN=qS四邊形ABDN，

，8選項錯誤，

故該選項符合題意；

如圖1,連接M。、FN,

圖1

是BC中點，M是A8中點，

二?！笔恰鰽BC的中位線，

：.DM//AC,MDM=1AC；

:三角形Ab是等腰直角三角形，N是AC的中點,

:*FN=%C,

又,：DM=|AC,

：.DM=FN,

'.,DM//AC,DN//AB,

四邊形AMDN是平行四邊形，

/AMD=/AND,

又：/EMA=/FMl=90°,

/EMD=ZDNF,

在△EM。和△ONE中，

'EM=DN

乙EMD=乙DNF,

.MD=NF

:.叢EMDW叢DNF(ASA),

:.DE=DF,

；.C選項正確，

故該選項不符合題意；

如圖2,連接MD,EF,NF,

圖2

:三角形A8E是等腰直角三角形，平分NAEB,

是的中點，EMLAB,

J.EM^MA,ZEMA^90°,ZAEM=ZEAM^45°

.EMV2

??—■~~,

EA2

?.?。是BC中點，M是AB中點，

：.DM^AABC的中位線，

：.DM//AC,MDM=1AC；

:三角形Ab是等腰直角三角形，N是AC的中點，

:.FN='c,/FNA=90°,NFAN=/AFN=45°,

XVDM=|AC,

:.DM=FN=孝跖

VZEMD=ZEMA+ZAMD=90°+ZAMD,

ZEAF=360°-/EAM-/FAN-NBAC

=360°-45°-45°-(180°-AAMD}

=90°+ZAMD,

：.ZEMD=ZEAF,

在和△NEAP中，——=——=—，NEMD=NEAF,

EAFA2

:.AEMDSANEAF,

：.ZMED=ZAEF,

VZMED+ZAED=45°,

：.ZAED+ZAEF^45°,

即/DEF=45°,

又,：DE=DF,

：.ZDFE=45°,

：.ZEDF^18Q°-45°-45°=90°,

C.DELDF,

選項正確，

故該選項不符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，三角

形中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理與相似三角形的性質(zhì).

10.（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，△A8C和是以。為位似中心的位似圖形，且OC=3OR△

OEF的周長是6,則△ABC的周長是（）

A.12B.18C.3D.2

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABCs△?；駼C//EF,得到△BOCS^EOR

【解答】解：：AABC和ADEF是以點O為位似中心的位似圖形，

.?.△ABCSADEF,BC//EF,

:.△BOCs^EOF,

BCOC

?,?—_―_J2f

EFOF

.?.△ABC的周長：的周長=3：1,

:△。所的周長是6,

.?.△ABC的周長是18.

故選：B.

【點評】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?鞍山模擬）如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,E,尸五個點均在格點

上，AB//DE,AC//DF,則△ABC與的面積比為25：9.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力.

【答案】25：9.

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC=/DFE,貝|可判斷△ABCs/XOEF,然后根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：'：AB//DE,AC//DF,

:./B=NDEF,ZC=ZDFE,

：.△ABCs^DEF,

：.AABC與ADEF的面積比=反72：￡F2=52：32=25：9.

故答案為：25：9.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長

或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2025春?朝陽區(qū)校級月考）正方形A8CD的邊長為4,點E,尸分別在邊。C,BC上，且BF=CE,

AE平分NC4O,連接。R分別交AE,AC于點G,M、P是線段AG上的一個動點，過點尸作

AC,垂足為N,連接尸M.給出下列四個結(jié)論：

①AE垂直QM；②CF?=GE?AE；③PM+PN的最小值為3/；@S^ADM=4V2.上述結(jié)論中，正確結(jié)論

的序號有①②④

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】①②④.

【分析】通過正方形的性質(zhì)、三角形全等、相似、角平分線的性質(zhì)以及面積計算等概念，逐步驗證題目

中的四個結(jié)論是否正確.

【解答】解：???四邊形ABC。為正方形，

:.BC=CD=AD,/ADE=/DCF=90°,

；BF=CE,

:.DE=FC,

：.AADE^ADCF(SAS),

:./DAE=NFDC,

VZADE^90°,ZADG+ZFDC^90°,

：.ZADG+ZDAE^90°,

AZAGD=ZAGM=90°,

平分NC4。，

：.ZDAG=ZMAG,

：AG=AG,

AAADG^AAMG(ASA),

:.DG=GM,

：.ZAGD=ZAGM=90°,

垂直平分DM,故①正確;

由①可知，ZADE=ZDGE=90°,ZDAE=ZGDE,

：.叢ADEsADGE,

.DEAE

??=,

GEDE

：.DE2=GE?AE,由①可知DE=CF,

尸2=G?AE,故②正確；

:四邊形ABC。為正方形，且邊長為4,

：.AB=BC^AD^4,

在RtAABC中，4C=42AB=4企，

由①可知，ZVIOG也ZkAMG(ASA),

：.AM=AD^4,

：.CM=AC-AM^4V2-4,

由圖可知，△OMC和△ADM等高，設(shè)高為//,

:?S/\ADM=SAADC-S^DMC,

.4x/i4X4(4V2-4)-h

??—―，

222

：.h—2V2,

-1-1

ShADM=2,AM-h=2X4X2\/2=4A/2,故④正確；

由①可知，△AOG名△AMG(ASA),

:.DG=GM,

關(guān)于線段AG的對稱點為。，過點D作。N'XAC,交AC于N',交AE于P,

...PM+PN最小即為。N',如圖所示,

即為圖中的。N,

：.DN'=2V2,故③不正確,

綜上所述，正確的是①②④,

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.（2025春?普陀區(qū)月考）在等邊△ABC中，42=6,點。、E在分別在BC、AC上，ZADE^ZB,AE=

那么BD=2或4.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力.

【答案】2或4.

【分析】先根據(jù)題意得到進而得到△BAOs^cDE,進而得到答案即可.

【解答】解：如圖，在等邊△ABC中，點。、E在分別在BC、AC上，42=6,

.?.ZB=ZC=60°,AC=BC=AB^6,

14

〈ZE二m，

144

CE=6—=可

/ADE=NB,

：.ZBDA+ZCDE=120°,ZBDA+ZBAD=120°,

：.ZCDE=ZBAD,

：.△BADs^CDE,

tAB_CD

??—,

BDCE

rr66-BD

即--=---4--，

BD-

3

解得：8￡>=2或8￡>=4（經(jīng)檢驗，BD是原式的解，且符合題意），

故答案為：2或4.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要判斷出三

角形相似.

14.（2025?浦口區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC與△AOE中，ZBAC+ZDAE=180°,AB=AC=5,BC=6,

AD=AE=1,則DE的長為《

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圖形的相似；運算能力.

56

【答案】g.

【分析】如圖，過點A作于點M,AN上DE于點、N.證明利用相似三角形

的性質(zhì)求解.

【解答】解：如圖，過點A作于點M,ANLDE于點、N.

VAB=AC=5,BC=6,AMLBC,

；?BM=CM=3,ZCAM=ZBAM,

：.AM=7AB2-BM2=V52-32=4,

U：AE=AD,AN上DE,

:?NE=ND,/EAN=/DAN,

VZCAB+ZZ)AE=180°,

：.ZBAM+ZEAN^90°,

■:/EAN+/E=90°,

：.ZBAM=ZE,

VZAMB=ZANE=90°,

???AAMB^/\ENAf

.AMAB

,?EN-AE

45

??=—,

EN7

：.EN=^-,

:.DE=2EN=尊

56

故答案為：—.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相

似三角形解決問題.

15.（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，在矩形4BC。中，4B=3,BC=4,點P為邊CD上一動點、,連接AP交對

角線8。于點E,過點E作EFL4P,EF交BC于點、F,連接AP交8。于點G,在點尸的運動過程中，

48

△AEG面積的最小值為二.

-Z5-

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)8尸=尤.想辦法用x表示出EG,根據(jù)一元二次方程，利用根的判別式，求出EG的最小值,

可得結(jié)論.

【解答】解：設(shè)防=北

:四邊形ABC。是矩形，

AZABF=ZBAD=90°,AD=BC=4,AD//CB,

：AB=3,

：.AF=y/BF2+AB2=3+9,BD=y/AB2+AD2=V32+42=5,

\'AD//BF,

.AGDGAD4

"GF~GB~BF~x

4>---------