壓軸題07特殊四邊形壓軸題2

部盤重點(diǎn)?抓核心

四邊形這個(gè)中考考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中包含平行四邊形、矩形'菱形、正方形，因?yàn)樗倪呅闻c三角形基礎(chǔ)

知識'特殊三角形、相似三角形等的緊密結(jié)合性，所以常出對應(yīng)壓軸題，特別是正方形，更容易出選擇填

空壓軸題。對應(yīng)壓軸題牽涉考點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：

1、平行四邊形：①平行四邊形因?yàn)樽詭А啊ǘ猿？梢院团c“平行”相關(guān)的模型結(jié)合，如角平分

線、平行線、角平分線組合的“知二得一”；再比如因?yàn)椤啊ā钡玫降摹癆字圖相似”、“8字圖相似”也是

平行四邊形結(jié)合的重點(diǎn)；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角相等、對角線互相平分，這些角的等量關(guān)系、

線段的等量關(guān)系因?yàn)榕c三角形全等結(jié)論相同，故常將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題來思考解

決；③等腰三角形的存在性問題也可以在平行四邊形的問題背景下出題。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形有的結(jié)合及轉(zhuǎn)化方式，它們也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形解決問題，矩形有直角，所以矩形的

存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題來思考，同理，菱形存在性問題因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，

也可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題。

3、正方形：正方形在壓軸題中?？伎键c(diǎn)包括：①正方形的半角模型；②正方形與勾股定理；③正方形

與三角函數(shù)等。另外，正方形的問題常轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題思考。最后，平行四邊形的考點(diǎn)結(jié)合類型，

正方形也有。

壓軸題型一：平行四邊形簡單題壓軸題

1.(2024?北京)如圖，在四邊形A8CD中，E是A8的中點(diǎn)，DB,CE交于點(diǎn)、F,DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形AFCO為平行四邊形；

(2)若/￡7咕=90°,tanZF￡B=3,EF=\,求BC的長.

'F

AE

2.（2024?蘭州）綜合與實(shí)踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景.探究動點(diǎn)運(yùn)動的幾何問題.如圖，在

△ABC中，點(diǎn)N分別為AB,AC上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN=8M.

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

MD,連接B。，則請思考并證明；

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

90°,于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)R將"A繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到連接D4,DB.試猜

想四邊形AEB。的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在AABC中，AB=AC=4,ZBAC=90°,連接

BN,CM,請直接寫出BN+CM的最小值.

3.（2024?包頭）如圖，在同48c。中，NA8C為銳角，點(diǎn)E在邊4D上，連接BE,CE,且SAABE=SADCE.

（1）如圖1,若尸是邊BC的中點(diǎn)，連接ER對角線AC分別與BE,相交于點(diǎn)G,H.

①求證：X是AC的中點(diǎn)；

②求AG：GH-.HC；

（2）如圖2,8E的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)連接AM,CE的延長線與AM相交于點(diǎn)N.試

探究線段40與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

'M

圖1圖2

4.（2024?鹽城）如圖1,E、F、G、H分別是回ABC。各邊的中點(diǎn),連接ARCE交于點(diǎn)M,連接AG、CH

交于點(diǎn)N,將四邊形AMCN稱為團(tuán)ABC。的“中頂點(diǎn)四邊形”.

圖1圖3

（1）求證：中頂點(diǎn)四邊形AMCN為平行四邊形;

（2）①如圖2,連接AC、BD交于點(diǎn)、O,可得M、N兩點(diǎn)都在8。上，當(dāng)回A8CD滿足時(shí),

中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形;

②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊

形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

壓軸題型二：矩形簡答題壓軸題

1.（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,BD交于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作AEL8C于點(diǎn)E,

延長到點(diǎn)孔使CF=BE,連接DR

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）若AC?8O=80,3CE=2CF,求0E的長.

2.（2025?松江區(qū)一模）在矩形48CZ）中，AB=8,AD=10.點(diǎn)E、F分別在邊A3、BC_L,AF1,DE,垂

足為點(diǎn)H.

（1）求AF：Z5E的值；

（2）當(dāng)班'=2EH時(shí)，求AE的長；

（3）聯(lián)結(jié)CH,如果歸是等腰三角形，求/即C的正切值.

A

E

B

備用圖2

3.（2024?淅川縣一模）綜合與實(shí)踐

【問題背景】

如圖（1）,在矩形ABCZ）中，AB=5,BC=4,點(diǎn)、E為邊BC上一點(diǎn),沿直線。E將矩形折疊，使點(diǎn)C落

在AB邊上的點(diǎn)C'處.

圖（1）圖（2）圖（3）

(1)【問題解決】

填空：AC的長為；

(2)如圖(2),展開后，將△OC'E沿線段AB向右平移，使點(diǎn)C'的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)8重合，得到△￡>'

BE',D'E'與BC交于點(diǎn)尸,求線段EP的長.

(3)【拓展探究】

如圖(3),在△OC'E沿射線向右平移的過程中，設(shè)點(diǎn)C'的對應(yīng)點(diǎn)為C",則當(dāng)△/)'C"E'在

線段上截得的線段尸。的長度為1時(shí)，直接寫出平移的距離.

壓軸題型三：菱形簡答題壓軸題

1.(2024?哈爾濱)四邊形ABC。的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AD//BC,OA^OC,AB=BC.

(1)如圖1,求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)如圖2,AB=AC,CH_LA。于點(diǎn)”，交BD于點(diǎn)、E,連接AE,點(diǎn)G在48上，連接EG交AC于點(diǎn)

F,若NFEC=”。，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段(線段CE除

外).

AK_____________DA_HD

BC

圖2

2.(2024?威海)如圖，在菱形ABC。中，AB=10cm,ZABC=60°,E為對角線AC上一動點(diǎn)，以。E為

一邊作/。m=60°,EF交射線BC于點(diǎn)F,連接BE,DF.點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒2cm

的速度運(yùn)動至點(diǎn)A處停止.設(shè)aBEF的面積為ycv后,點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為x秒.

(1)求證：BE=EF；

（2）求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）求x為何值時(shí)，線段。尸的長度最短.

備用圖

3.（2024?青海）綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)

學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形A8C。中，E、F、G、”分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：?:E、F、G、X分別是A3、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

EF、GH分別是AABC和△AC。的中位線，

：.EF=^AC,GH=^AC（?）.

:.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

（1）請你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①.

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC=BD菱形

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC±BD②

(3)從作圖、測量結(jié)果得出猜想II：原四邊形對角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②.

(4)下面我們結(jié)合圖3來證明猜想II,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

(5)請你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形.

r

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

③④

?__

?__

圖4

結(jié)論：原四邊形對角線③時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④

4.(2025?深圳模擬)定義：菱形一邊的中點(diǎn)與它所在邊的對邊的兩個(gè)端點(diǎn)連線所形成的折線，叫做菱形的

折中線.例如，如圖1,在菱形A8C。中，E是C￡)的中點(diǎn)，連接AE,BE,則折線AEB叫做菱形ABC。

的折中線，折線AEB的長叫做折中線的長.

已知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中點(diǎn)，連接AE,BE.

(1)如圖1,若a=8,ZC=60°,求折中線AEB的長；

(2)如圖2,若請?zhí)骄空壑芯€AEB的長與菱形的邊長。之間滿足的等量關(guān)系式，并說明

理由;

(3)若a=8,且折中線中的AE或BE與菱形ABC。的一條對角線相等，求折中線AEB的長.

壓軸題型四：正方形簡答題壓軸題

1.(2024?甘肅)【模型建立】

(1)如圖1,已知aABE和△BCD,AB±BC,AB=BC,CD±BD,AE1BD.用等式寫出線段AE,DE,

CO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在正方形A8CD中，點(diǎn)E,尸分別在對角線8。和邊C。上，AELEF,AE=EF.用等式

寫出線段BE,AD,ZJF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)如圖3,在正方形ABC。中，點(diǎn)E在對角線8。上，點(diǎn)尸在邊C。的延長線上，AE=EF.用

等式寫出線段BE，AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.(2024?揚(yáng)州)如圖，點(diǎn)A、B、M、E、廠依次在直線/上，點(diǎn)4、8固定不動，且42=2,分別以A8、

EF為邊在直線/同側(cè)作正方形A8CD、正方形EFGH,ZPMN=90°,直角邊MP恒過點(diǎn)C,直角邊MN

恒過點(diǎn)H.

(1)如圖1,若BE=10,EF=12,求點(diǎn)M與點(diǎn)8之間的距離；

(2)如圖1,若BE=10,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)3、E之間運(yùn)動時(shí)，求HE的最大值；

(3)如圖2,若BF=22,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)2、尸之間運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動，連接CH,點(diǎn)。是C7?的中

3.(2024?通遼)數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個(gè)含45°的三角尺AEF和一個(gè)正方形紙板ABC。如圖1擺放，

若AE=1,AB=2.將三角尺AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°WaW90°)角，觀察圖形的變化，完

成探究活動.

【初步探究】

如圖2,連接BE,。尸并延長，延長線相交于點(diǎn)G,BG交AD于點(diǎn)M.

問題1BE和。尸的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

【深入探究】

應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接BD,點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，連接。4,OG.求證：OA=OO=OG.

【嘗試應(yīng)用】

問題3如圖4,請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a從0。變化到60°時(shí)，點(diǎn)G經(jīng)過路線的長度.

圖4

壓軸題07特殊四邊形壓軸題2

3盤重點(diǎn)?抓核心

四邊形這個(gè)中考考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形，因?yàn)樗倪呅闻c三角形基礎(chǔ)

知識、特殊三角形、相似三角形等的緊密結(jié)合性，所以常出對應(yīng)壓軸題，特別是正方形，更容易出選擇填

空壓軸題。對應(yīng)壓軸題牽涉考點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：

1'平行四邊形：①平行四邊形因?yàn)樽詭А啊ǘ猿？梢院团c“平行”相關(guān)的模型結(jié)合，如角平分

線'平行線、角平分線組合的“知二得一”；再比如因?yàn)椤啊ā钡玫降摹癆字圖相似”、“8字圖相似”也是

平行四邊形結(jié)合的重點(diǎn)；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角相等、對角線互相平分，這些角的等量關(guān)系、

線段的等量關(guān)系因?yàn)榕c三角形全等結(jié)論相同，故常將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題來思考解

決；③等腰三角形的存在性問題也可以在平行四邊形的問題背景下出題。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形有的結(jié)合及轉(zhuǎn)化方式，它們也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形解決問題，矩形有直角，所以矩形的

存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題來思考，同理，菱形存在性問題因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，

也可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題。

3、正方形：正方形在壓軸題中?？伎键c(diǎn)包括：①正方形的半角模型；②正方形與勾股定理；③正方形

與三角函數(shù)等。另外，正方形的問題常轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題思考。最后，平行四邊形的考點(diǎn)結(jié)合類型，

正方形也有。

壓軸題型一：平行四邊形簡單題壓軸題

1.(2024?北京)如圖，在四邊形ABC。中，E是4B的中點(diǎn)，DB,CE交于點(diǎn)F,DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；

(2)若NE產(chǎn)3=90°,tanZFEB=3,E尸=1,求8C的長.

C

D.

/\

AEB

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得到E/〃A。，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形中位線定理求得AO=2Eb=2,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到5/=3跖=3,求得

=3,根據(jù)勾股定理得到A尸=VI"不律=履，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AF=g,根據(jù)線

段垂直平分線的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：YE是A3的中點(diǎn)，

：.AE=BE,

?：DF=BF,

???EF是△A3。的中位線，

：.EF//ADf

：.CF//AD,

9：AF//CD,

???四邊形AFCD為平行四邊形；

(2)解：由(1)知，族是△A3。的中位線，

：.AD=2EF=2,

■:/EFB=90°,tanZFEB=3,

；?BF=3EF=3,

?;DF=FB,

:?DF=BF=3,

9

：AD//CEf

：.ZADF=ZEFB=90°,

：.AF=y/AD2+DF2=V13,

???四邊形AFCD為平行四邊形，

：.CD=AF=413,

?；DF=BF,CELBD,

：.BC=CD=V13.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌

握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?蘭州）綜合與實(shí)踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景.探究動點(diǎn)運(yùn)動的幾何問題.如圖，在

△ABC中，點(diǎn)N分別為A3,AC上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN=BM.

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

MD,連接則請思考并證明；

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

90°,于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,將AM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ATO,連接ZM,DB.試猜

想四邊形AEBO的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在△ABC中，AB=AC=4,NBAC=90°,連接

BN,CM,請直接寫出BN+CM的最小值.

【分析】（1）證明0（SAS）,得到

（2）證明AD〃B凡DB//AF,得出四邊形APB。為平行四邊形；

（3）過點(diǎn)A作NR4G=45°,使AG=C2,連接GM、GC,BG,延長CB,過點(diǎn)G作G0_LC8于點(diǎn)。，

當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CM的值最小，最小值為CG的值，在RtAGOC中，GC=

J（2V2）2+（6/尸=4V5,得出BN+CM的最小值為4曲.

【解答】（1）證明：???△A8C為等邊三角形，

/.ZA=60°,AB=AC,

,：MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到MD,

：.DM=AM,ZAMD=120°,

：.ZDMB^60°,

?:AN=BM,ZDMB=ZA=60°,

AAANM^AMBD(SAS),

；.MN=DB；

(2)解：四邊形AFB。為平行四邊形，理由如下：

VAB=AC,ZBAC=90°,

AZABC=45°,

?「MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MZ),

：.MA^MD,ZMAD=ZMDA=45°,ZDMA=ZDMB=90°,

AZMAD=ZABF=45°,

貝ljAD//BF,

在AANM和AMBD中,

MA=DM

乙MAN="MB,

、AN=MB

：.AANM^AMBD(SAS),

ZAMN=NMDB,

*：AELMN,

:?NAMN+/MAE=9U°,

?：NMDB+/MBD=9U°,

ZDBM=ZMAF,

：.DB//AF,

???四邊形AFBD為平行四邊形；

(3)解：如圖，過點(diǎn)A作NBAG=45°,使AG=C3,連接GM、GC,BG,延長C5,過點(diǎn)G作GO_L

CB于點(diǎn)O,

,：AB=AC=4,ZBAC=90°,

AZABC=ZACB=45°,

；?/GAM=NBCN=45°,

?：AN=BM,

:?AM=CN,

y.'：AG=CB,

:公GAM沿ABCN(SAS),

：.GM=BN,

：.BN+CM=GM+CMNCG,

.?.當(dāng)點(diǎn)G、M,C三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CM的值最小，最小值為CG的值,

'：ZGAM=ZABC=45°,

：.AG//BC,

：.ZBAC=ZABG=90°,

.*.ZGBO=180°-ZABG-ZABC=45°,

/.ZGB6?=45°,

OG=OB,

：.GB=V2OB=V2OG,

：.OG=OB=2A/2,

：.OC=6vL

在RtZ\GOC中，GC=J(2V2)2+(6V2)2=475,

C.BN+CM的最小值為4瓶.

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理得出當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CM的值最小,

最小值為CG的值是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?包頭)如圖，在12ABe。中，NA8C為銳角，點(diǎn)E在邊上，連接BE,CE,MS^ABE=S^DCE.

(1)如圖1,若尸是邊的中點(diǎn)，連接￡/，對角線AC分別與BE,相交于點(diǎn)G,H.

①求證：”是AC的中點(diǎn)；

②求AG：GH-.HC；

(2)如圖2,8E的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)連接AM,CE的延長線與AM相交于點(diǎn)N.試

探究線段AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

M

圖1圖2

【分析】（1）①由平行線之間是等距的以及可得AE=OE,再證△AEH也△€77H（AAS）

4GAE1

即可得證；②先證△AG￡IS2\CG8,得出—=—=一，再根據(jù)AH=5”即可求解；

CGCB2

（2）由第（1）問思路可知可構(gòu)造8字型相似或者全等，從而過M作MQ〃5C交CN延長線于點(diǎn)。,先

EMED1

證嬴=~BC=5得至UEM=BE,再證△MQE之△BCE得到MQ=BC,最后證AMQNsLAEN即可得證.

【解答】（1）①證明：??,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

???A。和之間是等距的，且NEAH=/FCH,

?S/\ABE=SACDE?

:.AE=DE=^AD,

?尸是BC中點(diǎn),

1

???CF=BF=^BC,

：.CF=AE,

在AA即和△CFH中，

Z.EHA=乙FHC

^EAH=乙FCH,

AE=CF

：.AAEH^ACFH(A4S),

：.AH=CH,

???H是AC中點(diǎn).

②解：■:/EAH=/FCH,/AGE=/CGB,

：.AAGEsACGB,

tAGAE1

…CG-CB-2’

設(shè)AG=2〃，則CG=4〃,

??AC=6Q,

：.AH=CH=3af

:?GH=AH-AG=a,

?'?AG：GH：HC=2a：a：3。=2：1：3.

(2)AM=3AN.

證明：過"作MQ〃BC交CN延長線于點(diǎn)。

■:ED//BC,

.EMED1

??BM-BC一2,

1

：.EM=考BM=BE,

,:MQ〃BC,

；?NMQE=NBCE,

VZMEQ=ZBEC,EM=BE,

：.AMQE^ABCE(AAS),

:?MQ=BC,

9：MQ//AD,

：?/MQE=/AEN,

?.,ZMNQ=ZANE,

：.叢MQNs叢AEN,

.MN_MQ

??——2,

ANAE

：.MN=2AN,

：.AM^MN+AN=3AN.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等

知識，熟練掌握相關(guān)知識和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

4.（2024?鹽城）如圖1,E、F、G、X分別是EL4BC。各邊的中力,連接ARCE交于點(diǎn)連接AG、CH

交于點(diǎn)M將四邊形AMCN稱為團(tuán)ABC。的“中頂點(diǎn)四邊形”.

U

M1-----1c

圖3

（1）求證：中頂點(diǎn)四邊形AMCN為平行四邊形；

（2）①如圖2,連接AC、BD交于點(diǎn)O,可得M、N兩點(diǎn)都在8。上，當(dāng)回ABC。滿足ACL8D時(shí),

中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形；

②如圖3,己知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊

形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形AECG,四邊形APC”均為平

行四邊形，進(jìn)而得到：AM//CN,AN//CM,即可得證；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；

②連接AC,作直線MN,交于點(diǎn)。，然后作ND=2ON,MB=2OB,然后連接A3、BC、CD、ZM即可

得出點(diǎn)M和N分別為的重心，據(jù)此作圖即可.

【解答】（1）證明：

J.AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

?.?點(diǎn)E、F、G、H分別是團(tuán)ABC。各邊的中點(diǎn),

11

：.AE=^AB=^CD=CG,AE//CG,

...四邊形AECG為平行四邊形，

同理可得：四邊形AFCH為平行四邊形，

J.AM//CN,AN//CM,

，四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）解：①當(dāng)平行四邊形ABC。滿足ACL2。時(shí)，中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形，

由（1）得四邊形AMCN是平行四邊形，

VACXBD,

C.MNLAC,

，中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形，

故答案為：AC1BD；

②如圖所示，即為所求，

連接AC,作直線交于點(diǎn)。，然后作MD=20N,MB=2OM,然后連接AB、BC、CD、D4即可,

...點(diǎn)M和N分別為AABC和△AOC的重心，符合題意;

證明：矩形AMCN,

:.AC=MN,OM=ON,

,:ND=20N,MB=20M,

：.OB=OD,

四邊形ABCD為平行四邊形；

分別延長CM、AM,AN、CN交四邊于點(diǎn)E、F、G、”如圖所示:

:矩形AMCN,

：.AM//CN,MO=NO,

由作圖得

叢MBFs&NBC,

,BFBM1

"BC~BN~2

，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn),

同理得：點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)X為A。的中點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題主要考查了四邊形綜合，平行四邊形及菱形的判定和性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，理解題意,

熟練掌握三角形重心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

壓軸題型二：矩形簡答題壓軸題

1.(2024?五華區(qū)校級模擬)如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AEL8C于點(diǎn)E,

延長BC到點(diǎn)孔使CF=BE,連接。R

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)若AC?BO=80,3CE=2CF,求OE的長.

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得AZ)〃8C,AD=BC,進(jìn)而證明EV=BC,則AZ)=EF,再證明四邊形AEFD

是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)CE=2cz(a>0),則BE=b=3a,BC=BE+CE=5a,由菱形的性質(zhì)得。4=OC,OB=OD,AC

±BD,再由銳角三角函數(shù)定義求出。7=近4,則。8=2近°,然后求出a=VL即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形A8C￡>是菱形，

J.AD//BC,AD=BC,

"：CF=BE,

：.CF+CE=BE+CE,

即EF=BC,

：.AD=EF,

...四邊形AEFD是平行四邊形，

'：AE±BC,

AZA￡F=90°,

平行四邊形AEFD是矩形；

(2)解：設(shè)CE=2a(。>0),貝?。軧E=CF=3。，BC=BE+CE=5a,

:四邊形ABC。是菱形，

C.OA^OC,OB=OD,ACLBD,

.*.ZBOC=90°,

'：AE±BC,

：.ZAEC=90°,

：.OE=^AC=OC,

..CEOC

?cos/ACE=前=前，

.2aOC

2OC5a

解得:0C=島,

：.OB=y/BC2-OC2=J(5a)2-(V5a)2=2>/5a,

VAC-80,

：.OA-OC=20,

即限,2屆=20,

解得：a=V2(負(fù)值已舍去)，

OE=V5a=V10,

即OE的長為VTU.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中

線性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義等知識，掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2025?松江區(qū)一模)在矩形A8CZ)中，A2=8,4。=10.點(diǎn)￡、廠分別在邊42、BC±,AF±DE,垂

足為點(diǎn)H.

(1)求AE：OE的值；

(2)當(dāng)“尸=2EH時(shí)，求AE的長；

(3)聯(lián)結(jié)CH,如果△CDH是等腰三角形，求/EOC的正切值.

備用圖1備用圖2

4FAB84

【分析】解：(1)先證明△反1尸得出一=—=一=一；

DEAD105

(2)設(shè)EH=x,tan/AEH=k,貝！JFH=2x,AH=kx,DH=J^x,DE=(F+l)x,AF=(Z+2)x,根

據(jù)777=77^~T~==，求出k值，即可得到AE的長；

(3)分情況討論即可：①HC=HD=8時(shí)；②當(dāng)HC=HD=8時(shí)，③當(dāng)CD=C"=8時(shí).

【解答】解：(1)??,四邊形A3CD是矩形，

：.ZB=ZBAD=90°,

：.ZBAF-^ZAFB=90°,

VAF±DE,

；?NAHE=90°,

.\ZBAF+ZAEH=90°,

???ZAFB=ZAEH,

：.ABAF^AADEf

tAFAB84

?'DE~AD~10~5；

(2)設(shè)EH=x,tanZAEH=k,則FH=2x,AH=kx,DH=l^x,DE=(F+l)x,AF=(4+2)x,

ttAF(k+2)x4

?DE~(/c12+*4l)x-5'

???4M-5左一6=0,

Q

解得:4=2或左=-了4,(舍)，

1

即AE=^AD=5；

(3)由題意，需分類討論，

1)當(dāng)。C=Z)H=8時(shí)，

4

tanZEDC=tanZAED=tanZHAD=手

2）當(dāng)HC=HD=S時(shí)，聯(lián)結(jié)OR易得H為Ab中點(diǎn),

：.DF=AD=10,

：.CF=6,BF=4,

tanZEDC=tanZAED—tanZAFB=2；

3）當(dāng)CD=C”=8時(shí)，過。作CM_L。"交AO于M,交OH于N易得CM〃A/且CM=ARDG=HG,

：.N為DH中點(diǎn),M為AZ）中點(diǎn),

：.DM=^AD=5,

o

tanZ-EDC=tanZ-DMC=5；

48

綜上所述：tanZ.EDC=弓或2或一.

J5

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)等，掌握相似三角形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?淅川縣一模）綜合與實(shí)踐

【問題背景】

如圖（1）,在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn),沿直線。E將矩形折疊，使點(diǎn)C落

在A8邊上的點(diǎn)。處.

填空：AC'的長為3；

（2）如圖（2）,展開后，將△OC'E沿線段AB向右平移，使點(diǎn)C'的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)8重合，得到△/）'

BE',D'E'與BC交于點(diǎn)F,求線段EF的長.

（3）【拓展探究】

如圖（3）,在△DC'E沿射線向右平移的過程中，設(shè)點(diǎn)C'的對應(yīng)點(diǎn)為C〃，則當(dāng)△￡>‘C"E'在

線段8C上截得的線段P。的長度為1時(shí)，直接寫出平移的距離.

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得NA=90°,AB=CD=5,BC=AD=4,再由折疊的性質(zhì)得C'D=CD=5,

然后由勾股定理求解即可；

（2）由折疊的性質(zhì)得C'E=CE,設(shè)則C'E=CE=4-x,在RtZ^BEC'中，由

B爛+BC2=05求出BE=|,=|,連接團(tuán)，根據(jù)相似三角形的判定可得△式團(tuán)sAFCD，

s^ECD,即可求解；

E，E4

（3）分類討論：當(dāng)C〃在A8內(nèi)（8的左側(cè)）時(shí)，連接應(yīng)'，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得一==，

E，Q5

根據(jù)平移的性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)可得尸。=。戌=1,即可求得；當(dāng)?！ㄔ谏渚€A3上（5的右側(cè)）

時(shí)，連接團(tuán)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得C。'=2CP,CD'=lcQ,求解可得CP=I，即可

求得.

【解答】解：（1）,??四邊形ABC。是矩形，

；.44=/2=90°,AB=CD=5,BC^AD=4,

由折疊的性質(zhì)得：CD=CD=5,

?\ACr=ylCD2—AD2=V52-42=3,

故答案為：3.

（2）由（1）得：ACf=3,

：.BCr=BC-AC'=2,

由折疊的性質(zhì)得：CE=CE,

設(shè)8￡=尤，貝！IC'E=CE=4-x,

在R3BEC'中，BEr+BC2=CE2,

X2+22=(4-x)2,

解得x=

,?7t-

即BE=j,CE=4-1=I，

連接EE',如圖所示：

由平移的性質(zhì)得：E'E=BC'=2,EE'//AB//CD,D'E1//DE,

.'.△FEE'S^FCD'S^ECD,

EFCE21

"EE'—CD-5-2’

：.EF=^EE'=1,

(3)當(dāng)C"在A8內(nèi)(8的左側(cè))時(shí)，連接EE',

如圖所示：

由平移的性質(zhì)得：E'E=CC",EE'//AB,C"E'//CE,

:.△QEE，s^c"BQSACBQ,

E/EC'B24

:,麗==|=?

?：/CPD'=ZEPE'=ZCED=ZD'E'Q,

：.PQ=QE'=1,

44

：.EfE=^EfQ=1,

當(dāng)C〃在射線AB上（5的右側(cè)）時(shí)，連接成'，如圖

Ps^CDE,△C。'Q^/\CAD,

CPCE21CD，ACt3

"CDr~CD~5~2CQ~AD~4

即C。'=2CP,CD1=^CQ,

q

3

\?PQ=1,-{CP+PQ）=2CP,

r3

即一（CP+1）=2CP,

4

求解得CP=i，

."?=|,DD'=5-^=^-,

,419

故答案為：g或g.

【點(diǎn)評】本題考查四邊形綜合，矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、

折疊的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

壓軸題型三：菱形簡答題壓軸題

1.（2024?哈爾濱）四邊形ABCD的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AD//BC,OA=OC,AB=BC.

（1）如圖1,求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）如圖2,AB=AC,CH_LAO于點(diǎn)”，交BD于點(diǎn)E,連接AE,點(diǎn)G在4B上，連接EG交AC于點(diǎn)

F,若/FEC=75°,在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段（線段CE除

外）.

【分析】(1)利用菱形的判定定理解答即可；

(2)利用菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理和等

腰直角三角形的判定定理解答即可.

【解答】(1)證明：???AO〃8C,

ZADO=ZCBO,

在△AOO和△C8。中，

/.ADO=乙CBO

Z.AOD=Z.COB,

OA=OC

：.AADO^/\CBO(A4S),

：.OD=OB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???四邊形ABC。是菱形；

(2)解：與線段CE相等的線段有：AE,DE,AG,CF.理由：

由(1)知：四邊形A3CD是菱形，

：.AB=BC=CD=ADfAC.LBD,

VAB=AC,

：.AB=BC^CD=AD=AC,

：.AABC和△AOC為等邊三角形，

?；CH_LAD,

：.AH=DH,

即C"為A。的垂直平分線，

；?AE=DE.

同理：CE=AE,

：.AE=DE=EC.

?「△AOC為等邊三角形，S_LAO,

AZACH=^ZACD=30°,

,：ZFEC=75°,

：.ZEFC=180°-ZACH=ZFEC=75°,

ZEFC=ZFEC,

：.CF=CE,

???AABC和△ADC為等邊三角形，

AZBAC=ZCAD=60°,

CE=AE,

：.ZEAC=ZECA=30°,

ZBAE^ZBAC+ZCAE=90°,ZAEC=180°-ZEAC-ZECA=120°,

：.ZAEG=ZAEC-ZFEC=45°,

???AAGE為等腰直角三角形，

：.AE=AG,

：.AG=EC.

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全是三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的

判定與性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?威海)如圖，在菱形A5CD中，AB=10cm9ZABC=60°,E為對角線AC上一動點(diǎn)，以DE為

一邊作N。跖=60°,成交射線3C于點(diǎn)R連接BE,OF.點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向以每秒2on

的速度運(yùn)動至點(diǎn)A處停止.設(shè)43石方的面積為yen?,點(diǎn)石的運(yùn)動時(shí)間為％秒.

(1)求證：BE=EF；

(2)求,與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求x為何值時(shí)，線段。方的長度最短.

ADAD

備用圖

【分析】(1)設(shè)CD與EP相交于點(diǎn)M,證明△BCE絲△OCE(SAS),可得/CBE=/CDE,BE=DE,

利用三角形外角性質(zhì)可得NCOE=/CFE,即得/CBE=NCFE,即可求證；

(2)過點(diǎn)E作EN_LBC于M解直角三角形得到EN=CE?sin60°,CA^=CE?cos60°,可得BN=8C-

CN,由等腰三角形三線合一可得BE即可由三角形面積公式得到y(tǒng)與x的函數(shù)表達(dá)式，最后由0<2x

W10,可得自變量尤的取值范圍；

(3)證明△/)￡尸為等邊三角形，可得BE=DF,可知線段Z)廠的長度最短，即2E的長度最短，當(dāng)BE

LAC時(shí)，BE取最短，又由菱形的性質(zhì)可得aABC為等邊三角形，利用三線合一求出CE即可求解；

【解答】(1)證明：設(shè)C。與￡尸相交于點(diǎn)

:四邊形A8C￡)為菱形，：.BC-=DC,ZBCE=ZDCE,AB//CD,

VZABC=60°,

：.ZDCF^60°,

在△BCE和△DCE中,

BC=DC

Z-BCE=Z.DCE,

CE=CF

：.ABCE^/\DCE(SAS),

：.ZCBE=ZCDEfBE=DE,

'：ZDMF=ZDEF+ZCDE=NDCF+/CFE,

又?：NDEF=NDCF=6U°,

：.ZCDE=ZCFE,

：?NCBE=NCFE,

:.BE=EF；

(2)解：過點(diǎn)E作甚于N,

則/ENC=90。，

,:BE=EF,

：.BF=2BN,

??,四邊形ABC。為菱形，NABC=60°,

：.BC^AB=10cm,ZACB^ZBCD=60°,即NECN=60°,

*.*CE=2xcm,

V3r~1

EN=CE9sin60°=2x?一=y3x(cm),CN=CE9cos60°=2x?一=x(cm),

22

：.BN=BC-CN=10-x(cm),

BF=2(10-x)cm,

；.y=±BF?EN=1x2(10-x)x信=一次/+10回，

JLL

V0<2x^l0,

???0<xW5,

?'?y=-A/3X2+10V3X(0VXW5)；

(3)解：?:BE=DE,BE=EF,

:?DE=EF,

'：ZDEF=60°,

???△D所為等邊三角形，

:?DE=DF-EF,

；?BE=DF,

???線段。廠的長度最短，即班:的長度最短，當(dāng)8ELAC時(shí)，35取最短，如圖,

AD

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD=BC,

VZABC=60°,

???△ABC為等邊三角形，

：.AE=AB=AC=10cm,

VBEXAC,

1

CE=]AC=5CM,

.CE5

??X-2=2，

.?.當(dāng)x=3時(shí)，線段。B的長度最短.

【點(diǎn)評】本題是菱形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直

角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)

鍵是掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì).

3.（2024?青海）綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)

學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形4BC。中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFG”是平行四邊形.

證明：F、G、H分別是AB、BC、CD、D