2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測(cè)：圖形的相似

選擇題（共10小題）

1.（2025?崇明區(qū)一模）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6,AC=4BC=8,沿虛線剪下的涂色部分的

三角形與△ABC相似的是（）

AA

〕上

*

A.BD2CB.B

A4

C.B4DcD.BC

2.（2025?柳州模擬）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C,O均在格點(diǎn)上，連接AD,

BC交于點(diǎn)、E,則SADCE=（）

CD

fl二於球R

：7v"：

1/11tl1\1

AB

A.1：3B.1：9C.3：1D.9：1

3.（2025?大渡口區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD與四邊形斯GH位似，位似中心是0,若。4：AE=1：2,

且四邊形A8CD的周長(zhǎng)為3,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）

EF

0cG

A.6B.9C.12D.27

4.（2025?江北區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)。、點(diǎn)E在△ABC的邊上，MDE//AB,AD：DC=2：1,則△48（7與4

DEC的相似比為（）

B,

/入石

ADC

A.2：1B.3：1C.1：2D.1：3

5.（2025?登封市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AB。與是位似圖形，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

A,B,C,D,E都在格點(diǎn)上，且A（-2,0）,則位似中心的坐標(biāo)是（）

6.（2025?登封市一模）小鄭在做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)時(shí)，蠟燭到擋板的距離與擋板到屏幕的距離之比是1：

2,若燭焰AC的高是4c〃z,則實(shí)像DB的高是（）

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

7.（2025?虹口區(qū)一模）如圖，已知A3〃CD,聯(lián)結(jié)A。、BC交于點(diǎn)O,聯(lián)結(jié)AC,ZACB=ZBAD,如果

8.（2025?松江區(qū)一模）如圖，在nABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)O,如果1的面積為

1,那么△ABO的面積為（）

AD

9.（2025?青浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=BC,ZC=36°,AO是△ABC的角平分線.膽是（）

A.支返

B.

2c專(zhuān)?亨

10.（2025?黃浦區(qū)一模）某學(xué)習(xí)小組研究問(wèn)題“如圖，已知。、E、/分別是△ABC的邊8C、CA、A8的

中點(diǎn)，求證：△。環(huán)S^ABC.”經(jīng)過(guò)小組討論得到以下方法，其中存在錯(cuò)誤的是（）

A

BDC

A.可證邁用_型，進(jìn)而證得△￡）￡尸

ABBCAC

B.可證ZC=ZEFD,進(jìn)而證得△OEF'S^ABC

C.可證進(jìn)而證得

EFED

D.可證△BB￡）s△￡）￡■—/\FBD^/\ABC,進(jìn)而證得△■DE/S/VIBC

二.填空題（共5小題）

11.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AO_LBC于點(diǎn)。，若BD=1,AD=2,

則BC的長(zhǎng)為.

BD口

12.（2025?安陽(yáng)模擬）已知m6,c使等式包=且J成立，則代數(shù)式史』的值是

bcaa+b-c

13.（2025?晉安區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線人〃/2〃/3,另兩條直線分別交A,/2,/3于點(diǎn)A,B,C及點(diǎn)、D,

14.（2025?佛山一模）如圖，線段為。O的直徑，點(diǎn)C在A8的延長(zhǎng)線上，A8=4,8。=2,點(diǎn)尸是。。

上一點(diǎn)，連接CP,以C尸為斜邊在PC的上方作Rt^PCD且使得/OCP=60°,連接。則。。的

15.（2025?柳州一模）如圖，是小瑩設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處放一水平的平面

鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知CDLBD,且

測(cè)得AB=1.4米，EB=2.1米，尸。=12米，那么該古墻的高度是米.

16.（2025?河北模擬）風(fēng)力發(fā)電是我國(guó)電力資源的重要組成部分.嘉嘉為了解某風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)葉長(zhǎng)度，

通過(guò)測(cè)量其影子長(zhǎng)度的方法進(jìn)行計(jì)算.如圖14（圖中所有的點(diǎn)均在同一平面，太陽(yáng)光線視為平行光線），

線段。4,OB,0c表示三片風(fēng)葉，OA^OB^OC,ZAOB^ZBOC^ZCOA^120°,某時(shí)亥UOA,OB

的影子恰好重合為線段ERO￡>_LEF于點(diǎn)。，測(cè)得。E=36根，EF=20m.同一時(shí)刻測(cè)得高4"?的標(biāo)桿

影長(zhǎng)為3m.

（1）直接寫(xiě)出乙480的度數(shù)及。。的長(zhǎng)；

（2）求風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)B到地面。尸的最小距離.

A

17.(2025?晉安區(qū)校級(jí)模擬)如圖，等腰直角三角形48c中，ZC=90°,。為BC中點(diǎn)，以。為直角頂

點(diǎn)作等腰直角三角形〃在N的左側(cè).

(1)若點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，DN與M3相交于點(diǎn)P.

①若AC=2,求MN的長(zhǎng)；

②求證：DP?PN=AP?PB；

(2)若點(diǎn)M在AC左側(cè)，且N4WC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作DE_L8C交4?于點(diǎn)E,連接ME、CN,在線

2

段CN上取一點(diǎn)E且滿足/N￡)F=/EA/。，求證：ySAABC+SAAMC=2DF-

圖1圖2

18.(2025?瀘縣一模)如圖，已知點(diǎn)C在圓上，%為0。的一條割線，ZPCB=ZA.

(1)求證：APBCsAPCA；

(2)若尸2=4,AB=6,求尸C.

19.(2025?大渡口區(qū)模擬)如圖，在口48。中，對(duì)角線AC與2。相交于點(diǎn)O,ZCAB=ZACB,過(guò)點(diǎn)B

作BELAB交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABOS^BEO；

(2)若A2=10,AC=16,求OE的長(zhǎng).

DC

E

20.(2025?茅箭區(qū)校級(jí)模擬)在Rt^ABC中，AC=1,ZC=90°,。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且空

BCn

為正整數(shù))，在直線BC上方作△ADE,使得

(1)如圖1,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ACO與AABE始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖2,若〃=2,A/為AB中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在射線CM上時(shí)，求C。的長(zhǎng)；

(3)如圖3,設(shè)AE的中點(diǎn)為尸，求點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2的過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)(用含"的

代數(shù)式表示).

圖1圖2圖3

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測(cè)：圖形的相似

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?崇明區(qū)一模）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虛線剪下的涂色部分的

三角形與△ABC相似的是（）

【考點(diǎn)】相似三角形的判定.

【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可.

【解答】解：在三角形紙片ABC中，AB=6,8C=8,AC=4.

A、?.?史上=處，NC=NC,

AC4BC

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項(xiàng)符合題意；

D,,AD3-￡AB

AB6AC

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與AABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；

r-?BD4gAB

AB6BC

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、?.?毀庭，

BC8AB

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與AABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?柳州模擬）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C,￡＞均在格點(diǎn)上，連接AD,

BC交于點(diǎn)E,則S^ABE：S&DCE=()

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】判定由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解.

【解答】I?：'JCD//AB,

：.△ABEsLDCE,

S^ABE:SADCE=AB2：CD2,

：AB=6,CD=2,

?'.SAABE：SADCE=9：1.

故選：D.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是由△ABEs△￡＞（2,推出s戰(zhàn)BE：SADCE=AB：CD.

3.（2025?大渡口區(qū)模擬）如圖，四邊形ABC。與四邊形斯GH位似，位似中心是O,若。4：AE=1：2,

且四邊形ABC。的周長(zhǎng)為3,則四邊形瓦G8的周長(zhǎng)為（）

A.6B.9C.12D.27

【考點(diǎn)】位似變換.

【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AO〃EH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：：四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，

J.AD//EH,

：./\OAD^^OEH,

.?.膽=處=，=工，即四邊形ABCZ）與四邊形EFG8的相似比為工

EH0E1+233

:四邊形ABC。的周長(zhǎng)為3,

四邊形EFGH的周長(zhǎng)為9,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊

形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?江北區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)。、點(diǎn)E在△ABC的邊上，JLDE//AB,AD；DC=2：1,則△42。與4

OEC的相似比為（）

R

A.2：1B.3：1C.1：2D.1：3

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【解答】解：DC=2：1,

：.AC：DC=3：1,

'：DE//AB,

.'.△CDE^ACAB,

...△42。與4。石。的相似比=挺_=3：1,

DC

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?登封市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO與出是位似圖形，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

A,B,C,D,E都在格點(diǎn)上，且A（-2,0）,則位似中心的坐標(biāo)是（

C.(2,2)D.(-2,0)

【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；幾何直觀.

【答案】C

【分析】連接AC,BD,OE,并分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P,則△A3。與△(7￡)￡是以點(diǎn)尸為位似中心的位

似圖形，即可得出答案.

【解答】解：如圖，連接AC,BD,OE,并分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P,

則△A3。與△CDE是以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形,

二位似中心的坐標(biāo)是(2,2).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2025?登封市一模)小鄭在做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)時(shí)，蠟燭到擋板的距離與擋板到屏幕的距離之比是1：

2,若燭焰AC的高是4c",則實(shí)像。3的高是()

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】根據(jù)證明△AOCs^g。。，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖所示：AB.CO相交于點(diǎn)O,

A

C

是燭焰的高，是實(shí)像的高，

J.AC//DB,

：.AAOC^ABOD,

..?蠟燭到擋板距離與擋板到屏幕距離之比是1：2,AC=4cm,

?AC=1

"BD2"

:.BD=8cm.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2025?虹口區(qū)一模）如圖，已知AB〃a）,聯(lián)結(jié)A。、BC交于點(diǎn)、O,聯(lián)結(jié)AC,NACB=NBAD,如果

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】由AB〃C。，證明△AOBszXooc,得地=地=1_,貝!]CO=38O,所以CB=48O,由/AC8

COCD3

=ZBAD,NB=/B,證明△ACBS/XOAB,所以思=金殳，則CB?8O=482=22=4,所以48。2=4,

ABBO

求得8。=1,則CO=3,于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解：'：AB//CD,AB=2,CD=6,

：.△AOBsADOC,

?-?BO-_AB_2_1,

COCD63

：.CO=3BO,

：.CB^BO+3BO^4BO,

VZACB=ZBAD,/B=/B,

?CB=AB（

"AB的，

：.CB'BO=AB2=2r=4,

：.4BO2=4,

解得8。=1或2。=-1（不符合題意，舍去），

；.C0=3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△AO2sZV）oc及△ACBSAOAB是解題的關(guān)

鍵.

8.（2025?松江區(qū)一模）如圖，在中，E是邊C。的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)、O,如果△QOE的面積為

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得△AOB?△EOO,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方來(lái)求

出SAAOB=4.

【解答】解：ABC。中，E為C。邊上的中點(diǎn)，

：.DE=1CD=^AB,AB//CD,

22

'：KB//CD,

：.ZABO=ZEDO,ZOAB=ZOED,

：.△AOBs^EOD,

?AO=BO=AB=0

-，0EODDE，

SAAOB—4s△DOE=4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解相似三角形的面積比等于相似比

的平方是解答關(guān)鍵.

9.（2025?青浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=BC,NC=36°,是△ABC的角平分線.旭是（

BC

c?等D.VLLI

2

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)AC=5C,NC=36°,求出N3=NR4C=72°,根據(jù)AZ）平分NA4C可得NA4O=NCW

=36°,進(jìn)而證得根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)論.

【解答】解：,.?AC=8C,ZC=36°,

：.ZB=ZBAC=12°,

9：AD平分NA4C,

ZBAD=ZCAD=36°,

：.ZBAD=ZC=ZCAD=36°,

：.AD=CDfZADB=72°,

：.AB=ADf

：.AB^AD=CD,

「ZABD=ZCBA,

/.AABD^ACBA,

?BDAD

??-Z2---,

ABAC

設(shè)BC=AC=a,BD=x,

貝ljAO=CO=A8=a-x,

?xa-x

??---=-----，

a-xa

解得尤=空叵”（不符合題意，舍去）或尤=生近”,

22

.".AB=a--I?

粕-1

?AB2aV5-1

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定方法.

10.（2025?黃浦區(qū)一模）某學(xué)習(xí)小組研究問(wèn)題“如圖，已知。、E、歹分別是AABC的邊8C、CA、的

中點(diǎn)，求證：△OEFs△Age.”經(jīng)過(guò)小組討論得到以下方法，其中存在錯(cuò)誤的是（）

BDC

A.可證邁用_型，進(jìn)而證得△￡）￡尸

ABBCAC

B.可證ZC=ZEFD,進(jìn)而證得△OEF'S^ABC

C.可證/B=/FEZ）,應(yīng)L普2,進(jìn)而證得

EFED

D.可證△產(chǎn)BDsADERAFBD^AABC,進(jìn)而證得△。所S/VIBC

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；三角形中位線定理；相似三角形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】由。、E、歹分別是△ABC的邊BC、CA、A8的中點(diǎn)，得。EF=±BC,FD=±AC,

222

則地=旦旦=里=2，所以△QE/S/XABC,可判斷A不符合題意；由DE〃BF,EF//BD,證明四邊

ABBCAC2

形是平行四邊形，則/8=/尸皮＞,同理NC=NEFZ),則△DEFS^ABC,可判斷8不符合題

意；由A2〃即，證明△ABCs△￡￡)(?,得旭=AC,而。C=EF,所以細(xì)■=生，可知膽=區(qū)_不成

EDDCEDEFEFED

立，所以由/2=/尸即，空=生，不能證得△。瓦'sA48C,可判斷C符合題意；由/BFD=NEDF,

EFED

ZBDF=ZEFD,證明由FD//AC,證明△FB￡(S^ABC,則△DEFS/XABC,可判

斷。不符合題意，于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解：；。、E、尸分別是△ABC的邊8C、CA,A2的中點(diǎn)，

J.DE//AB,且EF//BC,MEF=^BC,FD//AC,且m=Lc,

222

?-?DE一_--EF-_FD._—1,

ABBCAC2

：.4DEFSAABC,

故A不符合題意；

,JDE//BF,EF//BD,

...四邊形8。即是平行四邊形，

:./B=/FED,

同理四邊形CDFE是平行四邊形，

：.ZC=ZEFD,

.?.△DEFsAABC,

故2不符合題意；

,JAB//ED,

：.AABC^/\EDC,

.AB=BC

"ED而’

;DC=EF,

-f-B-C,

A-BEF

EF里不成立，

.Etlz

ED

3=/FED,不能證得

EFED

故c符合題意；

'：DE//AB,EF//BC,

：.NBFD=ZEDF,ZBDF=ZEFD,

:.△FBDsXDEF,

'."FD//AC,

:.△FBDs^ABC,

.?.△DEFsAABC,

故。不符合題意，

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),

適當(dāng)選擇相似三角形的判定定理證明△OEPs△ABC是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,于點(diǎn)。，若BD=1,AD=2,

則BC的長(zhǎng)為5.

【考點(diǎn)】射影定理；直角三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】三角形.

【答案】5.

【分析】根據(jù)題意，得/晟4。=90°-/DAC=/C,結(jié)合NBD4=90°=/AZ）C,證明△BADS2\AC。,

列比例式解答即可.

【解答】解：?.?NBAC=90°,AD±BC,

：.ZBAD=90°-ZDAC^ZC,NBZM=90°=ZADC,

??-B-D-~-A--D,

ADDC

VBD=1,AD=2,

?.1?-----2--,

2DC

解得Z)C=4,

：.BC=BD+DC=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?安陽(yáng)模擬）己知a,b,c使等式包&=￡成立，則代數(shù)式史』的值是-1.

bcaa+b-c

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【答案】-1.

【分析】設(shè)包一上工=k，求得左=1，得到a=6=c,然后代入代數(shù)式化簡(jiǎn)解題即可.

bca

【解答】解：設(shè)包上￡=k，

bca

??ci~~bk.9b--ckfc~~cikf

??a=Lck。k='ak*k*k='a/，

?=1,解得％=1,

??a='b'='c,

-a-b_ca-a_a-a-

??----=------=---=_1，

a+b-ca+a-aa

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例的性質(zhì)，注意正確計(jì)算.

13.（2025?晉安區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線/1〃/2〃/3,另兩條直線分別交"，12,/3于點(diǎn)A,B,C及點(diǎn)、D,

E,F,且AC=8,DE=6,EF=3,貝!IBC=心.

-3-

【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【答案】旦.

3

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：直線/1〃/2〃/3,另兩條直線分別交/1,h,/3于點(diǎn)A,B,C及點(diǎn)。，E,F,

???AC=---DF,

BCEF

VAC=8,DE=6,EF=3,

??8?--6-+-3-,

BC3

解得吃力

O

故答案為：竺

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

14.（2025?佛山一模）如圖，線段AB為。。的直徑，點(diǎn)C在A2的延長(zhǎng)線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)P是

上一點(diǎn)，連接CP,以C尸為斜邊在PC的上方作Rt^PCD,且使得/DCP=60°,連接則。。的

最大值為2E+1.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力.

【答案】273+1.

【分析】如圖，作△（%>￡1,使得/CEO=90°,ZECO=60°,連接。P,貝UCO=2CE,OE=2弧,

ZOCP=ZECD,由△COPs/^CE。，得比例式，從而求得￡￡）=1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E1是定點(diǎn)，DE是定

長(zhǎng)，推出點(diǎn)。在半徑為1的OE上，由此即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，作△（?（?￡,使得NCEO=90°,NECO=60°,連接OP,則CO=2CE,OE=2如,

ZOCP=ZECD,

9：ZCDP=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

?COCP=9

CECD

:.△COPs^CED,

?OPCP=?

EDCD

即E￡）=］。尸=1（定長(zhǎng)），

2

:點(diǎn)E是定點(diǎn),是定長(zhǎng)，

.,.點(diǎn)。在半徑為」的。E上，

2

OD^OE+DE,

：.OOW2依+1,

的最大值為2、笈+1,

故答案為：2A/^+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題

的關(guān)鍵.

15.（2025?柳州一模）如圖，是小瑩設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處放一水平的平面

鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知CDLBD,且

測(cè)得AB=1.4米，尸2=2.1米，產(chǎn)。=12米，那么該古墻的高度是8米.

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

【答案】8.

【分析】由光學(xué)知識(shí)反射角等于入射角不難分析得出再由/ABP=/CZ）P=9（r得到

△ABPsACDP,得到細(xì)_=史代入數(shù)值求的C￡>=8.

CDPD

【解答】解：vZAPB=ZCPD,ZABP=ZCDP,

：.AABPsACDP

?AB=BP

"CDPD"

即L4=2」,

CD12

解得：CZ）=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)滲透光學(xué)中反射原理，注意到相似三角形，解決本題

關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?河北模擬）風(fēng)力發(fā)電是我國(guó)電力資源的重要組成部分.嘉嘉為了解某風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)葉長(zhǎng)度，

通過(guò)測(cè)量其影子長(zhǎng)度的方法進(jìn)行計(jì)算.如圖14（圖中所有的點(diǎn)均在同一平面，太陽(yáng)光線視為平行光線），

線段。4,OB,0c表示三片風(fēng)葉，OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°,某時(shí)亥U04OB

的影子恰好重合為線段ERODLEF于點(diǎn)、D,測(cè)得。E=36%EF=20m.同一時(shí)刻測(cè)得高4根的標(biāo)桿

影長(zhǎng)為3m.

（1）直接寫(xiě)出ZABO的度數(shù)及OD的長(zhǎng)；

（2）求風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)B到地面。尸的最小距離.

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【答案】（1）30°,OD=48m；

（2）16m.

【分析】（1）通過(guò)△OOEs^NMG,即可求得。。=48根，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角

和定理即可求解/A80的度數(shù)；

（2）過(guò)點(diǎn)。作08_LAB于點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)E作E/L4F于點(diǎn)/,由LEIFs^NMG,求得E7=16〃Z,則。X

=EI=16m,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到80=2。”=32機(jī)，故當(dāng)時(shí)，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)8到地面

DF的最小距離為48-32=16（m）；

【解答】解：（1）如圖，

A

：.ZOED=ZG,

:AODEsANMG,

根據(jù)三角形相似性質(zhì)可得：

OP_DE

而同，

?-?-0--D--=--3--6-,

43

.*.DO=48m,

，：OA=OB,ZA0B=12Q°,

ZABO=ZAQB=180°~120°=30°；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。/LAB于點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)E作E/LAF于點(diǎn)/,

同理可證明：￡\EIFsANMG,

?EIEF

"NM'NG"

???EI=20,

45

.\EI=16m,

由題意得，OE〃AR而OHLAF,EILAF,

：.OH=EI=16mf

:在RtZXOBH中，ZABO=30°,

:.BO=2OH=32m,

.?.當(dāng)081.OF時(shí)，48-32=16(m),

答:風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)B到地面DF的最小距離為16m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?晉安區(qū)校級(jí)模擬)如圖，等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,。為8C中點(diǎn)，以。為直角頂

點(diǎn)作等腰直角三角形WON,/在N的左側(cè).

(1)若點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，ON與M8相交于點(diǎn)P.

①若AC=2,求MN的長(zhǎng)；

②求證：DP?PN=AP,PB；

(2)若點(diǎn)M在AC左側(cè)，且/AMC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。E_L8C交于點(diǎn)E,連接ME、CN,在線

2

段CN上取一點(diǎn)/且滿足求證：-|SAABC+SAAMC=2DF-

圖1圖2

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專(zhuān)題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)①M(fèi)N=JI5；

②見(jiàn)解析；

(2)見(jiàn)解析.

【分析】(1)①如圖，過(guò)點(diǎn)N作NK_LCB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,則NK=90°,證明△ACDg/XOKN,

則。K=AC=2,NK=CD=L故BK=DK-DB=1,對(duì)RtZXBKN中運(yùn)用勾股定理得DN=遙，在RtA

MDN中,由勾股定理即可求得MN；

②證明即可得到DP?PN=AP?PB；

(2)過(guò)點(diǎn)￡作AE的垂線與MC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)J,連接CE,BN,由平行線分線段成比例得點(diǎn)E為

AB中點(diǎn)，可證明A,M,C,E四點(diǎn)共圓，則/EMC=/CA8=45°,故△"￡：/為等腰直角三角形，Z

AME=ZAMC-ZEMC^45°,△CEA為等腰直角三角形，可證明△￡Wg/\EC7,同理可得

為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，同理可證明：4MDE出4NDB,導(dǎo)角/3=/4,得

DF//BN,則有△CD/S^CBN,得BN=2DF,在等腰RtAMEJ中，由勾股定理得凡丁=我ME，故

M.T=V2BN;由CHR.T=6BN，得CH+AM=&BN，BPAM<M=2V2DF;再利用三角形面積公式即可得

證.

【解答】（1）①解：如圖1,過(guò)點(diǎn)N作NKLCB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,則NK=90°；

圖1

VZACB=90°,CB=CA,

；.AC=BC=2,

,由勾股定理得AB八歷BC=2&，

:點(diǎn)。為8C中點(diǎn)，

：.CD=BD=1,

?1,4MDN是等腰直角三角形，

：.MD=ND,NMDN=90°,

ZNDK+ZADC=ZDAC+ZADC=90°,

ZNDK=ADAC,

:NC=NK=90°,

：.AACD咨ADKN,

；.r)K=AC=2,NK=CD=\,

在RtADKN中，由勾股定理得：DNW22+12='

在Rtz\Mr>N中，由勾股定理得：MN=J5DN=T5；

②證明：由①得△AC。絲△DKN,

：.DK=AC=BC,NK=CD=BD,

:.CD=BK,

:.NK=BK,

???ABKN是等腰直角三角形，

:?/NBK=45°,

ZABN=1SO°-45°-45°=90°=ZADN,

ZAPD=/NPB,

：.AAPDsANPB,

???—AP~—DP,

PNPB

:?DP、PN=AP?PB：

(2)解：過(guò)點(diǎn)片作ME的垂線與MC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)J,連接CE,BN,

VZACB=90°,

：.AC±BC,

?：DELBC,

：.DE//AC,

.BEBD.

??—=—二i，

AECD

???點(diǎn)七為A5中點(diǎn)，

VCA=CB,

???CELAB,

???N5+N6=N6+N7=90°,

???N5=N7,

9：CA=CB,ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

VZAMC=90°,ZAEC=90°,

ZAMC+ZAEC=180°,

/.A,M,C,E四點(diǎn)共圓，

：.ZEMC^ZCAB=45D,

為等腰直角三角形，ZAME=ZAMC-ZEMC=45°,

：.EM=EJ,ZJ=45",

/J=ZAME,

VCEXAB,ZCAB=45°,

...△CEA為等腰直角三角形，

CE=AE,

在和△￡口中，

'/7=/5

<EM=EJ，

ZAME=Z.T

:.AEAM咨AECJ(ASA),

：.AM=CJ,

?.?同理可得△瓦啰為等腰直角三角形，

:.DE=DB,

1/△MON為等腰直角三角形，

同理可證明：△ATOE0△NZM,

：.EM=BN,Z2=Z4,

VZ2=Z3,

.?.Z3=Z4,

S.DF//BN,

:ACDFsACBN,

.?.此g」，則BN=2O凡

BNCB2

在等腰RtzXME/中，由勾股定理得MlSllE，

???M.T=V2BN，

：CMKI=in=&BN，

，AMKM=2&DF，

(AM+CM)2=8。尸2,即AM2+CM2+2AMXCM=8HF2,

J.AC^+IAMXCM=WF2,

..121

-S^ABCWACZ，S△槐wAMXCM，

.".AC2—1S^ABC,AMXCM—1S^AMC,

2,

"2s△ABC+2X2SAAHC=8DF

.19

11~2SAABC+SAAMC=2DF,

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓

周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練構(gòu)造基本全等模型是解決本題的關(guān)鍵.

18.(2025?瀘縣一模)如圖，已知點(diǎn)C在圓上，抬為0。的一條割線，ZPCB=ZA.

(1)求證：△PBCsNCA；

(2)若尸8=4,AB=6,求PC.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】(1)見(jiàn)解答；

(2)2^10.

【分析】(1)根據(jù)有2組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可判定△P8CsZ\pcA；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到尸8：PC=PC：PA,即4：PC=PC：(4+6),然后利用比例的性質(zhì)求

出PC.

【解答】(1)證明：'：ZCPB=ZAPC,ZPCB=ZA,

:.APBCsApcA；

(2)解：VAPBC^APCA,

:.PB：PC=PC：PA,

即4：PC=PC：(4+6),

解得尸C=2百5或PC=-2710(舍去)，

即PC的長(zhǎng)為2內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)

系.

19.(2025?大渡口區(qū)模擬)如圖，在nABCD中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，ZCAB=ZACB,過(guò)點(diǎn)8

作交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABOS^BEO；

(2)若A2=10,AC=16,求OE的長(zhǎng).

D__________________C

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)證AB=C2,得口48。。是菱形，再由菱形的性質(zhì)得AC_LBD,可得/AOB=/BOE=90°,

再由BE_L4B,可得/￡BA=90°,從而得出NBEO=NABO,

然后證即可；

由勾股定理得。由SBE得邁理，即可得出結(jié)論.

(2)8=6,△A8O/SJO,

OB0A

【解答】(1)證明：

：.AB=CB,

是菱形，

：.AC.LBD,

：.ZAOB^ZBOE^9Q°,

'JBELAB,

AZEBA=90°,

ZBEO+ZBAO=ZABO+ZBAO=90°,

:./BEO=/ABO,

：.AABO^^BEO；

(2)解：ABC。是菱形，

?■-0A=0C=yAC=8-AC±BD,

：.ZAOB=ZBOE=90°,

OB=7AB2-OA2=V102-82=6，

,:△B0ES/\A0B,

???O-E=--O-B,

OBOA

即箜

68

解得：OE^)

即OE的長(zhǎng)為g.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(2025?茅箭區(qū)校級(jí)模擬)在RtZkABC中，AC=1,ZC=90°,。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且空(w

BCn

為正整數(shù))，在直線2C上方作△AOE,使得△ADES/XACB.

(1)如圖I,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ACD與△ABE始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖2,若”=2,M為AB中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在射線CM上時(shí)，求C。的長(zhǎng)；

(3)如圖3,設(shè)4E的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)(用含"的

代數(shù)式表示).

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專(zhuān)題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)理由見(jiàn)解答；

(2)CD的長(zhǎng)是2；

3

(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是|Hn2+1?

【分析】(1)由△AZ)ESZ\ACB,得包■=膽，ZEAD=ABAC,可推導(dǎo)出包■=電1,ZDAC=ZEAB,

ACABAEAB

即可根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似"證明△ACOS^ABE；

(2)作CG_LA3于點(diǎn)G,則NACG=NABC=90°-ZBAC,由AC=1,￡=2，n=2,得BC="AC