翻折題型

模型特點

折疊前后的圖形全等：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分：折疊線就是對稱軸。

折疊重合部分一定全等：重合的圖形形狀和大小完全相同。

解題思路

折疊問題常常會出現(xiàn)等腰三角形：利用折疊線和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)。

折疊問題會出現(xiàn)直角三角形：可以利用勾股定理等知識求解相關(guān)邊長。

常與勾股定理、相似三角形等知識結(jié)合：用于計算線段長度或角度大小。

典型例題

對應(yīng)角相等：由對稱得對應(yīng)角相等，常用在求角度的問題中。

例一：如圖.在△ABC中，點D是BC上的點,/BAD=NABC=40。，將△ABD沿著AD翻折得到△AED,則

ZCDE=°,

M：VZBAD=ZABC=40°,將△ABD沿著AD翻折得至[]△AED,

AAADC=40°+40°=80°,zXDF=AADB=180°-40°-40°=100°,

.-?乙CDE=100°-80°=20°,

故答案為：20

作為特殊的對稱會存在特殊角，有特殊角就有特殊圖形，利用特殊圖形解決問題。

例二:如圖.在矩形ABCD中，AD=3,M是CD上的一點，將△力DM沿直線AM對折得到△ANM,若AN

平分則折痕AM的長為（）

C.3V2D.6

解：由折疊性質(zhì)得：△ANM=AADM,

ZMAN=ZDAM,

TAN平分NMAB,/MAN=NNAB,

ZDAM=ZMAN=ZNAB,

四邊形ABCD是矩形，

???乙DAB=90°,

；?ZDAM=30°,

?n“2AD6「K

AM=W=而=2?

故選：B.

對應(yīng)邊相等：涉及到求線段長度的問題，記得考慮，對應(yīng)邊相等。

例三：如圖，把三角形紙片折疊，使點A、點C都與點B重合，折痕分別為EF,DG,得到NBDE=60。，ZBE

D=90°,若DE=2,則FG的長為L

解：.??把三角形紙片折疊，使點A、點C都與點B重合，

；.AF=BF,AE=BE,BG=CG,DC=DB,

???FG=lAC,

*.?ZBDE=60°,ZBED=90°,

/.ZEBD=30°,

；.DB=2DE=4,

BE=y/DB2-DE2="_22=2低

AE=BE=2V3,DC=DB=4,

：.AC=AE+DE+DC=2y/3+2+4=6+243,

FG=171C=3+但

故答案為：3+百.

例四：如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF,GH折疊（點E,H在AD邊上，點F,G在BC邊上），使點B和點C

落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A，點，D點的對稱點為D，點，若NFPG=90。，△A'EP的面積為4,△D

'PH的面積為1,則矩形ABCD的面積等于.

；.AB=CD,AD=BC,設(shè)AB=CD=x,

由翻折可知：PA'=AB=x,PD'=CD=x,

AA'EP的面積為4,△D'PH的面積為1,

又?.,△A'EPs^DPH,

AA'P:D'H=2,VPA'=x,

1

??.DrH=-x

2f

=1,

22

；.x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

???AB=CD=2,PE=V22+42=2低PH=Vl2+22=V5,

710=4+2V5+V5+1=5+3V5,

矩形ABCD的面積：=2（5+3V5）=10+6V5.

故答案為10+6V5

對稱點連線：對稱點連線被對稱軸垂直且平分，連接對稱點連線可得垂直，由垂直或可得直角三角形或可得三

垂直全等或相似，可用三角函數(shù)求線段長度。

例五：如圖，將面積為：32魚的矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A的對應(yīng)點為點P,連接AP交BC于點

E.若BE=&,則AP的長為.

角岸：設(shè)AB=a,AD=b,貝（］ab=32A/2,SAABE^ADAB可得：—=—,

a3=64,

a=4,b=8Vx

設(shè)PA交BD于O.

在RtAABD中,BD=<AB2+AD2=12,

.?.OcPc=0…A=-A-B--A-D-=—8V2,

BD3

：.AP若正.

故答案為yV2.

例六：如圖,在AABC中，D是AC邊上的中點,連接BD,把4BDC沿BD翻折，得到△BDC,DC與AB

交于點E,連接AC,若.AD=AC^2,BD=3,則點D到BC的距離為（）

,3V303^21

4D.------------

27

C.V70,V13

解如圖，連接CC,交BD于點M,過點D作DH_LBC于點H,

1?1AD=AC=2,D是AC邊上的中點,

.\DC=AD=2,

由翻折知，ABDCaABDC,BD垂直平分CC,

/.DC=DC'=2,BC=BC,CM=C'M,

???AD=AC=DC=2,

...△ADC為等邊三角形,

AADC=Z.AC'D=AC'AC=60°,

VDC=DC',

?.?"=〃C，C=*。。=30。,

在RtAC'DM中.

Z.DCC=30°,DC=2,

DM=1,CM=V3DM=V3,

.*.BM=BD-DM=3-1=2,

在RtABMC'中,

BC=yjBM2+CM2=22+(V3)2=V7,

11

■■-SABDC^-BC'-DH^-BD-CM,

???巾DH=3XV3,

DH=空

7

故選：B.

矩形對稱：涉及對稱的問題，以矩形對稱最多，變化形式多樣。比如，可以按對角線折疊，對稱點可以落在矩

形邊上，可以落在矩形內(nèi)部，也可以落在矩形外部，無論如何變化，解決工具有三：（1）勾股定理；（2）全等或相似

三角形；（3）三角函數(shù)；從條件出發(fā)找到每種對稱隱藏的結(jié)論，往往是解題的關(guān)鍵。

沿對角線折疊：當(dāng)矩形沿對角線折疊時，圖中必有全等，注意運用對應(yīng)邊相等。

例七（2018?廣州改編）⑴如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點E重合，BE交AD于

點F,求證：BF=DF.

（2）若矩形ABCD中,.AB=V3,5C=5,現(xiàn)將矩形ABCD沿點B的直線折疊，折痕交線段AD（不含端點）于

點H，折疊后，點C,D的對稱點分別是E,G,線段BE交直線AD于點F.圖2是該矩形折疊后的一種情況，請

探究并解決以下問題.

①當(dāng)/GEH=30。時，求FH的長；

②當(dāng)△BEH為等腰三角形時，求HD的長.

圖1圖2

解：⑴證明：由折疊的性質(zhì)知，CD=ED,BE=BC

:四邊形ABCD是矩形，

；.AD=BC,AB=CD,ZBAD=90°,

；.AB=DE,BE=AD,

AB=DE

在^ABD與^EDB中，｛BE=AD,

BD=BD

AAABD^AEDB(SSS),

???ZEBD=ZADB,

???BF=DF;

(2)①如圖1中，?.?NGEH=NHCD=3()o,ND=90。，DC=V3

ADH=1,AH=AD-AD=5-1=4,

VAD//CB,

JZFBH-ZHBC=ZFHB,

???FB=FH,設(shè)FB=FH=x,

在RTAABF中，???ZB?+AF2=BF2f

???(V3)2+(4—x)2=x2,

19

???x

8

②情形一：如圖2,BE=BH=BC=5時，

圖2

在RTAABH中，???AB=W,BH=5,AH=<BH2-AB2=V25-3=V22,DH=AD-AH=5-V22

情形二：如圖3中，HE=BH時,

圖3

,/EH=HC,

；.HB=HC,

在RTAABH和RTADCH中,[HB=HC

/.△ABH^ADCH,

15

DH=AH=-AD=

22

情形三：如圖4中，EB=EH時,

,/EH=HC,

/.HC=EB=BC=4,

在RTAHCD中，：HC=5,CD=V3

HD=VWC2-CD2=V22.

落點在矩形邊上，用三垂直相似；

例八:如圖.在矩形ABCD中.AB=3,AD=5,點E在DC上，將矩形AB-CD沿AE折疊點D恰好落在BC邊上

的點F處，那么sinZEFC的值為.

解：???四邊形ABCD為矩形，

/.AD=BC=5,AB=CD=3,

?.?矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，

；.AF=AD=5,EF=DE,

在RtAABF中，??.?BF=7AF2-AB?=4,

；.CF=BC-BF=5-4=1,

設(shè)CE=x,JI!!!DE=EF=3-x

在RtAECF中，???CE2+FC2=EF2,

/+I?=(3-X)2,解得X=I，

EF=3-x=~,

3

CF4

???sinZEFC=—=

EF5

故答案為：g

落點在矩形內(nèi)，勾股定理和相似三角形，是解決問題兩大法寶。

例九：如圖在矩形AB-CD中，AB=4,BC=6，E為CD邊上一點，將^BCE沿BE折疊，使得C落到矩形

內(nèi)點F的位置，連接AF,若tanZBAF=1，則CE=()

解：過點F作MN〃AD,交AB于點M,交CD于點N,

貝!]MN_LAB,MNXCD,

由折疊可得，EC=EF,BC=BF=V5,ZC=ZBFE=90°,

在RtAAMF中，tan/BAF=*/

設(shè)FM=x,貝!]AM=2x,BM=4-2x,

在RtABFM中，由勾股定理可得，

X2+（4—2x）2=（花）2,

解得x=l或X=￡（舍去），

.*.FM=1,AM=BM=2,

FN=MN-FM=BC-FM=V5-1,

,/ZEFN+ZFEN=ZEFN+ZBFM=90°,

ZFEN=ZBFM,

又：NFNE=NBMF,

.,.△EFN^AFBM,

.BF_BM

''EF~FN'

□nV52

即薪=序？

解得￡尸=等.

口65—\/5

???EC=-----.

2

故選：C.

例十：(2018?泰安)如圖，在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊，點A落在A處，若E

A，的延長線恰好過點C,則sinZABE的值為.

解：由折疊知，.4E=AE,A'B=AB=6,乙BA'E=90°,

ABA'C=90°,

在RtAA'CB中，4C=<BC2-A'B2=8,設(shè)AE=xJJ[]A'E=x,

DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+無，在RtACDE中,根據(jù)勾股定理得,(10-x)2+36=(8+x)2,

x=2,

???AE=2,

在RtAABE中，根據(jù)勾股定理得，

BE=7AB2+業(yè)=2V10,

AE

???sm.Z’.AABDZE?=——=——，

BE10

故答案為：曙.

落點在矩形外，圖文交錯，繞矩形一圈存在多個三角形相似，由已知線段推出未知線段的長。

例H—如圖矩形紙片AB-CD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上，將仆CDP沿DP折疊，點C落在點E處.P

E、DE分別交AB于點0、F,且OP=OF,則cos/ADF的值為（）

解：根據(jù)折疊，可知：ADCP^ADEP,

；.DC=DE=4,CP=EP.

在小OEF和4OBP中，

Z-EOF=Z-BOP

{△B=ZE=90°,

OP=OF

:?△OEF也△OBP(AAS),

.*.OE=OB,EF=BP.

設(shè)EF=x,貝！jBP=x,DF=DE-EF=4-x,

又,?BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

,>.AF=AB-BF=l+x.

在RtADAF中,.AF2+AD2=DF2,

即(1+%)2+32=(4—x)2,

解得：X=|,

17

??.DF=4-X=『

4nLAD15

???cos上ADF=—=——.

DF17

故選：C.

多次折疊必有中點，當(dāng)矩形兩端均向中間折疊時，注意圖中的等線段，可得中點。

例十二：將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，:BE,EG,FG為折痕，若頂點A,C,D都落在點0處，且點

B,0,G在同一條直線上，同時點E,O,F在另一條直線上，則與的值為（）

解：解：由折疊可得，AE=OE=DE,CG=OG=DG,

：.E,G分另(J為AD,CD的中點，設(shè)CD=2a,AD=2b,則AB=2a=0B,DG=0G=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b,

,/ZC=90°,

ARtABCG中，CG2+BC2=BG2,

即a2+(26)2=(34,

b2—2a2,

即6=V2a,

-a=V2,

???等勺值為V2

AD

故選：B.

動態(tài)中的折疊

例十三：如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點D落在AB邊的點M處，EF為折痕，AB=1,AD=2.設(shè)AM的長

為t,用含有t的式子表示四邊形CDEF的面積是.

D

解：連接DM,過點E作EGJ_BC于點G.設(shè)DE=x=EM,則EA=2-x,

???AE2+AM2=EM2,

■■■(2—x)2+t2=x2,

解得久=?+L

4

t2

DE

4

.?.折疊矩形紙片ABCD，使點D落在AB邊的點M處，

AEF±DM,

ZADM+ZDEF=90°,

VEGXAD,

???ZDEF+ZFEG=90°,

ZADM=ZFEG,

n〃AM

???tan乙4DM=—=t-=FG—,

AD21

FG=

2

t2

CG=DE

4

「2t

CF=42'

?*.S=—(CF+DE)x1=——1+1.

四邊欣DEF2'744

故答案為：H2一六+1.

舉一反三

1.(2024江西)如圖，AB是。。的直徑，AB=2,點C在線段AB上運動，過點C的弦DE團(tuán)4B,將詼沿DE

翻折交直線AB于點F,當(dāng)DE的長為正整數(shù)時，線段FB的長為.

2.(2024.天津)將一個平行四邊形紙片OABC放直在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0),點A(3,0),點B,C

在第一象限，且OC=2,ZAOC=60°.

(I)填空：如圖①，點C的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為;

(II)若P為x軸的正半軸上一動點，過點P作直線l，x軸，沿直線1折疊該紙片，折疊后點O的對應(yīng)點0,落在

x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C.設(shè)OP=t.

①如圖②，若直線1與邊CB相交于點Q,當(dāng)折疊后四邊形PO'C'Q與DOABC重疊部分為五邊形時，OC與

AB相交于點E.試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)(WtW昔時，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

3.(2024.廣州)如圖,在菱形ABCD中,/C=120。.點E在射線BC上運動(不與點B,點C重合),△AEB關(guān)

于AE的軸對稱圖形為△AEF.(1)當(dāng)NBAF=30。時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若4B=6+6V3,OO為4AEF的外接圓，設(shè)。O的半徑為r.

①求r的取值范圍；

②連接FD,直線FD能否與。O相切?如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

BD

C

4.（2024?廣東）

【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點B,D是直線y=ax(a>0)上第一象限內(nèi)的兩個動點(OD>OB),以線段BD為對

角線作矩形ABCD,AD〃x軸.反比例函數(shù)y=§的圖象經(jīng)過點A.

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)y=第勺圖象必經(jīng)過點C.

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E落在y軸上目點B的坐標(biāo)為(1,2)時，求k

的值

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E,A重合時，連接AC交BD于點P.以點

O為圓心，AC長為半徑作。O.若(OP=3a,當(dāng)。O與小ABC的邊有交點時，求k的取值范圍.

5.(2024.蘇州)如圖,△ABC中，ZACB=90°,CB=5,CA=10,點D,E分別在AC,AB邊上，AE=逐人。,連接

DE,將4ADE沿DE翻折，得到△FDE,連接CE,CF.若小CEF的面積是4BEC面積的2倍，則AD=.

6.（2024.揚州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1,0）,點B在反比例函數(shù)y=§（幻。）的圖象上，

BCW軸于點C,NB4C=30。,將ATIBC沿AB翻折，若點C的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為

7.（2024?連云港）如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF,連接BF.再將

矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG.若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，

AB