板塊二十二圓（一）方法研究——選填題

方法研究1圓與勾股定理（一）垂徑構(gòu)直角

典例精講

【例】如圖，0為等邊AABC的邊AB上的一點，以點0為圓心，0B為半徑的圓與0C交于點D,與BC

交于點E.若CD=2,CE=3,則0B的長為

典題精練

技巧一作垂徑

1.（2024武昌區(qū)）如圖,AB是。O的弦，點P在弦AB上,PA=4,PB=2,OP=后則。。的半徑為（）

A.5B.3V2C.4D.V17

技巧二連弧的中點與圓心

2.如圖，在半徑為3的。O中,AB是直徑,AC是弦,D是灰的中點，AC與BD交于點E.若E是BD的中點，則

AC的長是（）

X.|V3B.3V3C.3V2D.4V2

技巧三連弦的中點與圓心

3.（2024洪山區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點E在。?！?EC±AB于點（C,AC=4,CE=點G在。。上運(yùn)

動（不與點E重合）,F為GE的中點，則CF的最大值為（）

X.4V2B.6C.4V3D.8

方法研究2圓與勾股定理（二）直徑構(gòu)直角

典例精講

【例】（2024福州）如圖，在AABC中，以AB為直徑的。。與AC相切于點A,與BC相交于點D,F是BC上一

點且BF=BA,連接AF若AC=8,CF=4,則DF的長為.

典題精練

技巧一知直徑用直角

1.（2024長春）如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是松的中點,DB交AC于點G連接AD.當(dāng)DG=2,GB

=3時,AG的長為.

技巧二知直徑構(gòu)直角

2.（2024洪山區(qū)）如圖,以矩形ABCD的邊AB為直徑作。。以點B為圓心,AB長為半徑畫弧，交CD于點E,

連接BE交。。于點F.若EF=2,AD=6廁AB的長為.

技巧三構(gòu)直徑用直角

3.（2024黃石）如圖，弦AB,CD所對的圓心角分別是NAOB/COD若N4OB與NCOD互補(bǔ)，AB=8,CD=6,那

么。。的半徑為（）

A.5B.10C.5V2

方法研究3圓與勾股定理（三）切線構(gòu)直角

典例精講

技巧一連圓心與切點——構(gòu)直角

［例1］（2024宜昌）如圖,AB是。。的直徑，過圓上一點C作。。的切線，交AB的延長線于點P.若

tan^4PC=i?0的半徑為2,則PB的長是（）

A.2V5-2B.2V5-4C.2^/3-2D.2

技巧二切線+垂徑——構(gòu)矩形

【例2】如圖,。0經(jīng)過矩形ABCD的頂點A,D,與BC相切于點F,與CD相交于另一點G.若需=木則母的

值為.

典題精練

1.如圖，在SBC中,NC=90。,AC=4,AB=5,。。分另［|與AB,BC相切于點D,E,交AC于點G,H.若GH=2,則。。

的半徑為.

2.（2024涼山州）如圖,OM的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4（分別交x軸，y軸于點A,B）上的一

動點，過點P作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為.

方法研究4圓與全等

典例精講

技巧一構(gòu)旋轉(zhuǎn)全等

【例】(2024武漢中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于oO/ABCuGOO/BACwCADudStAB+ADuZ,則。。

的半徑是（)

4漁C,建D更

3吟22

典題精練

技巧二構(gòu)對稱全等

1.（2024江漢區(qū)）如圖,AB,AC是。O的弦,D是公的中點,E是AB上的一點連接DC,DE若BE=S限D(zhuǎn)C

=DE,且NCDE=90°,貝!|0。的粹為()

X.5V2B.5V3C.6V2D.9

技巧三構(gòu)蝶形全等

2.（2024江夏區(qū)）如圖,。0是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E,AE=DE,BC=CE,,過點。作ODA

C于點F,延長FO交BE于點G.若.DE=3,EG=2,,則AB的長為（）

X.4V3B.7C.8D.4V5

方法研究5圓與相似

典例精講

技巧一求線段比——構(gòu)"A、X型"相似

【例1】（2024武漢模擬）如圖,AB是。O的直徑C是。O上一點/ACB的平分線交AB于點E,交。。于

點D.若OO的半徑是5,siM4BC=|廁器的值為.

c

技巧二遇切割線——構(gòu)"子母型"相似

【例2】如圖，在RbABC中/C=90。,點D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓。與BC相切于點E,連接DE.

若AC=8,BC=6,則DE的長是,

典題精練

技巧三遇徑切圖——構(gòu)"射影型"相似

1.（2024泰安）如圖,AB是。O的直徑,AH是。O的切線,C為。O上一點,D為死的中點，連接BD交AC

于點E,延長BD與AH相交于點F.若DF=l,tanB=/H|AE的長為.

技巧四構(gòu)"仿A型"相似

2.（2024永安）如圖，在RfABC中/C=90°,點O在邊AC上，且NCB。=NC4B過點A作AD^BO,交B0

的延長線于點D,以點0為圓心,0D的長為半徑作。0,交B0于點E.若的半徑為5,BE=8,則線段AB的長為

方法研究6圓與三角函數(shù)-----2023武漢中考熱點

典例精講

技巧一構(gòu)直角求三角函數(shù)值

【例】（2023武漢中考）如圖，在四邊形ABCD中，AB\\CD,AD^AB?^D為圓心,AD為半徑的弧恰好與BC

相切，切點為E.若=捌sinC的值是（）

典題精練

技巧二利用特殊角求三角函數(shù)值

1.（2024研口區(qū)）如圖,AB是OO的直徑，點C在。。上,1為ACBC的內(nèi)心.若㈤。=2NAIO,則tanzOBI

的值是（）

技巧三等角轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值

2.（2023蘇州改）如圖,AB是半圓O的直徑，點C,D在半圓上,（前=為，連接OC,CA,OD,過點B作EB^iAB,

交OD的延長線于點E.設(shè)△04C的面積為S[AOBE的面積為S?,,若微=|,則tan/COE的值為.

方法研究7巧用面積法

典例精講

類型一三角形與圓

【例1】（2024武漢模擬）如圖，在RfABC中/BAC=90°,AD為中線.若AB=5,AC=12,設(shè)3BD與&ACD的

內(nèi)切圓半徑分別為r/2,則2的值為

r2

類型二四邊形與圓

[例2]（2024江漢區(qū)）木匠黃師傅用長AB=3m,寬BC=2m的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)

計了兩種方案：方案一：用矩形木板直接鋸一個半徑最大的圓；方案二：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形,

適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓，則方案二比方案一的圓的半徑大m.

方案一方案二

典題精練

1.（武漢中考）如圖，在AABC中,AB=7,BC=5,AC=8,則AABC的內(nèi)切圓的半徑為.

2.（2023青山區(qū)）如圖內(nèi)切于正方形ABCD,邊AD,CD分別與。。切于點E,F,點M,N分別在線段DE,DF

上，且MN與。。相切.若AMBN的面積為6,則。。的半徑為.

實踐操作1實際問題與圓

典例精講

技巧一運(yùn)用垂徑

[例1]（2024湖北模擬）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑.

小明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A,

B,C,D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,CD=6cm.請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算紙杯杯口

的直徑是cm.

技巧二運(yùn)用切線

[例2]（2024河南改）如圖1,塑像AB在底座BC上點D是人眼所在的位置，當(dāng)點B高于人的水平視線D

E時，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,B兩點的圓與

水平視線DE相切時（如圖2）,在切點P處感覺看到的塑像最大.經(jīng)測量，最大視角NAPB為30。,在點P處看塑像

頂部點A的仰角NAPE為60。,點P到塑像的水平距離PH為6m，則塑像AB的高為m.（結(jié)果精確到0.

1m.參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

典題精練

1.（2024通遼）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經(jīng)過拱門

所在圓的圓心.若AB=lm,CD=2.5m，則拱門所在圓的半徑為m.

c

ADB

2.（2023宜昌）2023年5月30日，"神舟十六號"航天飛船成功發(fā)射.如圖，飛船在離地球大約330km的圓

形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點的正上方F點時，從中直接看到地球表面一個最遠(yuǎn)的點是Q在RfOQF中,（0

P=OQ~6400km.則網(wǎng)的長約為km（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：cosl6°~0.96,cosl8°~0.95,cos20°~0.

94,cos22°~0.93,n~3.14）

實踐操作2圓的折疊與旋轉(zhuǎn)

典例精講

類型一圓的折疊

[例1]（2021武漢中考）如圖,AB是。0的直徑,BC是。。的弦，先將就沿BC翻折交AB于點D,再將.

而沿AB翻折交BC于點E.若BE=施，設(shè)NABC=a，貝Da所在的范圍是（）

421,9。<a<22.3。B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°￡>.23.1°<a<23.5°

類型二圓的旋轉(zhuǎn)

[例2]（2024孝感）已知AB為。0的直徑,C為。。上一點，將4C繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后

得至D助，交AB于點E.若點D在。。上,AO=5EO=5廁陰影部分的面積為（）

4

A.8B.16C.4+”

典題精練

1.（2024咸寧）如圖,AB是。。的直徑,C是上半圓上一點，將衣沿著弦AC翻折后恰好經(jīng)過0A的中點D,則

tanzBAC的值是.

2.（2023研口區(qū)）如圖,AB為的直徑BC是弦，將左繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到◎，點D恰好落在。O上,

AB交.而于點E.若OE=EB,AB=4,則BC的長是.

實踐操作3圓的覆蓋與截取

典例精講

類型一圓的覆蓋

【例1】（2024武漢模擬）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正

方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若（a-b）2=4,大正方形的面積為20,現(xiàn)用一個半徑

為r的圓形紙片將陰影部分完全覆蓋，則r的最小值是.

類型二圓的截取

【例2】（2022武漢中考）如圖,在四邊形材料ABCD中，AD\\BC,^A=90°,AD=9cm,AB=20cm,BC=24

cm.現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（）

A.—cmB.8cmC.6V2cmD.10cm

典題精練

1.（2022武漢四調(diào)）如圖是由三個大小相同的正方形組成的"品"字型軸對稱圖案，測得頂點A,B之間的距離

為5.現(xiàn)用一個半徑為r的圓形紙片將其完全覆蓋，則r的最小值是（）

「2V17

c.------

2.（2023青山區(qū)）如圖,在四邊形材料ABCD中,ADJ_CD,AB=26cm,BC=30cm,tanB=tanC=凸現(xiàn)用此材料

截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑為cm.

實踐操作4閱讀理解

典例精講

技巧一讀懂規(guī)律

【例】（2024武漢模擬）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與

人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的"蚊香".畫法后

如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC,然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫

圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓?。僖渣cC為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線

于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…以此類推，當(dāng)?shù)玫降?蚊香"恰好有12段圓弧時，"蚊香"

的長度為

典題精練

技巧二讀懂公式

1.（2023武漢四調(diào)）《數(shù)書九章》是我國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a,b,

c求面積的公式S=J.c2a2-（立亨）2］若三角形的三邊a,b,C分別為7,6,3,則這個三角形內(nèi)切圓的半

徑是.

技巧三讀懂定理

2.（2023東湖高新區(qū)）17—18世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家、大文學(xué)家梅文鼎和英國數(shù)學(xué)家辛普森各自獨(dú)立地用簡化了的"

同徑法”證明了正弦定理："三角形中每一邊和它所對角的正弦值的比都等于外接圓的直徑”.已知AABC中,AB=

5,AC=8,zBAC=60。,則△ABC的外接圓直徑為.

技巧四讀懂方法

3.（2023福建）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的"割圓術(shù)"，即利用圓的內(nèi)接正多邊

形逼近圓的方法來近似估算，他用這種思想得到了圓周率n的近似值為3.1416如圖，。0的半徑為1,運(yùn)用“割

圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得n的估計值為竽,，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，

可得n的估計值為.

板塊二十二圓（一）方法研究——選填題

方法研究1圓與勾股定理（一）垂徑構(gòu)直角

典例精講

【例】如圖，0為等邊△ABC的邊AB上的一點，以點0為圓心，0B為半徑的圓與OC交于點D,與BC

交于點E.若CD=2,CE=3,則OB的長為5.

解:過點O作OFLBE于點F,則BF=FE=2OB設(shè)BF=FE=x,f入、

貝[]OB=0D=2x,■.OF=V3x,OC=2x+2,CF=x+3,

...在RtACOF中,（（V3x）2+（x+3）2=（2%+2）2,2x=5,即OB=5.

典題精練

技巧一作垂徑

1.（2024武昌區(qū)）如圖,AB是。0的弦，點P在弦AB上,PA=4,PB=2,OP=舊則。0的半徑為（A）

B.3V2D.V17

解:過點。作OH_LAB于點H,連接OA,；.AH=|AB.PA=4,PB=2,AB=4+2=6,AH=3,PH^AP=AH^4-3=1.

VOP=V17.-.OH=y/OP2-PH2=4,.-.OA=>JAH2+OH2=5,.*.OO的半徑是5.故選A.I)

技巧二連弧的中點與圓心

2.如圖在半徑為3的。O中,AB是直徑,AC是弦,D是前的中點,AC與BD交于點E.若E是BD的中點,

則AC的長是（D）

X.-V3B.3V3D.4V2

解:連接OD交AC于點F,連接BC,則/ACB=90；D是AC的中點,.「OD垂直平分AC,.。尸=匏&0F||8C

,-/E是BD的中點,△DEF^ABEC,/.DF=BC=2OF,/.OF=1,BC=2,RtAABC中，AC=<AB2-BC2=4&.

技巧三連弦的中點與圓心

3.（2024洪山區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點E在。O上,ECLAB于點C,AC=4,CE=4VX點G在。O上運(yùn)動（不

與點E重合）,F為GE的中點，則CF的最大值為（B）

A4金B(yǎng).6C.4V3D.8、

解連接OEQF.YF是EG的中點,.?.OFLEG,，ZOFE=90°.VEC±AB,.\/OCE=90°,...可《■點赫：F.,F#以O(shè)

E為直徑的圓上,.；.CF^.=0E.設(shè)OE=r,在RtAOEC中,OC=OE-AC=r-4,CE=4V2,根據(jù)勾股魚事得名C?+C

取大值

2

E2=r2,(r-4)2+(4&)=r2,.>.r=6,.'.CF的最大值為6.故選B.

方法研究2圓與勾股定理（二）直徑構(gòu)直角

典例米醐

【例】（2024福州）如圖，在△ABC中以AB為直徑的。O與AC相切于點A,與BC相交于點D,F是BC上

一點且BF=BA,連接AF,若AC=8,CF=4,則DF的長為_f.

解:連接AD.,?以AB為直徑的0O與AC相切于點A,：.BAXAC,NBAC=90。.：BA=BF,設(shè)BA=BF=x，在Rt

△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2+AC2=叱,即%2+82=(%+4下,解得x=6,；.BC=10.：AB是直徑,AD_LBD,

?；AB-AC=BCAD,即6x8=10AD,解得AD=卷在RtAABD中根據(jù)勾股定理得BDy/AB2-AD2=

—d)2DF=BF-BD=6一號若

典題精練

技巧一知直徑用直角

1.（2024長春）如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是左的中點,DB交AC于點G,連接AD.當(dāng)DG=2,GB=3

時,AG的長為V14

W："-'AD=CD,.\ZABD=ZDAC.VAB是直徑,NADB=/GDA=90°,.-.AADGABDA,：.—=AD2=DG

.8。=2x5=10,在RtAADG中，由勾股定理彳導(dǎo)AG=VXD2+DG2=V14.

技巧二知直徑構(gòu)直角

2.（2024洪山區(qū)）如圖以矩形ABCD的邊AB為直徑作。O,以點B為圓心,AB長為半徑畫弧，交CD于點E,

連接BE交。0于點F.若EF=2,AD=6,則AB的長為10

解:連接AF.ilEAABF絲△BEC(AAS),BF=CE,BE-BF=CD-CE,即DE=FE=2.VAB=CD,ZC=90°,BC=AD=6,A

CE=AB-2,

vBE=AB,BE2=CE2+BC2,

：.AB2={AB-2)2+62,解得AB=10.

技巧三構(gòu)直徑用直角

3.（2024黃石）如圖，弦AB,CD所對的圓心角分別是/AOB,/COD.若/AOB與NCOD互補(bǔ),AB=8,CD=6,那么。

O的半徑為（A）

A.5B.10C.5V2D.5V3

解:延長CO交。O于點E,連接DE.YCE是。O的直徑.../CDE=90。.

ZAOB和/COD互補(bǔ),NCOD+NDOE=180°,；./DOE=NAOB.

VAB=8,ADE=AB=8.

；CD=6,由勾股定理，得CE=VCD2+DE2=V62+82=10,

???OO的半徑是5.故選A.

方法研究3圓與勾股定理（三）切線構(gòu)直角

典例米前井

技巧一連圓心與切點一構(gòu)直角

【例1】（2024宜昌）如圖,AB是。O的直徑，過圓上一點C作。O的切線.交AB的延長線于點P.若

tan/APC=|,OO的半徑為2,則PB的長是(A)

A.2事,-2B.2V5-4C.2V3-2D.2

解:連接oc,則OC=OB=2.:CP是。o的切線,.?./ocpngo。.

tanzXPC=^|=j,.-.PC=4,在RtAOCP中,OP=yj0C2+CP2=V22+42=2瓜：.PB=OP—OB=2

V5-2.故選A.

技巧二切線+垂徑一構(gòu)矩形

【例2】如圖,。O經(jīng)過矩形ABCD的頂點A,D,與BC相切于點F,與CD相交于另一點G.若黑=|,則學(xué)勺

值為一I

解:連接FO并延長交AD于點E,連接OD,過點O作OHLDG于點H,則OE_LAD,DH=HG=OE,設(shè)OE=x,AB=3a,

則AD=4a,，OD=OF=3a-x,ED=2a,在RtAOED中，x2+(2a)2=(3a-x)2,x=-a,1■.DG=2x=-a,CG=CD-

63

V4DG5

DG=-(!>；?—=—.

3CG4

典題精練

1.如圖在4ABC中,/C=9(T,AC=4,AB=5,。。分別與AB,BC相切于點D,E,交AC于點G,H.若GH=2,則。O的

半徑為了

解:連接OE,OD,OA,OG,過點O作OFLAC于點F.

VOO與BC,AB相切于點E,D,；.OE_LBC,OD_LAB,BD=BE,

,/ZC=90°,四邊形OECF為矩形,，CF=OE,：AC=4,AB=5,BC=3,

?.,OF_LAC,；.FH=FG=1,設(shè)OE=r,CE=a，貝！JBE=BD=3-a,AD=a+2,在RSOAD和RtAOAF^,AO2=AD2+OD2=A

F2+OF2,r2+(a+2)2=a2+(4-r)2,；.a=3-2r>0,在RtAOFG中，產(chǎn)=+1,；.r=挈，；2r<3,二r=爭.

2.(2024涼山州)如圖,。M的圓心為M(4,0).半徑為2,P是直線y=x+4(分別交x軸,y軸于點A,B)上的一動點，

過點P作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為，V7.

解:連接MP,MQ.；PQ是。M的切線，MQ^PQ,PQ=y/PM2-MQ2=6必一4,.?.當(dāng)PM最小時,PQ最

小，即當(dāng)MP1AB時,MP最小易求OA=OB=4,；./BAO=45o,AM=8,當(dāng)MP±AB時,MP=AM-sinABAO=8X

方法研究4圓與全等

典例精講

技巧一構(gòu)旋轉(zhuǎn)全等

【例】(2024武漢中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于＜3O,/ABC=6(r,NBAC=/CAD=45o,AB+AD=2jI!!］。。的

半徑是（A）

「V3

吟C.—

22

解過點c作CM，AB于點M,CN±AD交AD延長線于點N,過點O作OH_LAC于點H,連接OA,OC.證Rt

△CDN^RtACBM,；.ND=MB.VAB+AD=AM+MB+AD=AM+DN+AD=AM+AN=2AM=2,/.AM=1.

「△ACM是等腰直角三角形,；.AC=V2AM=V2.VZB=60°,AZAOC=2ZB=120°.

???OA=OC,OH1AC,：.AH=-AC=—,^AOH=-^AOC=60°,

'222

??.sin乙40"=sin60°=~~=-e-OA=號:.00的半徑是當(dāng)故選A.

典題精練

技巧二構(gòu)對稱全等

1.（2024江漢區(qū)）如圖,AB,AC是0O的弦,D是近的中點,E是AB上的一點，連接DC,DE若BE=5V6,DC=DE,

且/CDE=90。廁。O的半徑為（B）

45&B.5V3C.6V2D.9

技巧三構(gòu)蝶形全等

2.（2024江夏區(qū)）如圖,00是AABC的外接圓，弦BD交AC于點E,AE=DE,BC=CE過點。作OFLAC于點F,

延長FO交BE于點G.若DE=3,EG=2,則AB的長為（B）

71.4V3B.7C.8D,4V5

解:連接CD,ffiAAEBg△DEC（ASA）,EB=EC,VBC=CE,BE=CE=BC,東~

AEBC為等邊三角形,/ACB=60。,作BMXAC于點M,VOF±AC,AF=CF,I/

AEBC為等邊三角形,；.ZGEF=60°,.\ZEGF=30°,EG=2,Z.EF=1,8yzz

AE=ED=3,CF=AF=4,AC=8,EC=5,/.BC=5,VZBCM=60°,

乙MBC=30。,；.CM=l，BM=收CM=AM=AC-CM=

AB=7AM2+BM2=J管了+律j7.故選B.

方法研究5圓與相似

典例精講

技巧一求線段比一一構(gòu)“A、X型”相似

[例1]（2024武漢模擬）如圖,AB是。。的直徑,C是。O上一點,NACB的平分線交AB于點E,交。O于

點D.若。。的半徑是5,si山BC.則界的值為_募解過點C作CHUB于點H,連接。D.：AB是直徑,..?/

ACB=90°.

VsinZABC=AC=-,AB=2x5=10,AAC=6,ABC=A/AB2-AC2=8.

*.?AABC的面積=^AB-CH=^AC-BC,10CH=6x8,CH=g.

技巧二遇切割線一構(gòu)“子母型”相似

[例2]如圖在RtAABC中,/C=90。點D在斜邊AB上以AD為直徑的半圓。與BC相切于點E,連接

DE若AC=8,BC=6,則DE的長是手.

解:連接AE,OE.在RtAABC中,AB=10,設(shè)0O的半徑為r,則OA=OE=r,，OB=10-r.

翳=罪即詈=等,解得“卷=￥

證**■*-ABOEABAC',D—Z-

△BDEABE4*若/???g+。依=加,...DE=罕

典題精練

技巧三遇徑切圖一構(gòu)“射影型”相似

1.（2024泰安）如圖,AB是。O的直徑,AH是。。的切線,C為。O上一點,D為公的中點，連接BD交AC

于點E延長BD與AH相交于點F.若DF=l,tanB=|,則AE的長為V5.

解:連接AD.證△DAF△DBA,=tanB=|,vDF=1,AD=2

AF=yjAD2+DF2=V5,VD為前的中點，AD=CD,

：.ZABD=ZDAC=ZDAF.VZADE=ZADF=90°,

.-,90°-/.DAE=90°-即NAED=NAFD,；.AE=AF=V5

技巧四構(gòu)“仿A型”相似

2.（2024永安）如圖，在R3ABC中,NC=90。,點。在邊AC上，且/CBONCAB過點A作ADLBO,交BO的延

長線于點D,以點O為圓心QD的長為半徑作。O,交BO于點E.若。O的半徑為5,BE=8,則線段AB的長為_?

解:過點O作OF_LAB,垂足為F.?/AD±BO,ZC=90°,ZAOD=ZBOC,AZDAO=ZCBO,VZCBO=ZCAB,.\Z

DAO=/BAO,?.^AD_LBO,OF_LAB,.?.OD=OF,由題意得OB=13,OF=5.在Rt△OBF中,由勾月殳定理，彳導(dǎo)BF=V132-52=l

2.VZOBF=ZABD,ZOFB=ZADB,.*.AOBF^AABD,AB=—./

ABBDAB182/\\

方法研究6圓與三角函數(shù)

典例精講

技巧一構(gòu)直角求三角函數(shù)值

【例】（2023武漢中考）如圖，在四邊形ABCD中,AB〃CD,AD，AB,以點D為圓心,AD為半徑的弧恰好與BC

相切，切點為E.若得=/則sinC的值是（B）

A.-B.—C.

33

典題精練

技巧二利用特殊角求三角函數(shù)值

1.（2024研口區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點C在。O上,1為△ABC的內(nèi)心若NBIO=2NAIO,則tanZOBI的

值是（B）

1

B.C.

A片2

解:延長BI交。O于點D,連接AD,則/D=/C=9(r,，/CAB+/CBA=90。.

VI為AABC的內(nèi)心ZMB=ZMC=AB,/.IBA=乙IBC=jzCBX,

11

???ZDM=Z.IAB+AIBA=-ACAB+-/LCBA=45°,???/.DAI=^DIA=45°,

22

ZAIB=180o-ZDIA=135o,.\AD=ID.VZBIO=2ZAIO,ZAIO+ZBIO=ZAIB=135o,

ZAIO+2ZAIO=135°,.\ZAIO=45°,.\ZBIO=90°,；.OI±BD,AAD=ID=IB=jBD,

???tanzOB/=—=:故選B.

BD2

技巧三等角轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值

2.（2023蘇州改）如圖,AB是半圓O的直徑，點C,D在半圓上,（前=刃，連接OC,CA,OD,過點B作EBLAB,交

OD的延長線于點￡.設(shè)4OAC的面積為Si,△OBE的面積為S?若||=|,則tan/COE的值為V2.

解:過點C作CH_LAO于點H.；CD=MD,；./COE=/BOE=/CAO,:&=二.?.生=二”=4BOE,；.tanzX

S23BE3

=tanZ.COF,瑞=需，即-=瑞=|,設(shè)AH=2m,貝!!BO=3m=AO=C￡),OH=3m-2m—m,CH=2y/2m,tan/A

=—=V2,?t?tanzCOE=V2.//\

方法研究7巧用面積法

典例精講

類型一三角形與圓

【例1】(2024武漢模擬)如圖，在RtAABC中,NBAC=9C>o,AD為中線.若AB=5,AC=12,i§AABD與^ACD

的內(nèi)切圓半徑分別為rx,r2，則小的值為1.

解：連接0408,0口,及,1。山,過點0,點1分別作BC的垂線，垂足為M,N.在R3ABC中,AB=5,AC=12,；.BC=1

3,VAD為中線,；.AD=BD=CD=-BC=—-：S^=S“CD，即~^B+BD+AD)-OM=-(AC+AD+CD)-IN

22ABD242

,x(5+13)rix(12+13)。,二?=纂

Z1=Z12lo

B

類型二四邊形與圓

[例2]（2024江漢區(qū)）木匠黃師傅用長AB=3m,寬BC=2m的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計

了兩種方案：方案一：用矩形木板直接鋸一個半徑最大的圓；方案二：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適

當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓，則:方案二比方案一的圓的半徑大m.

解：方案一中的最大半徑為1m.方案二中，設(shè)。O與AB相切于點M,與。

BF相切于點N，連接OM,0N,0B，設(shè)轉(zhuǎn)為r廁=*X2小3，

方案一方案二

-r+|x2-%解得r=1-1=|(m).

魚，

典題精練

1.(武漢中考)如圖，在△ABC中,AB=7.BC=5,AC=8^[UABC的內(nèi)切圓的半徑為V3.

解:設(shè)圓心為O,連接OAQBQC,作ADJ_BC于點D.設(shè)BD=a，則CD=5-a,則AB2-BD2=AD2=AC2-C",即

72-a2=82-(5-近解得a=l,.\AD=4W,設(shè)4ABC內(nèi)切圓的半徑為r,=y+y+y,r=遮,即內(nèi)切

圓的半徑為V3

2.（2023青山區(qū)）如圖,。O內(nèi)切于正方形ABCD邊AD,CD分別與。。切于點E,F,點M,N分別在線段DE,DF

上且MN與OO相切.若AMBN的面積為6,則。。的半徑為V6.

解:設(shè)OO與MN相切于點K,正方形的邊長為2a,則AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,設(shè)MK=ME=x,NK=NF

=y，在RtADMN中,：MN=x.+y,DN=a—y,DM=a-x,(%+y)2=(a—y)2+(a—x)2,ax+ay+xy=

a2,1?1S^BMN=S防形ABCD~S^ABM-S^DMN—5ABC/V=6,4a2-X2ax<(a+x)-|(a-%)(為一y)一X2a(a

+y)=6,|a2—|(ax+ay+xy)=6,a2=6,a=V6,(00的半徑為V6

實踐操作1實際問題與圓

典例精講

技巧一運(yùn)用垂徑

【例1】（2024湖北模擬）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑.小

明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A,B,

C,D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,CD=6cm.請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算紙杯杯口的直徑是

10cm.

解:設(shè)圓心為O,連接OD,OB,過點。作MN1.AB于點N,交CD于點M.；CD〃AB,，MNJ_CD,，MN=7.：AB

=8,CD=6,DM"CD=3,BN=^AB=4.設(shè)0M=x，則0N=MN-0M=7-x,OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,OM2

+MD2=ON2+BN2,/.x2+32=（7-x）2+42,.*.x=4,/.OM=4,/.OD=V32+42=5,.\紙杯的直徑為5x2=10.

技巧二運(yùn)用切線

[例2]（2024河南改）如圖1,塑像AB在底座BC上點D是人眼所在的位置，當(dāng)點B高于人的水平視線D

E時，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,B兩點的圓與

水平視線DE相切時（如圖2）,在切點P處感覺看到的塑像最大.經(jīng)測量，最大視角/APB為30。,在點P處看塑像

頂部點A的仰角/APE為60。,點P到塑像的水平距離PH為6m，則塑像AB的高為6.9m.（結(jié)果精確到0.1m.

參考數(shù)據(jù)：V3x1.73）

角華：ZAPH=60°,PH=6,.\AH=PHtan60°=6V3

ZAPB=30°,.\ZBPH=ZAPH-ZAPB=30°,

???BH=PH-tan30°=2V3,

???AB=AH-BH=4^/3?6.9(m).

典題精練

1.（2024通遼）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經(jīng)過拱門所

在圓的圓心.若AB=lm,CD=2.5m，則拱門所在圓的半徑為1.3m.

解：連接OA.：D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心AB=l,；fD_LAB,AD=B

D=05設(shè)拱門所在圓的半徑為rm,；.OA=OC=i?，而CD=2.5m,

OD=2.5-r,：.r2=0.52+(2.5-r)?,解得r=1.3.

2.（2023宜昌）2023年5月30日，“神舟十六號”航天飛船成功發(fā)射.如圖，飛船在離地球大約330km的圓形軌

道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點的正上方F點時，從中直接看到地球表面一個最遠(yuǎn)的點是Q在RtAOQF中,OP=O

Q-6400km.則-P。的長約為2010km(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):(cosl60~0.96,cosl8°~0.95,cos200?0.94,cos22°?0.

93,71-3.14)

解:由題意知，F(xiàn)Q是。O的切線,；.NOQF=90。,：OP=OQ=6400km,FP=330km,/.OF=OP+FP=6730km,

?八八八clc八y八？

6400，yco的x/-,長i/約\為i-1-8-7r-x-6-40-0

..cosa=00=-6-7-3-0-?0.95,，a=18,RQyi“、180?2010fcm.

實踐操作2圓的折疊與旋轉(zhuǎn)

典例精講

類型一圓的折疊

【例1】（2021武漢中考）如圖,AB是。O的直徑,BC是。。的弦，先將前沿BC翻折交AB于點D,再將BD

沿AB翻折交BC于點E.若BE=猊，設(shè)NABC=a,則a所在的范圍是（B）

421.9°<a<22.3"B.22.3。<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°￡).23.1°<a<23.5°

類型二圓的旋轉(zhuǎn)

【例2】（2024孝感）已知AB為。O的直徑,C為。O上一點，將AC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后

得至D-4D,交AB于點E.若點D在。O上,AO=5EO=5,則陰影部分的面積為（A）

4

A.8B.16C.4+”

解:連接BC,BD,DE,連接CD交AB于點F,：AO=5EO=5,；.OB=OA=5,AB=10,；.BE=OB-OE=4,由旋轉(zhuǎn)得AC

=AD,ZCAB=ZBAD,OO與。O'是等圓,AC=AD,BC=BD,；.AB_LCD,CF=DF,，ZCFB=90°,VZBAD=ZDAE,.\

s陰影=S,BF=-BE=2//AB是直徑,/ACB=/CFB=90。,：/ABC=/CBF,；.ZkABCsCBF,—=

hBDE2BCA

2